Intégration Stochastique Hilbertienne

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Intégration Stochastique Hilbertienne

Jerome Lebrun

To cite this version:

Jer^ome Lebrun

27 fevrier 1996

Table des matieres

1 Integration Hilbertienne 4

1.1 Elements de mesurabilite : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1.2 Espaces L p( F;H) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1.3 Integrale Hilbertienne: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13 1.4 Operateurs Hilbertiens : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14

2 Probabilites dans les espaces de Hilbert 17

2.1 Generalites : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17

2.2 Esperance conditionnelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18

2.3 Independance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

2.4 Martingales Hilbertiennes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

2.4.1 Martingales a temps discret : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

2.4.2 Processus progressivement mesurables : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

2.4.3 Martingales a temps continu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33

3 Integration stochastique Hilbertienne 40

3.1 Mouvement Brownien Hilbertien: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

3.1.1 Triplet de Gelfand : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

3.1.2 Mouvement Brownien Hilbertien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40

3.2 Tribu previsible : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 3.3 Integration Stochastique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 3.3.1 Integrale de It^o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 3.3.2 Transformee de It^o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 3.3.3 Formule de It^o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 2

Resume

Le but de ce projet de dipl^ome etait de construire une integrale stochastique non triviale: l'in-tegrale de It^o par rapport a un mouvement Brownien standard a valeurs dans un espace de Hilbert. Apres avoir introduits les outils indispensables que sont l'integrale de Pettis, et la theo-rie des probabilites dans les espaces de Hilbert, on construira le mouvement Brownien standard, ce qui nous permettra d'introduire l'integrale stochastique Hilbertienne isometrique. Dans tout ce rapport, on supposera le lecteur familier avec les resultats classiques de theorie de la mesure, et de l'integration dansR, ainsi qu'avec la theorie des probabilites pour des variables aleatoires

SoientH etB deux espaces de Hilbert reels, de produits scalaires et normesh; ietj:j, respecti-vementh; i B et j:j B. Pour H etB separables, on noteL 1(

H;B) l'espace de Banach des operateurs

nucleaires et 1( N) := TrjNjsa norme (jNj:= (N  N) 1 2). On note egalement L 2( H;B) l'espace

de Hilbert separable des operateurs de Hilbert-Schmidt,

2 sa norme Hilbertienne et

hh;ii son

produit scalaire. D'autre part, on notera  la mesure de Lebesgue surR.

Integration Hilbertienne

1.1 Elements de mesurabilite

Soit (X ;F) un espace mesurable,ouFest la tribu engendree par l'anneauA, lui-m^emeconstruit

a partir du semi-anneauR. SoitH un espace de Hilbert reel, de produit scalaireh;iet de norme

associee j:j. On note B(H) sa tribu Borelienne.

Denition 1.1.1

Soit f :X !H, on dit quef est fortement mesurableF=B(H) ssi

1. f est mesurable F=B(H)

2. f(X) est separable dans (H;j:j)

Remarque 1.1.1

La condition 2 equivaut a l'existence d'un s.e.v. ferme separable de H

conte-nantf(X).

Denition 1.1.2

On note L 0(

F;H) l'ensemble des fonctions f :X !H qui sont fortement mesurablesF=B(H).

Proposition 1.1.1

On a alors 1. L

0(

F;H) est un espace vectoriel

2. 8f;g2L 0( F;H);hf;gi est mesurableF=B(R) 3. Soitff n g n2N L 0( F;H) telle que 8x2X on af n( x)?!f(x). Alors f 2L 0( F;H) Preuve. 1. L 0( F;H) espace vectoriel  8f 2L 0( F;H);8 2R, on a immediatement que f 2L 0( F;H)  Soit f;g 2L 0( F;H), 4

{ Il existe H 0

H s.e.v. ferme separable tel quef(X)[g(X)H 0

donc

(f+g)(X)f(X) +g(X)H 0

et donc (f+g)(X) est separable.

{ Il reste a montrer que f+g est mesurable, i.e. pour B 2B(H) on a

(f +g) ?1( B)2F Soit s :H 0 H 0

!H denie par s(u;v) :=u+v. s est continue.

De plus (f+g) ?1( B) = fxj(f(x);g(x))2s ?1( B)g or s ?1( B)2B(H 0 H 0) Comme H

0 est un espace metrique separable, il admet une base topologique

denombrable et doncB(H 0 H 0) = B(H 0) B(H 0) Soit alors G :=fA2B(H 0 H 0) jfxj(f(x);g(x))2Ag2Fg G est une tribu contenant les rectangles A

1 A 2 ou A 1 ;A 2 2B(H 0) puisque fxj(f(x);g(x))2A 1 A 2 g=f ?1( A 1) \g ?1( A 2) 2F donc B(H 0) B(H 0) G i.e.G =B(H 0 H 0). On a alors ( f+g) ?1 (B)2F

2. On a immediatement le resultat en remarquant que

hf;gi= 14(jf +gj 2 ?jf ?gj 2 ) et quej
j 2 est mesurableB(H)=B(R)

3.  8n;fn(X) est separable, donc fn(X)Hn H, ou Hn s.e.v. ferme separable. On a

des lors l'existence de fvnigi

2Ndense dans Hn.

Soit V :=fvniji;n2Ng. V est clairement denombrable et dense dans S nHn. Or S nfn(X) S nHn, donc S

nfn(X) est separable, i.e.9H

0 s.e.v. ferme separable

de H tel que S nfn(X)H 0. Des lors, 8x2X ;fn(x)2H 0 ferme, donc f(x) = limn !1 fn(x)2H 0 et donc f(X) H 0 et f(X) est separable.

 On denit pour u;v2H, d(u;v) :=ju?vjet soit O un ouvert de H.

Soit pour k 2N, Ok :=fx2O jd(x;O c₎ > 1 k g

On a alors par le lemme 2.5.2 [5]

f ?1( O) = [ k;m \ nm f ?1 n (Ok) ! Or 8n;k f ?1 n (Ok)2F, donc f ?1(

O)2F, et donc f est mesurable F=B(H). #

1.2 Espaces L (F;H)

Soit une mesure positive quelconque non necessairement-nie. Comme d'habitude on

iden-tie deux fonctions L 0(

F;H) qui coincident presque partout  (notea:e:).

Denition 1.2.1

Pour 1p<1,on p ose L p( F;H) :=ffjf 2L 0( F;H);kfk p := ( Z jfj p d) 1 p <1g et L 1( F;H) :=ffjf 2L 0( F;H);kfk 1 := esssup jfj <1g

Remarque 1.2.1

Cette denition a un sens puisque jfj

p

: X !Rest mesurableF=B(R), par

mesurabilite de j:j p

:H !R.

Denition 1.2.2

Pour 1p;q1, on dit que petq sontconjugues ssi 1 p+ 1 q = 1 .

Remarque 1.2.2

On a p q = p?1.

Lemme 1.2.1 (Inegalite de Holder)

Pour f 2L p( F;H);g 2L q( F;H) avecp etq conjugues 1. hf;gi2L 1( F;R) 2. j R hf;gidj kfk p :kgk q Preuve. 1. hf;gi est mesurableF=B(R) et jhf;gijjfjjgj avecjfj2L p( F;R) et jgj2L q( F;R)

Par l'inegalite de Holder reelle, on a jfjjgj2L 1(

F;R) et donc hf;gi2L 1(

F;R).

2. Par l'inegalite de Holder reelle appliquee ajfj etjgj j Z h f;gidj  Z jhf;gijd  Z jfjjgjd kjfjk p kjgjk q = kfk p kgk q #

Lemme 1.2.2 (Inegalite de Minkowski)

Pour f;g 2L p( F;H) o u 1p 1 1. f+g 2L p( F;H) 2. kf+gk p kfk p+ kgk p 6

 p= 1 1. f +g 2L 0( F;H) et jf+gjjfj+jgj avecjfj;jgj2L 1( F;R), donc jf +gj2L 1( F;R) i.e.f +g 2L 1( F;H) 2. Z jf +gjd  Z jfjd+ Z jgjd =kfk 1+ kgk 1  p=1 f+g 2L 0( F;H) etjf +gjjfj+jgj donc

esssupjf+gjesssupjfj+jgjesssupjfj+ esssupjgj<1

donc f+g 2L 1( F;H) etkf +gk 1 kfk 1+ kgk 1  1<p<1 1. f +g 2L 0( F;H) et jf+gjjfj+jgj donc jf +gj p (jfj+jgj) p 2 p( jfj p +jgj p )2L 1( F;R) donc f +g 2L p( F;H) 2. jf+gj p =jf +gj p?1 jf +gjjf +gj p?1 jfj+jf +gj p?1 jgj or p?1 = p q, donc jf+gj p?1 2L q( F;R), et comme jfj2L p(

F;R), par Holder reel jf +gj p?1 jfj2L 1( F;R) et Z jf+gj p?1 jfjd kjf +gj p?1 k q kjfjk p = kf +gk p?1 p kfk p de m^eme Z jf+gj p?1 jgjd kf+gk p?1 p kgk p donc kf+gk p p kf +gk p?1 p ( kfk p+ kgk q) ou bien kf+gk p = 0 et on a trivialement kf +gk p kfk p+ kgk p ou bien kf+gk p 6 = 0 et on a kf +gk p kfk p+ kgk p # Proposition 1.2.1 (L p( F;H);k
k

p) est un e.v.n. (espace vectoriel norme) pour 1

p1 Preuve.  L p( F;H) s.e.v. deL 0( F;H) 7

{

Pour f;g 2L p( F;H), par Minkowski f + g 2L p( F;H)

{

Pour f 2L p( F;H) et 2R, on a jfj p ₌ jj p jfj p _{et donc f} 2L p( F;H)  k:kp semi-norme sur L p( F;H)

{

kfkp =jjkfkp

{

kf + gkp kfkp+kgkp Minkowski

{

kfkp = 0 ) jfj= 0 a.e. #

Remarque 1.2.3

On fera par la suite l'identication entre L

p( F;H) et L p( F;H)=

Theoreme 1.2.1 (Riesz-Fischer)

Pour 1p1, (L p(

F;H);k:kp) estun espacede Banach. Preuve.

1. p =1

Soit ffngn

2Nune suite de Cauchy de L

1(

F;H) i.e.8k1;9nk tel que, pour m;nnk

on a kfm ?fnk 1

 1

k

Donc 9Ek -negligeable tel que, pour m;nnk on a 8x2Eck; jfm(x)?fn(x)j 1

k

Soit E :=S

kEk. E est -negligeable et on a que8x2Ec; fn(x) est un suite de Cauchy

dans H.

Par consequent,8x2Ec; fn(x)!f(x) et donc f 2L 0( F;H) Ainsi, pour nnk on a jf(x)?fn(x)j 1 k ; 8x2Ec. Il en resulte que f 2L 1( F;H) et que pour nnk on a kf ?fnk 1  1 k. Ainsikf?fnk 1 !0 2. 1p <1 Soit ffngn

2Nune suite de Cauchy de L

p(

F;H). Sans perte de generalite, on note ffkgk

2Nune sous-suite telle que

8k; kfk +1 ?fkkp  1 2 k Soit gn(x) := n X k=1 jfk +1(x) ?fk(x)j

On a kgnkp 1 et gn croissante, par consequent 9g 2L p( F;R) telle quegn"g Or jfm(x)?fn(x)jjfm(x)?fm ?1(x) j+::: +jfn +1(x) ?fn(x)jg(x)?gn ?1(x)

donc a:e:, on affn(x)g suite de Cauchy deH i.e. fn(x)!f(x) a.e. . Donc pour

n2, on a jf(x)?fn(x)jg(x), donc f 2L p( F;H). De plus, commejf(x)?fn(x)j p !0 a.e. et jf(x)?fn(x)j p gp(x)2L 1( F;R), par

le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue dans le cas reel, on a kf?fnkp !0. #

Theoreme 1.2.2

(L 2(

F;H);(j)) est un espace de Hilbert Preuve. L

2(

F;H) est un espace de Banach pour la norme k:k 2

On denit alors pour f;g 2L 2(

F;H) le produit scalaire compatible (fjg) := R

hf;gid. Cette

denition a un sens par Holder. Ainsi on a j(fjg)jkfk 2 :kgk 2 et kfk 2= ( fjf) #

Denition 1.2.3

Soit C F quelconque

1. On dit quef :X !H estC-simple si et seulement sif = P n k =1 u k :1 C k ou u k 2H;C k 2C etn 2N

2. On noteE(C;H) l'ensemble des fonctions C-simples telles que 8k = 1:::n; (C k)

<1

Remarque 1.2.4

On a trivialement que E(C;H) L

p( F;H) pour 1p1

Lemme 1.2.3

8f 2L p( F;H) ou 1p<1 9ff n g n2N E(F;H) telle que 8x2X, on a jf n( x)jjf(x)j et f n( x)?! n!1 f(x) mais egalement kf n ?fk p ?! n!1 0 Preuve. f(X)H

0 s.e.v. ferme separable de

H, doncH

0 admet une base Hilbertienne fe i g 1 i=1  8x2X, f(x)2H 0 donc f(x) = 1 X i=1 hf(x);e i ie i i.e. lim n!1 jf(x)? n X i=1 hf(x);e i ie i j= 0 Soit f i( x) :=h f(x);e i i f i est mesurable F=B(R) et jf i( x)j p jf(x)j p :je i j p =jf(x)j p . Des lors, f i 2L p( F;R)

Par un theoreme classique de theorie de l'integration (thm 13.5 [1]), on a l'existence de

ff n i g n2N E(F;R) telle que8x2X on a jf n i ( x)jjf i( x)j et f n i ( x)?! n!1 f i( x) Alors, soit f n( x) := n X i=1 f n i ( x)e i 2H 0 9

f n est F-simple. De plus jf n( x)j 2 = n X i=1 jf n i ( x)j 2  n X i=1 jf i( x)j 2  1 X i=1 jf i( x)j 2 Bessel = jf(x)j 2 i.e. jf n( x)j jf(x)j Orf 2L p( F;H), par consequent f n 2E(F;H)  D'autre part, j n X i=1 f i e i ? n X i=1 f n i e i j 2 = n X i=1 jf i ?f n i j 2 En posant  n i( x) :=jf i( x)?f n i ( x)j 2 on a 8x2X, n i( x)?! n!1 0 etj n i( x)j4jf i( x)j 2 donc 1 X i=1 j n i( x)j4jf(x)j 2 <1

Par le theoreme du M-test de Weierstrass (Appendice [1])

1 X i=1  n i( x)?! n!1 0 donc j n X i=1 f i e i ? n X i=1 f n i e i j?! n!1 0 Or jf(x)?f n( x)jjf(x)? n X i=1 f i( x)e i j+j n X i=1 f i( x)e i ? n X i=1 f n i ( x)e i j donc 8x2X, on af n( x)?! n!1 f(x)  Soit h n( x) := sup k n jf k( x)?f(x)j p h n 2L 1( F;R) , 0 h n( x)#0 et 0h n( x)2 p jf(x)j p avec jfj p 2L 1( F;R)

Par le theoreme de la convergence dominee de Lebesgue dans le cas reel, on a que 0 Z h n d #0 et comme Z jf n ?fj p d Z h n d alors kf n ?fk p ?! n!1 0 # 10

Theoreme 1.2.3 (DCT)

Soit ff n g n2N  L p(

F;H) o u 1p<1,on supp ose que 1. f n( x)!f(x) a.e. 2. 9h2L 1( F;R); 8n; jf n( x)j p h(x) a.e. Alors f 2L p( F;H) et kf n ?fk p !0 Preuve. En utilisant le fait que

jf n(

x)j!jf(x)j a.e.

et le dernier point de la preuve precedente, on a immediatement le resultat. #

Lemme 1.2.4

Pour  -nie,f 2E(F;H) et 1p<1 8>0; 9g 2E(R;H) telleque kf?gk p < Preuve.  Pourf :=c:1 F avec c2H, c6= 0 et F 2F

Commef 2E(F;H), on a (F)<1 et donc par le theoreme 11.4 [1] 8>0;9E 2A tel que(E4F)<

 p jcj p Soit g :=c:1 E. CommeE 2A, on a E= n a i=1 E i ou E i 2R 2-2 disjoints Ainsig = P n i=1 c i :1 E i i.e.

g est R-simple et comme(E)<1, g 2E(R;H)

Des lors kf ?gk p p = kc(1 F ?1 E) k p p =jcj p k1 F ?1 E k p p jcj p k1 E4F k p p = jcj p (E4F)<jcj p  p jcj p =  p donc kf?gk p <

 Tout f 2E(F;H) peut s'ecriref =f 1+ :::+f n avec f i = c i :1 Fi ou c i 2H et F i 2F 2-2

disjoints tels que(F i) <1 Par consequent 9g 1 ;:::;g n 2E(R;H) tels que kf i ?g i k p <  n En posant g := P n i=1 g i, on a alors g 2E(R;H) et kf ?gk p  n X i=1 kf i ?g i k p < # 11

Theoreme 1.2.4

Pour  -nie et 1p <1 E(R;H) est dense dans L

p( F;H) pour la norme k
kp Preuve. Soit f 2L p( F;H), et  > 0. Par le lemme 1.2.3 9g 2E(F;H); kf ?gkp< 2

et par le lemme 1.2.4, commeg 2E(F;H)

9h2E(R;H);kg ?hkp < 2

donc 9h2E(R;H) tel que

kf ?hkp kf?gkp+kg?hkp < 

#

Remarque 1.2.5

Ce resultat reste vrai pour p =1.

Theoreme 1.2.5

SiF est separable, -nie et H separable alors L p(

F;H) est separable pour 1p < 1 Preuve. F est separable, donc 9C F denombrable telle que(C) =F

De plus X =a n2N Xn ou Xn2F et(Xn)<1 Soit fEigi 2N:= C [fXngn 2N et Sn =fF 1 \:::\Fnj(Fi =Ei) _ (Fi =Eci)g

En posant An=(Sn) l'algebre engendree par Sn,

on a A 0 := [ 1 n=1 An separable et (A 0) =

F. De plus  est -nie surA 0 i.e. X =a n2N An ou An2A 0 et (An)< 1

Soit A:=fAnjn 2Ng etV =fvnjn2Ng dense dans H,

on denit S :=f m X i=1 vi:1Ai jvi 2V; Ai 2A; m2Ng Par le lemme 1.2.3, 8f 2L p( F;H); 8 > 0; 9g 2E(F;H) tel que kf?gkp <  On a g =Pm i=1ci:1B i ou ci 2H etBi 2 F 12

Par densite,9vi 2V tel que jvi?cij p _{< }p m:(Bi) On pose h :=Pm i=1vi:1B i, on a ainsi kg?hk p p = m X i=1 jci?vij p_{(Bi)< }p

On suppose sans perte de generalite que 8i = 1:::m; vi6= 0. Par le theorme 11.4 [1], on a

alors

8i = 1:::m; 9Ai2A

0 tel que (Ai

4Bi)<  p mp_:jvij p Donc pour ~f :=Pm i=1vi:1A i, on a ~f

2S etk~f?hkp < . Par consequentkf ? ~fkp < 3, d'ou

le resultat, puisque V est denombrable. #

1.3 Integrale Hilbertienne

Proposition 1.3.1

Pour f 2L 1( F;H) 1. 8v2H;hf;vi2L 1( F;R) 2. 9!u2H tel que8v2H; R

hf;vid =hu;vi. On denit alors R f d := u 3. j R f dj R jfjd Preuve.

1. 8v2H;u 7!hu;viest continue, donc x7!hf(x);vi est mesurableF=B(R).

De plus, Z jhf;vijd C.S.  Z jfjjvjd = jvj Z jfjd <1 donc hf;vi2L 1( F;R). 2. Soit' : v 7! R hf;vid on a 8v2H j'(v)j Z jhf;vijd jvj Z jfjd donc '2H 0

. Or par le theoreme de Riesz9!u2H;8v 2H;'(v) =hu;vi

3. u veriejuj R

jfjd, on a donc le resultat en posant R

f d := u

#

Remarque 1.3.1

L'operateur f 7!

R

f d est un operateur lineaire continu de L 1(

F;H) dans H.

Soit ff n g n2N  L 1( F;H), on suppose que 1. f n( x)!f(x) a.e. 2. 9h2L 1( F;R); 8n; jf n( x)jh(x) a.e. Alors f 2L 1( F;H) et Z f n d ! Z fd

Preuve. Par la proposition precedente, et le le theoreme 1.2.3, j Z f n d? Z fdj Z jf n ?fjd =kf n ?fk 1 !0 #

1.4 Operateurs Hilbertiens

SoitH etB deux espaces de Hilbert reels separables, de produits scalaires et normes respectives h; iet j:j, respectivementh; i

B et j:j

B, et de bases Hilbertiennes respectives fe i g i2Net f i g i2N Proposition 1.4.1 (Pettis)

f est mesurable F=B(H) ssi 8i; x7!hf(x);e i

i est mesurableF=B(R) Preuve.

()) Pour u;v2H; u7!h u;vi est continue, donc mesurableB(H)= B(R). Ainsi x7!hf(x);vi

est mesurableF=B(R)

(() { Montrons tout d'abord que 8v2H;x 7!h f(x);vi est mesurableF=B(R).

En eet, commef(x)2H, par l'identite de Parseval,

on a hf(x);vi= 1 X i=1 h f(x);e i i hv;e i i = lim n!1 n X i=1 hf(x);e i ihv;e i i Or x7! P n i=1 hf(x);e i

i est mesurableF=B(R), donc x7!hf(x);viest mesurable F=B(R). { Soit V :=fv n g n2Ndense dans H. Comme jf(x)j 2 = lim n!1 n X i=1 jhf(x);e i ij 2 on a que x7!jf(x)j 2 est mesurable F=B(R). 14

Donc g n( x) :=jf(x)?v n j 2 = jf(x)j 2 ?2h f(x);v n i+jv n j 2 est mesurable F=B(R) Soit E n := fxjg n( x)< 2 g. On a8n; E n 2F. SoientF 1 := E 1 et F n:= E n \ ?S n?1 k =1 E k
c . On a donc F i 2F 2-2 disjoints.

Comme V est dense dans H 8x2X ; 9v n 2H tel quejf(x)?v n j< donc x2E n et X = 1 [ n=1 E n= 1 a n=1 F n On denit alors g(x) := 1 X i=1 v i :1 F i( x) i.e. g = lim n!1 n X i=1 v i :1 F i

donc g est mesurable F=B(H).

De plus, 8x2X ; 9 n2N tel quex2F n i.e. jf(x)?v n j< donc 8x2X, on a jf(x)?g(x)j< Pour := 1 n, 9h n 2L 0( F;H) tel que 8x2X, on ajh n( x)?f(x)j< 1 n. Par consequent 8x2X ; h n(

x)!f(x). Par le theoreme 1.1.1 f est donc mesurable F=B(H). #

Lemme 1.4.1

Pour H :X !L 2( H;B) H 2L 0( F;L 2( H;B)) ssi8i;j on ax7!h j ;H(x)e i i B 2L 0( F;R) Preuve. fe i  j g

i;j est une base Hilbertienne de L 2( H;B) et hhH(x);e i  j ii=h j ;H(x)e i i B #

Lemme 1.4.2

SiH 2L 0( F;L 2( H;B)) alors H  2L 0( F;L 2( B;H)) Preuve. hH ( x) j ;e i i=h  j ;H(x)e i i B 2L 0( F;R) #

Proposition 1.4.2

Soientf 2L 0( F;H) et H 2L 0( F;L 2( H;B)) alors Hf 2L 0( F;B) Preuve.  8x2X on af(x)2H et H(x)2L 2( H;B).

On peut donc denirHf : x7!(Hf)(x) :=H(x)f(x)

 On a 8x2X ; 8j h  j ;H(x)f(x)i B = h H ( x) j ;f(x)i = 1 X i=1 hH ( x) j ;e i i hf(x);e i i par Parseval = 1 X i=1 hf(x);e i ih j ;H(x)e i i B Orx7!h f(x);e i i et x7!h j ;H(x)e i i B sont mesurables F=B(R) donc 8j; h j ;(Hf)(x)i est mesurableF=B(R) # Proposition 1.4.3 Soientf 2L 2( F;H) et H 2L 2( F;L 2( H;B)) alors Hf 2L 1( F;B) Preuve. 8x2X, jH(x)f(x)j B  2( H(x))jf(x)j donc Z jHfj B d  Z  2( H)jfjd C.S.  Z  2 2( H)d  1 2 Z jfj 2 d  1 2 <1 car x7! 2( H(x)) et x7!jf(x)j sont dans L 2( F;R) # Proposition 1.4.4 Soientf 2L 0( F;H) et 2L 0( F;R)alors f 2L 0( F;H) Preuve.  8x2X, on a f(x)2H et (x)2R, on denitf :x7!(f)(x) :=(x)f(x)  8x2X ; 8ion a h(x)f(x);e i i=(x)hf(x);e i i. Or  et hf;e i i sont mesurables F=B(R). Par consequent, hf;e i

i est mesurable F=B(R), et donc  f 2L 0(

F;H).

#

Probabilites dans les espaces de Hilbert

Soit (;F;P) un espace probabilise complet et H etB deux espaces de Hilbert reels separables,

de produits scalaires et normes respectives h; i et j:j, respectivementh; i B et j:j B, et de bases Hilbertiennes respectives fe i g i2Net f i g i2N 2.1 Generalites Denition 2.1.1 1. Pour X 2L 1(

F;H) on denit l'esperancedeX par EX := R

XdP

2. SiX 2L 2(

F;H) on denit lavariancedeX par VX := R jX ?EXj 2 dP Proposition 2.1.1 Pour X 2L 1(

F;H) on ales proprietes suivantes 1. 8v2H ; Eh X ;vi=hEX ;vi

2. jEXjEjXj

3. SiX =u a.s.P avecu2H alors EX =u Preuve. 1. Immediat 2. Immediat 3. On a P(X =u) = 1 donc 8v2H Z hX ;vidP= Z hX ;vi:1 fX=ug dP= Z hu;vidP=hu;vi donc EX =u # 17

Proposition 2.1.2

Pour 1p 1 p 2 1 L p2( F;H) L p1( F;H) et8X 2L p2( F;H) kXk p 2 kXk p 1 Preuve.  Soit X 2L p 2( F;H), doncjXj2L p 2( F;R) Or commeP() = 1<1, on aL p 2( F;R)L p 1( F;R) et donc X 2L p 1( F;H)  kXk p 2 = kjXjk p 2 kjXjk p 1 = kXk p 1 #

2.2 Esperance conditionnelle

Soit G une sous-tribu deF, on fait l'abus de notation de noterP la restriction de P a (;G)

Lemme 2.2.1

Pour 1p1, L p(

G;H) s'identie a un s.e.v ferme deL p(

F;H) Preuve.

 Soit X 2L 0(

G;H) i.e.X est mesurableG=B(H)

donc X est mesurableF=B(H) i.e.X 2L 0( F;H)  Pour 1p<1 (L p( G;H);k:k L p (G;H)) et ( L p( F;H);k:k L p

(F;H)) sont des espaces de Banach.

Or, pour X 2L p( G;H) kXk L p (F;H) = Z jXj p dP  1 p = Z jXj p dP jG  1 p =kXk L p (G;H) puisque j:j p est mesurable

G=B(R). On a donc une isometrie de L p( G;H) dansL p( F;H) et doncL p(

G;H) s'identie a un s.e.v. ferme de L p( F;H)  Pourp=1 kXk L 1 (F;H) = kjXjk L 1 (F;R)= kjXjk L 1 (G;R)= kXk L 1 (G;H) #

Denition 2.2.1

On note E G le projecteur L 2( F;H) ! L 2( G;H) et on appelle E G X l'esperance conditionnelle deX par rapport a G. 18

Pour X 2L 2( F;H) 1. E G 2L 2( G;H) 2. kE G k 2 kXk 2

Preuve. Ces proprietes sont celles de tout projecteur L 2( F;H)! L 2( G;H) # Proposition 2.2.2 Pour X 2L 2( F;H) et G 1 G 2 F tribus 1. E G 1 E G 2 X =E G 2 E G 1 X =E G 1 X 2. EE G1 X =EX 3. Pour  2L 1( G 1; H)  X 2L 2( F;H) et E G 1(  X) =E G 1( X) Preuve. 1. L 2( G 1; H) sev ferme de L 2( G 2; H) PourX 2L 2( F;H) X =E G 2 X +X 2 ou X 2 2(L 2( G 2; H)) ? E G 2 X 2L 2( G 2; H) L 2( F;H) donc E G 2 X =E G 1 E G 2 X +X 1 ou X 1 2(L 2( G 1; H)) ? donc X =E G 1 E G 2 X +X 1+ X 2 OrL 2( G 1; H) L 2( G 2; H), par consequent (L 2( G 2; H)) ? (L 2( G 1; H)) ? AinsiX 2 2(L 2( G 1; H)) ? et doncX 1+ X 2 2(L 2( G 1; H)) ? On en deduit que E G 1 E G 2 X =E G 1 X De plus E G 1 X 2L 2( G 1; H)L 2( G 2; H) donc E G2 E G1 X =E G1 X 2. SoitO :=f;;g L 2(

O;H) s'identie alors a H; en fait, L 2(

O;H) =f1:vjv2Hg.

Or

X =EX :1 + (X ?EX)

et

(EXjX ?EX) =EhEX ;X ?EXi=h EX ;E(X ?EX)i= 0

donc X ?EX 2(L 2( O;H)) ? donc E O X =EX :1 et (L 2( O;H)) ? =fX 2L 2( F;H)jEX = 0g

On a donc le resultat grace au 1. en identiant E O et E. 3.   2L 1( G 1; R)L 0( F;R) donc X 2L 0( F;H). De plus, j Xj=j jjXjk k 1 jXj a.s.P donc EjXj 2 kk 2 1 EjXj 2 donc X 2L 2( F;H).  Soit H  : L 2( F;H) !L 2( F;H) x7!H ( X) :=X H

 est un operateur lineaire borne. Comme 2L 0( G 1; H) on a H ( L 2( G 1; H))L 2( G 1; H). De plus, H  est Hermitien (H  XjY) =EhH  X ;Yi=Eh X ;Yi =EhX ; Yi= (XjH  Y) donc H ( L 2( G 1; H)) ? (L 2( G 1; H)) ? Comme X =E G 1 X +Y ou Y 2(L 2( G 1; H)) ? on a donc H  X =H  E G 1 X +H  Y avec HE G1 X 2L 2( G 1; H) et H  Y 2(L 2( G 1; H)) ? donc  X =E G1 X +H  Y 20

d'ou E G 1( X) = E G 1 X #

Proposition 2.2.3

8X 2L 2( F;H) o u GF tribu 1. 8v2H; hE G X ;vi=E(hX ;vijG) a.s.P 2. jE G XjE(jXjjG) a.s.P

Remarque 2.2.1

On a note E(:jG) l'esperance conditionnelle de variables aleatoires reelles.

Voir par exemple le chapitre 34 de [1], pour un rappel des proprietes classiques.

Preuve. 1. Pourv 2H, on a hE G X ;vi2L 2( G;R) De plus, 82L 1( G;R); h E G X ;vi2L 2( G;R)L 1( G;H) et Z  hE G X ;vidP= Z hE G( X);vidP =h EE G( X);vi=hE(X);vi = Z hX ;vidP= Z h X ;vidP = Z E(hX ;vijG)dP donc h E G X ;vi=E(h X ;vijG) a.s.P

2. Par 1.9E 2F P-negligeable tel que 8!2E c h(E G X)(!);vi=E(hX ;vijG)(!) Donc 8!2E c j(E G X)(!)j= sup jv j1 jh(E G X)(!);vij = sup jv j1 jE(hX ;vijG)(!)j

Or pour v2H tel que jvj1

jE(hX ;vijG)jE(jh X ;vijjG)E(jXj:jvjjG) =jvj:E(jXjjG)E(jXjjG) a.s.P

i.e.9F 2F P-negligeable tel que 8!2F

c

jE(hX ;vijG)(!)jE(jXjjG)(!)

ainsi 8! 2(E[F) c j(E G X)(!)jE(jXjjG)(!) OrP(E[F) = 0, par consequentj(E G X)jE(jXjjG) a.s.P #

Theoreme 2.2.1

L'operateur lineaire continu E G :

L 2(

F;H) !L 2(

G;H) admet un prolongement continu e E G : L 1( F;H) !L 1(

G;H) veriant les proprietes suivantes

1. 8X 2L 1( G;H); e E G( X) =X 2. k e E G( X)k 1 kXk 1 3. PourG 1 G 2, e E G 1 e E G 2( X) = e E G 1( X) et E e E G 1( X) =EX 4. 82L 1( G;H) on a e E G( X) = e E G( X) Preuve. Pour X 2L 2( F;H) on a jE G XjE(jXjjG) a.s.P donc EjE G XjEE(jXjjG) =kXk 1 i.e. kE G k 1 kXk 1 (2.1) Donc E G : L 2( F;H) !L 1(

G;H) est un operateur lineaire borne. De plus, commeL 1( G;H) est complet et L 2( F;H) dense dans L 1(

F;H) (puisque E(F;H) dense dans L 1( F;H) et E(F;H) L 2( F;H) L 1(

F;H)), on peut prolonger continuementE G en e E G : L 1( F;H) !L 1( G;H)

On a alors les proprietes 1. 8X 2L 2( F;H); E G( X) =X, or L 2(

G;H) est dense dans L 1(

G;H), donc par continuite

de e E G, on a 8X 2L 1( G;H) e E G( X) =X 2. Par l'inegalite 2.1

3. Par continuite du prolongement et la proposition 2.2.2 points 1. et 2. 4. Par continuite du prolongement et la proposition 2.2.2 point 3.

#

Remarque 2.2.2

Par abus de langage, on notera toujours E

G pour e E G

Remarque 2.2.3

Pour 1 p 1, l'inclusionL

p( F;H) L 1( F;H) permet de denir E G sur L p( F;H). 22

Lemme 2.2.2

Pour X 2L p( F;H) avec 1p<1 on a jE G Xj p E(jXj p jG) a.s.P Preuve. 9E 2F P-negligeable tel que

8! 2E c h(E G X)(!);vi=E(hX ;vijG)(!) donc 8!2E c j(E G X)(!)j= sup jv j1 jh(E G X)(!);vij = sup jv j1 jE(hX ;vijG)(!)j

Or pour v2H tel que jvj1, grace a l'inegalite de Jensen dans le cas reel, on a jE(hX ;vijG)j p E(jhX ;vij p jG)E(jXj p :jvj p jG) = jvj p :E(jXj p jG)E(jXj p jG) a.s.P

i.e.9F 2F P-negligeable, tel que 8! 2F c jE(hX ;vijG)j p (!)E(jXj p jG)(!) Ainsi8! 2(E[F) c j(E G X)(!)j p E(jXj p jG)(!) or P(E[F) = 0 et doncj(E G X)j p E(jXj p jG) a.s.P #

Proposition 2.2.4

Pour X 2L p( F;H) o u 1p1 1. E G 2L p( G;H) 2. kE G Xk p kXk p

Preuve. Pour 1p<1, par le lemme precedent, on a EjE G Xj p EE G jXj p =EjXj p donc E G X 2L p( G;H) et kE G Xk p kXk p

Pour p=1, en utilisant le lemme precedent avec p= 1

esssupjE G XjesssupE(jXjjG)kjXjk 1 = kXk 1 et doncE G X 2L 1( G;H) #

Proposition 2.2.5

Pour fX n g n2N 2L p( F;H) et G F tribu Si X n L p ?!X alors E G X n L p ?!E G X 23

Preuve. Car kE G X n ?E G Xk p kX n ?Xk p !0 #

Theoreme 2.2.2

Pour fX n g n2N 2L p(

F;H) et G F tribu, on supp oseque 1. X n !X a.s.P 2. 9Y 2L 1( F;R); jX n j p Y a.s.P Alors E G X n !E G X a.s.P et L p Preuve. Par DCT, on a X 2L p( F;H). En appliquant le lemme 2.2.2 a (X n ?X), on a jE G X n ?E G Xj p E(jX n ?Xj p jG) a.s.P Or jX n ?Xj p !0 a.s.P et jX n ?Xj p 2 p( Y +jXj p )2L 1( F;R)

donc par le theoreme de la convergence dominee de l'esperance conditionnelle dans le cas reel (voir par exemple chap.34 [1]), on a que

E(jX n ?Xj p jG)!0 a.s.P donc E G X n !E G X a.s.P La convergence en L

p decoule de la proposition precedente et de DCT.

# 2.3 Independance SoientG 1 ;G 2  F deux tribus.

Proposition 2.3.1

G 1 etG 2

sont indep endantes ssi8X i 2L 2( G i; H) (i= 1;2), on a Eh X 1 ;X 2 i=hEX 1 ;EX 2 i 24

()) Soit X 1 := c 1 :1 G 1 ou c 1 2H et G 1 2G 1 On a EhX 1 ;X 2 i=Ehc 1 :1 G 1 ;X 2 i=E(1 G 1 :hc 1 ;X 2 i) or 1G 1 2L 2( G 1; R) et hc 1 ;X 2 i2L 2( G 2; R)

Puisque les variables aleatoires sont reelles, on a par independance

Eh X 1 ;X 2 i=E1 G1 : Eh c 1 ;X 2 i =P(G 1) : h c 1 ;EX 2 i=h c 1 :P(G 1) ;EX 2 i =hEX 1 ;EX 2 i

Par linearite, on a donc

8X 1 2E(G 1; H);8X 2 2L 2( G 2; H) EhX 1 ;X 2 i=h EX 1 ;EX 2 i OrE(G 1;

H) est dense dans L 2( G 1; H) donc 8X 1 2L 2( G 1; H); 9fX n 1 g n2N E(G 1; H) telle que kX n 1 ?X 1 k 2 ?! n!1 0 De plus, jEh X n 1 ;X 2 i?EhX 1 ;X 2 i j=jEhX n 1 ?X 1 ;X 2 i jEjhX n 1 ?X 1 ;X 2 i j et EjhX n 1 ?X 1 ;X 2 ijE(jX n 1 ?X 1 j:jX 2 j)kX n 1 ?X 1 k 2 kX 2 k 2 donc jEh X n 1 ;X 2 i?EhX 1 ;X 2 i jkX n 1 ?X 1 k 2 kX 2 k 2 De m^eme jhEX n 1 ;EX 2 i?h EX 1 ;EX 2 ij=jhE(X n 1 ?X 1) ;EX 2 ijEjX n 1 ?X 1 jjEX 2 j et EjX n 1 ?X 1 j:jEX 2 j=kX n 1 ?X 1 k 1 kX 2 k 1 kX n 1 ?X 1 k 2 kX 2 k 2 donc jhEX n 1 ;EX 2 i?hEX 1 ;EX 2 i jkX n 1 ?X 1 k 2 kX 2 k 2 CommekX n 1 ?X 1 k 2 ?! n!1 0 et EhX n 1 ;X 2 i=hEX n 1 ;EX 2 i on obtient EhX 1 ;X 2 i=hEX 1 ;EX 2 i (() Soient X i := u:1 G i ou G i 2G i ( i= 1;2) et u2H avecjuj= 1 alors EhX 1 ;X 2 i=E(1 G 1 :1 G 2) = E1 G 1 \G 2 = P(G 1 \G 2) et hEX 1 ;EX 2 i=hP(G 1) :u;P(G 2) :ui=P(G 1) :P(G 2) :juj 2 =P(G 1) :P(G 2) donc G 1 et G 2 sont independantes. # 25

Remarque 2.3.1

En posant formellement H ? := fX 2 L 2( F;H)jEX = 0g, on a que G 1 et G

2 sont independantes si et seulement si  L 2( G 1; H)\H ?  ?  L 2( G 2; H)\H ?  i.e. ssi 8X i 2L 2( G i; H) (i = 1;2) EX 1 = EX 2 = 0 ) EhX 1;X2 i= 0

Proposition 2.3.2

Pour X 1;::: ;Xn 2L 2(

F;H) 2-2 indep endantes,alors V n X i=1 Xi ! = n X i=1 V(X i) Preuve. Soit m i:= EX i, on a E P n i=1X i = P n i=1m i donc j n X i=1 Xi ? n X i=1 mi j 2 = h n X i=1 (Xi ?m i); n X j=1 (Xj ?m j) i = n X i;j=1 hX i ?m i;Xj ?m j i = n X i=1 jX i ?m i j 2 + 2X i<j hX i ?m i;Xj ?m j i (2.2) Or, pour i6=j, X i ?m i etXj ?m j sont independantes, donc EhX i ?m i;Xj ?m j i=hEX i ?m i; EX j ?m j i= 0 donc V n X i=1 Xi ! = n X i=1 V(X i) #

Proposition 2.3.3

G 1 etG 2

sont indep endantes ssi8X 2L 1( G 2; H) on a E G1X = EX:1 Preuve. ()) Pour X 2L 2( G 2; H), posons Y := X ?EX 2H ? on a E G2Y = E G2X ?EX = X?EX = Y i.e.Y 2(L 2( G 2; H)\H ?) Par consequent Y?  L 2( G 1; H)\H ?  i.e.E G 1Y = 0, donc E G 1X = EX PourX 2L 1( G 2;

H) le resultat est obtenu par densite de L 2( G 2; H) dans L 1( G 2; H) 26

(() Pour X 2L (G 1 ;H)\H , on aE G 1 X =0 donc  L 2 (G 1 ;H)\H ?  ?  L 2 (G 2 ;H)\H ?  donc G 1 et G 2

sont indep endantes.

# Corollaire 2.3.1 G 1 etG 2

sont indep endantes ssi8X 2L 1 (F;H) on a E G 1 E G 2 X =EX :1 Preuve. ()) Pour X 2L 1 (F;H), on a E G2 X 2L 2 (G 2 ;H) Par laprop osition precedente,on a donc

E G 1 E G 2 X =EE G 2 X =EX :1 (() Pour X 2L 2 (G 2 ;H), on a E G 1 X =E G 1 E G 2

X =EX, et donc l'indep endancedecoule dela prop osition precedente.

# Proposition 2.3.4 Pour X 2L 2 (G;H) et Y 2L 2 (F;H) on a E(h X ;YijG)=h X ;E G Yi a.s.P Preuve.  Soit X :=c:1 G avec c2H etG2G on a E(hX ;YijG)=E(1 G :hc;YijG) =1 G :E(h c;YijG)=1 G :hc;E G Yi =hX ;E G Yi a.s.P

 Par linearite,on a lapropriete 8X 2E(G;H). Or E(G;H) estdense dans L 2 (G;H), donc 9fX n g n2N 2E(G;H) telleque jX n jjXj et X n !X a.s.P avecde plus kX n ?Xk 2 !0 on en deduit h X n ;Yi!h X ;Yi a.s.P De plus, jhX n ;Yi jjX n jjYj jXjjYj2L 1 (F;R) 27

donc par le theoreme de la convergence dominee dans le cas reel (voir par exemple theoreme 34.2 [1]) on a E(h X n ;YijG)!E(h X ;YijG) a.s.P et comme jhX n ;E G Yi?h X ;E G Yi jjX n ?XjjE G Yj a.s.P on a jhX n ;E G Yi?h X ;E G Yij! 0 a.s.P Ainsi E(h X ;YijG) =h X ;E G Yi a.s.P #

Lemme 2.3.1

SoientH 2L 2( G;L 2( H;B)) etX 2L 2( F;H) alors E G HX =HE G X a.s.P Preuve. On a h i ;H(!)X(!)i B = hH ( !) i ;X(!)i= 1 X j=1 h i ;H(!)e j i B hX(!);e j i donc n X j=1 h i ;H(!)e j i B h X(!);e j i?! n!1 h  i ;H(!)X(!)i B De plus, on a E n X j=1 h  i ;He j i B hX ;e j i    G ! = n X j=1 h i ;He j i B h E G X ;e j i?! n!1 1 X j=1 h i ;He j i B h E G X ;e j i donc E(h  i ;HXi B jG) =h i ;HE G Xi B

et par la proposition precedente

E(h  i ;HXi B jG) =h i ;E G( HX)i B #

Theoreme 2.3.1

Pour H 2L 2( G 1; L 2( H;B)) etX 2L 2( G 2; H) o u G 1 etG 2

sontdes sous-tribus indep endantesde F,on a 1. HX 2L 2( F;B) 2. E G 1( HX) =H(E X) 28

1. On a dejaHX 2L 1( F;B) et EjHXj B 2 E( 2 2(H): jXj 2 ) Comme2 2(H) et jXj 2

sont independantes, puisque2

2(H) est mesurable G 1= B(R) et jXj 2 est mesurableG 2= B(R), on a aussi EjHXj B 2 E 2 2(H): EjXj 2 2. On a E G 1HX = H E G 1X et E G 1X = E G 1 E G 2X = EX #

2.4 Martingales Hilbertiennes

2.4.1 Martingales a temps discret

Soit (;F;IF;P) un base stochastique complete, i.e. (;F;P) est un espace probabilise complet

etIF = fFngn

2Nune ltration telle que F

0 contient toutes les parties

P-negligeables. On note

de plus F

1 := ( [n

2N

Fn) et on ecrira dans la suite Et pour E F

t ou

E(:jFt) suivant les cas.

Enn soitH un espace de Hilbert reel separable et feigi

2Nune base Hilbertienne.

Denition 2.4.1

On dit queX =fXngn

2Nest une martingale ssi

1. X est adaptee a IF i.e.8n; Xn2L 0(

Fn;H)

2. 8n; EjXnj<1

3. 8n; EnXn

+1 =Xn

Pour 1 < p <1, on dit que X est uneL

p-martingale si de plus

8n; Xn 2L p(

F;H)

Remarque 2.4.1

La condition 3. est clairement equivalente a 8n;p1; EnXn

+p =Xn

Proposition 2.4.1

Pour X uneL 2-martingale et p 1, on a EjXn +p j 2 ?EjXnj 2 = p?1 X i=0 EjXn +i+1 ?Xn +i j 2 Preuve. Posons
i :=Xi +1 ?Xi Pour im, on a Em
i =Em(Xi +1 ?Xi) =EmEi(Xi +1 ?Xi) = Em(Xi ?Xi) = 0 or Xn+p =Xn+ n+p?1 X i=n
i 29

donc jX n+p j 2 =jX n j 2 +n+p?1 X i=n j
i j 2 + 2 X 1i<jn+p?1 h
i ;
j i+ 2 n+p?1 X i=n hX n ;
i i On a pour i<j Eh
i ;
j i=EE i+1 h
i ;
j i=Eh
i ;E i+1
j i= 0 puisque i+ 1j et donc E i+1
j = 0

D'autre part, pour in Eh X n ;
i i=EE i h X n ;
i i=Eh X n ;E i
i i= 0 donc EjX n+p j 2 =EjX n j 2 +n+p?1 X i=n Ej
i j 2 #

Corollaire 2.4.1

 EjX n j 2 est croissante  SikXk 2 M 2 := sup n EjX n j 2 <1 alors EjX n j 2 "kXk 2 M 2

Preuve. Immediate par la proposition precedente. #

Lemme 2.4.1

Pour X une L 2-martingale et p1, on a EjX n+p ?X n j 2 =EjX n+p j 2 ?EjX n j 2 Preuve. EjX n+p ?X n j 2 =EjX n+p j 2 +EjX n j 2 ?2Eh X n+p ;X n i or EhX n+p ;X n i=EE n hX n+p ;X n i=EhE n X n+p ;X n i=EjX n j 2 #

Theoreme 2.4.1

Pour X une L

2-martingale telle que kXk 2 M 2 <1 alors 9X 1 2L 2( F 1; H) tel quekX n ?X 1 k 2 ?! n!1 0 et X 1 ferme X i.e.8n; X n = E n X 1 Preuve. On a  n := EjX n j 2 "kXk 2 M 2 <1 i.e.8>0; 9n

0 tels que pour

n n o et p1 on a j n+p ? n j

2 i.e. par le lemme

precedentkX n+p ?X n k 2 2  2 Par consequent, fX n g

n2Nest une suite de Cauchy dans L

2( F

1;

H) qui est complet, donc 9X 1 2L 2( F 1; H); kX n ?X 1 k 2 ?! n!1 0 30

Or,X n= E n X n+p et kX n+p ?X n k 2 ?! n!1 0 et par propriete de projecteur

kE n X n+p ?E n X 1 k 2 kX n ?X 1 k 2 on a donc E n X n+p = X n = E n X 1 a.s. P et commeF

1 contient toutes les parties

P-negligeables, on peut supprimer a.s.Pet donc E n X 1 = X n #

Lemme 2.4.2

Pour Y 2L 2( F;H), on a kE n Y ?E 1 Yk 2 ?! n!1 0 Preuve. Notons V n := L 2( F n; H) s.e.v. ferme de L 2( F;H) et V 1 := [ n V n. On pose alors  n:= E n et 

1 projection orthogonale sur le s.e.v. ferme V

1. Alors par un resultat classique

d'analyse fonctionnelle, on a 8Y 2L 2( F;H); k n Y ? 1 Yk 2 ?! n!1 0 De plus, 8n; V n L 2( F 1;

H) s.e.v. ferme, donc V 1:= [ n V n L 2( F 1; H) Soit A :=fA2F 1 j1 A 2V 1 g

A est clairement une tribu et 8A2F n ; 1 A 2 V n V 1 donc [ n F n A

et commeA est une tribu

F 1 = ([ n F n) A Par consequent, A=F 1, et donc E(F 1; H) V 1 est ferme. Or E(F 1;

H) est dense dans L 2( F 1; H), donc V 1 = L 2( F 1; H) et donc  1= E 1 On en deduit que kE n Y ?E 1 Yk 2 ?! n!1 0 #

Theoreme 2.4.2

Pour Y 2 L 2( F 1; H) X = fX n g n2Ndenie par X n := E n Y est une L 2-martingale bornee et kX n ?Yk 2 ?! n!1 0 Preuve. X n 2L 2( F n; H) i.e. X n 2L 0( F n; H) et EjX n j 2 <1 De plus, E n X n+1 = E n E n+1 Y =E n Y =X n 31

et kXnk 2 = kEnYk 2 kYk 2 < 1 donc fXngn 2Nest une L

2-martingale bornee, et par le theoreme precedent 9X 1 2L 2( F 1; H) tel que kXn?X 1 k 2 ?! n!1 0 De plus, par le lemme precedent

kEnY ?E 1Y k 2 ?! n!1 0 donc X1= E 1Y = Y #

2.4.2 Processus progressivement mesurables

Soient (;F;IF;P) un base stochastique complete, i.e. (;F;P) est un espace probabilise

complet et IF = fFtg

0t<1 une ltration veriant les hypotheses usuelles (continuite a droite

de la ltration etF

0 contient toutes les parties negligeables pour

P). On noteraF 1:= _t 2R + Ft

et on ecrira dans la suite Et pour E F

t ou

E(:jFt) suivant les cas. Enn soit H un espace de

Hilbert reel separable et feigi

2Nune base Hilbertienne. Denition 2.4.2

Soit X :R +

!H un processus stochastique

 On dit queX est adapte a IF ssi X est mesurableB(R +)

F=B(H) et8t; Xtest mesurable Ft=B(H)

 On dit que X est progressivement mesurable IF=B(H) (abrege X p.m. IF=B(H)) ssi 8t

on a 1[0;t]X mesurable

B([0;t])Ft=B(H)  On dit queX est continu a droite ssi

8(a;!)2R +

 on a lim

t#a

X(t;!) = X(a;!) a.s.P  On dit queX est continu a gauche ssi

8(a;!)2]0;1] on a lim

t"a

X(t;!) = X(a;!) a.s.P  On dit queX est continu ssi X est continu a gauche et a droite

Proposition 2.4.2 On denit Pm :=fAR + j1A p:m: IF=B(H)g on a alors  Pm sous-tribu deB(R +) F 32

 X est p.m.IF=B(H) ssiX 2L 0( Pm;H) Preuve.  A2Pm ssi 8t; 1 [0;t] :1A 2L 0( B([0;t]Ft;H) i.e.A2Pm ssi 8t; A\([0;t])2B([0;t])Ft

donc Pm est une tribu et Pm B(R +) F  Soit V 2B(H) etX :R + !H alors (1[0;t] X) ?1( V) =f(s;!)2[0;t]jX(s;!)2Vg = ([0;t])\X ?1( V) donc X p.m.IF=B(H) ssi X 2L 0( Pm;B(H)) #

Proposition 2.4.3

SiX est adapte a IF et continu a droite alors X est p.m.IF=B(H) Preuve. Soit X n₍ t;!) :=X( b2ntc+ 1 2n ;!) 8> 1 2 n, on a Xn p.m.IF  =B(H) ou IF  := fFt + gt 2R + et Pm  la tribu associee.

De plus, par continuite a droite de X,

on a 8(t;!)

Xnt(!)?!

n!1 Xt(!)

Par consequent, par la proposition 1.1.1, on aX 2L 0( Pm ; H) Ainsi8>0, on a X p.m. IF  =B(H).

OrIF est continue a droite, donc X p.m.IF=B(H) #

2.4.3 Martingales a temps continu

Denition 2.4.3

On dit alors queX :R +

!H est une martingale ssi

1. X est adapte aIF et continu a droite

2. 8t; Xt 2L 1(

F;H)

3. Pour 0s<t<1, on a Es(Xt) =Xs

On dit aussi queX est une L

p-martingale ou 1

<p<1 si de plus, 8t; Xt2L p(

F;H)

Remarque 2.4.2

On remarque qu'une martingale est un processus progressivement mesurable

IF=B(H)

Denition 2.4.4

On denit pour 1<p<1 M

p(

IF;H) :=fXjX L

p-martingale telle que kXk M p := sup 0t<1 kX t k p <1g

Lemme 2.4.3

M p(

IF;H) est un espace vectoriel norme

Preuve. Immediate en utilisant les denitions et l'inegalite de Minkowski #

Proposition 2.4.4

Soit X 2M p( IF;H) ou 1<p<1 alors 1. 8v2H; hX ;vi2M p( IF;R) 2. jXj p

est une sous-martingale reelle continue a droite et bornee

Preuve.

1. hX ?t;vimesurableF t

=B(R) et commeu7!h u;viest continu de H dans R, on a hX ;vi continue a droite  EjhX t ;vij p jvj p EjX t j p <1  Pour s t, on aE s h X t ;vi=h E s X t ;vi=h X s ;vi  sup t E s jhX t ;vij p jvj p :sup t EjX t j p <1 2. jX t j p mesurableF t =B(R) et jXj p continue a droite  EjX t j p <1  Pour s t, on ajX s j p =jE s X t j p  E s jX t j p  sup t E s jX t j p =kXk p M p <1 donc jXj p

est une sous-martingale reelle continue a droite et bornee.

#

Proposition 2.4.5 (Doob)

Pour 1<p<1,p etq conjugues, X uneL

p-martingale, t 2R +et  >0 on a P  sup 0st jX s j   1  p EjX t j p et Ej sup 0st jX s jj p q p EjX t j p 34

Preuve. CommejXj

p _{qui est une sous-martingale reelle continue a droite et bornee, on peut}

donc appliquer les inegalites classiques de Doob dans le cas reel, ce qui donne le resultat. Pour une demostration des resultats dans le cas reel, voir par exemple [15]. #

Theoreme 2.4.3

Soit fXngn

2Nune suite de L

p-martingales telle que

8t; fXntgn

2Nest une suite de Cauchy dans L

p(

Ft;H), alors il existe X une L

p-martingale telle que

8t; kXnt?Xtkp?! n!1 0 Preuve.  L p(

Ft;H) est complet donc 8t; 9Xt2L p( Ft;H) telle quekXnt?Xtkp?! n!1 0  Pour 0s < t <1, on a Es(Xnt) =Xns Or kXns?Xskp?! n!1 0 De plus, par continuite deEs: L

p( Ft;H) !L p( Fs;H) kEsXnt?EsXtkp kXnt?Xtkp?! n!1 0 donc kXs?EsXtkp kXns?Xskp+kEsXnt?EsXtkp?! n!1 0 Ainsi pour 0 s < t <1 on a EsXt=Xs a.s.P Or (;F;P) est complet etF

0 contient toutes les parties

P-negligeables, donc

Xs 2L p(

Fs;H) et EsXt =Xs  Il reste a montrer que X est continue a droite

{

Soit N 2N

Pour k < l, Xk ?Xl est uneL

p-martingale continue a droite, on a donc par

l'inegalite de Doob, 8m2N P( sup 0tN jXkt?Xltj 1 2m)2 pm EjXkN ?XlNj p _(2.3) or kXkN?XNkp?! k!1 0 donc fXkNgk

2Nadmet une sous-suite notee

fXNmgm 2N telle que EjXm +1 N ?XNmj p  1 2(p+1)m (2.4) 35

Par (2.3) et (2.4), on a X m P( sup 0tN jX m+1 t ?X m t j 1 2m) X m 1 2m <1

Donc par le lemme de Borel-Cantelli

P( sup 0tN jXm +1 t ?Xtmj 1 2m i.o.) = 0

donc 9EN 2F P-negligeable tel que8!2Enc; t7!Xtm(!) converge uniformement

sur [0;N] pour m!1vers t7!ZNt(!)

Comme t7!Xtm(!) continue a droite sur [0;N], par convergence uniforme

t 7!ZNt(!) est egalement continue a droite sur [0;N]

Ainsi 8t2[0;N] X_tm ?! m!1ZNt a.s.P or kX m t ?Xtkp?! m!1 0 donc ZNt =Xt a.s.P Il en resulte que ZN ₌fZNtgt

2[0;N] est une version continue a droite de fXtgt 2[0;N] sur EcN

{

Pour N1 < N2, fZ N1 t gt 2[0;N 1 ] et fZ N2 t gt 2[0;N 1

] sont deux versions continues a droite

de fXtgt 2[0;N1] sur EcN 1 \EcN 2, par consequent fZ N1 t gt 2[0;N 1 ] et fZ N2 t gt 2[0;N 1 ] sont indistingables. Posons E :=[ N EN E est P-negligeable. Denissons alors 8t; 8!2Ec Zt(!) := lim_N ZNt(!)

cette limite existe et est nie puisque

8t2[0;N]; 8!2E

c_{; Zt(!) = ZNt(!)}

Ainsi Z est une version continue a droite de X sur Ec_{, et en posant}

8t; 8!2E; Zt(!) := 0, on a une version continue a droite de X sur .

#

Remarque 2.4.3

Par la suite, on prendra systematiquement cette version.

Corollaire 2.4.2

SoitfXngn

2Nune suite de L

p-martingales continues telle que

8t; fXntgn

2Nest une suite de

Cau-chy dansL p(

Ft;H), alors il existeX uneL

p-martingale continue telle que

8t; kXnt?Xtkp?!

n!1

0 36

Preuve. La preuve est semblable a celle du theoreme precedent, en remplacant \continue a

droite" par \continue". #

Theoreme 2.4.4

Soit X ./ 2L 2( F 1; H), siX =fX t g 0t<1

estdenieparX t := E t X ./ ,alorsonaX 2M 2( IF;H) etkX t ?X ./ k 2 ?! t!1 0 Preuve.  PourX ./ := c:1 A ou c2H etA2F 1, on a X t = E t X ./ = c:E t(1A). X est clairement adapte aIF,8t; X

t mesurable F t =H et pour 0s<t <1, on a E s X t = X s. De plus, sup t EjX t j 2 = sup t EjE t X ./ j 2 EjX ./ j 2

Il reste a montrer que X est continue a droite.

Pourt n #t, on a\ n F tn = F t AinsiY n := E

tn1A est une martingale reelle inverse adaptee a fF

tn

g, donc par le

theoreme de convergence des martingales inverses (theoreme 35.7 [1]), on a E t n1 A ?! n!1 E t1A a.s. P donc E tn X ./ ?! n!1 E t X ./ a.s. P

et on a ainsi la continuite a droite de X.

Enn kX t ?X ./ k 2 2= c:EjE t1A ?1 A j 2 ?! t!1 0

 PourX 2E(F;H), on a le resultat par linearite.  Enn, pour X ./ 2L 2( F 1; H), par le lemme 1.2.3, on a 9fX n ./ g n2N 2E(F 1; H) telle que kX n ./ ?X ./ k 2 ?! n!1 0 Denissons X n par X n t := E t X n ./

Par ce qui precede,X n 2M 2( IF;H) etkX n t ?X n ./ k 2 ?! t!1 0 D'autre part 8t kX n t ?X t k 2 = kE t X n ./ ?E t X ./ k 2 kX n ./ ?X ./ k 2 ?! n!1 0 donc X est uneL

2-martingale De plus, 8>0; 9n 0 tel que nn 0 )kX n ./ ?X ./ k 2 < donc 8t n n 0 )kX n t ?X t k 2 kX n ./ ?X ./ k 2 < 37

D'autre part kX n t ?X n ./ k 2 ?! t!1 0 donc 9t 0 >0 tel que tt 0 )kX n t ?X n ./ k 2 < Ainsi pour nn 0 et tt 0 kX t ?X ./ k 2 kX t ?X n t k 2+ kX n t ?X n ./ k 2+ kX n ./ ?X ./ k 2 <3 d'ou le resultat. #

Theoreme 2.4.5

Pour X 2 M 2( IF;H), 9X 1 2 L 2( F 1; H) telle que kX t ?X 1 k 2 ?! t!1 0 et X 1 ferme X i.e. 8t; X t = E t X 1 Preuve.  PourfX n g n2N, on a une L

2-martingale telle que sup n2N EjX n j 2 <1, donc 9X 1 2L 2( F 1; H) telle que kX n ?X 1 k 2 ?! n!1 0 et 8n; E n X 1= X n

Pourt 2Ret n2N tels que t n E t X 1 = E t E n X 1= E t X n = X t

(les egalites sont normalement a.s.P, cependant F

0 contient toutes les parties P-negligeables)  8t kX t ?X 1 k 2 = kE t X (btc+1) ?X 1 k 2 kE t X (btc+1) ?E t X 1 k 2+ kE t X 1 ?X 1 k 2 or kE t X (btc+1) ?E t X 1 k 2 kX (btc+1) ?X 1 k 2 donc kX t ?X 1 k 2 kX (btc+1) ?X 1 k 2+ kE t X 1 ?X 1 k 2 De plus, kX (btc+1) ?X 1 k 2 ?! t!1 0 et par le theoreme precedent

kE t X 1 ?X 1 k 2 ?! t!1 0 Enn, on a EjX t j 2 =EjE t X 1 j 2 EjX 1 j 2 <1 donc kXk M 2 <1 # 38

Theoreme 2.4.6

(M 2(

IF;H);k:k M

2) est un espace de Hilbert isomorphe, isometrique a L 2( F 1; H) Preuve. Soit ':M 2( IF;H) !L 2( F 1; H) X 7!'(X) :=X 1

On a 'lineaire et bijective par les deux theoremes precedents.

De plus, sup t EjX t j 2 = sup t EjE t X 1 j 2 EjX 1 j 2 donc kXk M 2 kX 1 k 2 Et d'autre part, kX t ?X 1 k 2 ?! t!1 0 or kX 1 k 2 kX t k 2+ kX t ?X 1 k 2 donc 8>0 kX 1 k 2 sup t kX t k 2+  et donc kXk M 2 = kX 1 k 2 AinsiM 2(

IF;H) est un espace de Hilbert isomorphe, isometrique a L 2(

F 1;

H) #

Integration stochastique Hilbertienne

3.1 Mouvement Brownien Hilbertien

3.1.1 Triplet de Gelfand

Soient (H;h; i;j:j) et (V;(;);k:k) deux espaces de Hilbert reels avec injection canonique,

conti-nue V,!H et densite de Vdans H.

Donc

9C ; 8v2V; jvjC :kvk

On peut donc en identiantH etH 0

par le theoreme de representation de Riesz, plongerH dans V

0

. En eet, pour h 2H, on denit: T h :

v2V7!h h;vi forme lineaire continue sur H et donc

sur V, puisque jhh;vijjhj:jvjCjhj:kvk

Donc T h 2V 0 et hT h ;vi V 0 ;V= hh;vi 8h2H;v 2V

On a alors les proprietes pour T :H 3h7!T h 2V 0  kT h kCjhj 8h2H  T est injective

 T(H) est dense dans V 0

On peut donc plonger H ,! V 0

, et on a donc V,! H = H 0

,! V 0

avec injections canoniques denses et continues et de plus pour h2H; v2Von a hT

h ;vi V 0 ;V= h h;vi

3.1.2 Mouvement Brownien Hilbertien

Soit H

? un espace de Hilbert reel separable, de produit scalaire h; i H ? et de normej:j H ?. Soit N 2L 1( H

?) un operateur nucleaire sur H

?, on peut alors construire une mesure Gaussienne 

Nt sur B(H

?) (puisque comme prouve dans le theoreme de Pettis, dans le cas separable

les tribus cylindrique et Borelienne coincident). Cette mesure est centree en 0 et d'operateur de correlation tN sur H

? (pour une construction detaillee, voir par exemple [3]). Alors, par le

theoreme d'existence de Kolmogorov (chap.37 [1]), il existe (;F;P) espace probabilise complet etW :R + !H ? tels que  W 0 = 0 a.s. P

 W est a accroissements independants i.e. pour 0  t 0 < ::: < t n on a W t 0 ; W t 1 ? W t 0 ;:::; W t n ?W t n?1 independantes  Pourt 0;  >0, W t+ ?W t a pour distribution  N

On montre alors par la theorie de l'integration par rapport aux mesures Gaussiennes que

EjW t ?W s j 2 H ? = ( t?s):Tr(N) et que EjW t ?W s j 4 H ? = ( t?s) 2 ( 2 1( N) + 2 2 2( N)). Donc EjW t ?W s j  H ?  Cjt?sj 1+

avec ; > 0, et on a par le theoreme de continuite des

processus stochastiques de Kolmogorov ([3]), l'existence d'une version continue de W. De plus,

si IF est la ltration standard (i.e. veriant les hypotheses usuelles) associee a W, c'est a dire,

en posant F t:=

e (W

s

j0st), alors W est uneL

2-martingale par rapport a IF. Soit maintenant H + = V,! H = H 0 ,! V 0 = H

? un triplet de Gelfand ou l'on suppose

de plus que l'injection canonique J : H ,! H

? est un operateur de Hilbert-Schmidt, J 2 L 2( H;H ?). En prenant N := JId H J , on a N 2 L 1( H

?), et on peut alors construire le

mouvement Brownien standard W, dont l'operateur de correlation surH est alors Id H i.e.8f;g 2H E s( hf;W t ?W s ih g;W t ?W s i) =hf;gi(t?s)

(on utilise ici le fait que si f 2H et '2H

? alors h ';fi H ? =hf;'i). Donc pour fe i g 2Nbase Hilbertienne de ( H;h; i), on a E s jhe i ;W t ?W s ij 2 = (t?s) Donc, en notant W k : R + !R (t;!)7!h e k ;W t( !)i on a  W k 0 = 0 a.s. P  W

k est a accroissements independants  W

k est une martingale continue par rapport a IF  E s jW k t ?W k s j 2 =jt?sj

donc, par le theoreme de Levy ([7]), W

k est un mouvement Brownien reel standard. De plus,

comme E(W k t ?W l t) = 0 si k 6= l et que W k t et W l

t sont des variables Gaussiennes, la

non-correlation implique l'independance. On peut des lors verier que

W t= 1 X k =1 W k t e k 41

est denie dans H et converge dans H ? puisque EjW t ? n X k =1 W k t e k j 2 H ? ?! n!1 0 en eet Ej n+p X k =n W k t e k j 2 H ? = n+p X k =n tjJe k j 2 H ? ?! n!1 0 puisque J 2L 2( H;H ?)

Theoreme 3.1.1

Soients2R + etX ;Y 2L 2( F s; L 2( H;B)) on a alors p our st <1 1. X(W t ?W s) ;Y(W t ?W s) 2L 2( F t; H ?) 2. E s( X(W t ?W s)) = 0 3. E s jX(W t ?W s) j 2 B =  2 2( X):(t?s) 4. E s h X(W t ?W s) ;Y(W t ?W s) i B = hhX ;Yii :(t?s) Preuve. 1. Denissons U n= n X k =1 (W k t ?W k s) e k U n 2L 2( F t; H) et U n independante de F

s, donc par le theoreme 2.3.1 XU n 2L 2( F t; B). Montrons quefXU n g

n2Nest une suite de Cauchy de L 2( F t; B). En eet, EjXU n+p ?XU n j 2 B = EjX n+p X k =n+1 (W k t ?W k s) e k j 2 =E n+p X k ;l=n+1 h(W k t ?W k s) Xe k ;(W l t ?W l s) Xe l i B =EE s n+p X k ;l=n+1 (W k t ?W k s)( W l t ?W l s) h Xe k ;Xe l i B = n+p X k ;l=n+1 h Xe k ;Xe l i B E((W k t ?W k s)( W l t ?W l s)) puisque hXe k ;Xe l i B est mesurable F s =B(R) et (W k t ?W k s)( W l t ?W l s) independant de F

s. De plus, par independance des W k, E((W k t ?W k s)( W l t ?W l s)) = ( t?s) k l Ainsi, on a EjXU n+p ?XU n j 2 B = ( t?s)E 1 X k =1 jXe k j 2 B 42

or E 2 2( X) =E n+p X k =n+1 jXe k j 2 B <1 donc EjXU n+p ?XU n j 2 B ?! n!1 0 On a donc montre quefXU

n g

n2Nest une suite de Cauchy de L

2( F

t;

B) qui est complet,

on denit ainsi X(W t ?W s) comme la limite L 2( F t; B) de fXU n g n2N On a X(W t ?W s) 2L 2( F t; B) et EjX(W t ?W s) ? n X k =1 (W k t ?W k s) Xe k j 2 B ?! n!1 0 donc, en particulier n X k =1 (W k t ?W k s) Xe k P ?!X(W t ?W s) 2. On a E s XU n = XE s U n= X n X k =1 e k E s( W k t ?W k s) = 0 or EjE s X(W t ?W s) ?E s XU n j 2 B EjX(W t ?W s) ?XU n j 2 B ?! n!1 0 donc E s X(W t ?W s) = 0 3. On a jX(W t ?W s) j 2 B = hX(W t ?W s) ;X(W t ?W s) i B Posons  n := X n X k =1 (W k t ?W k s) e k donc j n j 2 B = h n X k =1 (W k t ?W k s) Xe k ; n X l=1 (W l t ?W l s) Xe l i B et donc E s j n j 2 B = n X k ;l=1 E s h(W k t ?W k s) Xe k ;(W l t ?W l s) Xe l i B = n X k ;l=1 E s( W k t ?W k s)( W l t ?W l s) hXe k ;Xe l i B = n X k ;l=1 hXe k ;Xe l i B E((W k t ?W k s)( W l t ?W l s)) 43

puisque hXe k ;Xe l i B est mesurable F s =B(R) et (W k t ?W k s)( W l t ?W l s) independant de F s OrE((W k t ?W k s)( W l t ?W l s)) = ( t?s) k l par independance de W k et W l par consequent E s j n j 2 B = ( t?s) n X k =1 jXe k j 2 B L 1 ?!(t?s): 2 2( X) D'autre part, j n j 2 B L 1 ?!jX(W t ?W s) j 2 B et par continuite de E s : L 1( F;R)!L 1( F s; R) on a E s j n j 2 B L 1 ?!E s jX(W t ?W s) j 2 B ainsi E s jX(W t ?W s) j 2 B = ( t?s): 2 2( X) 4. hX(W t ?W s) ;Y(W t ?W s) i B 2L 1( F t; R) De plus, soit  n := h n X k =1 (W k t ?W k t) :Xe k ; n X l=1 (W l t ?W l t) :Xe l i B on a  n L 1 ?!hX(W t ?W s) ;Y(W t ?W s) i B donc E s  n L 1 ?!E s h X(W t ?W s) ;Y(W t ?W s) i B D'autre part, E s  n = E s n X k ;l=1 (W k t ?W k t)( W l t ?W l t) hXe k ;Ye l i B = n X k ;l=1 hXe k ;Ye l i B( t?s) k l = (t?s) n X k =1 hXe k ;Ye k i B or n X k =1 hXe k ;Ye k i B L 1 ?!hhX ;Yii donc E s  n L 1 ?!hh X ;Yii(t?s) # 44

Denition 3.2.1

On denit R:=ff0gF 0 jF 0 2F 0 g[f]s;t]Fsj0s<t<1;Fs2Fsg

le semi-anneau des rectangles previsibles. On note de plus A l'anneau engendre par R et P :=(R) la tribu des evenements previsibles.

Preuve.  ;=f0g;2R  SiA;B 2R, alors A\B 2R  SiA;B 2R, etAB, alors BnA= `n i=1 Ri ou Ri 2R En eet, si ]b;c]Fb]a;d]Fa, alors ]b;c]]a;d] et donc BnA= (]a;b]Fa)q(]b;c](FbnFa))q(]c;d]Fa) or Fa2Fa, (FbnFa)2Fb car Fa Fc et doncFa2Fc #

Remarque 3.2.1

On a clairement que P Pm puisque RPm

Denition 3.2.2

On denit la mesure-nie sur P comme la restriction de la mesure-niePdenie sur B(R

+) F.

Remarque 3.2.2

Cette denition est consistente puisque P est une mesure sur le

semi-anneauR, elle admet donc par le theoreme de Caratheodory-Hopf (voir par exemplele theoreme

11.3 [1]) une extensionsur(R) =Pet par unicite de l'extension, puisquePest egalement

denie sur P, on a = (P)

jP et donc

 est-nie.

3.3 Integration Stochastique

3.3.1 Integrale de It^o

Denition 3.3.1

Eo :=fH :1RjH 2L 2( H;B);R 2Rg

Denition 3.3.2

Pour X 2Eo, 0a<b<1, Fa 2Fa, F 0 2F 0 on denit alors Z XdW := ( 1Fa H(Wb?Wa) si X =H :1 ]a;b]F a 0 si X =H :1 f0gF 0 45

Proposition 3.3.1

8X 2E o o u X = 1 F a :H(W b ?W a) on a 1. R XdW 2L 2( F b; B) 2. Ej R XdWj 2 B = R  2 2( X)d =E R  2 2( X t) dt Preuve. On a  1 Fa est mesurable F b =B(R) puisque F a F b, et H(W b ?W a) est mesurable F b =B(R), donc R XdW 2L 0( F b; B) et R XdW 2L 2( F b; B) par le theoreme 3.1.1  De plus, Ej Z XdWj 2 B = EE a(1F a :jH(W b ?W a) j 2 B) =E(1 F a :E a jH(W b ?W a) j 2 B) =E(1 Fa : 2 2( H):(b?a)) par le theoreme 3.1.1 = 2 2( H):(1 ]a;b]Fa) = Z  2 2( X)d =E Z  2 2( X t) dt par Fubini #

Remarque 3.3.1

Pour X 2E :=E(R;L 2( H;B)) on a X = n X i=1 H i :1 ]a i ;b i ]F a i + H 0 :1 f0F 0 g ou H i 2L 2( H;B); 0a i <b i <1 et F ai 2F ai

On peut de plus choisir les R i :=] a i ;b i] F a i 2-2 disjoints. En posant X 0 := H 0 :1 f0F 0 g et X i := H i :1 ]a i ;b i ]F a i, on a alors X = P n i=0 X i

Denition 3.3.3

Pour X 2E, on denit Z XdW := n X i=0 Z X i dW = n X i=1 1Fa i :H i( W b i ?W a i)

Remarque 3.3.2

On verie sans autre que cette denition par linearite est independante de la representation choisie pour X.

Proposition 3.3.2

Pour X 2E, en notant b:= maxfb i ji= 1:::ng, on a  R XdW 2L 2( F b; B) 46

 E R XdW = 0  Ej R XdWj 2 B = R  2 2( X)d Preuve.

 Immediat par la proposition precedente  On a que E Z X i dW =EE a i(1 Fa i :H i( W b i ?W a i)) =E(1 Fa i :E a i( H i( W b i ?W a i))) = 0 par le theoreme 3.1.1

 On suppose que les rectangles previsiblesR i =] a i ;b i] F ai sont 2-2 disjoints.

Montrons alors que lesR X i dW = 1 F a i :H i( W b i ?W a i) sont independants en eet h Z X i dW; Z X j dWi B = h1 Fa i :H i( W b i ?W a i) ;1 Fa j :H j( W b j ?W a j) i B = 1F a i \F a j :hH i( W b i ?W a i) ;H j( W b j ?W a j) i B OrR i \R j = ; pour i6=j donc { ou bien F ai \F aj = ; et donc h Z X i dW; Z X j dWi B = 0 donc Eh Z X i dW; Z X j dWi B = 0 d`ou R X i dW et R X j dW sont independants { ou bien ]a i ;b i] \]a j ;b j] = ; Supposons que bia j, alors E b i h Z X i dW; Z X j dWi B = h Z X i dW;E b i Z X j dWi B =h Z X i dW;E b i E a j(1 F a j :H j( W b j ?W a j)) i B =h Z X i dW;E b i(1 Fa j :E a j( H j( W b j ?W a j))) i B = 0 donc les R X i dW sont independants. 47

Par consequent, Ej Z XdWj 2 B = V Z XdW = n X i=1 V Z X i dW = n X i=1 Ej Z X i dWj 2 B = n X i=1 E( 2 2( H i) :(b i ?a i) :1 Fa i) = n X i=1  2 2( H i) :(R i) = Z  2 2( X)d =E Z  2 2( X t) dt par Fubini #

Theoreme 3.3.1

On a que I :E !L 2( F;H) X 7! Z XdW

est un operateur lineaire isometrique admettant un prolongement lineaire isometrique ~ I :L 2( P;L 2( H))!L 2( F;H) Preuve.

 I est clairement lineaire et 8X 2E kI(X)k 2 L 2 (F;B) = Ej Z XdWj 2 B = Z  2 2( X)d=kI(X)k L 2 (P;L 2 (H;B))  E =E(R;L 2(

H;B)) est dense dans L 2( P;L 2( H;B)) par le theoreme 1.2.4. De plus, L 2(

F;B) est un espace de Hilbert, donc complet, on peut donc prolonger

continuementI en un operateur lineaire isometrique ~I :L 2( P;L 2( H;B)) !L 2( F;B) #

Proposition 3.3.3

Pour X 2L 2( P;L 2( H;B)), on denit R XdW := ~I(X)

On a alors les proprietes suivantes

 R XdW 2L 2( F 1; B)  E R XdW = 0  Ej R XdWj 2 B = R  2 2( X)d

Preuve. Ces resultats ne sont qu'une reformulation de la proposition precedente. #

3.3.2 Transformee de It^o

Denition 3.3.4

On p ose 2:= fX 2L 0( P;L 2( H;B))j8t; 1 [0;t] X 2L 2( P;L 2( H;B))g

Remarque 3.3.3

En denissant (1[0;t] X)(s;!) := 1 [0;t]( s):X s( !), puisque 1[0;t]( s) = 1 f0g( s;!) + 1 ]0;t]( s;!), on a donc 1[0;t] 2L 0( P;R) et 1 [0;t] X 2L 0( P;L 2( H;B)).

Denition 3.3.5

Pour X 2 2 , on denit (X :W) t:= R 1[0;t] XdW

Remarque 3.3.4

1. Cette denition est consistente puisque 1[0;t] X 2L 2( P;L 2( H;B)). ~

I est isometrique, on a donc Ej Z 1[0;t] XdWj 2 B = Z  2 2(1 [0;t] X)d = Z [0;t]  2 2( X)d

De plus, par denition(f0g) = 0,

donc Z f0gF 0 XdW = 0 a.s.P (3.1) 2. PourX 2E 0, on a clairement 1[0;t] X 2E 0 et Z 1[0;t] XdW = 1 Fa :H(W b^t ?W a^t)

Lemme 3.3.1

Pour X 2E 0 , on a X
W 2M 2( IF;B) etX
W continue. Preuve. On a (X
W) t= 8 > > < > > : 0 0t a 1Fa :H(W t ?W a) atb 1Fa :H(W b ?W a) bt<1 donc  (X
W) t 2L 0( F t; B) et pour atb Ej(X
W) t j 2 B = Z  2 2( H :1 ]a;t]Fa) d = 2 2( H):(]a;t]F a) =  2 2( H):(t?a):P(F a) donc sup t2R + Ej(X
W) t j 2 B =  2 2( H):P(F a) :(b?a)<1 49

 pour a s tb E s(( X
W) t) ?(X
W) s= E s(( X
W) t ?(X
W) s) =E s(1F a :H(W t ?W s)) = 1F a :H(E s( W t ?W s)) = 0

 On a clairement pour! 2 quet 7!(X
W) t(

!) est continue, orX
W adapte a IF

donc X
W est p.m.IF=B(B). # Proposition 3.3.4 Pour X 2 2 on a queX
W 2M 2( IF;B) et continue.De plus, 8t; E(X
W) t = 0 Preuve. Pour n2N, on a 1[0;n] X 2L 2( P;L 2( H;B)), donc 9fX k g k 2N 2E telle que kX k ?1 [0;n] Xk L 2 (P;L 2 (H;B)) ?! n!1 0 donc 8t2[0;n] k1 [0;t] X k ?1 [0;t] Xk L 2 (P;L 2 (H;B)) ?! n!1 0 donc par isometrie

k(X k
W) t ?(X
W) t k L 2 (F;B) ?! n!1 0 OrX k
W est uneL

2-martingale continue, donc par le corollaire 2.4.3,

on a que f(X
W) t g 0tn est une L 2-martingale continue.

Orn etant arbitraire, on a donc que X
W est une L

2-martingale. Soient pour n 1 <n 2, fZ n 1 t g t2[0;n 1 ] et fZ n 2 t g t2[0;n 1

] deux versions continues de

f(X
W) t g t2[0;n 1 ] sur E c n 1 \E c n 2, par consequent fZ n1 t g t2[0;n1] et fZ n2 t g t2[0;n1] sont indistingables. Posons E := [ n E n E estP-negligeable. Denissons alors 8t; 8!2E c Z t( !) := lim n Z n t( !)

cette limite existe et est nie puisque 8t2[0;n]; 8!2E c ; Z t( !) =Z n t( !)

AinsiZ est une version continue de X
W sur E

c, et en posant

8t; 8! 2E; Z t(

!) := 0, on a

une version continue deX
W sur .

Enn, on a par la remarque precedente, (X
W) 0 = 0 a.s. P donc 8t E(X
W) t = E(X
W) 0 = 0 # 50

L 2( P;L 2( H;B)) !M 2( IF;B) X 7!X
W

est un homomorphisme isometrique de l'espace de Hilbert L 2(

P;L 2(

H;B)) muni du produit

scalaireR

hh X ;Yiid dans l'espace de HilbertM 2(

IF;B) muni du produit scalaire hM 1 1 ;M 2 1 i B. Preuve. La demonstration est une consequence des theoremes (2.4.6), (3.3.4) et (3.3.1). # Proposition 3.3.6 Pour X 2 2 et ;a;N >0 on a P( sup 0ta j(X
W)tj B >) N  2 + P( Z [0;a]  2 2( Xs)ds>N) Preuve. Soit TN := infftj Z [0;t]  2 2( Xs)ds >Ng On a Z [0;t]  2 2( Xs)ds= Z  2 2(1 [0;t] Xs)ds Or 1[0;t] X 2L 2( P;L 2( H;B)) L 2( Pm;L 2( H;B))

Par le theoreme de Fubini, R 

2 2(1

[0;t]

Xs)ds est donc mesurable Ft=B(R), il en resulte que TN

est un temps optionnel (voir 1.7 [2]). Par consequent, l'intervalle stochastique 1[0;T N ] est previsible (lemma 2.1 [2]) et X n _{:= 1} [0;T N ] X 2L 2( P;L 2( H;B)) On a donc XN
W 2M 2( IF;B) continue. D'autre part, P(j(X
W)tj B >)P(j(X N
W)tj B >) +P(XNt 6=Xt)

Or, par Doob

P( sup 0ta j(X N
W)tj B >) 1  2 Ej(X N
W)aj 2 B = 1  2 Z [0;a]  2 2( X)1 [0;T N ] d  N  2 D'autre part, fXt 6=XNtg =ft>TNgf!j Z [0;a]  2 2( Xs)ds>Ng donc pour 0ta P(j(X
W)tj B >) N  2 + P( Z [0;a]  2 2( Xs)ds>N) # 51

Denition 3.3.6

On denit  :=fX 2L 0( P;L 2( H;B))j8t; Z [0;t]  2 2( Xs)ds<1 a.s.Pg

Denition 3.3.7

Pour X 2, en prenant TN := infftj Z [0;t]  2 2( Xs)ds >Ng on a alors Xn:= 1 [0;Tn] X 2 2

Proposition 3.3.7

f(Xn
W)tgn

2N est alors une suite de Cauchy pour la convergence en probabilite. On denit

alors (X
W)t comme la limite en probabilite de cette suite.

Preuve. Pour p>0 on aXn +p ?Xn = 1 ]T n;Tn+p ] X 2 2et ] Tn;Tn +p] 2P par le lemma 2.1 [2]

De plus, par la proposition precedente,

P( sup 0ta j(Xn +p
W)t?(Xn
W)tj B >) N  2 + P( Z [0;a]  2 2( Xn +p s ?Xns)ds>N) Or P( Z [0;a]  2 2( X n+p s ?Xns)ds >N) 1 N Ej( Z [0;a]  2 2( Xs):1 ]T n;T n+p] ds)j?! n!1 0 puisque (]Tn;Tn +p]) ?! n!1 0 Donc, lim n!1 P( sup 0ta j(X n+p
W)t?(X n
W)tj B >) = 0 et donc (X n
W)t P !(X
W)t De plus pour (t;!)2ft<Tngon a (X
W)t = (Xn
W)t. #

Remarque 3.3.5

On montre alors que X
W est une L

2-martingale locale continue (il sut

de prendre la suitefTngn).

3.3.3 Formule de It^o

Soienta2L 1( Pm;H), b2L 2( P;L 2( H)) et pour 0 a <t <1 on xe Xa 2L 2( Fa;H) On a donc l'existence de Xt :=Xa+ Z t a asds+ Z t a bsdWs Soit f :R + H ?

!Xou Xespace de Hilbert.

On suppose que f admet des derivees de Frechet d'ordre 1 et 2 continues et bornees.

On rappelle que g : H ?

! Xadmet une derivee de Frechet en x 2 H ? ssi 9g 0 x 2 L(H;X) tel que g(x+h)?g(x) = g 0 x h+o(jhj) 8h2H; x2H ?

On suppose de plus que f admet une derivee continue et bornee par rapport at.

Pour Y t := f(t;X t) on a alors

Theoreme 3.3.2 (It^o)

Y t:= f(a;X a) + Z t a  f 0 s( s;X s) + f 0 x( s;X s) a s+ 12 Tr( b  s f \ xx( s;X s) b s)  ds+ Z t a f 0 x( s;X s) b s dW s

Remarque 3.3.6

Une preuve elegante de ce resultat dans le cas reel est donnee dans [8].

Remerciements

Je tiens a remercier tout particulierement le professeur S.D. Chatterji qui m'a soutenu dans cette entreprise qu'est le projet de dipl^ome, en eveillant en moi un vif inter^et pour les domaines des mathematiques ou l'analyse et les probabilites se rencontrent avec bon-heur. Je remercie egalement le professeur R. Dalang pour l'inter^et porte a mon travail. Et enn, un grand merci a tous ceux qui m'ont soutenu, mes parents et amis, et tout particulierement a ceux qui m'ont aide a ameliorer la presentation de ce document.

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