L34 [V2-VàC] – Trigonométrie

9

Trigonométrie

Leçon

Niveau De la 3e_{à la Terminale S}

Prérequis géométrie du triangle, théorème de Pythagore, notion de fonction, produit scalaire

Références [114], [115]

34.1

De la trigonométrie vue en classe de troisième

34.1.1 Définitions

Définition 34.1 Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle aigu \ABC de la manière suivante :

sin \ABC = côté opposé à \ABC

hypoténuse =

AC BC

cos \ABC = côté adjacent à \ABC

hypoténuse =

AB BC

tan \ABC = côté opposé à \ABC

côté adjacent à \ABC = AC AB. côté adjacent côté opposé hypoténuse A B C

FIGURE34.1 – Côté opposé, côté adjacent à un angle, hypoténuse

R 34.2 On a aussi avec l’angle \ACB:

cos \ACB = AC BC, sin \ACB= AB BC, tan \ACB= AB AC.

Propriété 34.3 Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont strictement plus grands que 0 et strictement plus petits que 1 et ils n’ont pas d’unité.

R 34.4 [Sur la calculatrice (Casio FX-92)]

1. Lorsque l’on connaît le sinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches :

Shift - sin .

2. Lorsque l’on connaît le cosinus d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches : Shift - cos .

3. Lorsque l’on connaît le tangente d’un angle, on peut trouver la mesure de cet angle en utilisant les touches : Shift - tan .

Exemples 34.5 — Connaissant sinus, cosinus et tangente. 1. Si sin \ABC = 0, 8 et \ABC est

un angle aigu alors \ABC = 53, 13 degrés à 0, 01 près.

2. Sicos \ABC = 0, 5 et \ABCest un angle aigu alors \ABC= 60 degrés.

3. Sitan \ABC = 0, 2 et \ABC est un angle aigu alors \ABC = 11, 30 degrés à 0, 01 près.



34.1.2 Formules de trigonométrie

Propriété 34.6 Pour toutes valeurs de x, on a :

cos2_{x+ sin}2_{x= 1 et tan x =} sin x

cos x.

Dv

• Démonstration de la propriété 34.6 — On se place dans le cas où x est une valeur strictement compris entre 0 et 90 degrés. Prenons un triangle ABC rectangle en A tel que \ ABC = x. On a alors : cos x = AB BC, sin x = AC BC, tan x = AC AB. Ainsi, cos2_{x+ sin}2_x=AB BC 2 +AC BC 2 =AB2 BC2 + AC2 BC2 = AB2+ AC2 BC2 .

On sait que le triangle ABC est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a

AB2+ AC2= BC2. D’où : cos2_{x+ sin}2_x=BC2 BC2 = 1. De plus : sin x cos x = AC BC AB BC = AC BC × BC AB = AC AB = tan x. •

34.1.3 Quelques exemples

Exemples 34.7 1. Soit DEF un triangle rectangle en D tel que \DEF = 30° et DF = 5. Quelle est la mesure de EF?. Comme DEF est un triangle rectangle en D :

sin \DEF = DE DF

sin 30 = DE₅

DE = 5 × sin 30 DE = 2, 5

2. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB= 5 et AC = 7. On veut déterminer la mesure de l’angle \ABCà0, 01 près. Comme ABC est un triangle rectangle en A.

tan \ABC = AC AB tan \ABC = 7 5 \ ABC = 50, 19 degrés à 0,01 près.

La dernière étape est faite grâce à la calculatrice (en tapant les touches Shift - tan ). 

34.2

De la trigonométrie vue en classe de Première S

34.2.1 Le radian

Définition 34.8 — Radian. Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que l’angle plat (180°) mesure π radians.

R 34.9 Pour trouver la mesure d’un angle de x degrés, on a recours à un tableau de proportionnalité. degrés 180 x

radians π α Exemple 34.10 Un angle de60° vaut en radians :

α= 60π 180 = π 3 rad.  34.2.2 Cercle trigonométrique

Définition 34.11 — Cercle trigonométrique. Si on munit le plan d’un repère orthonormé(O, #»ı, #»). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon1 orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d’une montre).

Soit M un point du cercle tel que α soit une mesure (en radians) de l’angle orienté(# »

Définition 34.12 — Sinus et cosinus. On appelle cosinus et sinus de α et on notecos α et sin α, les coordonnées du point M dans le repère(O, #»ı, #») :

# »

OM = (cos α)OI# »+ (sin α)OJ.# »

Soit∆ la droite (verticale) d’équation x = 1 dans le repère orthonormé (O, #»ı, #») et H le point défini par(OM) ∩ ∆. Ce point H existe dès lors que ∆ et (OM) ne sont pas parallèles, c’est-à-dire dès que

M n’est ni en J(0, 1), ni en J0(0, −1), c’est-à-dire dès que α 6= π₂ + 2kπ (k ∈ Z).

Définition 34.13 — Tangente. On appelle tangente de α et on notetan α, l’ordonnée du point H dans le repère(O, #»ı, #»). sin α cos α tan α O I J J0 M H α

FIGURE34.2 – Cercle trigonométrique, cosinus, sinus et tangente d’un angle

La table34.1rappelle les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente.

α 0 π₆ π₄ π₃ π₂

sin α 0 1

2 √22 √32 1

cos α 1 √3₂ √2₂ 1

2 0

tan α 0 √3₃ 1 √3 non définie TABLE34.1 – Valeurs remarquables

Dv

•Calcul de valeurs remarquables —Pour calculer les valeurs desinπ

4 etcosπ4, on exploite la diagonale du carré (de côté1).

x y 0◦ 30◦ 60◦ 90◦ 120◦ 150◦ 180◦ 210◦ 240◦ 270◦ 300 ◦ 330◦ 360◦ π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π _√3 2 ,12  _√2 2 ,√22  ₁ 2,√32   −√32 ,12   −√2₂ ,√2₂   −1₂,√3₂   −√3₂ ,−1₂  −√22 ,−√22   −1₂,−√3₂  _√3 2 ,−12  _√2 2 ,−√22  ₁ 2,−√32  (−1, 0) (1, 0) (0, −1) (0, 1)

π 4 1 √2 A B C D

Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sinπ₄ =BC AC = 1 √2 = √22 cosπ₄ =AB AC = 1 √2 = √22 tanπ 4 = BC AB = 1.

Pour calculer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente de π

3 etπ6, on exploite naturel-lement la configuration du triangle équilatéral de côté1 avec une de ses hauteurs qui, d’après le théorème de Pythagore, mesureq12₋ 1

2
2=√32 . 1 2 1 _√3 2 π 3 π 6 A B C H

Dans le triangle AHC rectangle en H, on a : sinπ₆ = AH AC = 1 2, cosπ6 = CHAC = √3 2 , tanπ6 = AHCH = 1 2 √3 2 = _{√3 =}1 √3₃ sinπ 3 = CH AC = √3 2 , cos π 3 = AH AC = 1 2, tan π 3 = CH AH = √3 2 1 2 =√3. •

Propriété 34.14— Sinus et cosinus. 1. cos(x + 2kπ) = cos x 2. sin(x + 2kπ) = sin x

3. cos2_{x+ sin}2_{x= 1}

4. −1 ≤ cos x ≤ 1 5. −1 ≤ sin x ≤ 1

 Exemple 34.15 On admet que cos₁₂π = √6+√2₄ , on veut calculer la valeur exacte de sin₁₂π. On utilise la relation 3 : cos2 π 12+ sin2 π 12 = 1. On calculecos2 π 12: cos2 π 12 = √6 + √24 !2 = 6 + 2√12 + 2₁₆ = 2 +₄√3. D’où : sin2 π 12 = 1 − cos2 π 12 = 1 −2 +4√3 = 2 −4√3. Or√A2= |A| donc :    sin₁₂π    = s 2 −√3 4 . Or,sin π 12 ≥ 0 car12π ∈ [0 , π]. Donc : sin π 12 = s 2 −√3 4 .  34.2.3 Fonction sinus et cosinus

Définition 34.16 — Fonction périodique. Une fonction f est dite périodique de période T si pour tout réel x, on a : f(x + T ) = f(x).

Pour étudier une fonction périodique, on se limite à une période car :

· · · = f(x + 2T ) = f(x + T ) = f(x) = f(x − T ) = f(x − 2T ) = · · ·

Théorème 34.17 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période2π. De plus, la fonction cosinus est paire (cos(−x) = cos x) et la fonction sinus est impaire (sin(−x) = − sin x).

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

O _{y = sin(x)}

y = cos(x)

34.2.4 Résolution des équations _{cos x = a et sin x = a (x ∈ R)}

— Si a /∈ [−1 , 1] alors ces équations n’ont pas de solutions (car −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1)

— Si a ∈ [−1 , 1], elles ont une infinité

Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du cercle trigonométrique les deux angles α et −α dont le cosinus vaut a. On trouve les solutions de l’équation en ajoutant les multiples de2π.

cos x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ, k ∈ Z

Pour cos x = a on résout déjà l’équation sur l’intervalle [0 , 2π] en cherchant à l’aide du cercle trigonométrique les deux angles α et π − α dont le sinus vaut a. On trouve les solutions de l’équation en ajoutant les multiples de2π.

sin x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, k ∈ Z 34.2.5 Angles associés

Propriétés 34.18 On a les propriétés suivantes : 1. cos(−x) = cos x, 2. sin(−x) = sin x, 3. cos(π − x) = − cos x, 4. sin(π − x) = sin x, 5. cos(π + x) = − cos x, 6. sin(π + x) = − sin x 7. cos(π 2 + x) = − sin x, 8. sin(π 2 + x) = cos x, 9. cos(π 2 − x) = sin x, 10. sin(π 2 − x) = cos x. x −x π 2− x π 2+ x π− x π+ x Dv

• Démonstration des propriétés 34.18— Les relations cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x s’obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Supposons tout d’abord que x est un angle aigu (c’est-à-dire x ∈ [0 ,π

2]. On montre les relations :

cos π_{2 −}x= sin x et sin π

2 −x 

= cos x.

On note I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de0,π

2,

xetπ

sur l’axe des abscisses (resp. ordonnées). D’après la relation de Chasles sur les angles : (# »

OI,OJ# ») = (OI,# » ON# ») + (ON ,# » OJ# ») (mod 2π) ⇔π

2 = π 2 −x+ ( # » ON ,OJ# ») (mod 2π) ⇔ (ON ,# » OJ# ») = x (mod 2π). −x π 2+ x π_{− x} π+ x x x N K M H I O J

Les coordonnées du point M sont M(cos x, sin x), celles du point N sont : N(cos(π

2 −

x), sin(π

2 − x)). Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et : cos π_{2 −}x= KN et sin π_{2 −}x= OK.

Mais par ailleurs, d’après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K, on a :

cos x = OK et sin x = KN. D’où les relations :cos π

2 − x
= sinx et sin π2 − x
= cosx. Les autres relations se démontrent de manière analogue.

Par exemple, si x appartient à[−π

2,0], on pose y = −x. Comme y est un angle aigu, on a, par exemple, en utilisant ce qui précède :

cos π_{2 −}y= sin y et cos π₂ + y= − sin y,

c’est-à-dire :

cos π₂ + x= sin(−x) = − sin x et cos π_{2 −}x= − sin(−x) = sin x.

De même, si x appartient à [π

2,3π2 ], alors on pose y = π − x et on utilise les formules

précédentes. •

34.2.6 Formules trigonométriques

Proposition 34.19— Formules d’addition. 1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b, 2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,

3. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b, 4. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

•Justification d’une formule de trigonométrie —

Méthode utilisant le produit scalaire On va étudier la quantité cos(a − b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»), considérons deux vecteurs #»u

et #»v unitaires tels que :

(#»ı, #»u) = a et (#»ı, #»v) = b. − →_ı − →_u − →_ − →v a b b− a O

Une première expression du produit scalaire donne : #»

u_·#»

v = cos(#»u ,#»

v).

D’après la relation de Chasles : (#»u ,#»

v) = (#»u ,#»

ı) + (#»ı, #»v) = b − a

donc #»u_· #»

v = cos(b − a) = cos(a − b) car la fonction cosinus est paire. D’autre part,

d’après la définition du cosinus et du sinus, on a : #» u =cosa_{sin a}  et #» v =cosb_{sin b} 

D’après l’expression du produit scalaire avec les coordonnées(xx0 _{+ yy}0_{), on obtient} alors :

#»

u_·#»

v = cos a cos b + sin a sin b.

Ce qui nous donne une formule trigonométrique :

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.

Méthode n’utilisant pas le produit scalaire On étudie cette fois-ci cos(a+b) où a et b sont deux nombres réels. On considère le cercle de centre O et de rayon1 dans un repère orthonormé(O, #»ı, #»). Sur ce cercle, on place un point A tel que (# »

OI,OA# ») = a, le point M tel que(OA,# » OM# ») = b et le point A0tel que(OA,# » OA# »0) = π₂.

a b O I J A M A0

D’après la relation de Chasles pour les angles, on a : (# »

OI,OM# ») = (OI,# » OA# ») + (OA,# » OM# ») = a + b (mod 2π)

Donc :

# »

OM = cos(a + b)OI# »+ sin(a + b)OJ.# »

Mais en se plaçant dans le repère orthonormé(O, A, A0_{), on a :} # »

OM = cos(b)OA# »+ sin(b)OA# »0

et en exprimant les coordonnées des vecteursOA# »etOA# »0_{dans le repère(O, #»ı, #»), on a :} # » OA= cos(a)OI# »+ sin(a)OJ# » et _{# »} OA0= cos π 2 + a # » OI+ sin π 2 + a # »

OJ = − sin(a)OI# »+ cos(a)OJ.# »

Finalement : # »

OM = cos(b) cos(a)OI# »+ cos(b) sin(a)OJ# »_{− sin(b) sin(a)}OI# »+ sin(b) cos(a)OJ# »

= [cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)]# »

OI+ [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)]OJ# »

et par unicité des coordonnées d’un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

•

Proposition 34.20— Formules de duplication. 1. cos(2a) = cos2_{a− sin}2_a,

2. sin(2a) = 2 sin a cos a.

•Démonstration de la proposition34.20—

cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2_a

− sin2a

sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a

•

Proposition 34.21— Formule de linéarisation. 1. cos2_a= 1+cos(2a)

2 ,

2. sin2_a= 1−cos(2a)

2 .

Dv

•Démonstration de la proposition34.21—On rappelle quesin2_{x+ cos}2_{x= 1 quelque} soit le réel x. Donc :

cos(2a) = cos2_{a− (1 − cos}2_{a) = 2 cos}2_{a− 1,} d’oùcos2_a=1+cos(2a)

2 . De même,

cos(2a) = (1 − sin2_{a) − sin}2_{a= 1 − 2 sin}2_a, d’oùsin2_a= 1−cos(2a)

2 . •

Exemple 34.22 On va calculer les valeurs exactes de cosπ₈,sinπ₈,cos₁₂π, sin₁₂π. En utilisant les formules de linéarisation : cos2 π 8 = 1 + cosπ 4 2 = 1 +√2₂ 2 = 2 +√2 4 et commecosπ 8 >0, il vient cosπ8 = √_2+√2 2 sin2 π 8 = 1 − cos π 4 2 = 1 − √2 2 2 = 2 −2√2 et commesinπ 8 >0, il vient sinπ8 = √_2−√2 2 . D’où : tanπ₈ = s 2 −√2 2 +√2. Or : 2 −√2 2 +√2 = (2 − √2)2 (2 −√2)(2 + √2) = 6 − 4 √2 4 − 2 = 3 − 2 √ 2 = 1 − 2√2 + 2 = (1 −√2)2_. D’où : tanπ₈ =1 −√2=√2 − 1.

En utilisant les formules d’addition : cos π 12 = cos _π 3 − π 4  = cosπ 3 cos π 4 + sin π 3sin π 4 = 1 2 × √22 +√32 × √22 = √6 + √22 sin₁₂π = sinπ_{3 −} π₄= sinπ₃cosπ_{4 −}cosπ₃ sinπ₄ = √3_{2 ×} √2_{2 −}1_{2 ×} √2₂ = √6 − √2₂ .

D’où tan π 12 = √6 − √2√6 + √2 = (√6 − √2)2 (√6 + √2)(√6 − √2) = 8 − 2 √12 6 − 2 = 2 − √ 3. 

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

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[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

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[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

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[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

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http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

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