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Submitted on 29 Jan 2015
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petites hétérogénéités : modélisation asymptotique et calcul numérique
Vanessa Mattesi
To cite this version:
Vanessa Mattesi. Propagation des ondes dans un domaine comportant des petites hétérogénéités : modélisation asymptotique et calcul numérique. Analyse numérique [math.NA]. Université de Pau et des pays de l’Adour, 2014. Français. �tel-01111046�
ACADÉMIEDE BORDEAUX QQQQQQQQQQQQ
THÈSEDE DOCTORAT
Présentéepar
VanessaMATTESI
Pourl'obtentiondugradede
DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE PAU ET DESPAYS DE L'ADOUR
À
L'UniversitédePauet desPaysdeL'Adour
Éoledotoraledessienesetleursappliations-ED 211
DOMAINEDE RECHERCHE :Mathématiquesappliquées
Propagation des ondes
dans un domaine omportant des petites hétérogénéités :
modélisation asymptotique et alul numérique
DireteurdeThèse: M.Sébastien Tordeux
Soutenuele11déembre2014
Après avisde :
M.OlivierLAFITTE Professeur,UniversitéParis13 Rapporteur
M.GregoryVIAL Professeur,ÉoleCentraledeLyon Rapporteur
Devant laommissiond'examenformée de :
MmeHélèneBARUCQ DiretriedeReherhe,INRIA Examinatrie
M.AbderrahmaneBENDALI Professeur,Universitéet INSAToulouse Présidentdujury
M.Julien DIAZ Chargédereherhes,INRIA Examinateur
M.OlivierLAFITTE Professeur,UniversitéParis13 Rapporteur
M.SébastienTORDEUX Maîtredeonférenes,UPPA Direteur dethèse
M.GregoryVIAL Professeur,ÉoleCentraledeLyon Rapporteur
ÉquipeprojetINRIAMagique-3D,InstitutNationaldeReherheenInformatiqueetenAutomatique (INRIA)
Laboratoire deMathématiquesetdeleursAppliationsdePau,UnitémixtedereherheCNRS-
5142
Remeriements
J'aimeraistoutd'abordremerierHélèneBaruq,diretriedereherhedel'équipeMagique-
3D,etEmiljanaJorgji,unetrèsbonneamieetaniennementingénieuredel'équipeMagique-3D,
quim'ontdonnél'opportunitédefaireettethèse,ontruenmoipoursonaomplissementetont
toujoursréponduprésentquandj'avaisbesoind'unoupdemain.UngrandmeriaussiàSébastien
Tordeux,mondireteur dethèseet maître deonférenesàl'UPPA, qui m'aaompagné, guidé
etpousséàdonnerlemeilleur demoi-mêmepourette thèse.
Je remerie aussi tous les membres du jury d'avoir été présents et en partiulier mes deux
rapporteurs,OlivierLatte,professeurdel'UniversitéParis13etGrégoryVial,professeurdel'É-
oleCentraleLyon,pourl'attentionqu'ilsontportéeàmonmanusritetleursremarques. Meri
égalementàtouteslespersonnesprésenteslejourdemasoutenane.
UngrandmeriàJulienDiaz,hargédereherhesdel'équipeMagique-3D,poursapatiene,
sadisponibilité, lesnombreuxdébogageset lesexpliationssursonode.
JetienségalementàremerierMbarekFares,herheurauCERFACS,quim'abeauoupaidé
pourl'implémentationet m'apermis depassermon odesurlesmahinesduCERFACS.
Meri à tous les membres de l'équipe pour leur bonne humeur et en partiulier à Marie
Bonnasse-Gahot, dotorante de l'équipe Magique-3D et amie, pour ta présene, ta franhise et
tonsoutient.JepenseaussiàJosyBaron,notreserétaire,qui s'oupaientbien denouset ave
quionapartagépleindebeauxmoments,avantdeprendreuneretraitebien méritée.
J'enviensmaintenantauxamies:Emiljana,Mariequej'aidéjàitées,SandraMarlyetMarfa
Nazarova.Meri àtoutesles quatrepourvotreéoute, ompréhensionet barres defou riresqui
étaientles bienvenues!!!Sandra, malgré ladistane, tu astoujours été unpointde repère tout
aulongdemes études,equi m'a beauoup aidé,meripourta patieneet tafranhise.Marfa,
tum'as étéd'uneaidetrès préieuseàlanétantdonnéquetu soutenaisdeuxmois avantmoi,
j'avaisunaperçuhaquejourdeequiarriveraitdansdeuxmois...assezdrlequandj'yrepense.
Meriàmafamille:papa,maman,BrunoetFlavien,vousaveztoujoursétélà,mêmedansles
momentsdiiles,toujourssinèresetdisponibles.Merid'avoirétélàlejourdemasoutenane,
ça m'abeauouptouhéeet j'ai véuunmerveilleuxmoment.Meri aussiàmabelle-famille, en
partiulieràÉlisabeth,pourtes onseilsetta ompréhension.
Enn, meri à l'homme qui partage ma vie, Guillaume Willmann, pour ton soutient, ton
attention,tonhumour,tapatiene,tondéplaementprofessionnelàPauenndethèsepourêtre
là auquotidien et pour toutes lessorties que tu asorganisées pourme hangerles idées, meri
pourtout.
0.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.2 Desriptionduproblèmeonsidéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.2.1 Domained'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2.2 Problèmeonsidéré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.3 Laméthodedesdéveloppementsasymptotiquesraordés . . . . . . . . . . . . . . 13
0.3.1 Diultésnumériquespourtraiterlespetits détailsgéométriques . . . . . . 13
0.3.2 Dénitiondemodèlesapprohésadaptésaualulnumérique parl'analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.3.3 Présentationdelaméthodedesdéveloppementsasymptotiquesraordés . 14 0.3.4 Dénitiondesdeuxdomainesavereouvrement . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.3.5 Développementsformelsenhampproheetenhamplointain . . . . . . . 19
0.3.6 Raorddesdeuxdéveloppementsenzoneintermédiaire . . . . . . . . . . . 22
0.4 Développementsasymptotiquesàl'ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.4.1 Développementasymptotiqueenhamplointainàl'ordre2 . . . . . . . . . 24
0.4.2 Développementasymptotiqueenhampproheàl'ordre2 . . . . . . . . . . 25
0.4.3 Raord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.5 Plandelathèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I Développement asymptotique raordé pour l'équation des ondes 33 1 Analyseen hamplointain 35 1.1 Solutionausaledel'équation desondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.1.1 Solutionsortantedel'équation deHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.1.2 Lespremiersmultiplesendomainefréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.1.3 DéterminationdespartiessingulièresSbα pourlespremiersmultiples . . . 44
1.1.4 Solutionausaledel'équationdesondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.1.5 Lespremiersmultiplesendomainetemporel . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2 Solutionanti-ausaledel'équation desondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.1 Solutionentrantedel'équation deHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.2.2 Solutionanti-ausaledel'équation desondes . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3 Étudedessolutionsrégulièresdel'équationdesondes . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.1 Quelquessolutionspartiulièresrégulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.2 Unebasedesolutionrégulièredel'équationdesondes . . . . . . . . . . . . 56
1.3.3 Représentationdessolutionsrégulièresdel'équationdesondes . . . . . . . 59
1.3.4 Lasolutiondéveloppéeàl'ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4 Étudedessolutionssingulièresdel'équationdesondes . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4.1 Solutiondel'équation desondessuruneouronnesolide . . . . . . . . . . . 65
1.4.2 Représentationdessolutionssingulièresdel'équationdesondes . . . . . . . 72
1.5 Rappelsdesrésultatsobtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.1 Développementmodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.2 Développementasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Analyseen hampprohe 77
2.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Développementmodalduhampproheauvoisinagedel'inni . . . . . . . . . . . 78
2.2.1 Quelquesnotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2.2 Développementmodalduhampprohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3 RappelssurleproblèmeextérieurdeLaplae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.1 ConditiondeNeumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3.2 ConditiondeDirihlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3 Dénition dudéveloppementasymptotiqueà toutordre 95 3.1 Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.1 Rappelssurlehamplointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.2 Rappelssurlehampprohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.3 Conditionsderaord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Exploitationdesonditionsderaord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1 Conséquenedelaforme del'Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2 Développementmodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Dénitiondestermesdudéveloppementasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Lafontionderaord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.2 Estimationd'erreurdelafontionderaord . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Estimation d'erreurs 105 4.1 Approximationdelasolutionenhamplointain,hampprohe . . . . . . . . . . . 105
4.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.1 Stabilitéd'unproblèmesurdomaineborné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.2 Preuveduthéorème4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Consistane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1 Déompositiondurésidu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.2 Consistaneenhampprohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.3 Consistanedanslazone deraord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.4 Preuveduthéorèmedeonsistane4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 Preuvedesthéorèmesd'estimationd'erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
II Outils numériques pour l'analyse asymptotique 119 5 Résolutiondirete à l'aide de la méthode de Galerkine Disontinue 123 5.1 Contexted'étudepourlarésolutiondirete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 PourquoiappliqueruneapproximationdeGalerkineDisontinue? . . . . . 125
5.2 Miseen÷uvredelaméthodedeGalerkineDisontinue . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2 Disrétisationenespae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.3 PréliminairesàlaonstrutiondesmatriesM,Ket B . . . . . . . . . . . 130
5.2.4 CaluldelamatriedemasseM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.5 CaluldelamatriederaideurK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.6 Caluldelamatried'amortissementB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.7 Disrétisationentemps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Implémentationde la méthode MAE 143 6.1 Contexted'étude pour larésolution ave laméthode MAE (Mathed Asymptoti Expansions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 MiseenoeuvredelaméthodeMAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2.1 Caluldeu0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.2 Caluldestermesd'ordresupérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Résultatsnumériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3.1 Validation delasolutionu0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3.2 Validation deu1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.3 ComparaisonavelaméthodeDirete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Méthode de ranementespae-temps 175 7.1 Contexted'étudepourlespasdetempsloaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2 Pasdetempsloaux:Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2.1 Pourquoiappliquerlaméthodedespasdetempsloaux? . . . . . . . . . . 175
7.3 Miseen÷uvredelaméthodedespasdetempsloaux . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.2 MéthodedeGalerkineDisontinueetpasdetempsloaux . . . . . . . . . . 178
7.4 Résultatsnumériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
III Annexes 189 A Solution fondamentalede l'équation des ondes salaire 191 B Séparation de variables 193 B.1 Solutiondel'équationdeLaplaeenoordonnéessphériques. . . . . . . . . . . . . 193
B.2 Solutiondel'équationdeHelmoltzhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C LafontionQn 197 C.1 Dénitionet propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
C.2 Évaluationen−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
D Théoriedes inégalités inverses 201
