Etude avancée des canaux de transmission radio en contexte MIMO : environnements complexes et couplage inter-antennes très large bande

(1)

Acad´emie de Poitiers

Universit´

e de Poitiers

— Sciences Fondamentales et Appliqu´ees—

TH`

ESE

pour l’obtention du Grade de Docteur de l’Universit´e de Poitiers

(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées) (Diplôme National - Arrêté du 7 Août 2006)

´

Ecole Doctorale : Sciences Pour l’Ing´enieur et A´eronautique

Secteur de Recherche : Sciences et technologies de l’information et

de la communication

pr´esent´ee par

Pereira Carlos

´

Etude avanc´

ee des canaux de transmission

radio en contexte MIMO : environnements

complexes et couplage inter-antennes tr`

es

large bande

(Version provisoire)

Soutenue le 18 Decembre 2008 devant la Commission d’Examen compos´ee de :

M. Oestges Claude, Chercheur Qualifié FNRS, Université catholique de Louvain . . . Rapporteur M. Dauvignac Jean-Yves, Professeur, Université de Nice-Sophia Antipolis . . . Rapporteur Mme. Berbineau Marion, Directrice de recherche, Lille . . . Examinateur M. Uguen Bernard, Professeur, Université de Rennes 1 . . . Examinateur M. Monédière Thierry, Professeur, XLIM Limoges . . . Examinateur M. Vauzelle Rodolphe, Professeur, Université de Poitiers . . . Directeur de Thèse M. Le Pennec Fran¸cois, Maˆıtre de Conférences, TELECOM Bretagne, Brest . . . Co-encadrant de Thèse M. Pousset Yannis, Maˆıtre de Conférences, Université de Poitiers . . . Co-encadrant de Thèse

(2)

(3)

(4)

Remerciements

Ce travail de thèse a été mené en collaboration étroite entre deux laboratoires, le dé-partement SIC-XLIM de l’Université de Poitiers et le dédé-partement Micro-Ondes de Télécom Bretagne (Brest). Il a été dirigé par Pousset Yannis, Maˆıtre de Conférences à l’Université de Poitiers et Le Pennec Fran¸cois, Maˆıtre de Conférences à Télécom Bretagne (Brest) sous la responsabilité de Vauzelle Rodolphe, professeur à l’Université de Poitiers.

Je tiens tout d’abord à exprimer ma plus profonde reconnaissance à l’ensemble de mes encadrants pour leurs disponibilités, leurs conseils avisés et le soutien permanent dont ils ont fait preuve durant ces trois années de thèse. Leur qualité humaines m’ont permis de progresser dans mon travail dans un climat basé sur l’esprit d’équipe.

Cette thèse s’étant déroulée sur deux sites distants, j’insiste pour souligner les efforts menés afin de coordonner et porter à bien ce travail de thèse. Pour cela, j’aimerais, encore une fois, témoigner de tout mon respect et ma gratitude envers eux.

Je tiens également à remercier M. Résibois Michel et Gelin Philippe successivement direc-teur du département Micro-Ondes ainsi que Lienhardt Pascal et Fernandez-Maloigne Chris-tine tour à tour directeur du département SIC-XLIM pour m’avoir accueilli dans leur équipe respective.

Je suis également très reconnaissant à l’ensemble des membres du jury. Tout d’abord, je remercie M. Oesteges Claudes, chercheur à Université catholique de Louvain, et M. Dauvignac Jean-Yves, Professeur à l’Université de Nice-Sophia Antipolis, pour avoir bien voulu accepter la charge de rapporteur. Je veux aussi témoigner ma reconnaissance à Mme Berbineau Marion Directrice de recherche du LEOST de l’INRETS (Lille), M. Uguen Bernard, Professeur de l’Université de Rennes 1 ainsi que M. Monédière Thierry, Professeur et Directeur adjoint du Département OSA – XLIM de Limoges pour avoir accepté de faire partie de mon jury en tant qu’examinateurs.

J’exprime ma reconnaissance envers l’ensemble du personnel SIC-XLIM et Micro-Ondes pour l’accueil, l’aide et la sympathie qu’il m’ont apportés durant ces trois années. Plus par-ticulièrement, merci à M. Olivier Christian, M. Alata Olivier et M. Carre Philippe pour leur conseil en statistique, à M. Gallée Francois pour les conseils qu’il a pu m’apporter sur la conception d’antennes.

Remerciement spécial à Perrain Fran¸coise et Botorel Marie-Christine qui m’ont assisté dans toutes mes démarches administratives, à M. Pinel Serge pour m’avoir aidé à concevoir mes antennes et M. Della Bernard de Télécom Bretagne à qui je dois encore un certains nombre de ”mousses” pour tous les services qu’il a pu me rendre.

C’est avec une grande joie que je remercie également tous les doctorants que j’ai rencontré durant ces années de thèse à commencer par Chartois Yannick et HUANG Yuping qui m’ont assisté lors de mon stage de master recherche qui a finalement abouti à poursuivre sur ce sujet de thèse. Je n’oublie pas la joyeuse équipe de doctorant du département SIC-XLIM composée de Delahaye Ruddy, Lebrun Guillaume, Mourougaya Fran¸cois, Cocheril Yann et tous les autres avec qui j’ai partagé de précieux moments de détente. J’aimerais dédier un

(5)

IV Remerciements

paragraphe spécial à tous les doctorants, ingénieurs et stagiaires que j’ai rencontré durant mon séjour à Brest.

Vanter les mérites de chacune des personnes que j’ai côtoyée serait trop long, mais avec insistance, je tiens à remercier Christophe pour l’ensemble de ses conseils pratiques. Il m’a rappelé au combien la gastronomie était importante dans notre vie. Pour cela, merci beaucoup ! Galettes et crêpes Bretonne resterons mes mets favoris. De plus, Yenny, Nicolas, Arij et Amar, inoubliables et attendrissant, sont et resteront d’excellentes rencontres. Enfin, il me semblerai naturel de remercier Sylvain, Mercedes, Romain, Jérémy, Sébastien, Julien, Jérémie avec, incontestablement, Jean-Michel considéré comme plus fort que l’Undertaker de la WWE. Espérons qu’il puisse comprendre la signification de ce message.

Enfin, ma dernière pensé va à toute la fine équipe de la FIPLC (Fédération International de Pronostic de la Ligue des Champions), à Jodi ainsi qu’à tous ceux qui m’ont aidé et que je n’ai pas cités.

(6)

Table des mati`

eres

Introduction g´en´erale IX

I Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission 1

I-1 Introduction. . . 2

I-2 Les ondes ´electromagn´etiques . . . 2

I-2.1 Historique . . . 2

I-2.2 Les ´equations de Maxwell . . . 3

I-2.2.1 Equations de propagation des ondes´ . . . 5

I-2.3 Quelques propriétés des ondes électromagnétiques . . . 5

I-2.3.1 Les diff´erentes zones de rayonnement . . . 6

I-2.3.2 Front d’onde . . . 7

I-2.3.3 La polarisation . . . 7

I-2.4 La propagation des ondes dans l’environnement . . . 9

I-3 Méthodes de résolution des équations électromagnétiques . . . 10

I-3.1 Les m´ethodes rigoureuses . . . 11

I-3.1.1 Techniques temporelles . . . 11

I-3.1.2 Techniques fr´equentielles . . . 14

I-3.1.3 Bilan des m´ethodes rigoureuses. . . 17

I-3.2 Les m´ethodes asymptotiques . . . 17

I-3.2.1 L’optique g´eom´etrique. . . 18

I-3.2.2 la Th´eorie Uniforme de la Diffraction . . . 20

I-3.2.3 Recherche des trajets . . . 22

I-4 Le canal de transmission . . . 26

I-4.1 Le canal de propagation . . . 26

I-4.1.1 Généralités sur le phénomène de multi-trajets . . . 26

I-4.1.2 Caract´erisation du canal de propagation. . . 27

I-4.2 Les antennes . . . 33

I-4.2.1 Les caract´eristiques internes . . . 33

I-4.2.2 Les caract´eristiques externes . . . 35

I-5 Conclusion. . . 38

Bibliographie 41 II Impact de la mod´elisation d’environnement sur le canal de propagation 45 II-1 Introduction. . . 46

II-2 Pr´esentation du simulateur de canal radio´electrique. . . 46

II-3 Exemple de caract´erisation du canal de propagation . . . 48

II-3.1 Contexte de transmission . . . 50

II-3.2 Choix du nombre maximum d’interactions . . . 51 V

(7)

VI Table des mati`eres

II-3.3 Caract´erisation du canal SISO . . . 53

II-4 Impact de la mod´elisation d’environnement sur le canal MIMO . . . 57

II-4.1 Caract´erisation semi-deterministe. . . 58

II-4.2 Mod´elisation de l’environnement . . . 59

II-4.3 Configuration de transmission. . . 61

II-4.4 ´Etude en fonction de l’espacement entre antennes. . . 62

II-4.4.1 Cas LOS sans diversit´e de polarisation . . . 62

II-4.4.2 Cas LOS avec diversit´e de polarisation . . . 64

II-4.4.3 Cas NLOS sans diversit´e de polarisation. . . 66

II-4.5 Param`etres caract´eristiques MIMO en fonction du nombre d’antennes . 67 II-4.5.1 Cas LOS . . . 67

II-4.5.2 Cas NLOS . . . 68

II-5 Conclusion . . . 71

Bibliographie 73 III ´Etude du couplage entre antennes et influence sur le cana MIMO 75 III-1 Introduction. . . 76

III-2 Le ph´enom`ene de couplage entre antennes . . . 76

III-2.1 Mod`ele d’antenne. . . 77

III-2.1.1 Antenne dipˆole . . . 78

III-2.1.2 Antenne patch . . . 79

III-2.2 Situation de couplage . . . 82

III-2.2.1 Influence du couplage sur les param`etres internes. . . 83

III-2.2.2 Influence du couplage sur les param`etres externes . . . 85

III-3 Mod´elisation du couplage mutuel entre antennes . . . 87

III-3.1 Le coefficient de rayonnement isol´e . . . 89

III-3.2 Les coefficients de couplage . . . 90

III-3.3 Validation des param`etres de couplage . . . 92

III-3.4 Analyse des param`etres de couplages . . . 93

III-4 Caract´erisation du canal avec couplage entre antennes . . . 95

III-4.1 Contexte de simulations . . . 97

III-4.2 Analyse des r´esultats. . . 98

III-4.2.1 Cas LOS . . . 98

III-4.2.2 Cas NLOS . . . 102

III-5 Conclusion . . . 104

Bibliographie 105 IV Analyse du couplage entre antennes dans un contexte ultra large bande 107 IV-1 Introduction. . . 108

IV-2 Généralités des communications Ultra Large Bande . . . 108

IV-3 Nouvelle mod´elisation du couplage entre antennes. . . 111

IV-4 ´Etude du couplage entre antennes en fonction de la polarisation . . . 114

IV-4.1 D´epolarisation et transpolarisation . . . 114

IV-4.2 Antenne filaire `a polarisation ajustable. . . 115

(8)

Table des mati`eres VII

IV-4.4 Validation de la d´emarche adopt´ee . . . 123

IV-5 Application au couplage entre antennes ULB . . . 126

IV-5.1 Choix de l’antenne ULB . . . 126

IV-5.2 Antenne coplanaire ULB isol´ee . . . 127

IV-5.3 Comparaison simulations mesures . . . 131

IV-5.3.1 Comparaison simulations mesures en configuration isol´ee . . . 131

IV-5.3.2 Comparaison simulations/mesures en configuration coupl´ee . . 133

IV-5.4 Antennes coplanaires ULB coupl´ees . . . 134

IV-5.5 Coefficients de couplage ULB . . . 136

IV-6 Conclusion . . . 141

Bibliographie 145 Conclusion générale 147 Publications Personnelles 151 Listes des figures 158 Listes des tableaux 159 A Détermination des coefficients de couplage 161 A-1 Détermination du coefficient en rayonnement isolé . . . 162

A-2 D´etermination des param`etres de couplage. . . 164

B Optimisation du coefficient de couplage relatif (dipˆole et patch) 169 B-1 Antenne dipˆole . . . 170

B-2 Antenne patch . . . 171

C Optimisation du coefficient de couplage relatif (AFPA et ULB) 177 C-1 Antenne AFPA . . . 178

C-2 Antenne ULB . . . 181

C-2.1 Fr´equence r´esonnante : 3,6 GHz. . . 182

C-2.2 Fr´equence r´esonnante : 6,5 GHz. . . 183

(9)

(10)

Introduction g´

en´

erale

De nos jours, nous assistons à une véritable accélération technologique dans le domaine des télécommunications numériques. L’apparition de la TNT1_{, le déploiement de l’UMTS}2

ou bien encore l’adoption massive du WiFi3 sont autant d’exemples qui s’inscrivent dans une tendance claire où l’accès aux contenus multimédia et aux services liés à internet en toutes circonstances est devenu l’un des objectifs principaux des futurs normes de transmissions tels que le WHDMI4 pour l’échange à courte portée de contenu Haute Définition où le DVB-H (Digital Video Broadcasting Handhelds) pour la ”TNT mobile” ou encore le WIMAX5 offrant une connectivité accrue.

Afin de garantir un débit suffisant pour répondre aux exigences de tels applications, les acteurs du domaine des télécommunications con¸coivent et développent sans cesse des tech-nologies innovantes et efficaces. Ainsi, nous retiendrons la technologie MIMO6 _{qui emploie}

plusieurs antennes à l’émission et à la réception. Il s’agit de l’une des solutions les plus prometteuse permettant de satisfaire les besoins toujours croissant en terme de débit et de qualité de service. Par ailleurs, nous noterons également l’émergence de la technologie ULB7

qui transmet l’information par l’intermédiaire d’impulsions très courtes. Elle offre des débits très élevés mais présentent une faible porté.

Quel que soit le système de communication sans fil envisagé, l’information est dirigée par les antennes et transmise aux travers du canal de propagation qui impose des contraintes fortes associées au phénomène de multi-trajets. Pour prédire les performances des systèmes communicants, la connaissance des propriétés du canal de propagation et des antennes est primordiale. Grâce aux efforts menés depuis les années 60, l’approche simulation est devenue un moyen efficace pour caractériser, de manière déterministe, les antennes et le canal de pro-pagation. Pour ce dernier cas, la description de l’environnement est essentielle pour la qualité de la modélisation du phénomène de multi-trajets dont tire partie les systèmes de transmission MIMO. Par ailleurs, l’utilisation de plusieurs antennes à l’émission et à la réception entraˆıne un phénomène de couplage mutuel qui modifie en apparence les caractéristiques des antennes. L’étude de l’influence de la description de l’environnement sur les paramètres caractéris-tiques MIMO et l’analyse du couplage entre antennes sont les deux thémacaractéris-tiques qui compose ce travail de thèse qui s’inscrit dans la continuité des travaux menés par Chartois Yannick et Huang Yuping et ont fait l’objet de d’une collaboration entre l’équipe SYSCOM8 _du

dépar-tement SIC-XLIM (UMR CNRS 6172) de l’Université de Poitiers et le dépardépar-tement

Micro-1_T´_el´_{evision Num´}_{erique Terrestre}

2_{Universal Mobile Telecommunications System} 3_{Wireless Fidelity}

4_{Wireless High Definition Multimedia Interface} 5_{Worldwide Interoperability for Microwave Access} 6_{Multiple Input Multiple Output}

7_{Ultra large Bande}

(11)

X Introduction g´en´erale

Ondes de Telecom Bretagne à Brest (composante du pôle Micro-Ondes et matériaux (MOM) du laboratoire Lab-STICC UMR CNRS 3192).

Quatre chapitres composent ce mémoire de thèse. Le premier introduit, dans un premier temps, les méthodes de résolutions des équations électromagnétiques qui sont à la base des outils de simulation utilisés tout au long de ce travail de thèse. Ils permettent notamment d’accéder à la caractérisation du canal de propagation et des antennes. Les paramètres carac-téristiques les plus utiles à ce travail de thèse sont présentés dans un second temps dans ce chapitre.

La modélisation du canal fait l’objet d’une attention toute particulière dans le second chapitre. L’outil de simulation propre au département SIC-XLIM est d’abord présenté et son potentiel est illustré au travers d’une étude du canal SISO dans un contexte d’environnement extérieur suburbain et géométriquement simple. La seconde partie est consacrée à la modé-lisation géométrique d’environnement intérieur et dans une moindre mesure à la description électrique des matériaux. L’objectif est de connaˆıtre la sensibilité des paramètres caracté-ristiques du canal MIMO à la description de l’environnement pour apprécier le niveau de modélisation à adopter pour acquérir des résultats à la fois précis et rapide à simuler.

Le troisième chapitre s’inscrit dans une double démarche. Il rappelle en premier lieu, la modélisation du couplage entre antennes proposée dans le travail de thèse de Yuping Huang illustrée à partir des antennes dipôles de référence. Dans le but d’introduire certaines limi-tations de cette approche, nous appliquons la méthode d’analyse à un cas d’antennes patch carrés pouvant potentiellement présenter une variation de leurs propriétés de polarisation. À partir des coefficients de couplage obtenue pour le dipôle, nous procédons à la caractérisation du canal MIMO avec et sans prise en compte du couplage entre antennes. Dans cette seconde partie du chapitre, nous observerons l’effet du couplage sur les paramètres caractéristiques tels que la réponse impulsionnelle complexe des sous-canaux, les corrélations entre les diffé-rents liens radios et la capacité du canal MIMO. Nous étudierons notamment comment le couplage impact ces différentes caractéristiques en fonction de la distance de séparation entre les antennes.

L’étude de la variabilité du couplage entre antennes avec la fréquence est entreprise dans le quatrième et dernier chapitre, dans le contexte des systèmes très large bande. Pour l’abor-der, nous construisons d’abord un motif canonique filaire paramétrable qui permet de mettre simplement en évidence certaines limites fondamentales de l’approche précédente. Nous pro-posons alors un enrichissement du modèle, légèrement plus complexe, pour prendre en compte la discrimination des polarisations qui devient utile dans ce cadre. Nous appliquons ensuite cette nouvelle modélisation à une antenne répondant aux contraintes du standard ULB, issue d’une sélection à partir de la littérature afin d’en extraire les paramètres de couplage et d’en étudier l’évolution fréquentielle.

Enfin, la conclusion générale récapitulera les résultats obtenues pour permettre d’intro-duire les perspectives de ce travail.

(12)

Chapitre I

Mod´

elisation et caract´

erisation du

canal de transmission

Contents

I-1 Introduction . . . 2

I-2 Les ondes ´electromagn´etiques . . . 2

I-2.1 Historique . . . 2

I-2.2 Les ´equations de Maxwell . . . 3

I-2.3 Quelques propriétés des ondes électromagnétiques . . . 5

I-2.4 La propagation des ondes dans l’environnement . . . 9

I-3 Méthodes de résolution des équations électromagnétiques . . . 10

I-3.1 Les m´ethodes rigoureuses . . . 11

I-3.2 Les m´ethodes asymptotiques . . . 17

I-4 Le canal de transmission . . . 26

I-4.1 Le canal de propagation . . . 26

I-4.2 Les antennes . . . 33

(13)

2 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission

I-1

Introduction

En l’absence de liens filaires, le canal de transmission est le média qui forme la connexion entre les dispositifs émetteurs et récepteurs, il est donc l’élément incontournable des systèmes de communication sans fil. Il permet la circulation de l’information grâce aux ondes élec-tromagnétiques qui se propagent dans l’environnement et qui sont émises ou captées par les antennes.

Dans la grande majorité des cas, l’environnement est composé d’obstacles qui génèrent des perturbations lors de la transmission de l’information. Pour lutter contre ces effets po-tentiellement néfastes, les propriétés du canal de propagation (i.e. ne prenant en compte que les effets de l’environnement sur les ondes électromagnétiques) doivent être connues avec précision.

De plus, les antennes sont les dispositifs qui répartissent spatialement les ondes électro-magnétiques à l’émission et qui les sélectionnent à la réception. Leur rôle est donc essentiel et nécessite également une connaissance fine des propriétés des antennes.

Pour parvenir à la prédiction des paramètres caractéristiques du canal de propagation et des antennes, la compréhension des phénomènes liés aux lois de l’électromagnétisme est fondamentales. Grâce à elle, il devient possible de modéliser la propagation des ondes ra-dioélectriques dans l’environnement ainsi que le rayonnement des antennes aux travers de différentes méthodes de calcul numérique.

L’objectif de ce chapitre consiste, tout d’abord, a présenter succinctement les fondements de l’électromagnétisme permettant d’introduire les différentes méthodes de résolution des équations électromagnétiques. Bien que ces techniques soient nombreuses, il n’en existe pas une qui soit universelle et qui allie précision des résultats et rapidité d’exécution. Nous nous attacherons alors à décrire les méthodes dites rigoureuses, bien adaptées à la simulation de dispositifs antennaires et les méthodes asymptotiques appropriées à la simulation du canal de propagation. Les résultats produits par ces méthodes de simulation fournissent des in-formations précieuses conduisant à une caractérisation complète des antennes et du canal de propagation. Les paramètres caractéristiques utiles à nos études seront présentés dans la dernière partie de ce chapitre.

I-2

Les ondes ´

electromagn´

etiques

Les ondes électromagnétiques sont fondamentales pour la transmission de l’information. Dans cette partie, nous nous attachons à présenter les lois régissant leurs comportements.

I-2.1 Historique

De tout temps, les phénomènes électromagnétiques ont fasciné les hommes. Ils ont tout d’abord été considérés comme une curiosité de la nature, puis ont vite soulevé l’intérêt de la communauté scientifique. La première difficulté fut celle de la compréhension des méca-nismes qui gouvernent les interactions entre la matière et les champs électromagnétiques. La connaissance dans ce domaine évolua lentement. Puis, à partir du XV IIIème siècle, cette science connut un essor considérable grâce à un certain nombre de travaux expérimentaux et théoriques.

James Clerk Maxwell fut l’un des contributeurs majeurs dans les progr`es qui ont abouti `

(14)

I-2. Les ondes ´electromagn´etiques 3

synthèse regroupant plusieurs expérimentations sur l’électromagnétisme afin d’en établir les lois fondamentales. C’est en 1865 qu’il publia, sous forme d’intégrale, ses fameuses équations régissant les lois de l’électromagnétisme [Max65]. Cette synthèse a été rendue possible grâce `

a l’intégration d’un chaˆınon qui manquait à ses prédécesseurs : les courants de déplacement. Ils permettent d’exprimer l’interaction mutuelle entre la variation du champ magnétique et le courant traversant un fil. Leur expression assure la cohérence des équations de Maxwell.

`

A leur tour, les travaux de Maxwell ont provoqué l’engouement de grands scientifiques tels que Lorentz et Hertz. Ce dernier vérifia expérimentalement les théories de Maxwell et fut le premier à générer et mettre en oeuvre la propagation d’ondes électromagnétiques en 1887. Il fut également celui qui écrivit les équations de Maxwell sous forme vectorielle. Quant à Lorentz, il améliora les théories de Maxwell en écrivant l’équation de la force électromagnétique qui porte son nom. Elle permet de décrire la déviation des particules en mouvement chargées électriquement et soumises au champ électromagnétique.

Toutes ces avancées théoriques ont permis de mettre en place en 1901 la première com-munication sans fil par télégraphie. La liaison reliait Terre-Neuve (Canada) et Cornouailles (Angleterre) et a été réalisée par Guglielmo Marconi qui transmis un message en code Morse. Cette expérience est importante car, dès lors l’information pouvait être transmise sans être guidée.

Dans un premier temps, les liaisons radioélectriques ont permis d’améliorer les systèmes existant comme la télégraphie ou la téléphonie dont la première conversation par lien radio fut expérimentée en 1906. Puis rapidement, de nouvelles applications firent leurs apparitions comme la ”radio” qui débuta la diffusion de programmes en 1920 en Angleterre (Marconi company) ou, dans un autre registre, les radars qui furent utilisés pour la première fois au cours de la seconde guerre mondiale.

Dans le domaine spatial, c’est en 1957 que le projet Russe ”Spoutnik” a permis d’expé-rimenter les premières télécommunications spatiales. À leur tour, les États-Unis d’Amérique lancèrent leur premier satellite portant le nom de ”Telstar” en 1962 en répondre `a l’URSS.

S’en suivirent de nouvelles étapes qui marquèrent leur temps et aboutirent aux communi-cations modernes. Toutes ces innovations sont le fruit des progrès de la recherche fondamentale et appliquée qui couvre des domaines aussi divers que : le canal de propagation, les antennes, l’électronique, le traitement de signal, les réseaux, etc...

Pour plus de précision sur les grandes étapes qui ont marqué l’histoire de l’électroma-gnétisme et des télécommunications, le lecteur intéressé pourra retrouver un complément historique dans [Sch86] [Gri91].

I-2.2 Les ´equations de Maxwell

Ces équations sont à la base de tout problème électromagnétique, elles aboutissent au calcul de la valeur des champs en tout point de l’espace ~r et à tout instant t. En toute rigueur, elles peuvent s’exprimer sous forme différentielle ou intégrale :

(15)

4 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission ~ rot( ~_{E(~r, t)) = −}∂ ~B(~r, t) ∂t ⇐⇒ ˛ C ~ E(~r, t) dl = −_∂t∂ ¨ S ~ B(~r, t) ds (I.1) ~ rot( ~H(~r, t)) = ∂ ~D(~r, t) ∂t + ~J(~r, t) ⇐⇒ ˛ C ~ H(~r, t) dl = ¨ S ∂ ∂tD(~r, t) + ~~ J(~r, t) ds (I.2) ~ div( ~_{D(~r, t)) = ρ(~r, t) ⇐⇒} ‹ S ~ D(~r, t) ds = ˚ V ρ(~r, t) dv (I.3) ~ div( ~_{B(~r, t)) = 0 ⇐⇒} ‹ S ~ B(~r, t) ds = 0 (I.4)

o`u ~rot(.) et ~div(.) sont des op´erateurs vectoriels exprimant respectivement la rotation et la divergence d’un champ de vecteur.

Parmi toutes les grandeurs présentes dans les équations de Maxwell, on reconnaˆıtra : – ~E(~r, t), le champ électrique (V/m) ;

– ~H(~r, t), le champ magn´etique (A/m) ; – ~D(~r, t), l’induction ´electrique (A s/m2) ;

– ~B(~r, t), l’induction magn´etique (V s/m2 _{ou T) ;}

– ~J(~r, t), la densité surfacique de courant électrique (A/m2) ; – ρ(~r, t), la densité volumique de charge (A s/m3).

Sous forme d’intégrales, les équations de Maxwell sont plus simples à interpréter : – La première équation (I.1) est la loi de Maxwell-Faraday, elle montre que la valeur du champ électrique dans la surface à l’intérieur du contour C fermé est proportionnelle à la variation temporelle de l’induction magnétique ;

– La relation (I.2) est dérivée du théorème d’Ampère ; elle intègre les courants de dépla-cement et indique que le champ magnétique dans un contour fermé est lié, d’une part, au courant de déplacement, et d’autre part, à la variation du déplacement électrique ;

– L’équation (I.3) est la loi de Maxwell-Gauss et relie le déplacement électrique à la densité de charge volumique ;

– L’équation (I.4), appelée équation de Maxwell-Thomson, est l’expression de la conser-vation du flux magnétique.

Ces quatre équations ne suffisent pas à la résolution du système tout entier, il est donc nécessaire d’introduire de nouvelles relations :

~ D(~r, t) = ε0εr(~r) ~E(~r, t) (I.5) ~ B(~r, t) = µ0µr(~r) ~H(~r, t) (I.6) ~ J(~r, t) = σ ~E(~r, t) (I.7)

Elles relient les différentes grandeurs des équations de Maxwell aux milieux dans lesquels se propagent les ondes électromagnétiques. Les propriétés électriques des matériaux sont d’abord décrites par la permittivité diélectrique relative εr et la perméabilité magnétique relative µr. Ces grandeurs expriment le rapport entre les permittivité et perméabilité du milieu (ε en F/m et µ en H/m) et celles du vide décrites par ε0 = _36π101 9 F/m et µ0 = 4π10−7 H/m tel que εr = _εε₀ et µr = _µµ₀. Dans le cas des milieux isotropes, linéaires, homogènes et avec perte, la description des matériaux est complétée par leur conductivité électrique σ en S/m. Dans ces conditions, εr et µr sont complexes, les parties imaginaires traduisent respectivement les

(16)

pertes diélectriques et magnétiques du milieu considéré. Par ailleurs, nous pouvons exprimer en régime harmonique le facteur de dissipation dans un milieu diélectrique, autrement appelé tangente d’angle de pertes qui entre pleinement dans la caractérisation des matériaux :

tan δ = ℑ(ε)ε0ω + σ ℜ(ε)ε0ω

(I.8) o`_{u ℜ(.) et ℑ(.) désignent respectivement la partie réelle et imaginaire d’un nombre} com-plexe, ω est la pulsation en rd/s. Le paramètre tan δ fournit des informations précieuses quant au milieu de propagation. Une valeur proche de 1 signifiera que le milieu est dissipatif. À l’in-verse, une très faible valeur indiquera que le milieu est un diélectrique à faibles pertes. À titre d’exemple, le tableau I.1indique quelques valeurs caractéristiques de matériaux diélectrique couramment utilisés.

Mat´eriaux εr tan δ Alumine 9,4 6e−3 Duro¨ıd 2,2 9e−4 T´eflon 2,1 1e−3

Tableau I.1 – Exemple de valeurs de permittivit´e et de tangente de perte pour des di´electriques

I-2.2.1 Equations de propagation des ondes´

En combinant correctement les équations (I.1) et (I.2), nous obtenons l’équation vectorielle de propagation des ondes autrement nommée équation d’Helmholtz :

~

∇2U + k~ 2U = 0~ (I.9)

o`u :

– ~U désigne indifféremment le vecteur ~E(~r, t) ou ~H(~r, t) ; – ~_{∇ =} _∂x∂ +_∂y∂ +_∂z∂ est l’opérateur nabla ;

– k = 2π_λ est le nombre d’onde en rd/m ;

– λ = v_f est la longueur d’onde en m, f la fr´equence en Hz et v est la vitesse de propagation dans le milieu en m/s.

Rappel :

Dans le vide, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est appelée célérité et est égale à c = √_ε1

0µ0 = 3.10

8 _{m/s. Dans l’air, la vitesse de propagation} est considérée comme approximativement égale à la célérité.

Comme nous le verrons plus tard, cette équation est à la base de méthode de calcul pour le traitement de problèmes électromagnétiques.

I-2.3 Quelques propriétés des ondes électromagnétiques

Nous rappelons dans cette partie quelques propriétés associées à la propagation des ondes électromagnétiques en espace libre. Il s’agit ici de fournir des notions de bases facilitant la compréhension du document.

(17)

I-2.3.1 Les diff´erentes zones de rayonnement

En régime harmonique et dans un milieu homogène isotrope, l’intensité des champs électro-magnétiques varie en fonction de la distance ~r par rapport à l’antenne. La figureI.1 illustre ces zones en fonction de la longueur d’onde λ et de la plus grande longueur de l’élément rayonnant lr en m.

Distance de la source émettrice

Amplitude des champs électromagnétiques

1/r Zone de Fraunhoffer Zone de

rayleigh

Champs proches Champs lointains

l_r2_/2λ _2l r 2 /λ Zone de Fresnel

Figure I.1 – Zones de propagation Nous distinguons trois zones diff´erentes :

– la zone de Rayleigh : l’amplitude des champs électromagnétiques oscille avec une enveloppe constante. Cette zone s’étend sur une distance de l2r

2λ de la source.

– la zone de Fresnel : l’oscillation peut varier fortement. Cette zone s’´etend jusqu’`a 2l2r

λ . – la zone de Fraunhoffer : l’amplitude des champs électromagnétiques décroˆıt en 1/~r. Les zones de Rayleigh et de Fresnel forment la zone de champ proche tandis que la zone de Fraunhoffer est la zone de champ lointain. Dans cette dernière, le champ électrique, le champ magnétique et la direction de propagation forment un trièdre direct (cf. figureI.2). De plus, l’intensité du champ électrique est reliée à celle du champ magnétique par l’impédance du milieu, la détermination d’une composante conduit alors à la connaissance de la seconde. Ainsi, par convention, les calculs électromagnétiques portent uniquement sur le champ électrique.

(18)

I-2.3.2 Front d’onde

Le front d’onde est défini comme un ensemble d’ondes observées sur un plan finie placée à une distance ~r d’une source électromagnétique. Afin d’illustrer cette définition, nous considé-rons une source ponctuelle isotrope ”s” (cf. figure I.3). Par conséquent, son rayonnement est caractérisé par une sphère.

Figure I.3 – Front d’onde

Pour une valeur ~r, le front d’onde est dit sphérique : les ondes récoltées ne parviennent pas au même instant sur la surface d’observation et présentent donc un déphasage entre elles.

`

A l’inverse, lorsque la valeur de ~r est élevée (généralement supérieure à 10λ), la surface de la sphère rayonnante est telle que le front d’onde est assimilable à une surface localement plane, les ondes récoltées sont alors équiphases.

I-2.3.3 La polarisation

Les ondes électromagnétiques sont polarisées contrairement aux ondes mécaniques ou acoustiques. Cela signifie que les champs électriques et magnétiques sont orientés. Ils sont de fait naturellement représentés par des vecteurs. La projection de l’extrémité du vecteur champ ~U (~r, t) (représentant indifféremment ~E(~r, t) ou ~H(~r, t)) sur le plan normal à la direc-tion de propagadirec-tion, décrit une forme géométrique particulière. Cette forme est foncdirec-tion des vecteurs orthogonaux ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) projetés qui composent ~}_{U (~r, t) dans un repère} sphé-rique. En champ lointain et en fonction de l’amplitude et de la phase de ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t),} trois cas de figures peuvent apparaˆıtre :

– lorsque les vecteurs ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) sont déphasés d’une valeur quelconque,} l’extré-mité du champ ~U (~r, t) décrit une ellipse (cf. figure I.4). La polarisation est dite elliptique ; – lorsque les vecteurs ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) sont en phase, alors l’extrémité du champ ~}_{U (~r, t)} reste orienté sur le même plan. On parle alors de polarisation rectiligne (cf. figure I.5). L’amplitude des vecteurs ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) détermine l’inclinaison du plan ;}

– lorsque les vecteurs ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) sont en quadrature de phase et identiques en} amplitude, alors l’extrémité du champ ~U (~r, t) entre en rotation constante et décrit un cercle parfait (cf. figure I.6). La polarisation est alors circulaire.

(19)

(a) Propagation du champ électrique : la courbe noire représente le champ en polarisation elliptique, les courbes rouge et bleue désignent

les projections des composantes θ et φ

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Uθ Uφ U (b) Projection du vecteur champ

Figure I.4 – Polarisation elliptique : ici, les amplitudes de ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) sont ´egales et sont}

déphasés de 45circ_{. L’inclinaison de l’ellipse est ici égale `}_{a 45}_◦

(a) Propagation du champ électrique : la courbe noire représente le champ en polarisation rectiligne, les courbes rouge et bleue désignent

Figure I.5 – Polarisation rectiligne : ici, les amplitudes de ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) sont ´egales, l’inclinaison}

du plan de propagation est donc de 45◦

Remarque :

Les polarisations rectiligne et circulaire ne sont que des cas particuliers de la polarisation elliptique.

La polarisation d’une onde peut également être décrite par son sens de rotation. Nous parlerons alors de polarisation circulaire ou elliptique gauche ou droite.

(20)

(a) Propagation du champ électrique : la courbe noire représente le champ en polarisation circulaire, les courbes rouge et bleue désignent

Figure I.6 – Polarisation circulaire : les composantes ~Uθ_{(~r, t) et ~}_Uφ_{(~r, t) doivent ˆetre de mˆeme}

am-plitude et en quadrature de phase pour garantir une polarisation circulaire

I-2.4 La propagation des ondes dans l’environnement

Lorsque les ondes électromagnétiques se propagent librement dans l’environnement (en considérant une zone de champ lointain), elles rencontrent des obstacles, que l’on nommera aussi diffuseurs, avec lesquels elles vont interagir suivant le schéma I.7. En fonction de la géométrie de l’obstacle, elles peuvent subir les interactions suivantes :

– la réflexion sp´eculaire : elle traduit littéralement le phénomène de ”rebond” d’une partie de l’onde incidente sur une surface plane ;

– la réfraction (ou transmission) : lorsque la nature du matériau le permet, une partie de l’onde électromagnétique traverse la surface et dérive de sa direction originale (loi de Snell-Descartes) d’une fa¸con qui dépend des propriétés électriques des milieux considérés ;

– la diffraction : elle se produit lorsque l’onde électromagnétique atteint une arête, une surface courbe ou le sommet anguleux d’un objet ; elle se divise alors en une multitude d’ondes électromagnétiques. Dans ce cas, l’élément diffractant peut être apparenté à une source rayonnante secondaire ;

– la réflexion diffuse : elle se produit sur des surfaces rugueuses dont les dimensions deviennent significatives vis-à-vis de la longueur d’onde. Dans ce cas, les facettes du relief provoquent de multiples réflexions pour une seule onde incidente.

– la diffusion : elle est produite par un ensemble d’obstacles de dimensions inférieures à la longueur d’onde (exemple feuillage). La résultante est une superposition de diffractions élémentaires. L’onde électromagnétique est donc redirigée dans toutes les directions avec une atténuation et un déphasage variables suivant des lois complexes.

Au vue des problématiques traitées et des fréquences utilisées tout au long de ce travail de thèse, la prise en compte de la diffusion et des réflexions diffuses ne seront pas traités dans ce document. Néanmoins le lecteur intéressé pourra consulter d’autres travaux visant à intégrer ces aspects dans la modélisation du canal de propagation [Coc06].

(21)

Figure I.7 – Ph´enom`ene de multi-trajets

Toutes ces interactions, combinées et répétées, constituent le phénomène de multi-trajets (ou trajets multiples). Par analogie avec le domaine acoustique, ce phénomène se traduit par des ”échos”. Il s’agit en fait d’une répétition du signal émis o`u chaque réplique re¸cue est associée à un trajet. Chacun d’eux est défini par :

– un retard de propagation ; – une att´enuation ;

– un d´ephasage de l’onde porteuse ; – une polarisation ;

– un angle de départ et d’arrivée en azimut et en élévation.

Ce phénomène est primordial car grâce à lui, deux terminaux masqués par un obstacle peuvent communiquer par l’intermédiaire des ondes issues d’interactions électromagnétiques. Il contribue donc au bon fonctionnement des transmissions sans fil. Cependant, les différents trajets captés par le récepteur entraˆınent des interférences constructives ou destructives du signal re¸cu en fonction de leur déphasage respectif. Ces interactions sont alors, sans conteste, `

a l’origine de fluctuations importantes de la puissance de r´eception et perturbant la transmis-sion. Ces aspects seront approfondis en sectionI-4.1.2

I-3

M´

ethodes de r´

esolution des ´

equations ´

electromagn´

etiques

L’avènement de l’informatique a ouvert de nombreuses perspectives dans le monde scien-tifique en offrant notamment la possibilité de reproduire virtuellement le comportement de phénomènes physiques tels que la propagation d’ondes électromagnétiques. C’est ainsi qu’à partir des années 60, certains chercheurs se sont mis en quête de modèles numériques basés sur diverses méthodes de calcul et algorithmes afin de pouvoir simuler, de fa¸con déterministe, le comportement des ondes électromagnétiques. Ce problème est complexe à traiter et continue

(22)

I-3. Méthodes de résolution des équations électromagnétiques 11

de faire l’objet de recherches intensives. Cependant, plusieurs méthodes de résolution ont pu émerger. En considérant le rapport entre la longueur d’onde et les dimensions du problème à résoudre, nous pouvons les classer en trois catégories :

– les méthodes quasi-statiques ; – les méthodes rigoureuses ; – les méthodes asymptotiques.

Les premières s’appliquent dans un cadre très particulier où les dimensions mises en jeu sont très inférieures à la longueur d’onde. Dans ce cas de figure, les courants de déplacements peuvent être négligés et les équations de Maxwell simplifiées. Mais les méthodes quasi-statiques sortent complètement du cadre nos études. Pour cette raison, nous ne détaillerons pas d’avan-tage cette famille de méthodes. Néanmoins, des compléments sont proposés dans [Wex69].

Lorsque les dimensions des éléments géométriques manipulés sont de l’ordre de la longueur d’onde, les équations de Maxwell ne peuvent généralement plus être approximées. Ce sont alors les méthodes dites rigoureuses qui s’appliquent à ces problématiques. Elles présentent l’avantage de fournir des résultats les plus précis mais elles se basent, dans leur très grande majorité, sur une discrétisation géométrique qui se révèle moins appropriée pour la simulation de la propagation à grande échelle. Leur champ d’action reste donc limités à des volumes relativement restreints.

`

A l’opposé des méthodes rigoureuses, les méthodes asymptotiques approximent les équa-tions de Maxwell et sont exclusivement réservées aux applicaéqua-tions en champ lointain et dont les dimensions des éléments géométriques sont supérieurs à la longueur d’onde. Dans le cadre d’une approche par rayon, elles ont l’avantage de ne pas mailler (terme employé pour l’échan-tillonnage spatial) l’environnement de propagation. Cependant, le temps de calcul est dé-pendant du nombre d’éléments présents dans l’environnement traité. Ainsi, plus le nombre d’élément augmente, plus le temps de calcul devient important.

L’objectif dans cette partie est de présenter différentes solutions développées et associées aux deux derniers types de méthodes de résolution électromagnétique.

I-3.1 Les m´ethodes rigoureuses

Dans ce travail de thèse, les méthodes rigoureuses sont tout à fait appropriées à l’étude des antennes. Depuis les années 60, plusieurs méthodes ont été élaborées. Ces dernières peuvent être scindées en deux grandes catégories. La première regroupe les techniques temporelles et la seconde les techniques fréquentielles.

I-3.1.1 Techniques temporelles

I-3.1.1.a La technique FDTD La technique FDTD1 _{est célèbre et très utilisée dans le}

domaine de la simulation électromagnétique. Dans sa version fondamentale, cette technique est simple à implémenter, elle décompose l’espace en cellules 3D parallélépipédiques et discrétise le temps afin d’approcher les équations de Maxwell par des différences finies centrées [Yee66] [eMEB75]. Par exemple, nous choisissons d’appliquer les différences finies centrées sur une composante du champ magnétique dont l’expression découle de l’équation (I.1) combinée à (I.6) :

(23)

Hy, Ez et Ex sont des composantes, dans un rep`ere cart´esien, des vecteurs ~H(~r, t) et ~

E(~r, t) à un instant donné. Les indices i, j et k sont utilisés ici pour repérer spatialement les champs dans la cellule FDTD, ∆x et ∆z désignent le pas spatial en x et z. La formulation (I.10) est applicable à toutes les composantes x, y et z du champ magnétique et fait clairement apparaˆıtre le schémaI.8. Nous remarquons que chaque composante de ~H est environnée par des composantes du champ électrique ~E et inversement. Le décalage d’un demi-pas spatial produit donc un découplage des champs électromagnétiques et aboutit finalement à une so-lution des équations de Maxwell dans le domaine spatial. Pour une soso-lution temporelle, le même procédé est employé sur la dimension t.

Figure I.8 – Cellule FDTD

La discrétisation spatio-temporelle est l’étape clé de la méthode FDTD. Elle est soumise aux problèmes du choix du pas d’échantillonnage pour assurer la pertinence des résultats. Pour garantir cette précision, la discrétisation spatio-temporelle doit satisfaire le critère de stabilité de Courant-Friedrich-Levy :

∆t ≤ q 1

(_∆x1 )2_{+ (} 1

∆y)2+ (∆z1 )2

(I.11)

o`u ∆t d´esigne le pas temporel.

Cette expression est évocatrice ; elle montre bien qu’un maillage fin entraˆıne une réduction du pas temporel. Ce critère de stabilité est la contrainte principale de cette méthode mais elle est garante de la convergence des résultats et permet d’éviter les effets de dispersion

(24)

numérique causés par un échantillonnage grossier. Pour obtenir une situation de convergence, la discrétisation spatiale ne doit pas dépasser le dixième de la plus petite longueur d’onde. Nous remarquons alors que cette méthode, dans sa version de base, peut rapidement s’avérer gourmande en terme de ressources informatiques.

I-3.1.1.b La technique TLM La seconde technique temporelle bien connue dans le do-maine électromagnétique est la technique TLM2_{. Tout comme la technique FDTD, la méthode}

TLM est volumique et temporelle. Cela implique une décomposition de l’espace en cellule et une discrétisation du temps. Elle repose sur une approche élégante basée sur le principe de Huygens qui assimile la propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu à la propa-gation des tensions et des courants dans un réseau de lignes de transmission [Hoe85] [Joh87]. Le formalisme utilisé est basé sur les équations des télégraphistes qui présentent une grande similitude avec les équations de Maxwell.

Les cellules cubiques décomposant l’espace sont apparentées à des noeuds à six accès (un pour chaque face du volume 3D) (cf. figureI.9). Ces accès (ou branche) forment les interfaces entre les différentes cellules et permettent les échanges de tensions sur deux polarisations. Le principe de propagation est le suivant :

1. une cellule re¸coit, sur chaque face, deux tensions incidentes et orthogonales ;

2. le champ électromagnétique est déterminé au centre des cellules à partir d’une combi-naison linéaire des tensions incidentes ;

3. les ondes électromagnétiques calculées sont converties en tensions réfléchies sur chacune des polarisations des six accès ;

4. les tensions réfléchies deviennent des tensions incidentes pour les cellules voisines. De part ce schéma d’échange entre les noeuds, les ondes électromagnétiques se propagent suivant un mécanisme dit ”de proche en proche”.

La dimension des noeuds est, comme pour le cas FDTD, contrainte de respecter des dimensions inférieures au dixième de la plus petite longueur d’onde analysée.

Figure I.9 – Noeud TLM

(25)

I-3.1.1.c Différence et point commun entre techniques FDTD et TLM Les tech-niques TLM et FDTD sont différentes dans leur principe de fonctionnement. La première adopte une approche physique du problème électromagnétique tandis que la seconde se rat-tache à la résolution mathématique des équations de Maxwell. Cependant, les résultats obtenus sont très proches et permettent de calculer les valeurs de champs dans un volume discret fini. Elles sont donc adaptées aux structures à géométrie quelconque.

Pour adapter ces méthodes à l’étude de rayonnements, le maillage pratiqué par les mé-thodes FDTD et TLM doivent être contraintes par des conditions absorbantes. Elles limitent le domaine de calcul en présence de structures ouvertes sur l’espace libre tout en évitant des retours d’ondes par réflexion. De nombreuses solutions ont été proposées mais la plus couram-ment utilisée se base sur les frontières PML3 [B´94]. En complément, il est nécessaire d’utiliser des transformations champ proche/champ lointain [Ram97] pour caractériser le rayonnement. Grâce à ces méthodes, la détermination des paramètres caractéristiques des antennes devient possible.

Sur le plan temporel, les méthodes TLM et FDTD présentent l’avantage de produire des résultats pour toute une bande de fréquence donnée en une seule simulation. Concrètement, au cours d’un calcul électromagnétique, une brève impulsion, par exemple une gaussienne modulée en fonction de la bande de fréquence choisie, est utilisée comme signal d’excitation. La réponse fréquentielle est alors obtenue par une simple transformée de Fourier sur les signaux aux accès de la structure. Ces techniques sont donc, dans le cas général, appropriées pour traiter les problèmes large bande.

L’inconvénient de la technique FDTD par rapport au cas TLM réside dans le décalage d’une ”demi-cellule” qui peut être un problème pour le traitement de surface et des bordures des volumes maillés : ”effet de bord”. La technique TLM, en revanche, engendre plus de calculs que la méthode FDTD de part le nombre de branches composant la cellule TLM. Cependant, de nombreux travaux ont permis d’améliorer ces techniques [Pas07] [neMMN96] [eMMN01]. Actuellement, il est bien difficile, a priori, de privilégier une méthode par rapport à une autre. I-3.1.2 Techniques fréquentielles

I-3.1.2.a La technique FEM La technique FEM4 _{est une technique utilis´ee dans de}

nombreux domaines de la physique appliquée tels que la mécanique, la thermique, la thermo-dynamique et bien sûr l’électromagnétisme [eRLF83]. Elle emploie la méthode des éléments finis qui s’applique aux problèmes décrits par des dérivées partielles linéaires. Le principe consiste à décomposer les grandeurs caractéristiques en éléments finis grâce à des fonctions de base qui trouvent leur solution dans les méthodes classiques des mathématiques.

Remarque :

Les approches multiphysiques basées sur la FEM se développent pour pour tenir compte des différentes conversions énergétiques (ex : logiciel Comsol).

La méthode des éléments finis consiste à rendre stationnaire une expression fonctionnelle associée au problème original. Cette approche s’appelle méthode variationnelle :

∂F (f1(x, y, z), f2(x, y, z), fn(x, y, z)) ∂fi(x, y, z)

= 0 (I.12)

3_{Perfectly Matched Layer} 4_{Finite Element Method}

(26)

o`u F est la fonctionnelle d´efinie par :

F (fi(x, y, z)) = X j ˆ Ω ΦX i (αifi(x, y, z))dΩ (I.13)

où fi est la ième fonction élémentaire et inconnue qui satisfait l’équation (I.12) dans le domaine Ω, j désigne le jème élément fini et Φ un opérateur. Dans le cas des problèmes électromagnétiques, la technique FEM se concentre sur la solution de l’équation de Helmholtz (I.9). Elle exprime la propagation des champs en régime harmonique. Cette propriété fait de la méthode FEM, une technique fréquentielle bien que son formalisme n’empêche pas une approche temporelle [eJJ01].

L’opérateur Φ est alors décrit par ~_∇2+ k2 et les fonctions de base sont généralement des polynômes dont les coefficients forment les inconnues. La technique FEM se base classique-ment sur des cellules géométriques de formes irrégulières tel que les triangles en 2D et les tétraèdres en 3D (cf. figure I.10). Ces dernières étant retenues pour résoudre les problèmes électromagnétiques, la méthode FEM est donc une méthode volumique comme les méthodes FDTD et TLM. Dans sa version de base, elle est appliquée sur les points nodaux identifiés en figure I.10 pour assurer la continuité entre les mailles. Les points nodaux sont d’autant de fonctions fi qui composent la fonctionnelle F . La résolution de (I.12) dans tout le volume maillé génère un système matriciel dont les inconnues sont les valeurs des champs électriques et magnétiques aux différents noeuds du maillage.

Figure I.10 – Maille FEM

Il est nécessaire de souligner que l’emploi de tétraèdres permet un maillage moins ap-proximatif que celui utilisé dans les versions ”de base” des techniques TLM et FDTD (i.e. parallélépipèdes). Il n’existe pas de critère précis quant aux dimensions des mailles, néan-moins pour une bonne évaluation des champs électromagnétiques, le maillage doit respecter les règles suivantes :

– la densité des mailles est fonction de la variation des champs ; i.e. la densité des mailles augmente généralement à proximité des discontinuités, des interfaces aux milieux, des zones de changement des champs ;

– les mailles doivent contenir des milieux homog`enes.

Enfin, comme les techniques volumiques précédentes, la technique FEM doit utiliser des conditions aux limites absorbantes afin de limiter le volume de calcul, elle utilise également les PML.

(27)

I-3.1.2.b La technique MoM/BEM La technique MoM5 _{est g´en´erale [Har93]. Elle}

transforme une fonction (équation différentielle, intégrale, etc...) en un système d’équation linéaire résoluble par des techniques matricielles classiques. Son principe consiste à écrire un problème déterministe sous la forme suivante :

Φf = a (I.14)

avec Φ un opérateur linéaire et f une fonction inconnue pouvant être exprimée sous la forme d’une combinaison linéaire de coefficients (à déterminer) et d’une série de fonctions de bases. Dans ce cas, la technique MoM permet d’écrire :

Lα = A (I.15)

avec L une matrice où Φ est appliqué sur un ensemble de fonctions linéaires connues et α le vecteur de coefficients à déterminer. La procédure consiste à trouver les coefficients α qui approchent A. Dans le domaine électromagnétique et pour le cas particulier appliqué au fil fin, la technique MoM détermine les valeurs de champs électromagnétiques en tout point de l’espace à partir des formulations suivantes :

~ E(~r, f ) = −jη 4πk ˛ C ~ J(~r, f )Gr( ~r0, ~r) dC (I.16) ~ H(~r, f ) = 1 4π ˛ C ~ J(~r, f )∇Gr( ~r0, ~r) dC (I.17) où η est l’impédance du milieu, ~J(~r, f ) est la densité surfacique de courant électrique (A/m2) pour une fréquence particulière et Gr( ~r0, ~r) la fonction de Green (spécifique au fil fin) [Duf01] définie dans l’espace libre par :

Gr( ~r0, ~r) =

e−jk|~r− ~r0|

4π|~r − ~r0|

(I.18) ~r et ~r0 sont respectivement le point de calcul des champs et la position de la source électromagnétique. Les formules (I.16) et (I.17) définissent la fonction f de (I.14) et Φ est identifié par l’opérateur intégral. Enfin a est le vecteur d’excitation. La lecture de ces formules permet de remarquer deux propriétés suivantes :

– les champs sont calculés pour une fréquence particulière. La technique MoM est donc une méthode fréquentielle mais tout comme la technique FEM, il existe des versions temporelles [GM97] ;

– les champs sont déterminés grâce à la contribution des sources de courant (ou charges) sur les surfaces des milieux. Il n’est donc plus nécessaire d’utiliser un maillage 3D. La technique MoM est donc une technique surfacique et la densité du maillage (segment pour le fil fin et triangle pour les surface) suit l’évolution des structures. Comme la méthode FEM, le maillage sera plus dense aux abords des discontinuités.

Cette technique est donc très utilisée pour la simulation de circuits et d’antennes planaires. La technique BEM6 [NNW75] complète celle de la MoM en prenant en compte les volumes non métalliques de forme quelconque.

5_{Method of Moments} 6_{Boundary Elements Method}

(28)

I-3.1.2.c Différence et point commun entre les techniques FEM et MoM/BEM Les techniques MoM/BEM et FEM sont des méthodes générales qui peuvent s’appliquer à des domaines autres que celui de l’électromagnétisme. Elles ont une approche similaire ; il s’agit de résoudre des équations matricielles dont les paramètres variationnels sont des fonctions décomposées en sous fonctions plus simples à traiter. La procédure consiste donc à déterminer des coefficients pour rendre une fonctionnelle stable dans le cas FEM et minimiser une erreur dans le cas MoM/BEM. Cependant, la méthode FEM se base sur les dérivées partielles des équations de Maxwell alors que la technique MoM/BEM s’applique à la version intégrale. Mais la principale différence entre les techniques FEM et MoM/BEM réside dans le maillage. Dans le cas MoM/BEM, le maillage des interfaces conserve les mêmes ressources de calcul indépendamment des distances entre les différentes structures (ex : antennes avec réflecteurs, antennes en réseaux, etc...).

Quelle que soit la technique fréquentielle utilisée, elles se révèlent particulièrement inté-ressant lorsque les coefficients de qualité des dispositifs sont très élevés, elles sont également percutantes pour les études en milieux à perte. Par ailleurs, les dimensions des matrices à traiter sont fonction de la complexité de la structure à analyser. La demande en ressource informatique peut alors être un frein dans le choix de ces techniques. Il s’agit ici de leur principale contrainte.

I-3.1.3 Bilan des m´ethodes rigoureuses

La présentation non exhaustive des méthodes rigoureuses a montré qu’aucune d’elles ne peut répondre pleinement à l’ensemble des problèmes électromagnétiques, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients.

Les méthodes temporelles seront favorisées pour les études très large bande. En revanche, les méthodes fréquentielles seront privilégiées pour des structures complexes ou mettant en oeuvre plusieurs structures espacées.

Chaque méthode continue à faire l’objet de recherches poussées visant à réduire leurs défauts et à augmenter leur efficacité. Nous citerons par exemple la méthode TLM qui peut désormais intégrer des mailles de forme non cubiques [Lee05], ou bien la méthode FIT7_[Wei77]

proche de la méthode FDTD qui peut inclure des milieux de différentes natures à l’intérieur d’une même maille.

Bien entendu, les performances croissantes des outils informatiques contribuent à étendre le champ d’application des méthodes numériques liées à la modélisation électromagnétique. Grâce à tous ces progrès, le marché des logiciels de calculs électromagnétiques propose une vaste gamme de simulateurs. Nous citerons à titre d’exemple :

– CST Microwave Studio pour la technique FIT proche de la FDTD ; – Micro Stripes pour la technique TLM ;

– HFSS pour la technique FEM ; – FEKO pour la technique MoM.

L’utilisateur int´eress´e pourra retrouver une liste plus exhaustive sur le site internet [Lab].

I-3.2 Les m´ethodes asymptotiques

Les méthodes asymptotiques ont été développées pour répondre à des problèmes magnétiques de grandes envergures comme la simulation de la propagation d’ondes

(29)

magn´etiques en environnements r´eels [Kou65]. Dans ce contexte, les dimensions des volumes `

a traiter sont tellement importantes par rapport à la longueur d’onde qu’elles défavorisent l’utilisation des méthodes rigoureuses.

La recherche dans ce domaine a abouti `a deux approches principales :

– géométrique : elle se fonde sur l’Optique Géométrique (OG) et sur la Théorie Uniforme de la diffraction (TUD) ;

– physique : elle utilise l’Optique Physique (OP) et la Th´eorie Physique de la Diffraction (TPD).

Nous n’aborderons pas toutes les méthodes asymptotiques pour la simulation du canal de propagation mais plus spécifiquement celles que nous avons retenues pour ce travail de thèse. Nous nous attacherons donc à décrire l’OG et la TUD qui se basent sur un formalisme de type rayon pour décrire les ondes électromagnétiques.

I-3.2.1 L’optique g´eom´etrique

L’OG conduit au concept de rayon [Lon67]. Elle est le fruit d’une solution approchée de l’équation d’Helmholtz (I.9). Suivant ces principes, l’OG permet de déterminer la réflexion et la réfraction d’une onde à l’interface entre deux milieux.

Prenons l’exemple de la figure I.11. Lorsqu’un rayon incident se propage en espace libre (milieu 1) en direction d’un second milieu, l’interaction produite au point Q engendre un rayon réfléchi et réfracté (si la surface n’est pas parfaitement conductrice).

Figure I.11 – Illustration du phénomène de réflexion et de réfraction : les vecteurs notés U désignent indifféremment les vecteurs de champ électrique et magnétique. Les composantes de polarisation θ et φ sont remplacées par // et ⊥ pour se rapporter au repère local.

Ces phénomènes se produisent dans un plan d’incidence contenant le vecteur normal ~n à la surface au point Q. Les différents rayons suivent les directions Si pour le rayon incident, Sr pour le rayon réfléchi et St pour le rayon réfracté.

(30)

Les valeurs des angles θr et θt suivent la loi de Snell-Descartes. Ainsi, pour l’angle de r´efraction, nous pouvons ´ecrire :

nisin(θi) = ntsin(θt) (I.19)

où ni et nt sont les indices de réfraction des deux milieux. Ils sont le rapport entre la vitesse de propagation de l’onde dans le vide c en et dans le milieu considéré (vi ou vt) :

nk = c vk

(I.20) où nk est l’indice du milieu considéré (i ou t). Cet indice est un coefficient de valeur inférieure ou égal à 1. L’angle de réflexion est un cas particulier. Les rayons incident et réfléchi appartiennent au même milieu. Dans ce cas, la loi de Snell-Descartes nous donne :

θi= θr (I.21)

L’OG mène à la détermination de coefficients de réflexion et de réfraction reliant chaque composante des champs électriques et magnétiques portés par les rayons incident, réfléchi et réfracté.

I-3.2.1.a La réflexion L’OG permet d’écrire la solution à l’équation de propagation des ondes électromagnétiques (sous condition que la fréquence utilisée soit suffisamment élevée) par : ~ Ur(P ) = ~Ur(Q) r ρ1ρ2 (ρ1+ sr)(ρ2+ sr) e−jk~r (I.22) avec :

– ~Ur(Q), le champ ´electrique au point d’impact Q ;

– ~r, la distance entre le point de r´ef´erence Q et le point d’observation P ; – q ρ1ρ2

(ρ1+sr)(ρ2+sr), le facteur de divergence qui traduit la conservation de l’´energie durant

la propagation de l’onde ´electromagn´etique [BW99] ;

– ρ1 et ρ2, les rayons de courbure de l’onde réfléchie définissant sa nature : – astigmate, lorsque ρ1 6= ρ2;

– sph´erique, lorsque ρ1 = ρ2;

– cylindrique, lorsque ρ1 ou ρ2 sont infinis ; – plane, lorsque ρ1 et ρ2 sont infinis ;

Puisque l’onde est polarisée, l’OG relie les champs incidents et réfléchis au point Q par la relation matricielle : " U⊥ r (P ) Ur//(P ) # =R⊥ 0 0 R// "_U⊥ i (Q) U_i//(Q) # s ρr 1ρr2 (ρr 1+ sr)(ρr2+ sr) e−jksr _(I.23)

avec R⊥ et R//les coefficients de réflexion de Fresnel. Dans le cas où les milieux sont sans perte, les écritures possibles des coefficients de réflexion R⊥ _{et R}// _{sont :}

(31)

20 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission R⊥ = cos θi− p ¯ εr− sin θi2 cos θi+ p ¯ εr− sin θi2 (I.24) R// = ε¯rcos θi− p ¯ εr− sin θi2 ¯ εrcos θi+ p ¯ εr− sin θi2 (I.25)

avec ¯εr = εr− j_ωεσ_r. Ainsi, dans le cas d’une surface parfaitement conductrice (σ → ∞), ces deux coefficients se simplifient tels que : R⊥= 1 et R//_{= −1.}

I-3.2.1.b La réfraction Concernant le rayon réfracté, l’OG décrit une formulation ana-logue à la relation (I.23) dans laquelle les coefficients de transmission T⊥ et T// sont définis par : T⊥ = 2 cos θi cos θi+ p ¯ εr− sin θi2 (I.26) T// = 2 √ ¯ εrcos θi ¯ εrcos θi+ p ¯ εr− sin θi2 (I.27) D’autre part, concernant les coefficients associés à une même composante du champ, il est montré qu’ils sont liés par les relations (I.28) et (I.29) tel que :

1 − R⊥ = nt ni

T⊥ (I.28)

1 + R// = T// (I.29)

Enfin, il est n´ecessaire de souligner que ces coefficients peuvent devenir complexes s’ils portent sur des milieux `a pertes.

I-3.2.2 la Th´eorie Uniforme de la Diffraction

Le phénomène de réflexion n’est pas suffisant pour décrire précisément les mécanismes de propagation des ondes électromagnétiques. Le schéma I.12illustre le problème rencontré. Lorsqu’un objet est éclairé par un ensemble d’ondes incidentes.

Trois zones délimitées par des frontières optiques (i.e. limite de réflexion et ”limite de zone

d’ombre”) peuvent ˆetre distingu´ees :

– zone 1 : elle est composée des champs incidents, réfléchis et diffractés. `A la ”limite de

la réflexion”, le champ réfléchi disparaˆıt brutalement ;

– zone 2 : elle est compos´ee des champs incidents et diffract´es. `A la ”limite de la zone

d’ombre”, ce sont alors les champs incidents qui disparaissent ;

– zone 3 : seuls subsistent les champs diffract´es.

Nous nous rendons compte alors que l’OG ne s’applique qu’à la zone 1 et ne détermine pas complètement tous les rayons. C’est donc pour pallier ce problème que Keller a introduit au début des années 60, la Théorie Géométrique de la Diffraction (TGD) [Kel62] qui fut ensuite

(32)

Figure I.12 – Propagation aux abords d’un ´el´ement diffractant

améliorée par Kouyoumjian et Pathak [KP74b] [KP74a] pour aboutir à la Théorie Uniforme de la Diffraction (TUD).

Prenons l’exemple de la figure I.13. Une onde électromagnétique interagit avec une arête formée par un dièdre suivant un angle d’incidence θi en élévation (cf. figureI.13(b)) et φi en azimut (cf. figureI.13(c)).

(a) (b) (c)

Figure I.13 – Ph´enom`ene de diffraction

La TUD définit de manière similaire à l’OG des coefficients de diffraction D⊥et D//sous la forme de quatre termes (pour un dièdre parfaitement conducteur à faces planes) :

D⊥,// = D1+ D2± (D3+ D4), (I.30) avec :

(33)

22 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission D1 = −e −jπ 4 2n√2πk sin φi cot π + (θd− θi) 2n FkLa+_(θ d− θi) (I.31) D2 = −e −jπ4 2n√2πk sin φi cot π − (θd− θi) 2n FkLa−_(θ d− θi) (I.32) D3 = −e −jπ4 2n√2πk sin φi cot π + (θd+ θi) 2n FkLa+_(θ d+ θi) (I.33) D4 = −e −jπ 4 2n√2πk sin φi cot π − (θd+ θi) 2n FkLa−_(θ d+ θi) (I.34) avec :

– n = 2π−α_π et α est l’angle int´erieur du di`edre ;

– L est un param`etre de distance d´ependant de la nature de l’onde ;

– a± _{dépend de l’angle intérieur α = (2 ± n)π du dièdre, ainsi que des angles θ}i et θd; – F , appelée fonction de transition, désigne l’intégrale de Fresnel modifiée :

F (x) = 2j√x ejx ˆ ∞

√_x e−jt

2

dt (I.35)

Cette fonction joue un rôle essentiel dans les zones de transition que représentent les frontières optiques : elle permet d’obtenir la continuité du champ total. Les coefficients de diffraction ainsi obtenus permettent d’avoir une valeur finie du champ diffracté dans tout l’espace.

Pour un élément diffractant diélectrique de permittivité relative εr et de conductivité σ, des coefficients de réflexion R⊥,// _{sont alors ajoutés [lue89] :}

D⊥,// = D1+ D2+ R⊥,//(D3+ D4), (I.36) I-3.2.3 Recherche des trajets

L’OG et la TUD constituent une approche basée sur le concept de rayons permettant de caractériser les phénomènes physiques que sont la réflexion, la réfraction et la diffraction. Ce formalisme sert à la conception de logiciels de simulation du canal de propagation qui nécessitent, à leur tour, des méthodes de recherche pour identifier les trajets se propageant entre un émetteur et un récepteur. À posteriori, ces trajets conduisent à la détermination de réponses impulsionnelles du canal (cf. sectionI-4) et de manière plus globale à la prédiction de zones de couverture. Nous présentons ici deux méthodes que sont le lancer et le tracé de rayons.

I-3.2.3.a lancer de rayons Le lancer de rayons est bas´ee sur l’algorithme SBR8 _[LCL89].

Le principe (montré en figureI.14) consiste dans un premier temps à inonder l’environnement de rayons `a partir de la position de l’émetteur ”E”. Suivant le parcours de chaque rayon, l’algorithme détermine les différentes interactions électromagnétiques entre les rayons et les obstacles constituant l’environnement étudié. Ces interactions sont fonction de la géométrie et des propriétés électriques des matériaux rencontrés et sont calculées continuellement. Seul