Analyse de comportement dynamique et du flambement des plaques sandwiches FGM dans un environnement hygrothermique

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DJILLALI LIABES SIDI BEL ABBES

Laboratoire des Matériaux & Hydrologie

FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL & TRAVAUX PUBLICS THESE DE DOCTORAT EN SCIENCES

Spécialité : Génie Civil Option : Structures et matériaux

Présentée par

HELLAL Hadjira

Sujet de thèse

Analyse de comportement dynamique et du flambement

des plaques sandwiches FGM dans un environnement

hygrothermique

Soutenue le

Devant le Jury composé de :

Mr_{. TOUNSI Abdelouahed} _{Professeur UDL-SBA} _Président

Mr. BOURADA Mohamed MCA UDL-SBA Directeur de these

Mr. FAHSI Bouazza Professeur UDL-SBA Examinateur

Mr_{. HEBALI Habib} _{MC A} _U.TIARET _Examinateur

Mr. ABDELBAKI CHIKH MC A U.TIARET Examinateur

Mr. YAGHNEM Redah Professeur U. SAIDA Examinateur

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--

Remerciement

Mes remerciements vont tout premièrement à Allah tout puissant pour la volonté, la santé et la puissance, qu’il m’a donné durant toutes ces années d’études.

Le présent travail a été effectué au sein du Laboratoire des Matériaux et Hydrologie, de l’Université Djillali Liabès Sidi Bel Abbes, sous la direction de Monsieur BOURADA Mohamed, Maitre de conférences classe A à l’Université Djilali Liabes de Sidi Bel Abbes. En premier lieu, je remercie chaleureusement mon encadreur qui a été attentif à l’évolution de ma recherche et a apporté toute sa contribution pour mener à bien ce travail. Ses qualités humaines et scientifiques, Ses conseils avisés ont permis d’aplanir bien des difficultés.

J’exprime également toute ma reconnaissance à Monsieur, TOUNSI Abdelouahed, Professeur à l’Université DJELALI Liabes de Sidi Bel Abbés, de m’avoir fait l’honneur de présider le jury de soutenance.

Mes vifs remerciements s’adressent aussi à : Monsieur FAHSI Bouazza, Professeur à l’Université DJELALI Liabes de Sidi Bel Abbés, Monsieur HEBALI Habib et CHIKH Abdelbaki Maitre de conférences classe A à l’Université de Tiaret et Monsieur YAGHNEM Redha Professeur à l’Université de Saida de m’avoir fait l’honneur d’être les examinateurs de cette thèse. Qu’il me soit permis de leur exprimer ma profonde gratitude.

J’adresse également mes remerciements les plus vifs à Monsieur Adda Bedia El Abbas, Professeur à l’Université Djilali Liabes de Sidi Bel Abbes, Je le remercie pour m’avoir donné l’opportunité de réaliser ce travail.

Mes remerciements vont à l’ensemble du personnel du laboratoire LM&H et aux personnels du département de Génie Civil de l’Université de Abbes, et également aux membres de ma famille qui m’ont supporté moralement durant toute la période de l’élaboration de cette thèse.

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Dédicace

Je dédié ce travail

A la mémoire de mon cher père, que Dieu clément et miséricordieux ait pitié

de son âme. De tous les pères, tu as été le meilleur, tu as su m’entourer

d’attention, m’inculquer les valeurs nobles de la vie, m’apprendre le sens

du travail, de l’honnêteté et de la responsabilité.

A la plus douce et la plus merveilleuse de toutes les mamans. Des mots ne

pourront jamais exprimer la profondeur de mon respect, ma considération,

ma reconnaissance et mon amour éternel. Que Dieu te préserve des

malheurs de la vie afin que tu demeures le flambeau illuminant mon

chemin…

A mes chers beaux parents. Je vous dédie ce travail en reconnaissance de

l’amour que vous m’avez offert depuis mon mariage, de tous les sacrifices

que vous vous êtes imposés pour assurer notre vie de couple et notre bien

être, de votre tolérance, et de votre bonté exceptionnelle. Vous restez pour

moi le symbole d’un amour original et d’une parenté idéale.

A mon valeureux mari Sid Ahmed pour son soutien et sa compréhension

A ma petite perle Mustapha Ismail. Ta joie de vivre et ton sourire ont été

pour moi le meilleur encouragement que je puisse avoir. J’espère que ma

thèse sera pour toi source de fierté et qu’elle sera un exemple à suivre. Que

Dieu te garde et te protège.

A mes frères et mes sœurs ainsi que mes beaux frères et mes belles sœurs

A mes neveux et mes nièces

A messieurs et mesdames les professeurs qui m’ont aidé pour y parvenir

A mes amies et mes collègues de travail

A tous les gens que je connaisse

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صـــــــخــلـــم

دج جذومن ةساردل سركم لمعلا اذه دي ةخجفصلا هوشت" عم ةطجسبلا لواخنس ثجخ " تارجػتم ةعبرأب صقلا " يف .يفجظولا جردتلا تاذ داوملا طبرو تاجكجمانيدلا ىلع ةيرارخلا ةئجبلا تارجثأت راوظإ دئافص ةمعدم "ةجقبط نم ةنرم سسأب رلكنيو" زارط ."كانرتساب ةكرخلا تلاداعم ىلع لوصخلا متي لامعتساب .ةيرارخلا تارجثأتلا ىلع يوتخي يذلا نوتلماه أدبم اذه مدذتسي " جذومنلا لأا يذ "تارجػتم ةعبر يو طقف ؤ رجػتلا رابتعلاا يف ذذ يثلثملأ " داوجلإ ."ضرعتسملا صقلا ىلإ ةفاضإ ،كلذ هذه دبصت طوػضلا ةمدعنم " نم ةجلفسلاو ةيولعلا دطسلأا ىلع ةخجفصلا بطلا ةجق " (sandwich plate) . ةزجم ددع لجلقت ىلإ يدؤي امم ، حوزنلا لاجم يف لماكتلا دلطصم ةفاضإ يه ةػجصلا هذه لهاجملا تلاداعملاو .ةجساسلأا " نم ةفلتذم عاونأ صخف متي ا ل دئافص ةجقبطلا داوم نم ةعونصم " ةجصاذ تاذ .ةساردلا هذه يف ةجفجظو .ةجلاخلا حئاتنلاب ةبوسخملا حئاتنلا ةنراقم متت ، جذومنلا ةخص نم ققختلل تت ةخرتقملا ةغاجصلل ةبوسخملا حئاتنلا نأ ةنراقملا ةجئاصقتسلاا تاساردلا فشكت او امت قف ام " تايرظن عم .ىرذلأا "ىلعلأا صقلا هوشت رشؤمو ةنرملا ساسلأا تلاماعمو ةبوطرلاو ةرارخلا ةجرد عافترا تارجثأت راوظلإ يدودخ دسم ءاشنإ مت ىلع ةقاطلا نوناق تها ــ و تازاز تلا و ءا تا ةخجفصلا ةجقبطلا نم ةنوكملا داوملا يفجظولا جردتلا تاذ . دجتافم تاملك : ا ،زازتهلاا ةخجفصلا ،ةجفجظولا جردتلا ةدام ،ءاوتللا نرملا ساسلأا ،ةجقبطلا .

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Résumé

Ce travail est consacré à l’étude d’un nouveau modèle de plaque simple à « déformation par cisaillement à quatre variables » où nous essayerons de démontrer les effets de l’environnement hygrothermal sur la dynamique et le flambement des matériaux à gradient fonctionnel en « plaques sandwiches » supportées par des fondations élastiques de «Winkler – Pasternak». Les équations de mouvement sont obtenues à partir du principe de Hamilton contenant les influences hygrothermiques. Ce modèle utilise uniquement «quatre variables» et prend en compte la variation trigonométrique de la «contrainte de cisaillement transverse». En outre, ces contraintes deviennent nulles aux surfaces supérieure et inférieure de la «plaque sandwiche». La nouveauté de cette formulation est l'ajout de l’intégral terme dans le domaine du déplacement, ce qui conduit à une réduction du nombre d'inconnues et d'équations de base. Différents types de « plaques sandwiches» en matériau de qualité fonctionnelle sont examinés dans cette étude. Pour vérifier la validité du modèle, les résultats calculés sont comparés aux résultats existants. Les enquêtes comparatives révèlent que les résultats calculés de la formulation proposée concordent parfaitement avec ceux d'autres «théories de déformation en cisaillement plus élevé». L'enquête paramétrique est établie pour démontrer les effets de l'élévation de la température, de l'humidité, des coefficients de fondation élastiques et de l’indice de la loi de puissance sur les vibrations et les flambements des « plaques sandwiches » FGM.

Mots clés

Vibration, flambement, matériau à gradient fonctionnel, plaque sandwiche, fondation élastique.

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Abstract

A new simple “four-variable shear deformation” plate model is proposed in this work to demonstrate the hygrothermal environment effects on dynamic and buckling of functionally graded material “sandwich plates” supported by “Winkler–Pasternak” elastic foundations. Equations of motion are obtained from Hamilton’s principle containing the hygrothermal influences. This model uses only “four variables” and considers trigonometric variation of “transverse shear stress.” In addition, these stresses become zero at the upper and lower surfaces of the “sandwich plate”. The novelty of this formulation is the addition of the integral term in the field of displacement, which leads to reduction of the number of unknowns and basic equations. Various kinds of functionally graded material “sandwich plates” are examined in this study. To verify the validity of the model, the calculated results are compared with the existing results. Comparison investigations reveal that the computed results of the proposed formulation are in excellent agreement with those of other “higher hearde formation theories.”Parametric investigation is established to demonstrate the effects of temperature rise, moisture condition, elastic foundation coefficients, and power law index on the vibration and buckling of functionally graded material “sandwich plates.”

Keywords

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HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel

Abbes-SOMMAIRE

صخلم Résumé Abstract Liste des notations

Liste des figures Liste des tableaux INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale……….………...….1

CHAPITRE I :GENERALITES SUR LES MATERIAUX A GRADIENT DE PROPRIETES I.1Introduction……….…………...3

I.2 Concept des matériaux à gradient de propriétés ………..……...4

I.3Histoire de développement des matériaux à gradient de propriétés ………7

I.4Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés……… …....9

I.5Conclusion……….….…10

CHAPITRE II :LITTERATURES DES THEORIES DES PLAQUES II.1 Introduction……….…11

II-2 Modèles classiques ……….……….…………11

II-2.1 Premières hypothèses fondamentales de la théorie des poutres ……..…….………11

II-2.1.1 Principe de Saint venant ………...……….……...11

II-2.1.2 Principe de Navier Bernoulli généralisé ………...………..…………...11

II.2.2 Les modèles analytiques des plaques FGM ……….……...…………..13

II.2.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT)………….…...…..13

II.2.2.2 La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT)………….…...…14

II.2.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)……….……....16

II.3 Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé………...18

II.4 Théorie de zig-zag………....20

(12)

HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes- CHAPITRE III : FORMULATION THEORIQUE

III.1 Introduction………..………..…22

III.2 Construction en sandwich……….……….……….…22

III.3 Types de plaques sandwiches FGM………...……….………….………...23

III.4 Cinématique et équations constitutives………...……….………….……..…25

III.5 Equation gouvernantes……….………….…...28

III.6 Solutions analytiques……….…….………….…...31

III.7Conclusion………..……….33

CHAPITRE IV : VALIDATION ET COMPARAISON DES RESULTATS IV.1 Introduction ………..……….34

IV.2 Résultats numériques……….……….………...34

IV.3 Conclusion……….………….………....49

CONCLUSION GENERALE Conclusion générale……….……….50

(13)

HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

Liste des Figures

CHAPITRE I

Figure I.1: Variation continue de la microstructure d’un matériau à gradient de propriétés

(FGM) (photo).………..…….…….……..05

Figure I.2 : La distribution composante des matériaux.…………..……….………05

Figure I.3 : un type d'un matériau FGM en céramique et métal.………...………..……06

Figure I.4 : Protection thermique.………...………….06

Figure I.5 : Les principaux domaines d’application des FGM ………..09

CHAPITRE II Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff (Reddy, 1997).………..…….14

Figure II.2 : Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin (Reddy, 1997)...15

Figure II.3: Illustration de la plaque d’ordre élevé (Reddy, 1997).………...…………...16

Figure II.4: Champ de déplacements des modèles zig-zag d’ordre élevé (Carrera, 2004)….21 CHAPITRE III Figure III.1. Configuration et système de coordonnées de divers types de plaques sandwich FGM (type) A, (b) type B, et (c) type C. ……….…23

CHAPITRE IV Figure IV.1: géométrie et système de coordonnée des différentes configurations de la plaque sandwiche FG………34

Figure IV.2: La variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur de la plaque sandwich FGM (type A) pour les diffèrent valeur de l’indice de matériaux r: (a) de (1–1–1) de plaque sandwiche FGM et (b) de (1–2–1) plaque sandwiche FGM……….…35

Figure IV.3:La variation de la fraction volumique à travers l’épaisseur de la plaque sandwiche FGM (type B) pour les différentes valeurs de l’indice du matériel r : (a) la plaque sandwiche FG (1-1-1) et la plaque sandwiche (2-1-2)……….…35

Figure IV. 4. La variation de la fraction volumique à travers l'épaisseur des plaques sandwich FGM (type C) pour diverses valeurs de l'indice de matériau r: (a) la plaque sandwich (1–1–1) FGM et (b) la (1–4–1) plaque sandwich FGM………...….35

Figure IV.5. La fréquence non dimensionnelle (a) de la fréquence et (b) la température de flambement ΔTcr de (1 - 1 - 1) plaque sandwich FGM carrée (type A) contre le rapport a / h (r = p = 1, ΔC = 0.1%, kw = ks = 20)………..……….…39

(14)

HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes- Figure IV.6 : Effet de l’indice de matériau sur la fréquence propre



des plaques sandwich FGM (typeA): (a) la (1 - 1 - 1) Plaque sandwich FGM (kw =100,ks= 20), (b) la (1 - 1 - 1) Plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et (c) la (1 - 2 - 1) plaque de sandwich FGM (kw = ks = 0) (b / a = 1, p = 1, ΔT = 50°C,ΔC=0.01%)……….40 Figure IV.7 : Effet de l'indice de matériau sur la fréquence propre des plaques sandwich FGM (type B): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (2–1–2) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1,ΔT = 50°C, ΔC = 0.01%)……….41 Figure IV.8 : Effet de l'indice de matériau sur la fréquence propre



des plaques sandwich FGM (type C): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (1-4-1) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1,ΔT = 50°C, ΔC = 0.01%)………..42 Figure IV.9 : Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM

(1-2-1) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC =

0.01%)………..………...……..43

Figure IV.10: Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement ΔTcr

des plaques sandwich FGM (type B): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque

sandwich FGM (2-1-2) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC = 0.01%)……….….44

Figure IV.11: Effet de l'indice de matériau sur la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type C): (a) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = 100, ks = 20), (b) la (1–1–1) plaque sandwich FGM (kw = ks = 0), et(c) la plaque sandwich FGM (1-4-1) (kw = ks = 0) (b /a = 1, p = 1 , ΔC = 0.01%)………….…45

Figure IV.12 : Effet de la différence de température ΔT sur la fréquence naturelle  de divers plaques sandwich FGM: (a) type A, (b) type B, et (c) type C (a/h = 10, r = p = 1 , ΔC = 0.01%, kw =100, ks = 20)……….….46

Figure IV.13 : Effet de la concentration d'humidité ΔC sur (a) la fréquence naturelle et (b) sur la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A)(a/h=10, r = p=1, kw = 100, ks = 20)………47

Figure IV.14 : Variation de (a) la fréquence naturelle  et (b) la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A) soumises à différents types des charges hygro-thermiques par rapport à la plaque rapport de forme (a / h =10, r = 1, kw =

100, ks = 20)………..47 Figure IV.15 : Effet des coefficients de fondation élastiques sur (a) la fréquence naturelle 

et (b) la température critique de flambement ΔTcr des plaques sandwich FGM (type A) (b / a = 1, r = p = 1, ΔC = 0.1%)………..……….48

(15)

Liste des Tableaux

Tableau IV.1. Comparaison des fréquences naturelles non dimensionnelles h C /GC

d’une homogène plaque carrée sans fondations élastiques



a h/  0,0.3



……….……..36 Tableau IV.2.Comparaison des fréquences naturelles non dimensionnelles h m /Em _d'un

FGM plaque carrée avec fondations élastiques……….………37 Tableau IV.3. Comparaison de la température critique de flambement non dimensionnelle

2 2 2

12(1 ) _c /

T   a   h

d'une plaque carrée homogène reposant sur la base élastique de Winkler (h/a=0.01,ks =0)……….…38 Tableau IV.4. Comparaison de la température critique de flambement non dimensionnelle (10-3ΔT) de plaque sandwich FG (type A) sans fondation élastique sous élévation linéaire de la température (p = 1, a / b = 1, r = 2)……..……….…..….…...38

(16)

Liste des Notations

G Module de cisaillement dans le plan (x, z) E Module de Young suivant x

Υ Coefficient de Poisson

 _{Le coefficient de dilatation thermique}  _{Le coefficient de dilatation de l'humidité}

G(z) Module de cisaillement en fonction de « z » E (z) Module de Young en fonction de « z » υ(z) Coefficient de Poisson en fonction de « z » V (z) Fraction volumique

K Paramètre du matériau a Longueur de la plaque

b Largeur de la plaque

h Epaisseur de la plaque

u0 , v0 , w0 Les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen de la plaque

u, v, w Les déplacements dans les directions x, y, z. φx,φy ,φz Les rotations autour des axes x, y et z,

Ψ(z) Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse)

 

f z Fonction de gauchissement (fonction de cisaillement transverse) , , X Y Z    Contraintes normales , xz yz   Contraintes de cisaillement , , X Y Z

   Déformation dans la direction x, y et z ,

Xz yz

  Déformations de distorsion

 

' z

 La première dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à z

 

'' z

 La deuxième dérivée de la fonction de gauchissement par rapport à z , ,

u v w

(17)

HELLAL Hadjira -Faculté de Technologie- UDL-Sidi Bel Abbes-

int W

 Travail virtuel intérieur

ext

W 

Travail virtuel extérieur

, ,

x y z

  

Champ de déformation longitudinal virtuel ,

xz yz

 

Champ de déformation transversal virtuel

, , , x y Z xy N N N N Efforts normaux , , x y xy M M M Moments de flexion , , b b b x y xy M M M Moments de flexion

Sx,Sy,Sxy Moment supplémentaire du au cisaillement transverse

, ,

s s s

x y xy

M M M

Moment supplémentaire du au cisaillement transverse , s s xz yz S S Effort de cisaillement , xz yz Q Q Effort de cisaillement ∂ Dérivée partielle

i et j Sont des nombres naturels.

Aij Termes de rigidité de la matrice de membrane

Bij Termes de rigidité de la matrice de couplage

Dij Termes de la matrice de flexion

a ij

A

Termes de rigidité de la matrice

a ij

B Termes de rigidité de la matrice

a ij

D

a ij

F

s ij

A

s ij

B

s ij

D

s ij

H

Termes de rigidité de la matrice T(x, y, z) Chargement thermique

(18)

 

 Le vecteur des déplacements généralisés

 

f Le vecteur des efforts généralisés

 

Vecteur colonne

(19)

(20)

Introduction générale

HELLAL Hadjira Page 1

Introduction générale

Les structures en sandwich, en raison de leurs caractéristiques exceptionnelles, telles que la résistance et la rigidité spécifiques, ainsi que la capacité d’absorption d’énergie, sont largement utilisées dans la «construction de bâtiments», «aéronef», «marine», «Transport», «nanostructures» et «énergie éolienne» (Vinson ,2001 ;Zarei et al., 2018).

Cependant là, il existe une incohérence dans les caractéristiques thermiques et mécaniques à l'interface des «deux matériaux différents» qui constituent les structures sandwiches classiques. Cela provoque des changements brusques dans les contraintes inter faciales. Une solution à ce problème est de prendre en compte les «matériaux de qualité fonctionnelle» (FGM) dans la conception des sandwichs.

Les FGM constituent une classe de «matériaux composites avancés» dans lesquels les caractéristiques varient sans à-coup et en continu, éliminant ainsi les changements de propriétés mentionnés ci-dessus (Birman et al., 2013 ; Dai et al., 2016) Dans ce cas, les feuilles de visage (Shen et Li, 2008 ; Menasria et al ., 2017) ou les noyaux (Sobhy ,2016 ;Akavci ,2016 ;Bennoun et al., 2016 ; Kirugulige et al., 2005 ;Liu et al ., 2015) sont composés de FGM. La majorité des structures en sandwich étudiées récemment consiste en des faces de FGM et une structure homogène : le coeur. (Zenkour ,2005) a étudié le statique; la stabilité et la dynamique de divers types de “plaques sandwiches” à faces planifiées “FGM”, en tenant compte de la «Théorie trigonométrique de la déformation par cisaillement», la solution 3D pour la dynamique de FGM de la «plaque sandwiche» a été examinée par (Li et al., 2008) où la «méthode de Ritz» est employée.

(Natarajan et Manickam, 2012) ont de leur coté étudié la vibration et la flexion de la réponse des «plaques sandwiches» FGM en utilisant une «théorie du zigzag» précise.

(Sobhy,2013 ; Meziane et al ., 2014 ;Sofiyev ,2014) ont analysé la stabilité et les vibrations des "plaques sandwiches" graduées "de manière exponentielle". (Abdelaziz et al., 2017) ont développé un modèle de déformation de cisaillement hyperbolique simple pour la statique, la vibration et la stabilité de FGM en "plaques sandwiches" avec différentes "conditions aux limites". Pour la première fois, les influences des conditions hygrothermiques sur les plaques sandwiches FGM sont examinées par (Sobhy, 2016) en proposant une théorie précise de la déformation par cisaillement plus élevé (HSDT).

(21)

Introduction générale

Récemment, la communauté scientifique a mis au point divers HSDT pour étudier différents types

de structures (Kar et Panda,2015 ; Bellifa et al.,2017 ; Fakhar et Kolahchi,2018 ; Bensaid et al.,2018 ; Hajmohammad et al., 2018 ; Bouadi et al.,2018 ; Katariya et al.,2017), et l’utilisation de ces modèles pour les structures en sandwich deviennent un sujet important.

Les augmentations de la «concentration en humidité» et de la «température» ont une influence significative sur le comportement des structures (Sobhy,2016 ;Beldjelili et al,2016 ;Hajmohammad

et al., 2018 ;Mahmoudi et al .,2017)C’est ainsi que dans ce travail, les impacts induits par les conditions d'humidité et les changements de température sur la stabilité de la réponse

dynamique des «plaques sandwich» FGM reposant sur les fondations élastiques de Winkler –

Pasternaksont étudiées à l'aide d'un nouveau HSDT «à quatre inconnus» avec une fonction cosinus. Les contraintes de cisaillement sont égales à zéro sur les deux faces supérieure et inférieure de la plaque. Les influences des conditions hygro-thermiques sur les «plaques sandwiches» FGM

sont également examinés en supposant une «variation de la loi de puissance» en termes de fractions volumiques des constituants du matériau, caractéristiques de la structure sandwiches, et qui sont changés d'une interface à une autre. Les solutions analytiques pour «Température de flambement»

et «fréquence fondamentale» des structures en sandwich FGM sont obtenues selon la procédure de Navier. De plus, l'exactitude de la présente théorie est démontrée en comparant les résultats

obtenus au cours ce travail.

Dans ce travail, on s’intéresse sur la stabilité des plaques composites rectangulaires épaisses en utilisant une nouvelle théorie de déformation d’ordre élevée.

Ce travail, s’articule autour de quatre chapitres.

Le premier chapitre défini les matériaux à gradient de propriétés « FGM », leur développement, leurs propriétés et leurs domaines d’application dans les structures spéciales en génie civil.

Le deuxième chapitre se focalise sur les différentes théories des plaques.

Le troisième chapitre présente un nouveau modèle de déformation de cisaillement simple à quatre

variables, dont nous allons étudiés les effets de l'environnement hygrothermique sur le comportement dynamique et le flambement des plaques sandwiches en matériaux

fonctionnellement gradué reposant sur des fondations élastiques.

Dans le quatrième chapitre, nous présenterons les résultats obtenus par l’exécution des différents codes de calcules développés dans le cadre de cette recherche.

En fin, une conclusion générale sur l’ensemble de ces travaux permet de revenir sur les résultats importants mis en avant.

(22)

(23)

Chapitre I Généralités sur les matériaux à gradient de propriétés

I.1 Introduction :

Les chercheurs définissent assez souvent les matériaux à gradient de propriété

(FGM) comme étant un matériau composé particulier pour lesquels la fraction de volume varie sans interruption par l’épaisseur. De plus, quelques études considèrent

également le FGM comme étant un composé renforcé par un tissu dans lequel l'orientation de fibre varie à travers l'épaisseur.

Un matériau FGM est un type de matériaux composites classés par leur

microstructure variable dans l’espace et est conçu pour optimiser l’exécution des éléments de structures par la distribution de propriétés correspondantes. Ces distributions de propriétés sont assemblées dans une variété de produits communs

permettant ainsi d’assurer des fonctions multiples (c'est-à-dire être multifonctionnelles) comme les liaisons entre les particules ; assez dures à l’intérieur pour résister à la rupture, et également assez dures à l’extérieur pour empêcher l’usure.

Les matériaux à gradient de propriétés (FGM) constituent un type de matériaux

composites produit en changeant sans interruption les fractions de volume dans la direction de l'épaisseur pour obtenir un profil bien déterminé. Ces types de matériaux, ont suscité beaucoup d'attention récemment en raison des avantages de diminuer la disparité dans les propriétés matérielles et de réduire les contraintes

thermiques (Zhong, 2007). La variation continue des propriétés mécaniques confère au matériau un comportement optimisé.

Ces matériaux offrent un grand potentiel pour les composants dont le fonctionnement est soumis à de fortes charges mécaniques ou thermiques, tels que

les boucliers thermiques des vaisseaux spatiaux, les revêtements du plasma pour les réacteurs de fusion et les composantes du moteur pour les avions de combat. De plus, ils sont particulièrement utilisés dans les applications de haute technologique :

aéronautique, aérospatiale, nucléaire, semi-conducteurs, en Génie Civil et trouvent également des applications biomédicales (Baron 2008).

(24)

I.2 Concept des matériaux à gradient de propriétés :

Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux (navettes spatiales ou

des avions hypersoniques) sont soumis à des températures élevées. Les pièces les plus exposées sont le cône d’entrée, les bords d’attaque des ailes ainsi

que centaines surfaces inférieures.

Pour cette raison les matériaux des parois, soumis sur une face à environ 1800°C en atmosphère, doivent supporter dans leur épaisseur d’une dizaine de millimètres, un gradient thermique d’environ 1300°C. Il n’y a aucun matériau monolithique capable

de résister à une telle contrainte thermique (Koizumi 1992).La solution envisagée est la mise en œuvre de matériaux composites et notamment l’utilisation des matériaux

à gradient de propriétés. On peut donc imaginer un matériau dont la face est exposée à une très haute température mais qui possèderait des propriétés de résistance aux

fortes chaleurs et à l’oxydation, tel que la céramique, et dont la face intérieure serait une très bonne conductrice de la chaleur et possèderait de même une bonne résistance mécanique et une meilleure ténacité, comme le métal.

Seulement, si l’on considère un tel assemblage aussi simple de ces deux matériaux,

ils présentent immédiatement une rupture due aux contraintes thermiques exercées à l’interface entre les deux types de matériaux ayant des propriétés thermiques

différentes. L’idéal serait de supprimer cette interface en créant une transition continue entre les deux faces. C’est ainsi qu’est né le concept de matériau à gradient de fonction dans les années 1980 par un groupe de chercheurs au laboratoire national d’aérospatial (National Aerospace Laboratory, STA) au Japon.

Le FGM consiste alors en une association de deux matériaux aux propriétés

structurales et fonctionnelles différentes avec une transition idéalement continue de la composition, de la structure et de la distribution des porosités entre ces matériaux

(25)

Généralement, les FGM sont des matériaux constitués de plusieurs couches contenant des composants différents tels que les céramiques et les métaux (Kokini 1990). Ils sont donc des composites présentant des caractéristiques macroscopiquement inhomogènes.

Yoshihisa (2004), a établi un modèle simple illustrant les différences entre les matériaux à gradient de propriétés (FGM) et les matériaux plus conventionnels

comme est montré sur la figure I.2 : (a) un matériau plans composé, (b) un matériau relié et (c) un matériau à gradient de propriété. Le matériau plan composé aune caractéristique plane, et le matériau relié a une frontière sur l'interface de deux

matériaux. Les FGM ont d’excellentes caractéristiques qui les diffèrent de celles des deux matériaux plans composés et reliés.

Figure I.2 : La distribution composante des matériaux.

(a) Matériau plan composé (b) Matériau relié (c) Matériau à gradient de propriétés Figure I.1 : Variation continue

de la microstructure d’un matériau à gradient de propriétés (FGM) (photo)

(26)

Figure I.3 : Un type d'un matériau FGM en céramique et métal.

Figure I.4 : Protection thermique.

La figure I.4 montre les concentrations de contraintes dans les panneaux de protection thermiques conventionnels au niveau des interfaces (changement brutale de composition).

Il montre également comment un FGM peut alléger ces concentrations de contraintes en changeant graduellement les propriétés matérielles et assure toujours la protection

(27)

I.3 Histoire du développement des matériaux à gradient de propriétés :

Le concept de "Matériaux à Gradient de propriétés" a été développé dans le laboratoire national d'aérospatial du Japon en 1984 par M. Nino et ses collègues à Sendai. L'idée était de réaliser des matériaux utilisés comme barrière thermique dans les structures spatiales et les réacteurs à fusion (Koizumi 1992).

Les changements continus dans la composition, dans la microstructure, et même dans la porosité de ces matériaux ont comme conséquences des gradients des propriétés matérielles telles que les propriétés mécaniques et la conductivité thermique (Koizumi

1997). Cette nouvelle classe de matériaux composites peut alors être utilisée pour différentes applications telles que les enduits des barrières thermiques pour les moteurs en céramique, turbines à gaz, couches minces optiques (Nguyen 2007).

En 1987, le gouvernement Japonais a lancé un vaste projet intitulé "la recherche sur la technologie de base pour développement de Matériaux à gradient de propriétés

et l'étude de la relaxation des contraintes thermiques". L'intérêt du projet était de développer des matériaux présentant des structures utilisées comme barrière

thermique dans les programmes aérospatiaux. Dix-sept (17) laboratoires nationaux de recherche, des universités ainsi que des entreprises ont été engagées dans ce mégaprojet (Koizumi, 1997).

Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux et les murs thermiques spéciaux sont appelés à résister à des températures de surface de 1800°C ainsi qu'à un gradient de température de l'ordre de 1300°C. A cette année-là, aucun matériau industriel n'était connu pour supporter de telles sollicitations thermomécaniques.

Trois caractéristiques sont à considérer pour la conception de tels matériaux:

 Résistance thermique et résistance à l'oxydation à haute température de la couche superficielle du matériau;

 Ténacité du matériau côté basse température;

(28)

Pour répondre à un tel cahier de charges, l'idée originale des FGM a été proposée pour élaborer un nouveau composite profitant à la fois des propriétés des céramiques (côté haute températures) et des métaux (côté basse température).

À la fin de la première étape (1987-1989), les chercheurs avaient réussi à fabriquer de petites pièces expérimentales (1-10 mm d'épaisseur et 30 mm de diamètre) pouvant

résister à des températures maximales de 2000K (température de surface) et à un gradient de température de 1000K.

Quatre techniques ont été utilisées pour fabriquer les matériaux présentant un gradient de composition et de structure. Les techniques utilisées dans la fabrication

de tels matériaux sont les suivantes :

 Le système SiC/C par C.V.D.(Chemical Vapor Deposition ou dépôt chimique en phase vapeur),

 le système PSZ/Mo par la technique de la compaction sèche des poudres,  le système TiB2/Cu par synthèse par auto-propagation à haute température,

 et enfin le système (Ni-Cr-Al-Y)/(ZrO2-Y2O3) par projection plasma à double torches (Okamura 1991).

Dans la seconde étape (1990-1991), le but était de réaliser des pièces de tailles plus grandes et de forme plus complexes par rapport à celles réalisées dans la première

étape. Pendant les années 90, non seulement les champs d'applications des FGM s'est développé pour les matériaux de structure fonctionnant à haute température, mais s'est aussi élargi à d'autres applications: biomécaniques, technologie de capteur,

optique, constructions (Okamura 1991).

Le concept des matériaux à gradient de propriétés est de l’intérêt non seulement

dans la conception des matériaux réfractaires performants pour des utilisations pour les futures navettes spatiales, mais également dans le développement de divers

matériaux fonctionnels, tels que les matériaux optiques et électroniques. A cet effet, un deuxième projet a été lancé pour la recherche et le développement des matériaux

FGM en tant que matériaux fonctionnels baptisé : « Recherche sur les matériaux de conservation d’énergie avec la structure à gradient de propriétés ».

(29)

Ce programme vise à s’appliquer la technologie des FGM dans le but d’améliorer l’efficacité de la conservation de l’énergie comme l’énergie solaire, nucléaire, photovoltaïque et thermoélectrique.

I.4. Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés

Le concept des matériaux à gradient de propriétés est applicable dans de nombreux domaines comme illustré dans la figure I.4. Il a été initialement conçu pour l’industrie

de l'aéronautique, où les FGM ont fournis deux propriétés contradictoires telles que la conductivité thermique et l'isolation thermique dans un matériau. Actuellement, de telles conceptions permettent la production des matériaux légers, forts et durables, et qui sont applicables dans un large spectre de domaines tels que les matériaux de construction, les matériaux de conversion d'énergie, le nucléaire et les

semi-conducteurs.

(30)

I.5. Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons défini les matériaux à gradient de propriétés « FGM »,

leur développement, leurs propriétés, et leurs domaines d’application dans les structures spéciales en génie civil.

Dans le chapitre suivant, on exposera une revue bibliographique sur les différentes théories rencontrées dans la littérature pour l’étude de la déformation de cisaillement.

(31)

(32)

Chapitre II Littératures des théories des plaques

II-1 Introduction

Nous présentons dans ce chapitre quelques modèles sur les théories des plaques

développées dans la littérature pour améliorer l'évolution de la variation du champ des déplacements à travers l'épaisseur des plaques.

La modélisation des structures multicouches modernes avec une forte anisotropie (par exemple : faible rapport du module de cisaillement transverse de l’âme par rapport au module de cisaillement d’élasticité longitudinale des peaux dans le cas des structures sandwiches) exige des théories raffinées qui prennent en compte une bonne description du cisaillement transverse (Nguyen, 2004). On trouve dans la littérature une synthèse complète sur les différents modèles existants de type poutres en élasticité tridimensionnelle ou de type plaques (Noor, 1989; Kapania, 1989; Kant, 2000; Carrera, 2000).

II-2 Modèles classiques :

Ces modèles sont basés sur une distribution linéaire des déplacements à travers l’épaisseur (Reissner, 1961; Yang, 1966) où les déformations dues aux cisaillements transverses sont négligées et la normale reste droite et perpendiculaire à la surface moyenne après déformation.

II-2.1 Premières hypothèses fondamentales de la théorie des poutres II-2.1.1 Principe de Saint venant :

Le principe de saint venant s’énonce comme suit : « La contrainte en un point éloigné des points d’applications d’un système de forces ne dépend que de la résultante

générale et du moment résultant de ce système de forces, même si la répartition des contraintes n’est pas la même, la solution trouvée sera valable, si on place

suffisamment loin le point d’application des charges ». II-2.1.2 Principe de Navier Bernoulli généralisé :

L’hypothèse de Navier Bernoulli consiste à supposer que les sections normales à la fibre moyenne restent planes pendant la déformation de la poutre.

(33)

Cette hypothèse qui permet de calculer les contraintes normales dues au moment fléchissant, est bien vérifiée dans le cas de flexion pure où l’effort tranchant est nul. Par contre, dans le cas de la flexion simple avec effort tranchant, les sections ne restent pas planes, mais se gauchissent en forme de lettre « S » très aplaties. De même lorsque nous étudions la torsion, nous verrons qu’une section non circulaire, ayant deux axes

de symétrie, prend sous l’effet d’un couple de torsion, un gauchissement radial. Le principe de Navier Bernoulli est fondé sur les observations suivantes :

 Le gauchissement d’une section est toujours très petit vis-à-vis des dimensions de la section.

 La variation du gauchissement, lorsqu’on passe d’une section à une section

infiniment voisine, est toujours très petite, non seulement vis-à-vis de la distance des deux sections infiniment voisines.

 Le principe de Navier Bernoulli revient à négliger le cisaillement et le gauchissement des sections transversales dans l’étude de déplacement et de déformation d’un élément de poutre.

Il est rare de trouver une théorie qui serait applicable à tous les cas possibles (matériau composite, anisotrope, isotrope, grand nombre de couches, stratification

sandwich etc…) et aux différents domaines (statique, dynamique et flambement), et qui de plus serait simple et facile et ne coûte pas chère en temps de calcul. La théorie la plus ancienne est celle de Kirchoff(Dhatt G ,1969). " Numerical analysis

of thin shells by curved triangular elements based on discrete Kirchoff hypothesis". Proc. ASCE Symp.On Application of FEM in civil engineering, Vanderbilt Univ., Nashville, Tenn., P. 255-278 (1969).),qui néglige l’effet de cisaillement transversalmais elle ne peut en conséquence être appliquée qu’aux structures très minces. La théorie du premier ordre communément associée à Mindlin Reissner

(1945), qui fût l’un des premiers à énoncer ses bases, prend en compte les effets du cisaillement transversal à travers l’épaisseur. Elle conduit, de par l’hypothèse

des « sections droites restent droites » à un vecteur des contraintes de cisaillement transverse constant dans l’épaisseur, en contradiction avec une représentation quadratique classiquement obtenue pour les poutres (théorie de Timoshenko) ou les plaques en flexion.

(34)

Pour corriger cette insuffisance, des facteurs dits de correction du cisaillement

transverse y sont introduits. Les éléments finis formulés en déplacement basés sur

la théorie du premier ordre donnent généralement de bons résultats pour les structures isotropes et orthotropes. Ils deviennent peu précis une fois appliqués

aux matériaux composites contenant plusieurs couches avec une anisotropie très

différente d’une couche à une autre (Topdar, 2003), auquel cas il faudrait imposer des conditions de continuité sur les interfaces. Certes, les facteurs de correction du cisaillement transverse, une fois introduits dans les modèles du premier ordre en déplacement, ont permis de résoudre des problèmes de structures multicouches

mais leur évaluations dépend malheureusement du nombre de stratifications. Pour écarter à jamais ce type de problème, des théories d’ordre élevé ont été introduites

au début des années 70. La première théorie a été proposée en 1969 par Whitney, qui a supposé un champ de déplacement d’ordre élevé à 3. Elle a donné des résultats précis mais fût abandonnée en raison de sa complexité théorique; elle exige en effet

un grand nombre de paramètres (Whitney, 1969). D’autres théories sont apparues

par la suite, chacune d’elles présente des avantages et des inconvénients, avec des formalismes différents selon le domaine d’application.

II.2.2 Les modèles analytiques des plaques FGM

II.2.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT) :

On parle d’une plaque mince, lorsque la flèche générée par les déformations de cisaillement reste négligeable devant la flèche générée par la courbure de la plaque.

Dans le cas d’une plaque homogène isotrope, la part de cisaillement dans la flèche est directement reliée à l’élancement (L/h).

La théorie classique des plaques minces (CPT) se base sur les hypothèses de Love- Kirchhoff, selon lesquelles une droite normale au plan moyen de la plaque

reste perpendiculaire après déformation (figure II.1), ce qui revient à négliger les effets de déformation en cisaillement transverse.

(35)

(II.2)

Ce modèle de plaque peut être référé à Timoshenko et Woinowsky-Krieger, (1959)

et Reddy (1997,1999), En se basant sur les hypothèses ci-dessus, le champ de déplacement basé sur est donné par :

























0 0 0 0 0

, ,

,

, ,

,

, ,

,

w

u x y z

u

x y

z

x

w

v x y z

v

x y

z

y

w x y z

w

x y

















Avec (u0, v0, w0) sont les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen

de la plaque (z = 0).

Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff (Reddy, 1997).

Puisque ce modèle ne tient pas en compte l’effet de cisaillement transverse, il donne des résultats non précis pour les plaques épaisses.

II.2.2.2 La théorie de déformationdecisaillement du premier ordre (FSDT)

La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre a prolongé la théorie

classique des plaques en tenant compte de l’effet de cisaillement transverse. Dans ce cas les contraintes et les déformations sont constantes à travers l’épaisseur

de la plaque, ce qui nécessite l’introduction d’un des facteurs de correction de cisaillement.

(II.3) (II.1)

(36)

Les études sur la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) peuvent être trouvées dans les références (Reissner, 1945; Mindlin, 1951).

La théorie du premier ordre est basée sur le champ de déplacement suivant :

































0 0 0

, ,

,

, ,

,

, ,

,

x y

u x y z

u

x y

z

x y

v x y z

v

x y

z

x y

w x y z

w

x y















Avec : (u0, v0, w0) et (xy) sont les déplacements en membrane et les rotations autour

des axes y et x, respectivement.

Le champ de déplacement définis dans l’expression ci-dessus permet de reprendre la théorie classique des plaques décrites dans la dernière section par le remplacement

0 0

,

x y

w

x

y



 





 



Figure II.2 : Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin (Reddy, 1997).

Pour éviter l’introduction d’un facteur de correction, des théories de déformation encisaillement d’ordre élevée ont été développées.

(II.4) (II.5) (II.6)

(37)

II.2.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT)

À la différence de la théorie CPT et la théorie FSDT avec les hypothèses de la distribution linéaire du déplacement à travers l'épaisseur, la théorie d'ordre élevé

est basée surune distribution non linéaire des champs à travers l’épaisseur. Par conséquent, on tient comptedes effets de la déformation transversale de cisaillement et / ou de la déformation normaletransversale. Ces modèles n'exigent

pas des facteurs de correction. Les références sur de tels modèles peuvent être trouvées

dans (Hildebrand et al., 1949; Naghdi, 1957; Reissner, 1975;Reddy, 1984; Kant et Swaminathan, 2002).

Nous avons introduit ici quatre modèles de plaque utilisés pour analyser le comportement des plaques matériaux à gradient de propriétés.

Figure II.3: Illustration de la plaque d’ordre élevé (Reddy, 1997).

Le champ de déplacement est généralement écrit comme suit:





 

   





 

   





 

0 0 0 0 0

,

, ,

,

, ,

,

, ,

,

x x

w x y

u x y z

u

x y

z

x y

x

w x y

v x y z

v x y

z

x y

x

w x y z

w x y





























Avec : ( ,u v w et ( ,0 0, 0)  x y) sont les déplacements en membrane et les rotations autour

des axes y et x respectivement,

(II.8) (II.9) (II.10)

(38)

La fonction de cisaillement transverse caractérisant les théories correspondantes est la suivante : 0 0

(

_x

w

_x

,

_y

w

_y

), ( )

z

x

y



 





 

 





 



En effet, les déplacements de la théorie classique de plaque (CPT) est obtenue par en

prenant (z) 0, alors que la théorie de premier ordre (FSDT) peut être obtenue par (z) z.

Les déplacements de la théorie de déformation de cisaillement du troisième ordre (TSDT) de Reddy, (1997,1999) sont obtenus par :

 

2 2

4

1

3 z

z

h







_





_





Dans le modèle de Reddy, le champ de déplacement membranaire est cubique. Cemodèle donne une bonne approximation pour les contraintes de cisaillement transverse parrapport à la solution d’élasticité tridimensionnelle.

La distribution des contraintes de cisaillement transverse est parabolique à travers l’épaisseur. Les conditions aux limites sur les surfaces libres sont satisfaites.

Touratier (1991) propose le modèle sinus (SSDT) qui est différent des autres

modèles d’ordre supérieurs puisqu’il n’utilise pas de fonction polynomiale. Une fonction trigonométrique sinusoïdale est donc introduite pour modéliser

la répartition des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur. La fonction de cisaillement transverse s’écrit comme suite:

 

z

h

sin

z

h













_

_





(II.11) (II.12) (II.13)

(39)

Les contraintes de cisaillement transverses déterminées par le modèle (sinus)

prennent une forme cosinusoidale à travers l’épaisseur de la poutre. La précision de ce modèle parrapport à la solution exacte est meilleure que la théorie

de Reddy.

La version exponentielle de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé

(The exponential shear deformation plate theory ESDPT) développée par (Karama et al.,2003) estobtenue en prenant :

 

2z h/ 2

z

ze



_



La version hyperbolique de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé

(The hyperbolic shear deformation plate theory HSDPT) développée par (Ait Atmane et al., 2010)est obtenue en prenant :

 

cosh

_



/ 2

_





/



_

sinh

_

cosh

/ 2

1 cosh

/ 2

1 h

z

h

z







































II.3 Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé

Pour franchir les limites des théories du premier ordre, plusieurs auteurs proposent

quelques contributions importantes de développement de modèles d’ordre élevés qui se sont distingués dans la littérature par l’expression de la fonction de cisaillement

f (z).

Les modèles sont basés sur une distribution non linéaire des champs de déplacement à travers l’épaisseur, et qui permettent de représenter le gauchissement de la section

transversale dans la configuration déformée (Figure III.3) (Whitney, 1973 ; Nelson, 1974 ; Lo, 1977 ; Touratier, 1991). Nous citons en particulier :

 L’approche d’Ambartsumyan (1969) avec ;

 

2 2 2 4 3 z h z f z  _  _   (II.14) (II.15) (II.16)

(40)

 L’approche de Reissner (1945), Panc et Kaczkowski, avec ;

 

5

4

₂2

1

4

3 z

f z

z

h







_



_





 L’approche de Levinson, Murthy (1981) et Reddy Avec ;

 

22

4

1

3 z

f z

z

h







_



_





Dans le modèle de Reddy, le champ de déplacement membranaire est cubique et le déplacement normal w est constant (Reddy, 1984). Ce modèle donne une bonne

approximation pour les contraintes de cisaillement transverse par rapport à la solution élastique tridimensionnelle dans le cas homogène (Duong, 2008).

La distribution des contraintes de cisaillement transverse est parabolique à travers l’épaisseur (elle doit être parabolique par couche pour un multicouche). Les conditions aux limites sur les surfaces libres sont satisfaites. Les résultats du modèle de Reddy sont également très proches des deux modèles d’ordre élevé proposés par( Kant ,2002).

Touratier propose le modèle (sinus) qui est différent des autres modèles d’ordre élevés puisqu’il n’utilise pas de fonction polynomiale. Une fonction trigonométrique

sinusoïdale est donc introduite pour modéliser la répartition des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur (Touratier, 1991) .La fonction de cisaillement

transverse s’écrit comme suite :

 

_

 

_

2 1 0 2 2 4 4 6 6 2 4 6

1 sin

2 1 !

7

1 ...

3!

5!

7!

n n n

h

z

h

z

f z

h

n

h

z

h



  













 

_

_

 



_

_















  

_













_







(II.17) (II.18) (II.19) (II.20)

(41)

Les contraintes de cisaillement transverses déterminées par le modèle (sinus) prennent une forme cosinusoidale à travers l’épaisseur de la poutre. La précision de ce

modèle parrapport à la solution exacte est meilleure que la théorie de Reddy (1984). En se basant sur lestravaux de Touratier, un élément fini triangulaire à six nœuds, est construit pour les structuresmulticouches non linéaires géométriques par (Polit

,1997) et (Dau,2006).

Récemment, (Afaq et al.,2003) proposent un modèle exponentiel avec une cinématique plus riche. La fonction de distribution de cisaillement transverse est de la forme suivante:

 

2 2 z h

f z

z e

      

 

Le choix de la fonction exponentielle permet un développement en puissance pair et impair de la variable z, alors que la fonction (sinus) de (Touratier ,1991) ne permet

qu’un développement en puissance impair.

Malgré le fait que les modèles d’ordre élevé assurent une continuité de déplacement et de déformation à l’interface, les contraintes de cisaillement inter laminaire et les contraintes d’interface, restent discontinues. Ceci présente un inconvénient lors

de l’analyse locale de l’interface des structures multicouches dont les propriétés des couches sont très différentes (Duong, 2008).

II.4 Théorie de zig-zag

Pour mieux décrire la déformation en cisaillement des structures composites, certains auteurs ont associé la théorie d’ordre élevé à celle dite de ziz-zag (Cho, 1996 ; Choa, 2000). Cette dernière est destinée justement à mieux décrire les effets d'interface.

Ainsi, différents modèles issus de l'approche par couche ont été proposés. Le multicouche est subdivisé en sous-structures (correspondant en fait à chaque couche

ou chaque ensemble de couches). On applique à chaque sous-structure une théorie du premier ordre ou unmodèle d'ordre élevé. La cinématique des modèles zig-zag

satisfait a priori les conditions de contact et elle est indépendante du nombre de couches.

(42)

L'avantage principal du champ de déplacement des modèles zig-zag réside dans la bonne modélisation de la distorsion de la normale à la surface déformée, ainsi

que dans la vérification des conditions de continuité, et ce sans augmenter pour autant

le nombre et l'ordre des équations fondamentales de la théorie du premier ordre. Le recours à des coefficients de correction pour le cisaillement transverse est évité.

En se basant sur le concept de (Di Sciuva,1984), plusieurs auteurs ont réalisé des améliorations significatives pour le modèle zig-zag (Murakami, 1986 ; Averill,

1994 ; He, 1994 ; Icardi, 2001 ; Carrera, 2004). L'amélioration principale est l'introduction d'une distribution non linéaire des déplacements. On superpose le champ zig-zag (linéaire par morceau) à un champ de déplacement d'ordre élevé

(souvent cubique) (figure II.4). Les conditions de compatibilité sont satisfaites sur les surfaces supérieures et inférieures des plaques pour réduire le nombre de paramètres (Tafla, 2007)

Figure II.4 Champ de déplacements des modèles zig-zag d’ordre élevé. (Carrera, 2004).

II.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons déterminé les différents modèles de calcul des plaques.

Suite à notre lecture de la littérature en matière de théories d’ordre élevé, il apparaît que celles-ci sont certes intéressantes du point de vue précision, mais demeurent

(43)