#2 Réductions et transformations

(1)

R´

eductions et transformations

MTH6311

S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal

H2018 (v2)

(2)

Plan

1. Fonctions harmonieuses

2. Fonctions au moins et fortement quadratiques

3. R´eductions lin´eaires

4. R´eductions polynomiales

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2. Fonctions au moins et fortement quadratiques 3. R´eductions lin´eaires

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D´

efinitions

I _{Une fonction f : N → R est}´eventuellement non-d´ecroissantes’il existe un entier n0 tel que

f (n) ≤ f (n + 1) pour tout n ≥ n0.

I Soit b un entier ≥ 2. La fonction f est b-harmonieusesi elle est ´eventuellement non-d´ecroissante et si f (bn) ∈ O f (n).

I f estharmonieuse si elle est b-harmonieuse pour tout b ≥ 2.

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Fonctions harmonieuses

I Exemples de fonctions harmonieuses : log n, n log n, n2, tout polynˆome dont le coefficient du terme de plus haut degr´e est positif, etc.

I Exemple 1 : Monter que log n est harmonieuse.

I Exemple de fonction non harmonieuse : nlog n, car on peut montrer que le rapport f (bn)/f (n) est non-born´e.

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Propri´

et´

e

S’il existe un entier b ≥ 2 tel que f est b-harmonieuse, alors f est harmonieuse.

Exemple 2 : Preuve.

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Propri´

et´

e

Soit f une fonction bornée supérieurement par un polynôme.

I Si f est ´eventuellement non-d´ecroissante, alors il y a de fortes chances pour que f soit harmonieuse.

I Sinon, il y a de fortes chances pour qu’il existe une fonction g harmonieuse telle que f (n) ∈ Θ(g(n)).

Exemple 3 : Soit f (n) = b(n) + log n avec b(n) = le nombre de 1 dans la représentation binaire de n. f n’est pas éventuellement non-décroissante mais on peut montrer que f (n) ∈ Θ(log n).

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Fonctions au moins et fortement quadratiques

Soit f une fonction N → R.

I f estau moins quadratiquesi f ∈ Ω(n2).

I f estfortement quadratique si elle est ´eventuellement non-d´ecroissante et s’il existe n0 ∈ N tel que f(bn) ≥ b2f (n)

pour tout b ∈ N et pour tout n ≥ n0.

I Propri´et´e : Si f est fortement quadratique, alors elle est au moins quadratique.

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D´

efinitions

Soient A et B deux probl`emes.

I Idée : Pour résoudre IA, une instance de A, on va laréduire

`

a B, c’est-`a-dire qu’on va transformer IA en des instances du

type B qui, une fois r´esolues et combin´ees, donneront la solution de IA.

I A est linéairement réductible à B si l’existence d’un

algorithme prenant un temps ∈ O(t(n)) pour r´esoudre chaque instance de B de taille n implique l’existence d’un algorithme prenant un temps ∈ O(t(n)) pour r´esoudre chaque instance de A de taille n. On note A ≤` _B_.

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R´

esoudre A `

a partir de B quand A ≤

`

B

Soit IA l’instance de A de taille n que l’on veut r´esoudre. On

connaˆıt un algorithme prenant un temps O(t(n)) pour chaque instance de B.

1 Construire un nombre constant c d’instances de type B telles que chaque instance est de taille ≤ n et que la construction de chaque instance se fasse en temps O(t(n)) (il faut que t soit ´ev. non-d´ecr.).

2 Appliquer l’algorithme sur les c instances de B. Cette r´esolution prend un temps O(c t(n)) = O(t(n)).

3 Faire O(t(n)) opérations élémentaires pour combiner les résultats des c instances et en déduire la solution de IA.

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Remarque

Si t(n) est une fonction harmonieuse, alors on peut construire des instances de B de taille O(n) au lieu de se limiter à une taille ≤ n. En effet, chaque instance de B aura alors une taille ≤ k n, où k est une constante. On pourra donc résoudre les c instances de B en un temps O(c t(kn)) = O(c c0 t(n)) = O(t(n)).

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Exemple 4

Soient les deux probl`emes :

I C : calcul du carr´e d’un entier.

I M : multiplication de deux entiers.

Montrer que C et M sont lin´eairement ´equivalents.

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Exemple 5

Soient les cinq probl`emes

M Q multiplication de deux matrices de taille n × n

M T multiplication de deux matrices triangulaires sup´erieures de taille n × n

M S multiplication de deux matrices symétriques de taille n × n IT inversion d’une matrice triangulaire supérieure de taille n × n IT2 inversion d’une matrice triangulaire supérieure de taille n × n

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Exemple 5 (suite)

I Clairement, M T ≤`M Q, M S ≤`M Q, et IT2≤` _{IT .}

I Soient tM Q, tM T, tM S, tIT, et tIT2 les fonctions des temps nécessaires pour résoudre ces cinq problèmes.

I Ces fonctions sont au moins quadratiques (car on doit au moins lire les matrices).

I Si on suppose que tM T, tM S, tIT, et tIT2 sont harmonieuses et que tM Q est fortement quadratique, alors les cinq

problèmes sont linéairement équivalents.

I Preuve en montrant que M Q ≤`M T , M Q ≤`M S, M Q ≤` IT , IT ≤` IT2, et IT2 ≤`_{M Q.}

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D´

efinitions

Soient A et B deux probl`emes.

I A est polynomialement réductible à B s’il existe un algorithme polynomial pour résoudre chaque instance de A, en autant que soit comptée à coût unitaire chaque résolution d’une instance de B. On noteA ≤p _B_.

I Si A ≤p B et B ≤pA, alors A est dit polynomialement ´

equivalent `a B et on noteA =p B.

I En d’autres termes, supposons que l’on dispose d’une boˆıte noire permettant de résoudre chaque instance de B. Si A ≤pB, alors on peut résoudre A en faisant un nombre polynomial d’opérations élémentaires, chaque appel à la boˆıte noire étant compté comme une opération élémentaire.

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D´

efinitions (suite)

I Si A ≤p B, alors l’existence d’un algorithme polynomial pour r´esoudre B implique l’existence d’un algorithme polynomial pour r´esoudre A.

I A est polynomialement transformableen B si on peut ramener la résolution de chaque instance de A en la construction et la résolution d’une instance de B dont la construction se fait en temps polynomial. On utilise la notation A ∝ B(i.e. un seul appel à la boˆıte noire).

I A ∝ B implique A ≤p _B.

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Exemple 6

Soient les probl`emes

HAM d´eterminer un cycle hamiltonien dans un graphe donn´e, s’il en existe un.

HAMD déterminer si un graphe donné est hamiltonien. k-TSPD déterminer s’il existe un cycle hamiltonien de

longueur ≤ k dans un graphe complet donn´e.

ε-rel-TSP déterminer un cycle hamiltonien dans un graphe complet donné dont la longueur est ≤ (1 + ε)L, où L est la longueur du cycle hamiltonien le plus court dans le graphe.

Pour HAM et HAMD : pas de notion de distance. Pour k-TSPD et ε-rel-TSP, les arˆetes poss`edent des distances.

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Exemple 6 (suite)

Montrer les r´esultats suivants :

I HAMD =p HAM.

I HAMD ∝ k-TSPD.

I HAMD ∝ ε-rel-TSP.

Note : Pour les problèmes k-TSPD et ε-rel-TSP, une matrice complète des distances doit être fournie, ce qui implique que les graphes considérés sont complets.