Dérivation et fonction exponentielle

Mme LE DUFF Mathématiques Terminales STAV

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Fiche méthode : Terminale. Etude du signe de la dérivée d’une fonction avec exp.

Méthode :

Déterminer la dérivée f’ (voir tableau des dérivées).

Etudier le signe de f’ (bien respecter l’intervalle donné dans l’énoncé pour les valeurs de x dans le tableau).

Si f’ fait intervenir ex(dérivation avec ex) :

o Résoudre f'(x)≥0(utiliser la fonction ln appliquée aux deux côté de l’inéquation pour « éliminer » l’exponentielle).

o Placer cette valeur dans le tableau. o f’ est positive quand x répond au critère.

Si f’ fait intervenir eax+b(dérivation avec eax+b) :

o e est positif (car la fonction exponentielle est toujours positive). ax

o f’ aura donc le signe de a.

Exemple 1 (exp (x) avec dérivée de type aex +b) : Soit f la fonction définie par f x ex x

2 3 )

( = − sur l'intervalle

[

]

2°) En déduire le signe de f’. Résolution : 1°) f'(x)=3×ex −2. 2°) On resoud : 3×ex−2≥0 (positif) 3 2 ≥ x e       ≥ 3 2 ln

x (x plus grand que 

     3 2 ln ). Donc f’ prend la valeur 0 en       3 2

ln , et est positive quand x est plus grand que       3 2 ln .

Mme LE DUFF Mathématiques Terminales STAV - 2 - x -2       3 2 ln 3 Signe de f’ - +

Exemple 2 (exp (ax+b) avec dérivée de typeaeax+b ) :

Soit f la fonction définie par f(x)=e2xsur l'intervalle

[

]

2°) En déduire le signe de f’.

Résolution :

1°) f'(x)=2e2x.

2°) e2xest positif (car la fonction exponentielle est toujours positive). 2 est un nombre positif. Donc f’ est positive.

x -10 10

Signe de f’ +

Exemple 3 (exp (ax+b) avec dérivée de typeaeax+b ) : Soit f la fonction définie par 5 3

)

( = − x+

e x

f sur l'intervalle

[

]

2°) En déduire le signe de f’.

Résolution :

1°) f'(x)=−5e−5x+3.

2°) e−5x+3est positif (car la fonction exponentielle est toujours positive). -5 est un nombre négatif. Donc f’ est négative.

x -8 12