La caract´erisation du canal de propagation peut se d´efinir comme la description des fonc- tions et des param`etres associ´es aux effets de propagation des ondes ´electromagn´etiques dans
28 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission
l’environnement. Son ´etude apporte une meilleure compr´ehension des ph´enom`enes de propa- gation.
I-4.1.2.a R´eponse impulsionnelle du canal radio´electrique La premi`ere ´etape de la caract´erisation du canal radio´electrique consiste `a exprimer math´ematiquement son compor- tement. Nous le savons d´ej`a, le signal de r´eception s(t) r´esulte de la contribution de plusieurs r´epliques diff´eremment retard´ees, att´enu´ees et d´ephas´ees du signal ´emis e(t). Le canal de propagation peut alors ˆetre vu comme un filtre lin´eaire et peut s’´ecrire :
s(t) = ˆ +∞
−∞ e(t − τ)h(τ)dτ
(I.37) o`u τ est la variable du retard de propagation exprim´e en ns et h(τ ) est la r´eponse `a une impulsion du canal d´efinie tel que :
h(τ ) = N X
i
aie−jΘiδ(τ − τi) (I.38)
o`u N est le nombre total de trajets re¸cus, ai et Θi sont respectivement l’att´enuation et le d´ephasage subi par le signal associ´es aux i`eme trajet. Pour tenir compte des variabilit´es temporelles et spatiales, la formulation (I.38) doit int´egrer les param`etres de temps t en seconde et d’espace ~r en m`etre :
h(τ, ~r, t) = N X
i
ai(~r, t)e−jθi(~r,t)δ(τ − τi(~r, t)) (I.39) Cette fonction, appel´ee r´eponse impulsionnelle complexe, est `a la base de tous les para- m`etres caract´erisant le canal de propagation.
I-4.1.2.b L’effet Doppler L’effet Doppler traduit le d´ecalage fr´equentiel subi par le si- gnal re¸cu. Ce ph´enom`ene est facilement observable en acoustique. Par exemple, le son d’un v´ehicule d’urgence (sir`ene) paraˆıt plus aigu¨e au fur et `a mesure que le v´ehicule se rapproche de la personne `a l’´ecoute. `A l’inverse, sa tonalit´e devient plus grave lorsque le v´ehicule s’en ´eloigne. Ce changement de tonalit´e est amplifi´e avec la vitesse du v´ehicule et montre bien que l’effet Doppler est fonction de la vitesse v, en m/s, des ´el´ements mobiles et de la distance d, en m, qui s´epare l’´emetteur du r´ecepteur. Christian Doppler fut celui qui d´ecrivit ce ph´enom`ene pour la premi`ere fois en 1842. Son ´etude ´etait d’abord ax´ee dans le domaine acoustique puis ´etendue `a l’´electromagn´etisme. Il montra qu’une onde monochromatique centr´ee sur la fr´e- quence f est transpos´ee `a la fr´equence f +∆f , ∆f d´esignant le d´ecalage Doppler. `A l’image de la variabilit´e spatiale et temporelle du canal radio´electrique nous distinguerons deux variantes du d´ecalage Doppler :
– le Doppler spatial ∆~k (en m−1) : directement issu des d´eplacements des terminaux ; – le Doppler temporel ∆ν (en Hz) : provoqu´e par les mouvements de l’environnement. Dans les deux cas, le d´ecalage Doppler peut s’exprimer de la mani`ere suivante pour chacun des trajets :
I-4. Le canal de transmission 29
o`u X d´esigne indiff´eremment le d´ecalage Doppler spatial ou temporel. Xm est le Doppler maximum d´etermin´e par vλ pour un d´ecalage temporel et par 2πvcλ pour un d´ecalage spatial. v ´etant la vitesse en m/s. θ et φ sont respectivement les angles d’arriv´ee en ´el´evation et en azimut.
I-4.1.2.c Caract´erisation de Bello Le canal de propagation exprim´e par sa r´eponse impulsionnelle pr´esente trois d´ependances : retard de propagation (τ ), temps (t) et espace (~r). Cette forme relie donc le ph´enom`ene de multi-trajets `a sa variabilit´e spatio-temporelle, mais comme tout filtre lin´eaire, il est utile d’en repr´esenter les fonctions de transferts. Elles sont associ´ees aux param`etres duaux que sont la fr´equence f (duale du retard de propagation), le d´ecalage Doppler temporel ν et spatial ~k (duaux de t et de ~r) et leurs relations de passage ont ´et´e ´etablies par Bello [Bel63] [Bel97] et agenc´ees sous forme de diagrammes (cf. figure
I.20).
(a) Bello dans le domaine temporel (b) Bello dans le domaine spatial
Figure I.20 – Diagramme de Bello
Le premier diagramme consid`ere une r´eponse impulsionnelle variant dans le temps uni- quement tandis que le deuxi`eme isole la d´ependance spatiale. Ces r´eponses ainsi que leurs fonctions de transfert sont reli´ees par transform´ees de Fourier directes et inverses. Il est alors possible d’analyser le canal de propagation sous diff´erents point de vue. Par exemple, les fonc- tions bi-fr´equentielles h(f, ν) et h(f, ν) sont appel´ees fonctions de dispersion Doppler. Elles traduisent comment les ph´enom`enes de Doppler temporel et spatial agissent sur la fonction de transfert de h(f ).
Pour parvenir `a cette repr´esentation, il est n´ecessaire de remplir les conditions d’hypoth`ese WSSUS9. Elle consid`ere d’une part la stationnarit´e au sens large (WSS) et d’autre part une d´ecorr´elation des diffuseurs (US) :
– WSS : cette hypoth`ese consid`ere un canal dont les statistiques de variation temporelle ou et/ou spatiale sont localement stationnaires. Concr`etement, l’esp´erance math´ematique des att´enuations ai(~r, t) est invariante dans la plage temporelle et spatiale observ´ee. En
30 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission
pratique, la fonction d’auto-corr´elation R(τ1, τ2; t1, t2) de h(τ, t) et d´ecrite par l’´equation (I.41) ne d´epend que de la diff´erence ∆t = t2− t1 (´equation (I.42)) :
R(τ1, τ2; t1, t2) = E[h(τ2, t2).h∗(τ1, t1)] (I.41) R(τ1, τ2; ∆t) = E[h(τ2, t).h∗(τ1, t + ∆t)] (I.42) avec E[.] l’esp´erance math´ematique ;
– US : cette hypoth`ese suppose que les diff´erents trajets re¸cus proviennent d’un ensemble de diffuseurs ind´ependants. Ainsi, deux trajets diff´erents arrivant `a deux instants distincts seront consid´er´es comme d´ecorr´el´es. Cela revient `a consid´erer une stationnarit´e au sens faible :
R(τ ; ∆t) = E[h(τ, t).h∗(τ, t + ∆t)] (I.43) avec R(τ1, τ2; ∆t) = 0 pour τ1 6= τ2;
– WWSSUS : si les deux pr´ec´edentes conditions sont r´eunies, alors le canal pr´esente une dispersion d´ecorr´el´es dans le domaine des retards de propagation et dans le domaine des d´ecalages Doppler.
Remarque :
Les hypoth`eses WSSUS ne sont pas uniques mais elles ont suffisantes pour per- mettre une repr´esentation du canal en diagramme de Bello [Bel63] [Bel97].
Une fois le canal d´efini par ses fonctions de transfert, il devient possible d’extraire des informations plus pr´ecises telles que l’att´enuation bande ´etroite, les profils en puissance, etc... I-4.1.2.d Param`etres caract´eristiques Grˆace `a la r´eponse impulsionnelle du canal de propagation et `a l’analyse de Bello, il devient possible d’affiner la compr´ehension du canal de propagation par l’ajout de nouveaux param`etres caract´eristiques.
Att´enuation bande ´etroite Comme ´evoqu´e en section I-4.1.2, la puissance de r´ecep- tion est la r´esultante de la contribution de tous les trajets re¸cus. La formulation de la r´eponse impulsionnelle (I.38) ayant d´efini le param`etre ai comme une att´enuation, la somme complexe de tous les trajets traduit l’att´enuation totale Att subie par le signal ´emis :
Att = N X
i
aie−jΘi (I.44)
L’att´enuation totale, que l’on nommera att´enuation bande ´etroite, est le premier param`etre caract´eristique qui d´ecoule des fonctions de Bello. Bien entendu, la r´eponse impulsionnelle du canal ´etant d´ependante du temps et de l’espace, l’att´enuation bande ´etroite pr´esente les mˆemes d´ependances.
Profil en puissance Les profils en puissance (ou spectres) sont des fonctions issues de l’analyse de Bello. Elles permettent d’obtenir des informations sur la puissance associ´ee `
a chaque trajet en fonction d’une grandeur particuli`ere (retard de propagation, d´ecalages Doppler temporel ou spatial). De mani`ere g´en´erale, les spectres not´es S(x) s’expriment par :
S(x) =X i
I-4. Le canal de transmission 31
avec x et y ∈ [τ, t, ~r, f, ν,~k] et x 6= y.
Ces spectres fournissent des informations essentielles pour l’´etude du canal de propagation. Prenons pour exemple le profil S(τ ), il permet d’acqu´erir des param`etres caract´eristiques tels que le retard moyen τm, issue de la moyenne exp´erimentale [PAP77] (cf. ´equation (I.46)) et la dispersion des retards στ (´equation (I.47)) :
τm = P ττ S(τ )dτ P τS(τ )dτ (I.46) στ = p< (τ − τm)2> (I.47)
Une fois coupl´es, ces param`etres d´elivrent de pr´ecieuses informations quant au type de canal ´etudi´e. Dans le cas g´en´erale, une valeur ´elev´ee de στ signifie que la r´eponse impulsionnelle du canal est compos´ee d’un ensemble de trajets pr´epond´erants r´eparti sur une large plage de retard de propagation observ´ee. Une telle observation montre que l’environnement pr´esente une grande densit´e de diffuseurs. Dans ce contexte, le retard moyen aura une valeur largement sup´erieure au retard du premier trajet. `A l’inverse, une faible valeur de dispersion et a fortiori une valeur de τm proche du retard du premier trajet est synonyme d’environnement d´egag´e et peu dispersif.
Bande de coh´erence La bande de coh´erence du canal est un param`etre tr`es utile pour caract´eriser la s´electivit´e en fr´equence du canal de propagation. Pour la quantifier, nous utilisons la fonction d’auto-corr´elation de la fonction de transfert temporelle ou spatiale du canal (h(f, t) ou h(f, ~r)).
X = R[(∆f ), ∆y = 0]
R[∆f = 0, ∆y = 0] (I.48)
o`u y d´esigne indiff´eremment le temps ou l’espace et ∆f est l’intervalle fr´equentiel autre- ment dit la bande de fr´equence qui satisfait le seuil de coh´erence X. Les seuils g´en´eralement utilis´es sont 50% et 90%.
Remarque :
La coh´erence du canal peut s’´etendre aux domaines temporel et spatial sur le mˆeme principe que la formulation (I.48). Nous parlerons alors de temps et de distance de coh´erence.
Capacit´e du canal La capacit´e traduit litt´eralement la facult´e du canal `a pouvoir transmettre une certaine quantit´e d’information. Elle se mesure en Bit/s/Hz et est d´ecrite par la relation (I.49) :
C = log2(1 + ρ|PBE|2) (I.49)
o`u ρ est la valeur du rapport signal `a bruit, PBE d´esigne ici la puissance complexe de r´eception reli´e simplement `a l’att´enuation par PBE = PeAtt. Pe est la puissance d’´emission.
32 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission
I-4.1.2.e Extension aux canaux MIMO A la veille des ann´ees 2000, l’apparition de la` technologie MIMO10a permis de faire un grand bon dans l’am´elioration des performances des communications sans fil. En effet, l’utilisation de plusieurs antennes `a l’´emission et `a la r´ecep- tion permet de tirer partie de la dimension spatiale du canal de propagation. En exploitant judicieusement le ph´enom`ene de multi-trajets, la technologie MIMO offre, potentiellement, un gain important en terme de capacit´e canal sans avoir `a augmenter la puissance d’´emis- sion [Tel99] [FG98]. Pour b´en´eficier de ces avantages, il est n´ecessaire d’assurer une certaine dissemblance entre les diff´erents liens radios. Ainsi, il devient ´evident que les corr´elations entre les diff´erents liens permettront de pr´edire les performances de tels syst`emes.
Pour la suite du chapitre, nous orienterons la caract´erisation du canal MIMO vers les param`etres caract´eristiques tels que la matrice de canal MIMO, les corr´elations entre les sous-canaux et la capacit´e MIMO.
La matrice de canal MIMO Le passage de la technologie SISO11 `a la technologie MIMO entraˆıne de grands changements dans la fa¸con de caract´eriser le canal de propagation. En effet, la complexit´e de l’analyse est d´esormais fonction du nombre d’antennes ´emettrices et r´eceptrices et les param`etres caract´eristiques du canal deviennent, de fait, des fonctions matricielles. Ainsi, nous d´ebutons par la d´efinition de la matrice canal MIMO qui s’exprime de deux fa¸cons diff´erentes. La premi`ere est la matrice de r´eponses impulsionnelles :
H = h11(τ ) h12(τ ) · · · h1Nt(τ ) h21(τ ) h22(τ ) · · · h2Nt(τ ) .. . ... . .. ... hNr1(τ ) hNr2(τ ) · · · hNrNt(τ ) (I.50)
o`u Nr et Nt d´esignent respectivement le nombre de r´ecepteurs et d’´emetteurs. Chaque hij(τ ) est une r´eponse impulsionnelle telle qu’elle a pu ˆetre d´efinie pour le cas SISO.
La seconde matrice du canal MIMO HBE est de nature bande ´etroite et s’exprime comme suit : HBE = h11 h12 · · · h1Nt h21 h22 · · · h2Nt .. . ... . .. ... hNr1 hNr2 · · · hNrNt (I.51)
avec hij =Pτhij(τ ). Cette derni`ere matrice est `a la base du calcul des corr´elations entre sous-canaux et du canal MIMO.
Les crit`eres de corr´elation MIMO Les corr´elations entre sous-canaux sont impor- tantes car elles permettent d’´evaluer le gain obtenu par l’utilisation d’antennes multiples. En effet, les performances des syst`emes MIMO n’ont d’int´erˆet que si les sous canaux sont d´ecorr´el´es [SFGK00] [FG98].
Les corr´elations et plus particuli`erement les coefficients de corr´elation normalis´es peuvent ˆetre obtenus grˆace `a la relation (I.52) [PAP77] :
10Multiple Input Multiple Output 11Single Input Single output
I-4. Le canal de transmission 33
ρhij,hkl,=
cov(hij, hkl) pvar(hij)var(hkl)
(I.52) avec i et k les indices d´esignant les r´ecepteurs, et j et l, les indices se r´ef´erant aux ´emetteurs. Les multiples combinaisons possibles conduisent `a la construction d’une matrice de corr´elation RH de dimension (Nr∗ Nt)2.
La capacit´e MIMO Nous avons vu pr´ec´edemment dans la section I-4.1.2.d que la capacit´e est un param`etre essentiel dans l’´evaluation des performances des syst`emes de com- munication sans fil. Dans un contexte MIMO, cette caract´eristique int`egre la matrice canal en puissance bande ´etroite PBE [FG98] :
CM IM O = log2(det(INt +
ρ Nt
.(PBEPBEH ))) (I.53)
o`u (.)H est l’op´erateur hermitien d´ecrit par le transpos´e conjugu´e d’une matrice. Une deuxi`eme ´ecriture est possible, elle fait appel aux valeurs propres (λi) de HBE :
CM IM O = N Y i=1 log2(1 + ρ Nt λi) (I.54)