Raccordement de développements asymptotiques pour des problèmes aux valeurs propres comportant deux cavités reliées par un petit trou en dimensions 2 et 3

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des problèmes aux valeurs propres comportant deux cavités reliées par un petit trou en dimensions 2 et 3

Sébastien Tordeux

To cite this version:

Sébastien Tordeux. Raccordement de développements asymptotiques pour des problèmes aux valeurs

propres comportant deux cavités reliées par un petit trou en dimensions 2 et 3. Séminaire d’analyse

numérique, LJK, 2009, Grenoble, France. �inria-00528075�

Raccordement de d´ eveloppements asymptotiques pour des probl` emes aux valeurs propres comportant deux cavit´ es reli´ ees par un petit trou

en dimensions 2 et 3

S´ ebastien Tordeux

Institut de Math´ ematiques de Toulouse – INSA Toulouse

Grenoble, le 26 novembrer 2009

Motivation

Le coffrage d’une chambre de combustion de turbo-r´ eacteur de Turbo Meca (groupe SAFRAN, - Remerciements -).

Objectif: ´ etudier les effets des petits trous sur les fr´ equences de r´ esonances acoustiques

D´ eveloppement asymptotiques raccord´ es (MAE).

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Une bibliographie non exhaustive

Petits trous: Rauch et Taylor (75), Tuck (75), Sanchez-Hubert et Sanchez-Palencia (82), Taflov (88), Bonnet-BenDhia, Drissi et Gmati (04), Mendez et Nicoud (08), Gadyl’shin (92).

probl` eme de Dumbell: Beale (73), Jimbo et Morita (92), Brown, Hislop et Martinez (95), Arrieta (95), Ann´ e (95).

D´ eveloppements asymptotiques raccord´ es: Van Dyke (75), Il’in (92), Joly et Tordeux (06,08)

quasi-mode et min-max: Bamberger et Bonnet (90), Dauge, Djurdjevic,

Faou et R¨ ossle (99), Bonnaillie-No¨ el et Dauge (06).

Plan de l’expos´ e

1 Condition de Dirichlet en dimension 2 D´ efinition du d´ eveloppement asymptotique Estimations d’erreurs

Simulations num´ eriques

2 Condition de Neumann en dimension 3 D´ efinition du d´ eveloppement asymptotique Estimations d’erreurs

Simulations num´ eriques

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Partie I

Condition aux limites de Dirichlet en 2D avec Bendali, Huard, Tizaoui, Vila

INSA-Toulouse, Institut de Math´ ematiques de Toulouse

Le probl` eme mod` ele

Trouver u

∈ H ¹ (Ω

) et λ

∈ R tel que

( −∇ · (a∇u

) = λ

b u

dans Ω

, u

= 0 sur ∂Ω

,

avec a et b deux fonctions poistives r´ eguli` eres ` a deux cˆ ot´ es a| Ω

(0) 6= a| Ω

(0) et b| Ω

(0) 6= b| Ω

(0) Le petit param` etre δ > 0 est l’´ epaisseur du trou.

Ω

δ Ω

Ω

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le probl` eme limite

Trouver u

∈ H ¹ (Ω) et λ

∈ R tel que

( −∇ · (a∇u

) = λ

b u

dans Ω, u

= 0 sur ∂Ω,

avec a et b deux fonctions poistives r´ eguli` eres ` a deux cˆ ot´ es a| Ω

(0) 6= a| Ω

(0) et b| Ω

(0) 6= b| Ω

(0) Cette g´ eom´ etrie correspond ` a δ = 0.

Ω Ω

Ω

1

Hypoth` ese: Les valeurs propres de Ω sont simples.

Remarque: Ω n’est pas connexe.

u

| Ω

= 0 ou u

| Ω

= 0.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Th´ eorie classique des probl` emes aux valeurs propres

Les λ

et λ

forment des familles d´ enombrables:

 



0 < λ

₁ < λ

₂ < · · · < λ

−→

n→+∞

+∞

0 < λ 1 < λ 2 < · · · < λ

−→

n→+∞

+∞

Le principe du min-max:

λ

≤ λ

∀δ > 0 ∀n ∈ N Quelques questions naturelles:

λ

−→

δ→0

λ

?

Peut-on d´ eriver une m´ ethode efficace de calcul de λ

sans raffinement de maillage local?

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les d´ eveloppements asymptotiques raccord´ es

C’est une m´ ethode d´ ecomposition de domaine avec recouvrement

Ω ^δ champ lointain La solution est d´ ecompos´ ee en

un champ lointain.

un champ proche.

Les d´ eveloppements asymptotiques raccord´ es

C’est une m´ ethode d´ ecomposition de domaine avec recouvrement

Ω ^δ champ proche La solution est d´ ecompos´ ee en

un champ lointain.

un champ proche.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les d´ eveloppements asymptotiques raccord´ es

C’est une m´ ethode d´ ecomposition de domaine avec recouvrement

Ω ^δ zone de raccord La solution est d´ ecompos´ ee en

un champ lointain.

un champ proche.

Le d´ eveloppement asymptotique des valeurs propres

Le d´ eveloppement d’ordre 2 s’´ ecrit

λ

= λ ⁰ + δλ ¹ + δ ² λ ² + o

δ→0

(δ ² ).

Les coefficients λ

∈ R ne d´ ependent pas de δ

pas de fonction de jauge logarithmique? ce n’est pas trivial λ

= λ ⁰ + δλ ¹ + δ ² λ ² + δ ³ λ ³ + δ ⁴ λ ^4,0 + δ ⁴ ln δ λ ^4,1 + o

δ→0

(δ ⁴ ).

N´ ecessit´ e d’´ ecrire une preuve!

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le d´ eveloppement en champ lointain

Ω ^δ

δ −→ 0

Ω δ

Le d´ eveloppement d’ordre 2:

u

= u ⁰ + δu ¹ + δ ² u ² + o

δ→0

(δ ² ) Les coefficients u

sont

d´ efinis sur le domaine limite Ω

ind´ ependants de δ

Le d´ eveloppement en champ lointain

Les coefficients sont solutions de

 



Trouver u ⁰ : Ω → R et λ ⁰ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ⁰ ) + λ ⁰ b u ⁰ = 0, dans Ω,

u ⁰ = 0, sur ∂ Ω \ {0}.

 



Trouver u ¹ : Ω → R et λ ¹ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ¹ ) + λ ⁰ b u ¹ = −λ ¹ b u ⁰ , dans Ω,

u ¹ = 0, sur ∂Ω \ {0}.

(1)

 



Trouver u ² : Ω → R et λ ² ∈ R tels que

∇ · (a∇u ² ) + λ ⁰ b u ² = −λ ² b u ⁰ − λ ¹ b u ¹ , dans Ω,

u ² = 0, sur ∂Ω \ {0}.

(2)

Le coefficient u ⁰ est une fonction propre de Ω associ´ ee ` a λ ⁰ . Les coefficients u ¹ et u ² peuvent ˆ etre singuliers en x = 0.

Les probl` emes (1) et (2) ne d´ efinissent pas de mani` ere unique u ¹ et u ² .

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le d´ eveloppement en champ proche

Soit X = x δ , Y = y

δ et Π

(X , Y ) = u

(δX , δY ).

δ x

Ω

y

X = x/δ

1 Y

X

Ω

/δ

δ → 0

Ω b Y

1 X

Le d´ eveloppement d’ordre 2:

Π

(X , Y ) = Π ⁰ (X , Y ) + δ Π ¹ (X , Y ) + δ ² Π ² (X , Y ) + o

δ→0

(δ ² ).

Ses fonctions sont

d´ efinies sur le domaine de champ proche Ω. b

ind´ ependants de δ.

Les coefficients de champ proche

 



 

Trouver Π ⁰ ∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π ⁰ ) = 0 dans Ω, b Π ⁰ = 0 sur ∂ Ω. b

 



 

Trouver Π ¹ ∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π ¹ ) = −∇ · (a 1 ∇Π ⁰ ) dans Ω, b Π ¹ = 0 sur ∂ Ω. b

 



 

Trouver Π ² ∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π ² ) = −∇ · (a 1 ∇Π ¹ ) − ∇ · (a 2 ∇Π ⁰ ) − λ 0 b 0 Π ⁰ dans Ω, b Π ² = 0 sur ∂ Ω. b

Ω 1.

1 a 0 , a 1 et a 2 les fonctions 2 cˆ ot´ es

 

 

 

 a 0 | _Ω

int

(X) = a| Ω

(0) et a 0 | _Ω

(X) = a| Ω

(0), a 1 | _Ω

int

(X) = ∇a| Ω

(0) · X et a 1 |

_Ω

ext

(X) = ∇a| Ω

(0) · X, a 2 | _Ω

int

(X) = ¹ ₂ X · (H

| Ω

(0)X) et a 2 | _Ω

ext

(X) = ¹ ₂ X · (H

| Ω

(0)X).

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le d´ eveloppement en champ proche

Les coefficients sont solutions des probl` emes elliptiques de symbol principal ∇ · (a 0 ∇) ` a deux cˆ ot´ es

a 0 | Ω

= a

(0) et a 0 | Ω

= a

(0) (3) munis de condition de transmission

 



 

[Π ⁰ ] = 0 et [a 0 ∂

Π ⁰ ] = 0,

[Π ¹ ] = 0 et [a 0 ∂

Π ¹ ] = −[a 1 ∂

Π ⁰ ],

[Π ² ] = 0 et [a 0 ∂

Π ² ] = −[a 1 ∂

Π ¹ ] − [a 2 ∂

Π ⁰ ].

sur le domaine de champ proche Ω b Ω := b R ² \

{0} ×

− ∞, − 1 2 [∪], 1

2 , +∞

. (4)

Ces probl` emes ne d´ efinissent pas de mani` ere unique Π ⁰ , Π ¹ et Π ² .

Information manquante: Le comportement asymtptotique de Π

` a l’infini.

Le raccordement des d´ eveloppements asymptotiques

On assure l’unicit´ e de u ¹ , u ² , Π ⁰ , Π ¹ et Π ² en d´ erivant des conditions de raccord. On utilise un principe de type Van Dyke

1 Le champ lointain est tronqu´ e ` a l’ordre m X

i=0

δ

u

. (5)

2 Pour x = δX, on d´ eveloppe jusqu’` a obtenir un reste d’ordre o(δ

).

X

δ

u

(δX) = X

i=0

δ

U

(X) + o

δ→0

(δ

). (6)

3 Ceci d´ efinit les comportements ` a l’infini U

des champs proches Π

Π

− U

= o

R→+∞

( 1

R

) ∀i ∈ [[0, m]]. (7)

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients limites

Nous obtenons les conditions de raccord et obtenons les d´ efinitions de u ⁰ , λ ⁰ et Π ⁰ .

Champ lointain. La fonction u ⁰ est une fonction propre de l’op´ erateur elliptique:

 

 

 



Trouver u ⁰ ∈ H ¹ (Ω) et λ ⁰ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ⁰ ) + λ ⁰ b u ⁰ = 0, dans Ω,

u ⁰ = 0, sur ∂ Ω.

(8)

Pour simplifier la pr´ esentation, on consid` ere le cas u ⁰ ≡ 0 dans Ω

Champ proche. La coefficient Π ⁰ v´ erifie

Π ⁰ ≡ 0. (9)

Les coefficients d’ordre 1

Les conditions de raccord permettent de d´ efinir de mani` ere unique u ¹ , λ ¹ et Π ¹ . Champ lointain.

 



 

Trouver u ¹ ∈ H ¹ (Ω) et λ ¹ ∈ R tel que

∇ · a ∇u ¹

+ λ ⁰ b u ¹ = −λ ¹ b u ⁰ , dans Ω,

u ¹ = 0, sur ∂Ω.

(10) En fait, u ¹ est r´ egulier. D’apr` es l’alternative de Fredholm, le second membre doit ˆ etre orthogonal ` a u ⁰

λ ¹ Z

Ω

b(x, y) u ⁰ (x, y ) 2

dx dy = 0. (11)

On obtient λ ¹ = 0.

u ¹ est alors d´ efini ` a sa composante u <sup>0</sup> pr` es

u ¹ = γ u ⁰ dans Ω

et u ¹ = 0 dans Ω

, avec γ ∈ R . (12) On peut arbitrairement ajouter la condition

Z

Ω

b(x , y ) u ¹ (x , y ) u ⁰ (x, y) dx dy = 0 ⇒ u ¹ ≡ 0.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients d’ordre 2

La proc´ edure de raccord introduit le probl` eme suivant

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Trouver u ² : Ω → R et λ ² ∈ R tels que

∇ · (a ∇u ² ) + λ ⁰ b u ² = −λ ² b u ⁰ , dans Ω, u ² = 0, sur ∂Ω \ {0}.

u ²

(x) − ∂

u ⁰

(0) 1 8

a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

sin (θ)

r = O

r→0

(1), u ²

(x) + ∂

u

⁰ (0) 1

8

a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

sin (θ)

r = O

r→0

(1),

(13)

La fonction u ² est singuli` ere: u ² 6∈ H ¹ Ω .

A cause de ces singularit´ es, l’alternative de Fredholm ne peut pas ˆ etre appliqu´ ee directement pour obtenir λ ² .

Proposition: Le probl` eme (13) admet des solutions. De plus, si (u ² , λ ² ) et (u

² , λ ²

) sont deux solutions alors elles v´ erifient

λ ² = λ ²

= − π 8

(a| Ω

(0)) ² a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

|∂

u

⁰ (0)| ²

ku ⁰ k ² ₀ et ∃γ ∈ R : u

² −u ² = γu ⁰ .

Les coefficients d’ordre 2

Id´ ee de la preuve: On introduit la fonction auxiliare ω ² ω ²

= u ²

− χ(r) ∂

u ⁰

(0) 1

8

a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

sin (θ)

r ∈ L ² Ω

,

ω ²

= u ²

+ χ(r) ∂

u

⁰ (0) 1 8

a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

sin (θ)

r ∈ L ² Ω

. (14) avec χ une fonction de troncature r´ eguli` ere:

t t = 2 t = 1

1 χ(t )

On applique alors l’alternative de Fredholm ` a ω

qui est r´ egulier et on obtient λ 2 .

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

D´ eveloppement des valeurs propres

Th´ eor` eme:

Pour tout δ > 0, il existe une valeur propre λ

qui v´ erifie

λ

− (λ ⁰ + δ ² λ ² ) ≤ C δ ³ | ln(δ)| (15) avec

 

 

 



λ ² = − π 8

(a| Ω

(0)) ² a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

|∂

u ⁰

(0)| ² R

Ω b(u ⁰ ) ² , si u ⁰

= 0, λ ² = − π

8

(a| Ω

(0)) ² a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

|∂

u ⁰

(0)| ² R

Ω b(u ⁰ ) ² , si u ⁰

= 0.

(16)

G´ en´ eralisation d’un r´ esultat de Gadyl’shin (92) pour le cas ` a coefficients

constants.

Id´ ee de la preuve: une approximation quasi-mode

Un mode (u

, λ

) ∈ H ₀ ¹ (Ω

) × R v´ erifie u

6= 0 et Z

Ω

a∇u

∇v − λ

Z

Ω

bu

v = 0, ∀v ∈ H ₀ ¹ (Ω

).

Un ε-quasi-mode (w

, µ

) ∈ H 0 ¹ (Ω

) × R v´ erifie w

6= 0 et

Z

Ω

a∇w

∇v − µ

Z

Ω

bw

v

≤ εkw

k

b

(Ω

) kvk

b

(Ω

) , ∀v ∈ H 0 ¹ (Ω

).

Lemme:

Soit (w

, µ

) un ε-quasi-mode. Il existe un mode (u

, λ

):

λ

− µ

≤ ε.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Id´ ee de la preuve: une approximation uniform´ ement valide

Soit le quasi-mode ( w e

, λ ⁰ + δ ² λ ² ) e

w

= χ

u ⁰ + δ u ¹ + δ ² u ² + Ψ

Π b ⁰ + δ Π b ¹ + δ ² Π b ²

− χ

Ψ

U b 2 ⁰ + δ U b 2 ¹ + δ ² U b 2 ²

. avec

χ

la fonction de troncature d´ efinie par χ

(r, θ) := χ (r /δ).

Ψ la fonction de troncature d´ efinie par Ψ(r, θ) = 1 − χ(r);

Π b

les champs proches exprim´ es en fonction de x, Π b

(x) = Π

(x/δ).

U b

les comportements communs aux champs proches et champs lointains b

U

(x) = U

(x/δ).

Id´ ee de la preuve: estimation finale

Estimation:

a( w e

, v ) − λ ⁰ + δ ² λ ²

( w e

, v ) 0

≤ C δ ² k w e

k 0 kv k 0 , ∀v ∈ H 0 ¹ (Ω

).

⇒ Existence d’une valeur propre λ

de l’op´ erateur elliptique sur Ω

v´ erifiant λ

= λ ⁰ + δ ² λ ² + O

δ→0

δ ² . C’est un r´ esultat sous-optimal

λ

= λ ⁰ + O

δ→0

δ ² .

D´ eveloppement asymptotique du troisi` eme ordre ⇒ estimation optimale λ

= λ ⁰ + δ ² λ ² + O

δ→0

δ ³ ln δ

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

A-t-on identifi´ e l’ensemble des valeurs propres?

Etat des lieux:

Il existe un λ

dans un petit voisinage de λ

0 < λ

≤ λ

pour δ suffisamment petit.

Des questions

un unique λ

dans le voisiage de λ

? d’autres λ

?

λ

λ

λ

λ

the eigenvalue λ

the eigenvalue λ

A-t-on identifi´ e l’ensemble des valeurs propres?

Etat des lieux:

Il existe un λ

dans un petit voisinage de λ

0 < λ

≤ λ

pour δ suffisamment petit.

Des r´ eponses (grˆ ace au min-max)

un unique λ

dans le voisiage de λ

? oui d’autres λ

? non

λ

λ

λ

λ

the eigenvalue λ

the eigenvalue λ

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Simulation num´ erique: Un cas semi-analytique

Ω

est d´ efini par la figure suivante avec

Ω

=] − 2, 0[×] − 2.5, 1.5[ and Ω

=]0, 2.5[×] − 1.5, 1[. (17)

A computational mesh.

Rappel: les ´ el´ ements propres du rectangle 0, a

× 0, b

sont connus analytiquement

λ

= π r n ²

a ² + m ²

b ² , U

x, y

= sin nπ a x

sin mπ b y

. (18)

Simulation num´ erique: Un cas semi-analytique

n= 0 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 λn

λn+δ²λ²_n λ^δ_n

* * *

δ λ^·_n

Les λ ^2,δ

sont calcul´ es analytiquement Les λ

sont calcul´ es num´ eriquement

n λ

λ ²

0 2.38 −0.087 1 3.08 −0.207 2 4.80 −0.135 3 4.93 −0.121 4 7.12 −0.347 5 8.02 −0.036

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les erreurs relatives

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 0

δ

|λ^δ₀−λ^2,δ₀|/λ0

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 1

δ

|λ^δ1−λ^2,δ₁|/λ1

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 2

δ

|λ^δ₂−λ^2,δ₂|/λ2

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 3

δ

|λ^δ3−λ^2,δ₃|/λ3

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 4

δ

|λ^δ₄−λ^2,δ₄|/λ4

10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ 10⁻⁴ 10⁻⁵ 10⁻⁶

10⁻¹ 1

n= 5

δ

|λ^δ5−λ^2,δ₅|/λ5

Partie II

Condition aux limites de Neumann en 3D avec Fares (Cerfacs), Tizaoui

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le probl` eme mod` ele

Le probl` eme:

Trouver u

∈ H ¹ (Ω

) et λ

∈ R tels que ( −∇ · (a∇u

) = λ

b u

dans Ω

,

∂

u

= 0 sur ∂Ω

,

avec a et b deux fonctions r´ eguli` eres, positives et deux cˆ ot´ es

a| Ω

(0) 6= a| Ω

(0) and b| Ω

(0) 6= b| Ω

(0) Le petit parm` etre δ > 0 est le

diam` etre du trou.

Le trou est d´ efinie de mani` ere autosimilaire autour de 0 Σ

= δΣ.

Ωint

Ωext

x z

y

Σδ

1

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le probl` eme limite

Le probl` eme:

Trouver u

∈ H ¹ (Ω) et λ

∈ R tels que ( −∇ · (a∇u

) = λ

b u

dans Ω,

∂

u

= 0 sur ∂Ω,

Cette g´ eom´ etrie correspond ` a δ = 0 La valeur propre z´ ero est forc´ ement double!

pas d’hypoth` ese sur la multiplicit´ e

Ωint

Ωext

x z

y

1

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Th´ eorie classique des probl` emes aux valeurs propres

Les λ

et λ

forment des familles d´ enombrables:

 



0 = λ

₁ < λ

₂ ≤ λ

₃ ≤ · · · ≤ λ

≤ λ

−→

n→+∞

+∞

0 = λ 1 = λ 2 < λ 3 ≤ · · · ≤ λ

≤ λ

−→

n→+∞

+∞

Le principe du min-max:

λ

≥ λ

∀δ > 0 ∀n ∈ N Quelques questions naturelles:

λ

−→

δ→0

λ

?

Peut-on d´ eriver une m´ ethode efficace de calcul de λ

sans raffinement de

maillage local?

Le d´ eveloppement des valeurs propres

Le d´ eveloppement d’ordre 1 s’´ ecrit

λ

= λ ⁰ + δλ ¹ + o

δ→0

(δ).

Les coefficients λ

∈ R ne d´ ependent pas de δ Fonction de jauge logarithmique d` es l’ordre 2

λ

= λ ⁰ + δλ ¹ + δ ² λ ^2,0 + δ ² ln δ λ ^2,1 + o

δ→0

(δ ² ).

tr` es ´ etonnant en dimension 3 (coefficients variables)

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le d´ eveloppement en champ lointain

Ωint Ωext

x z

y

Σδ

δ→0

Ωint Ωext

x z

y

1

Le d´ eveloppement d’ordre 1:

u

= u ⁰ + δu ¹ + o

δ→0

(δ) Les coefficients u

sont

d´ efinis sur le domaine limite Ω

ind´ ependants de δ

Les coefficients de champ lointain

Les coefficients sont solutions de

 



Trouver u ⁰ : Ω → R et λ ⁰ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ⁰ ) + λ ⁰ b u ⁰ = 0 dans Ω,

∂

u ⁰ = 0 sur ∂Ω \ {0}.

 



Trouver u ¹ : Ω → R et λ ¹ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ¹ ) + λ ⁰ b u ¹ = −λ ¹ b u ⁰ dans Ω,

∂

u ¹ = 0 sur ∂Ω \ {0}.

Les u

peuvent ˆ etre singulier en 0.

Information manquante: le comportement de u

en 0.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le d´ eveloppement en champ proche

Ωint Ωext

x z

y

Σδ

X=^x_δpuisδ→0

Ωint Ωext

X Z

Y

Σ

1

Le d´ eveloppement d’ordre 1:

Π

(X) = u

(Xδ) et Π

= Π ⁰ + δΠ ^1,0 + δ ln δ Π ^1,1 + o

δ→0

(δ) Les coefficients Π

sont

d´ efinis sur le domaine limite Ω b

ind´ ependants de δ

Les coefficients de champ proche

 



 

Trouver Π ⁰ ∈ H

¹ ( Ω) tel que b

∇ · (a 0 ∇Π ⁰ ) = 0 dans Ω, b

∂

Π ⁰ = 0 sur ∂ Ω. b

 



 

Trouver Π ¹ ∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π ¹ ) = −∇ · (a 1 ∇Π ⁰ ) dans Ω, b

∂

Π ¹ = 0 sur ∂ Ω. b

a 0 et a 1 les fonctions 2 cˆ ot´ es

 

 

 



 

 

  a 0 |

_Ω

int

(X) = a| Ω

(0) a 0 |

_Ω

(X) = a| Ω

(0), a 1 |

_Ω

int

(X) = ∇a| Ω

(0) · X, a 1 |

_Ω

(X) = ∇a| Ω

(0) · X.

Il manque les comportements en +∞.

Ωint Ωext

X Z

Y

Σ

1

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients limites

Le champ lointain limite

 



Trouver u ⁰ ∈ H ¹ (Ω) et λ ⁰ ∈ R tels que

∇ · (a∇u ⁰ ) + λ ⁰ b u ⁰ = 0 dans Ω,

∂

u ⁰ = 0 sur ∂Ω \ {0}.

On limite notre pr´ esentation au cas d’une valeur propre simple avec u ⁰ | Ω

= 0.

Le champ proche limite

 

 

 

 

 

 

 



Trouver Π ⁰ ∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π ⁰ ) = 0 dans Ω, b

∂

Π ⁰ = 0 sur ∂ Ω, b Π ⁰ |

_Ω

int

(X) = u ⁰ | Ω

(0) + o

kXk→+∞

(1), Π ⁰ |

_Ω

ext

(X) = o

kXk→+∞

(1).

Un laplacien ` a deux cˆ ot´ es

Les coefficients limites

R´ esolution du probl` eme de champ proche

Le coefficient a 0 est constant par partie. On peut utiliser une m´ ethode d’´ equation int´ egrale

Par lin´ earit´ e on se ram` ene ` a un probl` eme canonique

 

 

 

 

 

 

 



Trouver Π

∈ H

¹ (b Ω) tel que

∇ · (a 0 ∇Π

) = 0 dans Ω, b

∂

Π

= 0 sur ∂ Ω, b Π

| _Ω

int

(X) = 1 + o

kXk→+∞

(1), Π

| _Ω

(X) = o

kXk→+∞

(1), On identifie des champs sortants

Π

| _Ω

int

= 1 + Π

|

_Ω

int

et Π

| _Ω

= Π

|

_Ω

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients limites

R´ esolution du probl` eme de champ proche

 



 

∆Π

= 0 dans Ω b

,

∆Π

= 0 dans Ω b

,

∂

Π

= 0 sur ∂ Ω. b

Repr´ esentation int´ egrale dans Ω b

et Ω b

(principe des images)

 



 

Π

= −2S ∂Π

∂z

Σ

⇐⇒ Π

= 1 − 2S ∂Π

∂z Σ

, Π

= 2S ∂Π

∂z

Σ

⇐⇒ Π

= 2S ∂ Π

∂z Σ

. avec S l’op´ erateur de simple couche

S : (H

(Σ)

7→ H

(Σ), λ 7→ Sλ(X) = 1 4π

Z

Σ

λ(X

)

kX − X

k dX

.

Les coefficients limites

R´ esolution du probl` eme de champ proche Condition de transmission ` a travers Σ

Π

| Σ

= Π

| Σ

et a| Ω

(0) ∂

Π

| Σ

= a| Ω

(0) ∂

Π

| Σ

= ⇒ notre potentiel inconnu λ

∂

Π

| Σ

= − a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

λ

2

∂

Π

| Σ

= − a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

λ

2 . Le potentiel λ

d´ epend seulement de la g´ eom´ etrie

Chercher λ

∈ H

(Σ)

tel que Sλ

= 1 sur Σ.

R´ esolution num´ erique par ´ el´ ements de fronti` ere

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients limites

C’est gagn´ e! on a Π

par repr´ esentation int´ egrale

Π

=

 

 

 



1 − a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

1 4π

Z

Σ

λ

(X

) kX − X

k dX

dans Ω b

, + a| Ω

(0)

a| Ω

(0) + a| Ω

(0) 1

4π Z

Σ

λ

(X

) kX − X

k dX

dans Ω b

. Comportement ` a l’infini

Π

| _Ω

int

(X) = 1 − a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

α kXk Π

| _Ω

(X) = a| Ω

(0)

a| Ω

(0) + a| Ω

(0) α kXk avec α = 1

4π Z

Σ

λ

(X

) kX

k d X

.

Lorsque Σ est un cercle de rayon ρ, on a α = 2

π ρ.

Les coefficients d’ordre 1

Champ proche d’ordre 1

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

Trouver u ¹ _n : Ω −→ R,

∇ · a ∇ u _n ¹

+ λ n b u _n ¹ = − λ ¹ _n b u n dans Ω,

∂ _n u _n ¹ = 0 sur ∂Ω \ { 0 } , u ¹ _n + a | Ω

(0) α

a | Ω

(0) + a | Ω

(0) u n | Ω

(0) 1

k x k ∈ H ¹ (Ω int ), u ¹ _n − a | Ω

(0) α

a | Ω

(0) + a | Ω

(0) u n | Ω

(0) 1

k x k ∈ H ¹ (Ω ext ), On peut appliquer l’alternative de Fredholm ` a

v = u _n ¹ + a | Ω

(0) α

a | Ω

(0) + a | Ω

(0) u n | Ω

(0) ∈ H ¹ (Ω ext ).

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les coefficients d’ordre 1

Le coefficient u

¹ existe et est unique modulo u

et λ ¹

= 2 π α a| Ω

(0)a| Ω

(0)

a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

u

(0) 2

R

Ω b u

2 . D´ eveloppement asymptotique en 0 de u ¹

(th´ eorie de Kondratiev)

u

¹ | Ω

(x) = − a| Ω

(0) α

a| Ω

(0) + a| Ω

(0) u

| Ω

(0) 1 r − s ¹

(x)

2 + r

¹ (x) , (19) avec

s ¹

| Ω

(x) = ∇a| Ω

(0) a| Ω

(0) · x

kxk + ∂

a| Ω

(0)

a| Ω

(0) ln kxk − z 2

et r

¹ : Ω

−→ R une fonction continue.

Pour les coefficients de champ proche d’ordre 1, cela se corse!

Le r´ esultat principal

Th´ eor` eme: valeur propre simple

Si λ

est une valeur propre simple du probl` eme limite, alors λ

admet le d´ eveloppement suivant

λ

= λ

+ 2 π α a| Ω

(0)a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

u

(0) 2

R

Ω b u

2 δ + O

δ→0

(δ ² ln δ), avec α un coefficient d´ ependant seulement de la forme du trou et la notation

u(0) = u

Ω

(0) si u| Ω

= 0, u(0) = u

Ω

(0) si u| Ω

= 0.

Toutes les quantit´ es pr´ esentes ne n´ ecessitent pas de raffinement de maillage.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Le r´ esultat principal

Th´ eor` eme: valeur propre multiple

Si λ

est une valeur propre du probl` eme limite de multiplicit´ e N + 1 (λ

= · · · = λ

), alors

 

 

 

 

 

 

 

 

 



λ

= λ

+ O

δ→0

(δ ² ),

· · · λ

= λ

+ O

δ→0

(δ ² ),

λ

= λ

+ 2πα a| Ω

(0)a| Ω

(0) a| Ω

(0) + a| Ω

(0)

N−1

X

p=0

u

(0) 2

R

Ω b u

2 δ + O

δ→0

(δ ² ln δ),

avec α un coefficient d´ ependant seulement de la forme du trou.

Simulations num´ eriques

Deux s´ eries d’exp´ eriences avec deux g´ eom´ etries et deux jeux de a et b 10 valeurs pour δ de 10

` a 1

δ = 10

avec n = 0, · · · , 10

Artillerie lourde: 1 mailleur pro et 3 codes parall´ elis´ es du CERFACS Altair Hypermesh: mailleur pro

CESC: d´ evelopp´ e par Fares et Bendali solveur ´ el´ ements finis P 1 3D.

solveur ´ el´ ements de fronti` ere P 1 3D .

ARPACK: solveur aux valeurs propres d´ evelopp´ e par Sorensen et al.

MUMPS: solveur direct de syt` eme lin´ eaire creux calcul des λ

avec raffinement de maillage (#ddl > 10 ⁶ ) calcul des λ

sans raffinement de maillage

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Premi` ere exp´ erience

Le laplacien classique

a = 1 et b = 1. (20)

D´ efinition du domaine de calcul: deux cavit´ es droites Ω

=] −

₂ ,

₂ [×] −

₃

, ^2` ₃

[×] − `

, 0[, Ω

=] −

₄ , ^3`

₄ [×] −

₃

, ^2` ₃

[×]0, `

[.

avec `

= .6, `

= 1., `

= .8, `

= .3.

forme du trou Σ: Le polygone reliant les points A = (0, 0), B = (0, .1),

C = (−.08, .1), D = (−.08, −.08), E = (.1, −.08) et F = (.1, 0)

α = 0.0578

A B C

D E

F Σ

1

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

La g´ eom´ etrie

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Premiers r´ esultats

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

n= 1 et 2 n= 3 n= 4 et 5

λn λ^δn λn+δλ¹n

1

n λ _n

1 0

2 0

3 9.87 4 15.4 5 15.4

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les erreurs relatives

Les erreurs pour la premi` ere valeur propre

Le vecteur propre 1 est double pour le probl` eme limite

λ 1 = λ 2 = 0.

Il est aussi vecteur propre pour le probl` eme mod` ele

λ

₁ = λ 1 = 0

10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

|

1

λ 2 = 0

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les erreurs relatives

Les erreurs relatives pour les deux premi` eres valeurs propres doubles

10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

| /λ

1 10

10

10

10

10

10

10

1 δ

|λ

− λ

|/λ

1 10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

| /λ

1 valeur propre simple λ 3 = 9.87 valeur propre double λ 4 = λ 5 = 15.4

Probl` eme de pr´ ecision du solveur valeurs propres. C’est normal vu le nombre de degr´ es de libert´ es qui d´ epasse le million.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Deuxi` eme exp´ erience

Un laplacien deux cˆ ot´ es

a| Ω

= 2, a| Ω

= 1, b| Ω

= 1, b| Ω

= 2.

D´ efinition du domaine de calcul: une cavit´ e droite et une pyramide Ω

=] −

₄

, ^3` ₄

[×] −

₃

, ^2` ₃

[×] − `

, 0[, Ω

= simplex(A, B , C, D, E).

avec

`

= 1., `

= .8, `

= .3.

A = (.3, −.4, 0), B = (−.7, . − .4, 0), C = (−.5, .2, 0) and D = (.3, .2, 0) et E = (.1, .1, .7).

Forme du trou Σ: un cercle de rayon .1.

α = 0.0636

Σ

1

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

La g´ eom´ etrie

Premiers r´ esultats

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25

n= 1 et 2 n= 3 n= 4 n= 5

λn λ^δn λn+δλ¹n

1

n λ n

1 0

2 0

3 9.24 4 16.7 5 19.7

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les erreurs relatives

Les erreurs relatives pour la seule valeur propre double

Le vecteur propre 1 est double pour le probl` eme limite

λ 1 = λ 2 = 0.

Il est aussi vecteur propre pour le probl` eme mod` ele

λ

₁ = λ 1 = 0

10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

|

1

λ 2 = 0

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Les erreurs relatives

Les erreurs relatives pour les trois premi` eres valeurs propres simples

10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

| /λ

1 10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

| /λ

1 10

10

10

10

10

10

10

1 δ

| λ

− λ

| /λ

1

λ 3 = 9.24 λ 4 = 16.7 λ 5 = 19.7 .

Probl` eme de pr´ ecision du solveur valeurs propres. C’est normal vu le nombre de degr´ es de libert´ es qui d´ epasse le million.

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres

Conclusion

R´ esultats principaux: Une approximation des valeurs propres avec une assise th´ eorique

sans raffinement de maillage au voisinage du trou Quelques publications:

Dirichlet 2D: Bendali, Tizaoui, Tordeux, Vila, SAM Research Report (2009)

Dirichlet 2D: Bendali, Huard, Tizaoui, Tordeux and Vila, CRAS (2009) Neumann 3D: Fares, Tizaoui and Tordeux, en pr´ eparation

Remerciements: Ce travail est en partie financ´ e par l’ANR: projet APAM

(Acoustique et Paroi Multi-perfor´ ee).

Je vous remercie

S. Tordeux MAE pour un probl` eme aux valeurs propres