Schémas multiniveaux pour les équations d'ondes en dimension 1

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Schémas multiniveaux pour les équations d’ondes en

dimension 1

Caterina Calgaro, Jean-Paul Chehab, Jacques Laminie, Ezzeddine Zahrouni

To cite this version:

Caterina Calgaro, Jean-Paul Chehab, Jacques Laminie, Ezzeddine Zahrouni. Schémas multiniveaux

pour les équations d’ondes en dimension 1. [Rapport de recherche] 2008, pp.50. �inria-00271154�

en dimension 1 C. Calgaro

∗

, J.P.Chehab

†

, J. Laminie

‡

,E. Zahrouni

§

8avril 2008 Résumé

Nousproposonsdans etarti le demettre enavantquelquesidées pourlasimulation

numérique deplusieurs lasses d'équationsd'ondes dispersives (KdV, Benjamin-Ono)ou

non (Kuramoto-Sivashinski)par des méthodesmultiniveaux.Nous partons des idées

ini-tialementdéveloppéspourleséquations dissipativeset enproposonsune extension. Ilen

ressortquelaprésen ed'unerégularisationentempsestné essairepourpouvoirtraiterde

manièrestable,etave dess hémasappropriés,lesdiérentesé hellesdelasolution,

préala-blementgénérées ál'aidedeméthodeshierar hiques(in onnuesin rémentales,ondelettes,

Fourier).

∗

LaboratoiredeMathématiquesPaulPainlevé,UMR8524,UniversitédeLille1,

Fran e,( algaromath.univ-lille1.fr),andEPISIMPAFINRIALilleNORDEurope

†

LAMFA, UMR 6140, Université de Pi ardie Jules Verne, Amiens Fran e

(jean-paul. hehabu-pi ardie.fr)andEPISIMPAFINRIALilleNORDEurope

‡

Grimaag-Guadeloupe Campus de Fouillole B.P. 592 97157 Pointe à Pitre Cedex and Laboratoire

de Mathématique Analyse Numérique et E.D.P. Université Paris Sud 91405 ORSAY CEDEX FRANCE

(ja ques.laminiemath.u-psud.fr)

§

Département de Mathématiques, Fa ulté des s ien es de Monastir, Boulevard de l'environnement, 5000

1 Séparation des é helles 4

1.1 La dé ompositionen grandes et petites é helles . . . 4

1.2 En diéren esnies (In onnuesin rémentales) . . . 6

1.2.1 Prin ipe . . . 6

1.2.2 Lahiérar hisation . . . 6

1.2.3 Changement de variables. . . 6

1.3 In onnuesin rémentaleset ompression desdonnées . . . 7

1.4 Bases interpolantes et Dé ompositionmulti-é helles . . . 10

1.4.1 Grillesdyadiques et s hémade subdivision. . . 10

1.4.2 Lesfon tionsd'é helles et d'ondelettes . . . 11

2 Le problème modèle et la dis rétisation en espa e et en temps 15 2.1 Dis rétisation en espa e . . . 16

2.1.1 Diéren esnies . . . 16

2.1.2 Ondelettesinterpolantes . . . 17

2.2 Dis rétisation en temps . . . 17

2.2.1 S hémas de typeCrank-Ni holson . . . 17

2.2.2 S hémas de typeRunge-Kutta . . . 22

3 Appli ation à ertaines équations d'ondes 24 3.1 L'équation deKorteweg de Vries (KDV) . . . 24

3.1.1 S héma deCrank-Ni holson (CN). . . 25

3.1.2 S héma deDuràn Sanz-Serna (DSS) . . . 26

3.1.3 S héma lassiqueRK43 . . . 27

3.1.4 Plusieurs s hémas entemps ave séparation desé helles . . . 28

3.2 L'équation deBenjamin Ono(BO) . . . 32

3.2.1 Dis rétisationen espa e . . . 34

3.2.2 S hémas en temps . . . 34

3.2.3 Résultatsnumériques. . . 35

3.3 L'équation deKuramoto-Sivashinski(KSE) . . . 35

3.3.1 Dis rétisationdu problème . . . 36 3.3.2 Dis rétisationen espa e . . . 36 3.3.3 S hémas en temps . . . 36 3.3.4 Résultatsnumériques. . . 36 4 Con lusion 43 5 Annexe 47 5.1 S hémas de dis rétisationet d'interpolation . . . 47

5.1.1 Less hémas omplets . . . 47

5.1.2 Formules d'interpolation pour lesin onnuesin rémentalesetles interpo-lettes. . . 47

5.1.3 S hémas auxdiéren es pour lesdérivées . . . 48

5.2 In onnuesIn rémentales

ℓ

2

orthogonales . . . 49

La simulation numérique de systèmes dynamiques met souvent en éviden e laprésen e

d'é helles(ou destru tures) detaillesdiérentes; onnote anoniquement

Y

lesgrandes

stru -tures et

Z

les petites stru tures. Les

Y

sont asso iés à la partie prin ipale de la solution, les

Z

à une partie u tuente. Dans la simulation de laturbulen e, les méthodes LES ou de

sous-maillesproposent detraiter esstru turesnumériquement demaniérediérente,ens'appuyant

par exemple sur une modélisation (relation de fermeture). Au milieu des années 80, et pour

dessystèmes dynamiques dissipatifs,les travauxde Temam et al [Tem97℄ ont permis de

justi-ermathématiquementladémar hedeséparation desé helles(théoriedesvariétésinertielles).

D'abord formulés dans un adre spe tral, les méthodes de Galerkin non-linéaires (GNL) ont

été présentées omme un adre numérique pour mettre en appli ation la modélisation des

Z

parles

Y

.Laméthodeaétéétendueparlasuite àdessituationsplusgénérales, itons

Marion-Temam [MT89 , MT90℄ pour les éléments nis, Temam [CT91a , CT91b ℄ pour les diéren es

nies,Goubet [Gou93 ℄ pour les ondelettes.

Dans lapratique, laproje tion surune variété inertielle (approximative) ne permet pas

demettreenavantl'e a itédeladémar heentermesderédu tiondetempsde al ul, omme

l'amontré F.Pas al [Pas92℄ enéléments nis.

En fait, l'idée prin ipale de la démar he onsiste à traiter diéremment les

Y

et les

Z

,

'est-à-direà dénir un s héma numérique diérent pour les

Y

et pour les

Z

. Cette appro he

a donné lieu à de nouveaux types de s hémas multiniveaux en temps : itons par exemples

Debuss he-Dubois-Temam [DDT95 ℄,C.Calgaroet J.Laminieenélémentsnis(hiérar hiques)

pourleséquationsdeBurgersetdeNavier-Stokes[CLT97,CDL98℄,Dubois-Jauberteau-Temam

en spe tral pour la simulation de la turbulen e homogène [DJT98℄,

Costa-Dettori-Gottlieb-Temam [CDGT01 ℄ pour Burgers en Fourier et Chebyshev, F. Pouit [Pou98℄, JP. Chehab et

B. Costa [CC03 , CC04 ℄ en diéren es nies pour Burgers, A. Debuss he, J. Laminie et E.

Zahrouni[DLZ05 ℄en ondelettes et éléments nispourBurgers.

Tous les travaux sus- ités s'appuyent sur une dé omposition a priori des in onnues en

termesdegrandes etdepetitesstru turesleste hniquesutiliséesà eteetvarientsuivantle

ontexte, nousyreviendronsplustardetsuruntraitement numérique diéren iéde elles- i.

Cettestratégie sejustieparunphénomène ara téristique dessystèmesdissipatifs,àsavoirle

transfertdel'énergie delasolutiondeshautsverslesbasmodesdeFourier, equipeutsevoir

également omme une propriétéde régularisation.

La nalité de notre projet i i est d'appliquer ette appro he à des équations d'ondes

dispersivesounonetquiprésententdes ara téristiquestoutes autres.Enparti ulier, ertaines

d'entre elles admettent des solutions lo alisées en espa e (solitons) ou peuvent présenter des

phénomènes d'explosion en temps ni; dans e dernier as les transferts d'énergie des hauts

modesversles basmodesne peuventavoir lieu.

Nous onsidérons i i su essivementquelqueséquations d'ondes 1Dpour lesquellesnous

proposonsdess hémasmultiniveauxs'appuyantsurunedé ompositiondetypeY-Z,enFourier,

enin onnues in rémentales endiéren esnies et eninterpolettes suivant les as; l'utilisation

des ondelettes interpolantes est motivée pour le développement de maillages adaptatifs et le

al ul desolutions explosivestrès lo aliséesen espa e.

Notre travailest organisé omme suit : dansun premier temps nous rappelons quelques

dé ompositions en espa e / fréquen es (In onnues in rémentales, Interpolettes, Fourier) que

mo-s hémas de dis rétisation en espa e et en temps vériant des propriétés de onservation

d'in-variantsau niveau dis ret. Puis, plus parti ulièrement pour KdV, nous introduisonsdiérents

s hémas multiniveaux de type Runge Kutta. L'appro he de type GNL n'est pas on luante

dans e asetnousproposonsquelquespistesderésolutionsadpatativesave deste hniquesde

seuillage.L'équation deKuramoto-Sivashinskiqui omportedestermesdissipatifs,présente en

revan hedespropriétés de régularisation, e quipermet d'appliquerave su èsles te hniques

multiniveaux. Des propriétés de régularisation semblent don être un préalable à l'appli ation

d'uneappro he multiniveauxet ilseraità etégardintéressant de onsidérerles équations

fai-blement amorties, telles que KdV[Ghi88b , Ghi94 , Gou00 ,GR02℄ ou S hrödinger non linéaire

(NLS)[Ghi88a, Gou96,AMC

+

08 ℄, pourlesquelles lessolutions sont régularisées

asymptotique-ment : ils'agit-là d'unesituation intermédiaire entre le asdissipatif et elui dispersif.

1 Séparation des é helles

1.1 La dé omposition en grandes et petites é helles

La simulation numérique de systèmes dynamiques met souvent en éviden e laprésen e

d'é helles (ou destru tures) de taillesdiérentes, asso iéesrespe tivement aux modeslents et

modesrapides du ot.D'autre part, lastabilité dess hémas numériques lassiques est

subor-donnéeàleur apa itéàreprésenterlesfréquen esélevéesde lasolution. Cess hémasreposent

surun traitement uniformede toutes les données; la stabilité numérique est don limitée par

le omportement deshautes fréquen es par rapportàla dis rétisation onsidérée.

Un moyen d'augmenter la stabilitédes s hémas numériques et don de pouvoir al uler

plus pré isement, mais aussi plus rapidement, la solution du problème pour les grand

inter-vallesde temps onsiste àintroduire unedé ompositiondesin onnuesentermes degrandes et

petitesstru turesetde traiter elles- idiéremmentdansles hémanumérique entemps.Plus

pré isement, la dé omposition en grandes et petites stru tures onsiste à réorganiser a priori

les données en termes de partie prin ipale et partie u tuante de la solution. Il est à noter

que ettedé ompositiondièredesdé ompositionsLES (LargeEddies Simulations)

u = ¯

u + ˜

u

danslesquelleslapartie prin ipale

u

¯

estbien de l'ordrede la solutionphysique

u

maisla

par-tie u tuante

u

˜

est seulement de moyenne petite en temps. Dans la dé omposition que nous

onsidérerons, lapartie u tuante sera aussipetite en espa e.

Lorsque les onditions aux limites sont périodiques, on appro he les fon tions assez

ré-gulièrespar des sériesde Fourier tronquées :

u ≃

2n

X

i=1

α

i

w

i

où les

α

i

sont des réels et les

w

i

les 2n premiers éléments d'un base hilbertienne. Nous avons

alorsévidemment

u =

n

X

i=1

α

i

w

i

+

2n

X

i=n+1

α

i

w

i

= Y + Z.

Les

Y

sont dé rits par les petites longueurs d'ondes et, de par la onvergen e de la série,

ontiennent la majeur part de l'énergie. Les

Z

sont asso iés aux fréquen es élevées et sont

dé ompositionadeuxin onvenients, d'unepartellenes'appliquequ'aux onditionsauxlimites

périodiques et d'autre part les diérentes é helles ne sont pas dutout lo alisées en espa e, e

quioblige à ée tuerdes al uls outeux pour apter desphénomènes très lo alisés enespa e,

dutype explosion de lasolution en temps ni. Cette dé omposition est parfaitement lo alisée

enfréquen e, maispasdu touten espa e.

Dans le asnon périodique, ou si on veut travailler lo alement en espa e, les méthodes

hiérar hiques orent un ompromis très intéressant pour séparer les é helles à la fois en

fré-quen e et en espa e. Ces méthodes hiérar hiques (in onnues in rémentales, ondelettes, bases

hiérar hiques en éléments nis,...) reposent toutes sur lemême s héma de onstru tion. Tout

d'abord,on onsidèreplusieursgrillesdedis rétisationenespa eetl'ondistinguelesin onnues

portées par la grille grossière de elles portèes par les grilles omplémentaires : la grille

gros-sière ne peut représenter que les basses fréquen es alors que les grilles nes omplèmentaires

peuvent apter les modesélevés, en réalisant une séparation en fréquen ede lasolution. Dans

undeuxièmetemps,onrempla elesin onnuesdegrillesnes omplémentairespardesnouvelles

in onnues qui représentent lo alement l'erreur d'interpolation. On opère ainsi une séparation

desé hellesenespa e.Nousdétaillonsplusbasdans ettese tionlesdiérentesdé ompositions

endiéren es nieset en ondelettes.

Sil'onommetpourl'instantunéventuelseuillagenumérique, ettedé omposition onsiste

en un hangement de variables que l'on représente par une matri e de transfert

S

; la

trans-formation est en eet linéaire en l'absen e de seuillage. La matri e

S

représente aussi bien

une FFT, une transformée en ondelettes, qu'une matri e de tranfertde base hiérar hiques ou

d'in onnues in rémentales.

Pluspré isément,si

U

estleve teur ontenant lesapproximationsnodalesdelasolution,

ondénit

U

ˆ

par larelation

U = S ˆ

U

ave

ˆ

U = (Y, Z)

T

. I i,

Y

orrespond à l'approximation de lasolution dansl'espa e grossier,

Y

estdon de l'ordre de lasolution physique, tandis que

Z

ontient les orre tions à lasolution

orrespondants auxerreursd'interpolation surles grillesnessu essives.

Considéronsl'équation d'évolution nonlinéaire suivante :

(

∂

t

u(t) = L(t, u) + N (t, u), x ∈]0, τ[, t > 0,

u(0, x) = u

0

(x),

x ∈]0, τ[,

(1.1)

où

L

(resp.

N

) est un opérateur linéaire (resp. non linéaire). Après dis rétisation en espa e,

nousobtenons lesystèmediérentiel à

m

in onnuessuivant:

dU

dt

− L

(h)

_U

_{= N}

(h)

_{(U ),}

(1.2)

U (0) = U

0

∈ IR

m

,

(1.3)

quisereé rit en système oupléen

Y

et

Z

:

dY

dt

− L

(h)

11

Y − L

(h)

12

Z = N

(h)

Y

(Y, Z),

(1.4)

dZ

dt

− L

(h)

21

Y − L

(h)

22

Z = N

(h)

Z

(Y, Z),

(1.5)

I i

L

(h)

ij

désignent les blo sde lamatri e

S

−1

_L

(h)

_S

suivant ladé omposition

Y

-

Z

:

S

−1

L

(h)

S =

L

(h)

11

L

(h)

12

L

(h)

₂₁

L

(h)

₂₂

!

, S

−1

N

(h)

(U ) =

N

(h)

Y

(Y, Z)

N

_Z

(h)

(Y, Z)

!

Enn,onnote

Id

(resp.

Id

1

, Id

2

)lamatri eidentitédelamêmetaillequelamatri e

L

(h)

(resp.

L

(h)

₁₁

, L

(h)

₂₂

).

1.2 En diéren es nies (In onnues in rémentales)

1.2.1 Prin ipe

La onstru tion desin onnues in rémentaless'ee tueen deuxétapes:

1. Hiérar hisation

2. Changement de variables (ré ursif)

1.2.2 La hiérar hisation

Considérons d'abord deux grilles. Soit

h

le pas de

G

h

, la grille laplus ne. Onsuppose

pour simplier que

G

2h

⊂ G

h

; ela n'est pas toujours le as mais on peut se ramener à une

situationsimilairepar oarsening,telqueproposéplusbaspourrésoudreleproblèmedeStokes.

Lahiérar hisation onsisteàréordonner les in onnuesen rangeant d'abord ellesdelagrille la

plusgrossière

G

2

h

,puis,su essivement, ellesdes

G

h

\ G

2h

,

j = 1, · · · , d

. Onillustre i-dessous

eréordonnement en dimensions1 et 2d'espa e.

. o × o × o × o × o .

Endimension 2,si

G

h

estlagrille ne omposéedespoints

(ih, jh) , i, j = 1, ..., 2N − 1

,

alorsles pointsde lagrillegrossière sont

(2ih, 2jh)

omme i-dessous

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. o

o

o

o

o

o

o .

. o × o × o × o .

. o

o

o

o

o

o

o .

. o × o × o × o .

. o

o

o

o

o

o

o .

. o × o × o × o .

. o

o

o

o

o

o

o .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.2.3 Changement de variables

Lorsquedeuxniveauxdegrillessontutilisés,le hangementdevariables onsisteàlaisser

in hangées lesin onnuesde lagrille grossièreet à rempla er elles de lagrille omplémentaire

G

h

\ G

2h

par uneerreur d'interpolation :

où

R : G

H

→ G

h

\G

H

estunopérateurd'interpolationd'ordrep.Onparleraalorsd'in onnues

in rémentales d'ordre

p

. Quand plus de 2 niveaux de grille sont onsidérés, le hangement de

variables onsiste à produire ré ursivement plusieurs blo s d'in onnues in rémentales et on a

larelation

















y

u

f

1

u

f

2

. . .

u

f

d

















= S

















y

z

1

z

2

. . .

z

d

















.

Lamatri e

S

du hangement de variables estappeléematri e de transfert.

Exemple

Dé rivons la onstru tion des in onnues in rémentales (II) d'ordre 2. En dimension un, soit

U

j

, j = 0, ..., 2N − 1

lesin onnues nodalessur

G

h

. On pose

Z

2j+1

= U

2j+1

−

1

2

(U

2j

+ U

2j+2

) , j = 0, · · · , N − 1,

(1.7)

U

0

= U

2N

= 0.

(1.8)

LesIIsontdon dénies ommedesin réments(erreurd'interpolation)de

U

àlavaleurmoyenne

desin onnuesde lagrille grossièrevoisins.

Endimension 2,on pro èdede manièreanalogue touten distinguant 3 situationsdiérentes :

×

◦

×

× ◦ ×

×

×

◦

×

×

.

(1.9)

Lesin onnuesin rementales(asso iéeàdes onditionsauxlimitesde Diri hlethomogène) sont

don dénies par

z

2i,2j+1

= u

2i,2j+1

−

1

2

(u

2i,2j

+ u

2i,2j+2

) ,

z

2i+1,2j

= u

2i+1,2j

−

1

2

(u

2i,2j

+ u

2i+2,2j

) ,

z

2i+1,2j+1

= u

2i+1,2j+1

−

1

4

(u

2i,2j

+ u

2i+2,2j

+ u

2i,2j+2

+ u

2i+2,2j+2

) ,

pour

i, j = 0, ..., N − 1

et

U

α,β

= 0

si

α

ou

β ∈ {0, 1} .

1.3 In onnues in rémentales et ompression des données

Bienévidemment,laformuledeTaylorassurequelesIIdelaj-ièmegrillesont en

O(h

d

j

)

,

si

d

estl'ordre dus héma d'interpolationutilisé. Cettediéren e d'ordre degrandeur en

om-posantes grossières et in émentales apparait à travers desestimations de type energie, dont le

adre sous-ja ent est le problème de Poisson, voir [CT91a ℄. Dans Chehab-Miranville [CM98 ℄,

nousproposonsune onstru tiongénéraledesIIsurunmaillage nonuniforme, endimensions1

et2 d'espa e.En parti ulier,Si l'on onsidèrelasolutionduproblème deDiri hletsurle arré

N −1

_X

i,j=0

{z

2i+1,2j

2

+ z

2i,2j+1

2

+ z

2i+1,2j+1

2

} ≤ c

_{δh |f |}

2

L

2

,

N −1

_X

i,j=0

(y

2i+2,2j

− y

2i,2j

)

2

≤ c

_{δh |f |}

2

_L

2

,

N −1

_X

i,j=0

(y

2i,2j+2

− y

2i,2j

)

2

≤ c

_{δh |f |}

2

_L

2

,

où

h = M ax

i,j

q

(x

i+1

− x

i−1

)(y

j+1

− y

j−1

),

δh = M in( δx

_{δy ,}

δy

_{δx ),}

δx = M ax(x

i+1

− x

i

), δy = M ax(y

j+1

− y

j

)

et est une onstante indépendante de la dis rétisation.

Cela garantit don que les

z

sont "petits"lorsque

h

2

δh →

0

, quand

h → 0

, 'est-à-direquandle

maillageutilisén'estpastropanisotropique.C'estle asdumaillage detypeChebyshev, utilisé

parexemple pour simuler leproblème dela avitéentrainéeen formulation

ω − ψ

, omme par

exemple proposé par J. Shen [She91 ℄ Ces estimations généralisent elles données dans

Chen-Temam [CT91a ℄.

Bienentendu,desstru turesplusnespeuvent êtregénéréesen onsidérant nonplusun

s hémad'interpolationd'ordre 2maisd'ordre plusélevé.Dans e asl'utilisation d'un s héma

expli itené essitede prendre en ompte un nombre important d'in onnuespour interpoler les

in onnues pro hes du bord. Pour palier à ette di ulté, on propose dans [Che98 ℄ d'utiliser

dess hémas ompa ts. Les s hémas ompa ts (CS) sont dess hémas impli ites quiont onnu

un regain d'intérêt pour lasimulation de la turbulen e, larésolution numérique de problème

hyperboliques [CGA91℄ et le al ul de ho s [CS94 ℄; ils permettent d'atteindre une pré ision

pro he de elle du spe tral en utilisant desdiéren es nies, Lele [Lel92 ℄, et peuvent prendre

en ompte des onditions aux limites non périodiques. Ils ont été abondamment utilisés es

dernières années pour la simulation de problèmes de mé anique des uides numériques, voir

par exempleLiu-Wang [LW04 ℄.

Les s hémas ompa ts appro hent un opérateur dis ret par une fra tion rationnelle; ils sont

don impli ites, e qui permet de limiter lalargeur de bande des points à prendre en ompte

toutenatteignant une hautepré ision.Oné rit l'opérateur dis ret souslaforme

D = P

−1

Q

(1.10)

où

P

, la partie impli ite, est une matri e bande, tri ou penta diagonale, et

Q

une matri e

de dis rétisation de

D

à un ordre inférieur, ontenant éventuellement la dis rétisation des

sous-ja entesauproblème onsidéré,desorteàs'aran hird'eetsdebord.Outreles onditions

detype Diri hlet dé rites jusqu'àprésent,on peut envisager par exemple

 des onditions de Neumann

 des onditions périodiques.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−15

−10

−5

0

5

10

15

The function

x

f(x)

0

2

4

6

8

10

−4

10

−2

10

0

10

2

local norm of 2d (+) and 4th (v) order IUs vs grid level

grid level

Euclidian norm (log10. scale)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−10

−5

0

5

10

15

20

Function vs grid points in second order IU basis

x

S −1 f

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Function vs grid points in fourth order IU basis

x

S−1 f

Fig.1  Compression desdonnéesen dimension 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.4.1 Grilles dyadiques et s héma de subdivision

Pour tout entier

j ≥ 0

, on onsidère lagrille formée despoints dyadiques,

G

j

= {x

j,k

= k/2

j

pour

k ∈ IN}.

G

j

est dite grille de niveau

j

, réalise une subdivision équidistante de

IR

et pour tout entier

j ≥ 0

, on a

G

j

⊂ G

j+1

,

G

j+1

\ G

j

= {x

j+1,2k+1

=

2k+1

₂

j+1

pour

k ∈ IN}.

Onremarquequ'unn÷udde

G

j+1

estsoitunn÷udde

G

j

soitlemilieudedeuxn÷udssu essifs

de

G

j

.

Donnélasolution d'un problème auxlimites, elle est interpolée surles grilles

G

j

par des

fon -tionspériodiqueset polynmialesparmor eaux.Pluspré isement, ettesolutionestappro hée

par des fon tions de sous espa es de dimension nie engendrés par des fon tions périodiques,

réguliéresetpolynmialespar mor eaux.Cesfon tionssont généréespar desopérations de

di-latationetdetranslationdelapériodiséd'uneuniquefon tion

ϕ

àsupport ompa t,régulière,

vériant une 'equation à deuxé helles. Deplus

ϕ

estinterpolante sur

ZZ

,

∀k ∈ ZZ

ϕ(k) = δ

k,0

.

(1.11)

Detellefon tionssont onstruites engénérale par lesméthodesd'analysemulti-résolution. La

fon tion

ϕ

estdite fon tiond'é helle interpolante.

Dansnotretravailon onsidèredesfon tions

ϕ

onstruitent par Deslauriers-Dubu dans

[MDD93℄par les héma de subdivisiondont il est utile de rappeller leprin ipe de

fon tionne-ment.Ces hémanousserviradanslasuitepour réaliserlesopérationsd'analyseetdesynthèse

delasolution.

Soit

f

une fon tion dénie ontinue sur

IR

et soit la suite

(f

j,k

)

k

dénie par

f

j,k

= f (x

j,k

)

.

Etant donné,unentier

M

pair,on onstruitlasuite

(f

j+1,k

)

k

appro hant

f

auxpointsde

G

j+1

par les hémasuivant:

f

j+1,2k

= f

j,k

,

f

j+1,2k+1

= P

j+1,2k+1

(x

j+1,2k+1

),

(1.12)

où

P

j+1,2k+1

estle polynme d'interpolationde Lagrangedéni par

−

M

₂

+ 1 ≤ l ≤

M

₂

,

P

j+1,2k+1

(x

j,k+l

) = f

j,k+l

.

(1.13)

Le polynme

P

j+1,2k+1

nouspermet d'evaluer lavaleur de

f

au point

x

j+1,2k+1

=

2k+1

2

j+1

par interpolationde valeursappro hées de

f

surlagrille moinsne

G

j

.

Onaalors d'après(1.13),

P

j+1,2k+1

(x) =

M

2

X

l=−

M

2

+1

f

j,k+l

Y

r6=l

x − x

j,k+l

x

j,k+r

− x

j,k+l

(1.14)

Lefait queles points de

G

j

sont équidistantson a

f

j+1,2k+1

=

M

2

X

−

M

₂

+1

h

l

f

j,k+l

(1.15)

oùles oe ients

h

l

sont al ulésenprenant

x = x

j+1,2k+1

dans(1.14),onapour

−

M

2

< l ≤

M

2

,

h

l

= (−1)

p

2

+l−1

Q

p−1

i=0

(i −

p

2

+

1

2

)

(l −

1

2

)(

p

2

+ l − 1)!(

p

2

− l)!

.

(1.16)

1.4.2 Les fon tions d'é helles et d'ondelettes

On dénit l'opérateur d'interpolation

I

j

sur la grille

G

j

, en utilisant une fon tion

ϕ

interpolante que l'on onstruit de pro he en pro he sur les grilles

G

j

de pro hes en pro hes à

l'aidedu s héma de subdivision. Étant donné unentier

M

pair, on dénit

f

0,k

= ϕ(k) = δ

k,0

.

Pour

j ≥ 1

, lesvaleursde

ϕ

sur

G

j

sont donnéesparlasuite

(f

j,k

)

déniepar(1.12). Don ,par

onstru tion ona,

∀j ≥ 0, ∀k ∈ ZZ,

ϕ(x

j+1,2k+1

) =

M

2

X

r=−

M

2

+1

h

r

ϕ(x

j,k+r

).

(1.17)

La fon tion

ϕ

ainsi onstruite sur les rationels s'étend d'une manière unique par ontnuité à

IR

. Enoutre

ϕ

estune fon tion d'é helle interpolante, àsupport ompa t,

supp(ϕ) = [−M + 1, M − 1]

(1.18)

vérieune relation à deuxé helles,

ϕ(x) =

M −1

_X

−M +1

g

r

ϕ(2x − r).

(1.19)

Les oe ients

g

r

sont donnésà partir de

h

r

dénies par(1.16),

g

r

=











1

r = 0,

0

_{r 6= 0 r}

estpair

,

h

r−1

2

r

estimpair

.

La fon tion

ϕ

ainsi onstruite est dans

C

α

, la lasse de régularité de Hölder. La régularité de

telle fon tion est étudiée dans [DD89℄ et d'une manière générale dans le livre de Daube hies

[Dau93 ℄.

ϕ

générelo alement lespolynmesdedegré

≤ M − 1

, equirevientàdirepour toutpolynme

P

de degré

≤ M − 1

ilexiste des oe ients

(p

k

)

k

tellesque

P =

X

k

p

k

ϕ(. − k).

Onpose

ϕ

j,k

(x) = ϕ(2

j

_{x − k)}

. Onremarque que

∀k, k

′

∈ ZZ,

ϕ

j,k

(x

j,k

′

) = δ

_k,K

′

.

(1.20)

Lafamille

(ϕ

j,k

)

est ditealors interpolante surla grille

G

j

. L'opérateur

I

j

peut-êtredénipar

I

j

(u) =

X

k

u(x

j,k

)ϕ

j,k

,

demanière à e que,

I

j

(u)(x

j,k

) = u(x

j,k

).

Alafon tion d'é helle

ϕ

estasso iéela fon tion

ψ(x) = ϕ(2x − 1)

estappeléefon tion ondelette. Onpose

ψ

j,k

(x) = ψ(2

j

_{x − k)}

.

∀k, k

′

∈ ZZ ψ

j,k

(x

_j,k

′

) = 0

(1.21)

∀k, k

′

∈ ZZ ψ

j,k

(x

_j+1,2k

′

+1

) = δ

k,k

′

.

(1.22)

Pourdé rirelesalgorithmesd'analyseetdesynthèsequenouspro ure ettefamilledefon tion,

onintroduitlessuitesdesous-espa esve torielsengendréesparl'adhéren edeses ombinaisons

linéairesnies des

ϕ

j,k

et

ψ

j,k

,

V

j

=

Ve t

{ϕ

j,k

, k ∈ ZZ}

L

2

,

W

j

=

Ve t

{ψ

j,k

, k ∈ ZZ}

L

2

.

Onaalors grâ e à(1.19) et (1.21-1.22)

V

j

⊂ V

j+1

,

V

j+1

= V

j

⊕ W

j

.

Si

u ∈ V

j+1

alors ona d'unepart,

u(x) =

P

_k

α

j+1,k

ϕ

j+1,k

(x)

(1.23) etd'autre part,

u(x) = y(x) + z(x),

y(x) =

P

_k

α

j,k

ϕ

j,k

(x),

z(x) =

P

_k

β

j,k

ψ

j,k

(x).

(1.24)

Lepassage de (1.23) à (1.24) estdits héma de dé omposition oud'analyse. Ona

u(x

j,k

) = α

j+1,2k

,

=

α

j,k

,

arlesfon tions

ψ

j,k

s'annullent auxpointsde laforme

x

j+1,2k

.

u(x

j+1,2k+1

) = α

j+1,2k+1

,

Orlafamille

ψ

j,k

est interpolante auxpoints

x

j+1,2k+1

et don

z(x

j+1,2k+1

) = β

j,k

.

Grâ eà(1.14), ona

y(x

j+1,2k+1

) =

P

M

2

r=−

M

2

+1

h

r

α

j,k+r

.

Don ,

α

j,k

=

α

j+1,2k

,

β

j,k

= α

j+1,2k+1

−

P

M

2

r=−

M

2

+1

h

r

α

j,k+r

.

(1.26)

La olle tion desfamilles

(ϕ

j

0

,k

)

k∈Z

Z

[

(ψ

j,k

)

j≥j

0

,k∈Z

(1.27)

permetde dé omposerdesfon tions ontinues.Toutd'abord,pour haquefon tion ontinue

f

,

ondénit lessuites

α

j,k

= f (x

j,k

)

β

j,k

= α

j+1,2k+1

−

P

M

2

−

M

₂

+1

h

r

f (x

j,k+r

).

(1.28)

Onaalors lerésultat suivant [Don92 ℄,

Théorème 1 Soit

ϕ

une fon tion interplolante d'ordre

M

. Considérons une fon tion

f

qui

est la somme d'un polynme de degré

≤ M − 1

et d'une fon tion ontinue et nulle à l'inni.

Alors ave les oe ients

α

j,k

et

β

j,k

dénie par (1.28) et pour tout niveau grossier

j

0

≥ 0

on

a,

f =

X

k∈Z

Z

a

j

0

,k

ϕ

j

0

,k

+

X

j≥j

0

X

k∈Z

Z

β

j,k

ψ

j,k

(1.29)

ave une onvergen e en norme

L

∞

.

On rappelle que les espa es de Sobolev

H

s

_(IR

d

₎

ne s'inje tent dans les espa es des fon tions

ontinuesquepour

s >

1

2

.

Pour toutentier

M

, onnote

α

M

l'indi e de régularité delafon tion d'é helle

ϕ

de Deslauriers

etDubu d'ordre

M

. Théorème 2 Si le

min(α(M ), M ) > σ >

1

2

alors

||f||

H

σ

∼ (

P

_k∈Z

_Z

|α

_j

0

,k

|

2

₎

1

2

+ (

P

j≥j

0

2

jσ

P

k∈Z

Z

|β

j,k

|

2

)

1

2

.

(1.30)

dansunarti le par D.Donohosur lesondelettes interpolantes.

Les fon tions

ϕ

et

ψ

ne vérient les onditions aux limites périodiques. Pour ela, on

onsidèrealors les fon tionssuivantes :

ϕ

per

_j,k

(x) =

X

l

ϕ

j,k

(x − l),

ψ

per

_j,k

(x) =

X

l

ψ

j,k

(x − l)

Onvérie alors que

ϕ

per

_j,k

(x + 1) = ϕ

per

_j,k

(x),

ϕ

per

_j,k+2

j

(x) = ϕ

per

j,k

(x).

Il en estde même pour les

ψ

per

j,k

. De plus, il est lair queles fon tions

ϕ

per

j,k

vérient l'équation

dedilatation (1.19) etsont interpolantes sur

G

j

et lesfon tions

ψ

per

j,k

s'annullent auxpoints

G

j

etsontinterpolantes aux

G

j+1

\ G

j

. On onsidère alors dessousespa es

V

j

et

W

j

,

V

_j

per

=

Ve t

n

ϕ

j,k

, k ∈ {0, · · · , 2

j

− 1}

o

,

W

_j

per

=

Ve t

n

ψ

j,k

, k ∈ {1, · · · , 2

j

}

o

.

1.

V

per

j

et

W

per

j

sont dessous-espa es de dimension

2

j

.

2. On aalors les mêmesalgorithmes d'analyseet de synthèse qui sontdé rits par (1.26).

3. Les famillesde fon tionspéridioques,permettent d'obtenir l'analoguedu théorème

2

.

(ϕ

per

j

0

,k

)

k∈Z

Z

[

(ψ

per

j,k

)

j≥j

0

,k∈Z

(1.31)

Pour plus de details on ernant les analyses multi-résolutions et les bases d'ondelletes qui s'y

Nousdétaillons i i,pour leproblème (1.1),lasemi-dis rétisation en espa e puis elleen

temps desopérateurs linéaireset non linéaires. Onétablitle résultatsuivant

Lemme 1 On suppose que (1.1)admet une solution régulière etqu'il peut se réé rire sous la

forme

u

t

+

∂

∂x

(Lu) +

∂

∂x

∂F (u)

∂u

= 0, x ∈ Ω,

(2.32)

u(x, 0) = u

0

(x), x ∈ Ω,

(2.33)

posée sur

Ω = IR

ou bienave des onditions aux limites périodiques siledomaine est ni, i.e.

Ω =]0, τ [

.Onsuppose que

L

est unopérateurlinéaire autoadjointqui ommute ave

∂

∂x

. Alors

Z

Ω

u(., t) dx =

Z

Ω

u(., 0) dx,

Z

Ω

u

2

(., t) dx =

Z

Ω

u

2

(., 0) dx,

Z

Ω

G(u)(., t) dx =

Z

Ω

G(u)(., 0) dx,

ave

G(u) = 1

2 < Lu, u > +F (u)

.

Preuve. La forme onservative de l'équation donne automatiquement la onservation de la

masse.Pourla onservationdelanorme

L

2

, omptetenudes onditionsauxlimites,remarquons

que,d'une part

<

∂

∂x

(Lu), u >=< L

∂u

∂x

, u >=<

∂u

∂x

, L

T

_{u >= − < u,}

∂

∂x

(L

T

_{u) >= − <}

∂

∂x

(Lu), u > .

Ainsi

< ∂

∂x (Lu), u >= 0

. D'autre part,

<

∂

∂x

∂F (u)

∂u

, u >= − <

∂F (u)

∂u

,

∂u

∂x

>= − <

∂F (u)

∂x

, 1 >= 0.

Envertu deshypothèses, on peut é rire l'équationsousla forme

u

t

+

∂

∂x



_∂G(u)

∂u



= 0.

Enprenant leproduit s alaire dans

L

2

de l'équation ave

∂G(u)

∂u

, il vient

0 =< u

t

,

∂G(u)

∂u

> + <

∂

∂x



_∂G(u)

∂u



,

∂G(u)

∂u

>=< u

t

,

∂G(u)

∂u

>=

d

dt

Z

G(u)dx.

On observe que les termes linéaires et non-linéaires des équations de KdV ou de

Benjamin-Ono(généraliséesounon) satisfontles hypothèsesduLemme 1;enparti ulier onpeut réé rire

N (u) = ∂

∂x

∂F (u)

∂u

ave

F (u) =

1

(p + 1)(p + 2)

u

p+2

.

u

t

+ i



Lu +

∂F (u)

_∂u



= 0, x ∈ Ω,

(2.34)

u(x, 0) = u

0

(x) x ∈ Ω,

(2.35)

posée sur

Ω = IR

ou bienave des onditions aux limites périodiques siledomaine est ni, i.e.

Ω =]0, τ [

.I i

u

està valeurs omplexes. Onsuppose que

L

est unopérateurlinéaire autoadjoint etque

F (.)

est à valeurs réelles. Alors

Z

Ω

u(., t) dx =

Z

Ω

u(., 0) dx,

Z

Ω

u

2

_{(., t) dx =}

Z

Ω

u

2

_{(., 0) dx,}

Z

Ω

G(u)(., t) dx =

Z

Ω

G(u)(., 0) dx,

ave

G(u) = 1

2 < Lu, u > +F (u)

où

< ., . >

désigne leproduit s alaire hermitien.

Preuve.La preuve estanalogue à elle dulemme 1.

2.1 Dis rétisation en espa e

Lorsquelasimulationdemandeunegrandepré ision,enespa enotamment,ilestpossible

d'utiliser plusieurs s hémas d'ordre diérent pour dis rétiser en espa e les termes linéaires et

nonlinéaires.

Pour toutentier

j ≥ 0

, noté

N

j

= 2

j

, on onsidère lagrille formée despointsdyadiques,

G

j

= {x

j,k

= k/2

j

pour

k = 0, . . . , N

j

}.

G

j

est dite grille de niveau

j

, réalise une subdivisionéquidistante de

]0, τ [

et pour tout entier

j ≥ 0

, on a

G

j

⊂ G

j+1

,

G

j+1

\ G

j

= {x

j+1,2k+1

=

2k+1

₂

j+1

pour

k = 0, . . . , N

j

}.

Onremarquequ'unn÷udde

G

j+1

estsoitunn÷udde

G

j

soitlemilieudedeuxn÷udssu essifs

de

G

j

.

2.1.1 Diéren es nies

On onsidère alors une solution

u = u(t, x)

de (1.1) que l'on suppose assez régulière de

manièreà e qu'il estpossibled'appro her pour tout

t ≥ 0

, lasolution

u(t, x)

par

U

j

(t, x

j,k

) ∈

IR

N

j

+1

où

j

désigne leniveau dedis rétisation en espa e.

La fon tionappro hée

U

j

(t, .)

esten faitdénie par unsystèmed'E.D.O.







d

dt

U

j

(t) = L

(j)

(t, U

j

) + N

(j)

(t, U

j

)

U

j

(0) = U

0,j

(2.36)

que l'on obtient en é rivant (1.1) aux points

(x

j,k

)

et en ee tuant des développements de

Tayloradéquats. I i

L

(j)

et

N

(j)

On onsidère alors une solution

u = u(t, x)

de (1.1) que l'on suppose assez régulère de

manière à e qu'il est possible d'appro her pour tout

t ≥ 0

, lafon tion

x 7−→ u(t, x)

par une

fon tion

u

j

(t, .) : V

j

→ V

j

telle que

∀k = 0, · · · 2

j

− 1,

u

j

(t, x

j,k

) ∼ u(t, x

j,k

).

Onrappellequesil'espa efon tionnel

V

j

estengendréparunebaseinterpolante,onpeuté rire

u

j

(t, x) =

2

j

₋₁

X

k=0

U

j

(t, x

j,k

)ϕ

j,k

.

La fon tion appro hée

u

j

(t, .)

est enfait dénie par lesystème d'E.D.O. 2.36 quel'on obtient

ené rivant (1.1) auxpoints

(x

j,k

)

et enee tuant desdéveloppements de Tayloradéquats.

Pour toutentier

i

,on dénitune approximationdeladérivée partielle

∂

i

∂x

i

auxpointsde

lagrilledyadique

G

j

, par unopérateur auxdiéren esnies entrées d'ordre

M

, voirannexe.

2.2 Dis rétisation en temps

Donnée une dis rétisation de l'intervalle de temps de simulation

[0, T ]

,

0 = t

0

< t

1

<

. . . < t

n

< t

n+1

< . . . < t

N

= T

, on note pour tout

n, 0 ≤ n ≤ N − 1, k

n

= t

n+1

− t

n

le pas

de dis rétisation en temps. Dans toute la suite, pour les ve teurs solution dis réte on néglige

l'indi e

j

duniveau de dis rétisationen espa e.

2.2.1 S hémas de type Crank-Ni holson

Il existeplusieurs versions de e s héma.

S héma de Crank-Ni holson (CN) :

U

n+1

_{− U}

n

k

n

−

1

2

L

(h)

_(U

n

_{+ U}

n+1

_{) =}

1

2

(N

(h)

_(U

n

_{) + N}

(h)

_(U

n+1

₎₎

(2.37)

S héma de Duràn Sanz-Serna(DSS), [DSS00 ℄:

U

n+1

_{− U}

n

k

n

−

1

2

L

(h)

_(U

n

_{+ U}

n+1

_{) = N}

(h)

₍

U

n

+ U

n+1

2

)

(2.38)

Nous onsidérons également un troisième s héma, inspiré de elui proposé par Delfour,

Fortin et Payre [DFP81 ℄ pour l'équation de S hrödinger. Il permet de onserver le troisième

invariant (energie).

S héma de Delfour-Fortin-Payre (DFP):

U

n+1

_{− U}

n

k

n

−

1

2

L

(h)

_(U

n

_{+ U}

n+1

_{) = (F}

(h)

_(U

n+1

) − F

(h)

(U

n

))./(U

n+1

_{− U}

n

)

(2.39)

lesymbole

./

désignant ladivisionpon tuelle, omposantes par omposantes.

Cestroiss hémassontin onditionnellement stablesmais

U

n+1

estdéni ommesolution

d'un problème non linéaire. Comme proposé dansBona [Bon , Wor91 , BDOM95, BDK86 ℄, on

Poser

v

0

= U

n

_{, k = 0}

jusqu'à onvergen e Cal uler

v

k+1

= (Id − k

n

/2 L

(h)

₎

−1



_{(Id + k}

n

/2 L

(h)

)U

n

+ k

_{2 (N}

n

(h)

(U

n

) + N

(h)

(v

k

))



k = k + 1

Le s héma de point xe pour (DSS) (resp. (DFP)) s'é rit de façon similaire, en remplaçant

1

2 (N

(h)

(U

n

) + N

(h)

(v

k

))

par

N

(h)

_{( U}

n

+ v

k

2

)

(resp. par

(F

(h)

_(v

k

) − F

(h)

(U

n

))./(v

k

− U

n

)

).

S héma de Crank-Ni holson et Splitiing

La dé omposition en grandes et petites é helles permet de résoudre itérativement es

pro-blèmesde point xe en

Y

et en

Z

par une méthode de type Gauss-Seidelnon-linéaire.

S héma (CN) et point fixe en

Y

et en

Z

Poser

(Y

n

_{, Z}

n

₎

T

_{= S}

−1

_U

n

_{, v}

0

= Y

n

, w

0

= Z

n

Cal uler

(nly

0

, nlz

0

)

T

_{= S}

−1

_N

(h)

_(U

n

₎

jusqu'à onvergen e Cal uler

(nly

k

, nlz

k

)

T

_{= S}

−1

_N

(h)

_{(S ˆ}

_u

k

), ˆ

u

k

= (v

k

, w

k

)

T

Cal uler

v

k+1

= (Id

1

− k

n

/2L

(h)

11

)

−1



(Id

1

+ k

n

/2L

(h)

11

)Y

n

+ k

_{2 (nly}

n

0

+ nly

k

+ L

(h)

12

(w

0

+ w

k

))



Cal uler

w

k+1

= (Id

2

− k

n

/2L

(h)

22

)

−1



(Id

2

+ k

n

/2L

(h)

22

)Z

n

+ k

_{2 (nlz}

n

0

+ nlz

k

+ L

(h)

21

(v

0

+ v

k

))



k = k + 1

Définir

U

n+1

_{= S(v}

k

, w

k

)

T

Remarque 1 Sur la onservation numérique des invariants.

La moyenne est onservée en Y et en Z respe tivement. En eet, prenons-là nulle pour

simplier.Nous avons

X

i

U

i

= 0 ⇐⇒

X

i

(U

c

)

i

+

X

i

(U

f

)

i

= 0

ave

U = (U

c

, U

f

)

T

Or

U

c

U

f

!

=

I

0

B I

!

Y

Z

!

,

on a don

0 =

X

i

Y

i

+

X

i

Z

i

+

X

i

(BY )

i

Or

P

(BY )

i

=

P

Y

i

(propriétés d'interpolationde

B

). Il endé oule que

2

X

i

Y

i

= −

X

Z

i

.

Ce résultat reste vrai indépendamment de la dénition de

Z

, dès que l'on utilise un s héma

expli ite, ainsi

X

pour des IUs d'ordre

2p

.

Dans le as des in onnues in rémentales orthogonales (voir annexe) ou des ondelettes

orthogonales, on a la relation

S

T

S = Id.

Si l'onnote

S

−1

_{U = ˆ}

_U

eten prenant le produit s alaire eu lidien de 1.2ave

U

on obtient :

1

2

dkUk

2

dt

=

1

2

dk ˆ

U k

2

dt

La onservationdela norme

L

2

pourradon être ontrlée niveaudegrilleparniveaudegrille.

< L

(h)

(U ), U >=< L

(h)

(SS

−1

U ), SS

−1

U >=< L

(h)

(S ˆ

U ), S ˆ

U >=< (S

T

L

(h)

S) ˆ

U , ˆ

U >= 0.

La stru ture antisymétrique de

L

(h)

est onservée, e n'est pas le as en général où la matri e

est

(S

−1

_L

(h)

_S)

au lieu de

(S

T

_L

(h)

_S)

i i.

A la manière des méthodes (pseudo)spe trales le terme non linéaire est évalué dans la base

"physique" i.e. nodale.

En général le s héma de Crank-Ni holson ne permet pas de onserver le deuxième invariant

(norme

L

2

) de lasolution. Enrevan he, dans les héma de DurànSanz-Serna 2.38, on pourra

dénir l'opérateur non-linéaire dis ret

N

(h)

de sorte à e que les premiers invariants soient

onservés au niveau dis ret. Nous allons dé rire omment onstruire l'opérateur non-linéaire

N

(h)

an de onserver aussiledeuxième invariant,la norme

L

2

de lasolution.

Partons tout d'abord de lasemi dis rétisation entemps del'équation (2.32). Onétablit

lerésultatsuivant :

Lemme 3 Soit l'équation d'évolution

u

t

+

∂

∂x

(Lu) +

∂

∂x

∂F (u)

∂u

= 0, x ∈ Ω,

(2.40)

u(x, 0) = u

0

(x), x ∈ Ω.

(2.41)

Onfaitles hypothèses du lemme (1).Alors,le s héma de Durán Sanz-Serna (DSS)appliqué à

l'équation semi-dis rétisée en temps onserve la masse etla norme

L

2

.

Preuve.Le s héma (DSS)pour l'équationsemi-dis rétisée en temps s'é rit

u

n+1

_{− u}

n

k

n

+

1

2

∂

∂x



Lu

n

+ Lu

n+1



+

∂

∂x

∂F

∂u

(

u

n

+ u

n+1

2

) = 0.

Enprenant leproduit s alaire dans

L

2

de haqueterme de l'équationave

w(x) := 1

(respe -tivement ave

w = u

n

_{+ u}

n+1

2

, on obtient la onservation de la masse (respe tivement de la

norme

L

2

).

Remarquons que le troisième invariant n'est onservé qu'à l'ordre 2. En eet, ave les mêmes

notations, on onsidère leproduits alaire de l'équationave leve teur

∂G

∂u

u

n+1

+ u

n

2

!

.

Onobtient

<

u

n+1

_{− u}

n

k

n

,

∂G

∂u

u

n+1

+ u

n

2

!

>= 0.

Or

G(u

n+1

) = G(

u

n+1

_{+ u}

n

2

)+ <

∂G

∂u

(

u

n+1

_{+ u}

n

2

),

u

n+1

_{− u}

n

2

!

> +O(k

u

n+1

_{− u}

n

2

k

2

₎

et

G(u

n

) = G(

u

n+1

_{+ u}

n

2

)− <

∂G

∂u

(

u

n+1

+ u

n

2

),

u

n+1

_{− u}

n

2

!

> +O(k

u

n+1

_{− u}

n

2

k

2

₎

Ils'ensuit que

G(u

n+1

_{) − G(u}

n

₎

k

n

=< ∂G

∂u

( u

n+1

_{+ u}

n

2

), u

n+1

_{− u}

n

k

n

> +O(ku

n+1

_{− u}

n

2

k

2

)

= O(ku

n+1

₂

− u

n

k

2

).

Maintenant, on peut établir la onservation de la masse et de la norme

L

2

dis rètes. En

pre-nant le produit s alaire dis ret de l'équation 2.38 ave le ve teur

1

∈ IR

N

j

+1

dont toutes les

omposantes sont égalesà1,on obtient pour tout

n ≥ 0

<

U

n+1

_{− U}

n

k

n

, 1 >=

X

k

U

n+1

k

h

j

−

X

k

U

n

k

h

j

,

et,par anti-symétrie de

L

(h)

,

< L

(h)

(

U

n+1

_{+ U}

n

2

), 1 >= 0.

Enn,

< N

(h)

_{(W ), 1 >= 0, ∀W ∈ IR}

N

j

+1

_,

dès que

N

(h)

est une dis rétisation du terme non linéaire é rit sous forme onservative; on

pourra é rire:

N

(h)

(U ) = D

x

(D

U

(F

(h)

(U )),

étant

D

y

une approximation de l'opérateur

∂

∂y

par un s héma auxdiéren es, ave

y = x

ou

y = U

. An d'obtenir la onservation de la norme

L

2

dis rète, on prend le produit s alaire

dis retde 2.38ave

U

n+1

+ U

n

2

.Cela donne:

<

U

n+1

_k

−U

n

n

,

U

n+1

_+U

n

2

> + < L

(h)

(

U

n+1

_+U

n

2

),

U

n+1

_+U

n

2

>

+ < N

(h)

(

U

n+1

₂

+U

n

),

U

n+1

₂

+U

n

>= 0,

ave

<

U

n+1

_{− U}

n

k

n

,

U

n+1

_{+ U}

n

2

>=

|u

n+1

|

2

− |u

n

|

2

2k

n

,

et,par anti-symétrie de

L

(h)

,

< L

(h)

(

U

n+1

_{+ U}

n

2

),

U

n+1

_{+ U}

n

2

>= 0.

La onservation de lanorme

L

2

équivaut à imposer

< N

(h)

(

U

n+1

_{+ U}

n

2

),

U

n+1

+ U

n

2

>= 0,

'est-à-dire

< N

(h)

_{(W ), W >= 0, ∀W ∈ IR}

N

j

+1

_.

Enutilisant les notationspré édentes, on a:

< N

(h)

(W ), W > =< D

x

(D

W

(F

(h)

(W )), W >

= − < D

W

(F

(h)

(W )), D

x

W >

= − < D

x

F

(h)

(W ), 1 >

= 0.

Remarque 2 Les hémaDSSpréservenumériquementlese ondinvariantmaisn'esten

géné-ralqued'ordre1enespa e.Eneet,enappro hant

D

W

(F

(h)

_{(W ))}

i

par

F

(h)

(W )

i+1

− F

(h)

(W )

i−1

W

i+1

− W

i−1

,

nousobtenons, dans le as d'unenonlinéaritéen

u

p

_u

x

:

D

W

(F

(h)

(W ))

i

=

1

(p + 1)(p + 2)

W

_i+1

p+2

_{− W}

_i−1

p+2

W

i+1

− W

i−1

=

1

(p + 1)(p + 2)

p+1

_X

j=0

W

_i+1

p+1−j

W

_i−1

j

Un dévoloppement deTaylor en

W

i

montre qu'il s'agit d'uneformule d'ordre 1.

Nouspouvonsétablir un résultat analogue pour le s hémade Delfour, Fortin et Payre (DFP)

où ettefois- ilepremieret letroisièmeinvariantssont exa tement onservés,lese ondl'étant

numériquement ause ond ordre.

Lemme 4 Le S héma(DFP) 2.39 onserve lepremier et le troisième invariant.

Preuve.Le s héma (DFP) omplétement dis rétisé s'é rit

U

n+1

_{− U}

n

k

n

+ D

x



₁

2

(L

(h)

_U

n+1

_{+ L}

(h)

_U

n

_{) + (F}

(h)

_(U

n+1

_{) − F}

(h)

_(U

n

_))./(U

n+1

_{− U}

n

₎



_{= 0}

Laforme onservativeassurela onservationdu premierinvariant. Pour letroisième,on

onsi-dèrelaproduit s alaire de e systèmeave leve teur

1

2 (L

(h)

U

n+1

+ L

(h)

U

n

) + (F

(h)

(U

n+1

) −

F

(h)

_(U

n

_))./(U

n+1

_{− U}

n

₎

. Il vient

<

U

n+1

_{− U}

n

k

n

,

1

2

(L

(h)

_U

n+1

_{+ L}

(h)

_U

n

_{) + (F}

(h)

_(U

n+1

) − F

(h)

(U

n

))./(U

n+1

_{− U}

n

) >= 0.

Or

<

U

n+1

_{− U}

n

k

n

,

1

2

(L

(h)

_U

n+1

_{+ L}

(h)

_U

n

_{) >=}

1

2k

n



< L

(h)

U

n+1

, U

n+1

_{> − < L}

(h)

U

n

, U

n

>



,

< U

n+1

_k

− U

n

n

, (F

(h)

_(U

n+1

_{) − F}

(h)

_(U

n

_))./(U

n+1

_{− U}

n

_{) >}

=

X

k

U

_k

n+1

_{− U}

_k

n

k

n

(F

(h)

(U

n+1

))

k

− (F

(h)

(U

n

))

k

U

_k

n+1

_{− U}

_k

n

= 1

_k

n

X

k

(F

(h)

(U

n+1

))

k

−

X

k

(F

(h)

(U

n

))

k

.

Ensommant es deuxidentités eten multipliant par

h

j

, lepasen espa e,on trouve

X

k

(F

(h)

(U

n+1

))

k

h

j

+

1

2

X

k

L

(h)

U

_k

n+1

U

_k

n+1

h

j

=

X

k

(F

(h)

(U

n

))

k

h

j

+ 12

X

k

L

(h)

U

_k

n

U

_k

n

h

j

,

soit

X

k

(G

(h)

(U

n+1

))

k

h

j

=

X

k

(G

(h)

(U

n

))

k

h

j

.

Ce ine traduit riend'autre quela onservation de

Z

G(u)dx

au niveau dis ret, où l'intégrale

estappro hé par uneformuledesre tangles.

2.2.2 S hémas de type Runge-Kutta

Nous onsidérerons les méthodes de Runge-Kutta à 4 niveaux : RK43, qui est

semi-impli iteA-stable d'ordre3,et RK4,qui estexpli iteA-stable d'ordre4.Ellessont

respe tive-ment dé ritesà l'aidede tableaux suivants:

0

0

1

2

1

6

1

3

1

2

1

2

−1

1

1

0

0

2

₃

1

₃

1

6

1

3

1

3

1

6

0

0

1

2

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

0

0

1

0

1

6

1

3

1

3

1

6

Soit

U

0

une approximation de lasolution initiale

u(t = 0, x

j,k

)

, alors pour tout

n ≥ 0

,

l'approximation

U

n+1

de la solution

u(t

n+1

, x

j,k

)

sera al ulée par l'un des s hémas présentés