3.2.2 la Th´eorie Uniforme de la Diffraction

Le ph´enom`ene de r´eflexion n’est pas suffisant pour d´ecrire pr´ecis´ement les m´ecanismes de propagation des ondes ´electromagn´etiques. Le sch´ema I.12illustre le probl`eme rencontr´e. Lorsqu’un objet est ´eclair´e par un ensemble d’ondes incidentes.

Trois zones d´elimit´ees par des fronti`eres optiques (i.e. limite de r´eflexion et ”limite de zone

d’ombre”) peuvent ˆetre distingu´ees :

– zone 1 : elle est compos´ee des champs incidents, r´efl´echis et diffract´es. `A la ”limite de

la r´eflexion”, le champ r´efl´echi disparaˆıt brutalement ;

– zone 2 : elle est compos´ee des champs incidents et diffract´es. `A la ”limite de la zone

d’ombre”, ce sont alors les champs incidents qui disparaissent ;

– zone 3 : seuls subsistent les champs diffract´es.

Nous nous rendons compte alors que l’OG ne s’applique qu’`a la zone 1 et ne d´etermine pas compl`etement tous les rayons. C’est donc pour pallier ce probl`eme que Keller a introduit au d´ebut des ann´ees 60, la Th´eorie G´eom´etrique de la Diffraction (TGD) [Kel62] qui fut ensuite

I-3. M´ethodes de r´esolution des ´equations ´electromagn´etiques 21

Figure I.12 – Propagation aux abords d’un ´el´ement diffractant

am´elior´ee par Kouyoumjian et Pathak [KP74b] [KP74a] pour aboutir `a la Th´eorie Uniforme de la Diffraction (TUD).

Prenons l’exemple de la figure I.13. Une onde ´electromagn´etique interagit avec une arˆete form´ee par un di`edre suivant un angle d’incidence θi en ´el´evation (cf. figureI.13(b)) et φi en azimut (cf. figureI.13(c)).

(a) (b) (c)

Figure I.13 – Ph´enom`ene de diffraction

La TUD d´efinit de mani`ere similaire `a l’OG des coefficients de diffraction D⊥et D//sous la forme de quatre termes (pour un di`edre parfaitement conducteur `a faces planes) :

D⊥,// = D1+ D2± (D3+ D4), (I.30) avec :

22 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission D1 = −e −jπ 4 2n√2πk sin φi cot π + (θd− θi) 2n  FkLa+_(θ d− θi)  (I.31) D2 = −e −jπ4 2n√2πk sin φi cot π − (θd− θi) 2n  FkLa−_(θ d− θi)  (I.32) D3 = −e −jπ4 2n√2πk sin φi cot π + (θd+ θi) 2n  FkLa+_(θ d+ θi) (I.33) D4 = −e −jπ 4 2n√2πk sin φi cot π − (θd+ θi) 2n  FkLa−_(θ d+ θi) (I.34) avec :

– n = 2π−α_π et α est l’angle int´erieur du di`edre ;

– L est un param`etre de distance d´ependant de la nature de l’onde ;

– a± _{d´epend de l’angle int´erieur α = (2 ± n)π du di`edre, ainsi que des angles θ}i et θd; – F , appel´ee fonction de transition, d´esigne l’int´egrale de Fresnel modifi´ee :

F (x) = 2j√x ejx ˆ ∞

√_x e−jt

2

dt (I.35)

Cette fonction joue un rˆole essentiel dans les zones de transition que repr´esentent les fronti`eres optiques : elle permet d’obtenir la continuit´e du champ total. Les coefficients de diffraction ainsi obtenus permettent d’avoir une valeur finie du champ diffract´e dans tout l’espace.

Pour un ´el´ement diffractant di´electrique de permittivit´e relative εr et de conductivit´e σ, des coefficients de r´eflexion R⊥,// _{sont alors ajout´es [lue89] :}

D⊥,// = D1+ D2+ R⊥,//(D3+ D4), (I.36) I-3.2.3 Recherche des trajets

L’OG et la TUD constituent une approche bas´ee sur le concept de rayons permettant de caract´eriser les ph´enom`enes physiques que sont la r´eflexion, la r´efraction et la diffraction. Ce formalisme sert `a la conception de logiciels de simulation du canal de propagation qui n´ecessitent, `a leur tour, des m´ethodes de recherche pour identifier les trajets se propageant entre un ´emetteur et un r´ecepteur. `A posteriori, ces trajets conduisent `a la d´etermination de r´eponses impulsionnelles du canal (cf. sectionI-4) et de mani`ere plus globale `a la pr´ediction de zones de couverture. Nous pr´esentons ici deux m´ethodes que sont le lancer et le trac´e de rayons.

I-3.2.3.a lancer de rayons Le lancer de rayons est bas´ee sur l’algorithme SBR8 _[LCL89].

Le principe (montr´e en figureI.14) consiste dans un premier temps `a inonder l’environnement de rayons `a partir de la position de l’´emetteur ”E”. Suivant le parcours de chaque rayon, l’algorithme d´etermine les diff´erentes interactions ´electromagn´etiques entre les rayons et les obstacles constituant l’environnement ´etudi´e. Ces interactions sont fonction de la g´eom´etrie et des propri´et´es ´electriques des mat´eriaux rencontr´es et sont calcul´ees continuellement. Seul

I-3. M´ethodes de r´esolution des ´equations ´electromagn´etiques 23

les rayons passant `a proximit´e de la position ”R” sont retenus pour le calcul des trajets. Les autres rayons restent valables pour d’autres positions de r´ecepteurs.

Figure I.14 – Sch´ema de principe du lancer de rayon Le lancer de rayon pose plusieurs difficult´es quant `a son utilisation :

– `A l’´emission : il est n´ecessaire de fixer le nombre de rayons `a lancer et de d´eterminer le pas angulaire dans un environnement 3D sans connaissance a priori de l’environnement. Pour obtenir un lancer optimal, il est n´ecessaire de mod´eliser la sph`ere entourant l’´emetteur par un poly`edre [SR94] (cf. figureI.15(a)).

– `A la r´eception : les rayons ´emis ne visent pas directement le r´ecepteur, ils sont r´epartis dans l’espace selon la m´ethode cit´ee plus en amont. Nous pouvons alors facilement imaginer que seul un petit nombre de rayons parvient `a proximit´e du r´ecepteur et qu’il est quasiment impossible qu’ils passent exactement `a l’endroit o`u se trouve le r´ecepteur. Pour pallier ce probl`eme, il est n´ecessaire d’utiliser le concept de sph`ere de r´eception [SM97] (cf. figure

I.15(b)). Celle ci englobe le r´ecepteur et assimile tous les rayons la frappant par un tube (ou faisceau) dont la section est g´en´eralement triangulaire. Si le r´ecepteur se trouve dans le faisceau, alors il est consid´er´e comme re¸cu.

Le principal inconv´enient de cet algorithme est qu’il calcule des rayons qui, dans la majorit´e des cas, ne parviennent pas au r´ecepteur. Ce processus se prˆete tr`es bien `a la pr´ediction de zones de couverture mais dans le cas d’une transmission point `a point, elle entraˆıne une succession de calculs inutiles.

I-3.2.3.b Le trac´e de rayons Le trac´e de rayons [IY02] [MFCG98] utilise la m´ethode des images et de pliage pour d´eterminer directement les rayons existant entre un ´emetteur et un r´ecepteur (cf. figureI.16).

24 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission

(a) Sph`ere ´emission (b) Tube rayon

Figure I.15 – Proc´ed´e d’´emission et de r´eception

(a) M´ethode des images (b) M´ethode de pliage

Figure I.16 – Proc´ed´e d’´emission et de r´eception

– m´ethode des images : tout d’abord l’image E1 de la source E est cr´e´ee par rapport `

a l’interface du mur1, cette interface est visible de E. La mˆeme op´eration est effectu´ee sur E1 par rapport au mur2. En reliant le point E2 et le r´ecepteur R, nous pouvons d´eterminer un point de r´eflexion P2. De la mˆeme mani`ere, le point de r´eflexion P1 est d´efini par l’intersection du mur1 et de la droite (EE1). La d´etermination d’un rayon r´efract´e consiste simplement `a poursuivre la trajectoire du rayon incident lorsque celui-ci vient frapper un obstacle.

– m´ethode de pliage : le calcul des sources diffractantes est bas´ee sur le principe de Fermat g´en´eralis´e [LAM00]. Il a ´et´e ´enonc´e par Keller et indique que les rayons diffract´es au point Q sont les trajectoires minimales entre la source incidente et le point d’observation. Les rayons diffract´es sont alors port´es par un cˆone (cˆone de Keller) dont l’axe est confondu avec l’arˆete diffractante et dont l’angle d’ouverture est ´egal au double de φi (cf. figureI.13). Il est alors ais´e de trouver le trajet diffract´e capt´e au point d’observation par comparaison des angles incidents et d’observation.

I-3. M´ethodes de r´esolution des ´equations ´electromagn´etiques 25

Ces deux m´ethodes sont `a la base du trac´e de rayons dont le principe consiste `a d´eterminer les rayons entre un ´emetteur et un r´ecepteur, implicitement consid´er´es comme ponctuels (cf. figureI.17).

Elles ont fait l’objet d’am´eliorations afin d’optimiser les coˆuts de calcul, nous pouvons notamment retrouver certaines d’entre elles dans [LAM00] [Com02].

Figure I.17 – Sch´ema de principe du trac´e de rayon

I-3.2.3.c Bilan sur les m´ethodes asymptotiques Comme nous avons pu le constater, l’OG et la TUD associ´es `a une technique de lancer ou trac´e de rayon permettent de simuler le ph´enom`ene de multi-trajets. Le lancer de rayons d´etermine l’ensemble des rayons existant dans un environnement pour une position particuli`ere de l’´emetteur, un crit`ere de proximit´e est alors utilis´e pour ´evaluer les trajets capt´es par un r´ecepteur. Grˆace `a ce proc´ed´e, une mˆeme simulation produit des r´esultats valables pour une infinit´e de positions de r´ecepteurs. Le trac´e de rayons est plus pr´ecis. Il calcule les trajets d´eterministes entre un ´emetteur et un r´ecepteur. Cependant, il est n´ecessaire de recourir `a une simulation pour chaque position d’´emetteur et de r´ecepteur. Le choix d’une m´ethode d´epend d’un compromis entre flexibilit´e et pr´ecision des r´esultats.

Quel que soit la m´ethode utilis´ee, il est n´ecessaire de stopper le processus de recherche des rayons par un crit`ere d’arrˆet. En effet, ces algorithmes continuent leur recherche tant qu’un rayon n’a pas atteint un point de r´eception ou ne sort de l’environnement donn´e. Dans un environnement pr´esentant un nombre cons´equent de diffuseurs, le temps de recherche peut alors se r´ev´eler prohibitif. Le crit`ere d’arrˆet consiste tout simplement `a imposer un quota qui fixe le nombre maximum d’interactions que peut subir un rayon.

26 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission

I-4

Le canal de transmission

La description du ph´enom`ene de multi-trajets entre dans le cadre de l’´etude du canal de propagation. `A l’image de la figure I.18, la consid´eration des antennes permet de d´efinir le canal de transmission.

Canal de transmission Canal de propagation Environnement et multi−trajets

Antenne

Transmetteur Antenne Recepteur

Figure I.18 – Le canal de transmission

Cette section introduit, d’une part, les outils math´ematiques servant `a la caract´erisation du canal de propagation et, d’autre part, les param`etres caract´eristiques des antennes. Une pr´esentation des param`etres caract´eristiques du canal et des antennes utiles `a nos ´etudes est r´ealis´ee dans cette partie.

I-4.1 Le canal de propagation

Le canal de propagation est le support physique qui permet l’´echange de l’information grˆace `a la propagation des ondes ´electromagn´etiques. Celles-ci interagissent avec l’environne- ment et entraˆıne le ph´enom`ene de multi-trajets.

I-4.1.1 G´en´eralit´es sur le ph´enom`ene de multi-trajets

Comme vu en sectionI-2.4, le ph´enom`ene de multi-trajets est la caract´eristique principale du canal de propagation [Par92]. Toutefois, de part la nature de l’environnement et le caract`ere mobile li´e `a certaines applications de t´el´ecommunications, le canal de propagation autrement appel´e canal radio mobile poss`ede ´egalement des propri´et´es de variabilit´es spatio-temporelles : – variabilit´e temporelle : elle est dˆu exclusivement aux mouvements des ´el´ements dy- namiques pr´esents dans l’environnement. Ils entraˆınent l’apparition et/ou la disparition de trajets et modifient les propri´et´es des trajets existant. Ces modifications ont des origines tr`es diverses : le passage d’un v´ehicule, d’une personne, la fermeture d’une porte, etc...

I-4. Le canal de transmission 27

– variabilit´e spatiale : elle est dˆu au d´eplacement des terminaux et est ind´ependante des mouvements de l’environnement. Les interactions ´electromagn´etiques varient alors en fonction de la position des terminaux (´emetteur et/ou r´ecepteur).

Dans un contexte g´en´eral de transmission sans fil, les deux variabilit´es vont agir sur les propri´et´es de la transmission et impact les conditions de r´eception. Par exemple, nous pr´e- sentons, en figure I.19, l’att´enuation subie par le signal ´emis en fonction du d´eplacement du r´ecepteur. 0 14 28 42 56 70 84 115 110 105 100 95 90 85 80 75

Distance (m)

Figure I.19 – Variation de l’att´enuation subie par le signal ´emis dˆu au ph´enom`ene de multi-trajets : le r´ecepteur suit un parcours lin´eaire et passe devant un obstacle

La lecture de cette courbe permet d’observer des fluctuations du niveau de puissance re¸cue. Deux types d’´evanouissements sont identifiables :

– les ´evanouissements `a grande ´echelle : ils proviennent des effets de masque dans l’environnement et produit des obstacles tels que les cloisons, les bˆatiments, etc... Ils inter- viennent sur des ´echelles de distances ´egales `a plusieurs fois la longueur d’onde ;

– les ´evanouissements `a petite ´echelle : ils sont la cons´equence directe de la propa- gation par trajets multiples qui provoque des interf´erences constructives et destructives en fonction du d´ephasage entre trajets. La fluctuation de la puissance peut ˆetre tr`es impor- tantes (plusieurs dizaines de dB).

La figure I.19 est ´evocatrice, elle montre bien les cons´equences du ph´enom`ene de multi- trajets et de sa variabilit´e dans le d´eploiement d’applications radio mobiles. Afin de pr´edire l’impact du canal de propagation, il est n´ecessaire d’en exprimer analytiquement les para- m`etres caract´eristiques.

I-4.1.2 Caract´erisation du canal de propagation

La caract´erisation du canal de propagation peut se d´efinir comme la description des fonc- tions et des param`etres associ´es aux effets de propagation des ondes ´electromagn´etiques dans

28 Chapitre I - Mod´elisation et caract´erisation du canal de transmission

l’environnement. Son ´etude apporte une meilleure compr´ehension des ph´enom`enes de propa- gation.

I-4.1.2.a R´eponse impulsionnelle du canal radio´electrique La premi`ere ´etape de la caract´erisation du canal radio´electrique consiste `a exprimer math´ematiquement son compor- tement. Nous le savons d´ej`a, le signal de r´eception s(t) r´esulte de la contribution de plusieurs r´epliques diff´eremment retard´ees, att´enu´ees et d´ephas´ees du signal ´emis e(t). Le canal de propagation peut alors ˆetre vu comme un filtre lin´eaire et peut s’´ecrire :

s(t) = ˆ +∞

−∞ e(t − τ)h(τ)dτ

(I.37)