Leçon 26 : Cosinus, sinus et tangente d'un angle compris entre Activités

(1)

Leçon 26 : Cosinus, sinus et tangente d'un angle compris entre Activités

l.

^Dans^un^repèreorthonormé, on trace le cercle de centre O et de rayon 1

l.

Sur ce cercle, on place les points

A, B,

C ^. Déterminer les coordonnées des

points A, B,

C ^.

0o

et l80o

2.

Dans un repère orttronormé, on trace le demi-cercle de centre Q ^et^de

rayon 1. Placer les

points A,B ,

^C

, D,

E

, F ,

^G

, H et / ^tels

^q.ue

tôA=0", tôB _=3o", rôc : 4s", xôD =

^60",

tôE :9o", xôF =l2o", tôG :135", xôH : l5o"

et xÔl

₌180".

C4-l

(2)

Le

cours

l.

Cercle

trigonornétrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon

I

et de centre I'origine du repère, orienté dans le sens direct.

Sur le cercle, le sens direct (ou sens trigonométrique) est le sens contraire de

celui

des aiguilles

d'une montre.

Exemple:

I v| P

^P

Le repère (O;

i, j),où _i _{=OA et} j _=96,

est un repère orthonormé direct ^: le quart de tour de centre O, tel que

A

a B.

est de sens direct.

Lignes

trigonométriques

l.

Cosinus et sinus

Sens direct

2.

/.y,

0 .

^(cos

")'

^{+ (sin}

^xY ^=1,

^noté^aussi^cos2^{x +}^sin2^x

: |

^. 2. Tangente

La tangente

d'un

nombre

r

est le quotient de son sinus par son cosinus ^:

sin

x

:

B

(, \ \di

A o

Soit (O; ,t,

,t) u"

^repèreorthonormé direct et le cerçle trigonométrique de centre O.

A

tout nombre

r

correspond un

point M

ducercle trigonométrique

tel

que .r est une mesure en radian de

I'angle .nÔU.

L'abscisse

de M

est

cosx etl'ordonnéede M

est

sinx lr,, :-OC:

cos,r

Ml-

lY, =oD=sni

toutes deux

comprises entre

-l

èt

l.

Le trfangle

OMC

est rectangle

en C

et OCz

+CMz

₌

OM'

, soit aussi

(eosr)t

Propriétés ^:

Pour tut

nombre x

^:

o -l(cosx<l

^et

-l<sinx<1.

Puisque

M

est un point du cercle trigonométrique, son abscisse et son ordonnée sont

OM

₌

I

; d'après le théorème de Pythagore :

+ (sin x)2 = ¹

(3)

B = sin ^80o+ cos I l0o +sin I 60o + cos l70o

Solution:

oA=

^cos^l35o^x^sin^{l20o x}^tan

^l50o

cos60o

On

a:

cosl35o =

cos(lSO"-+s"): _-cos45o

sin l20o

:

_{rin (t}^goo

_-

uo") = ^sin6o0

tan l5oo ₌

*(so"

+

oo")=

#

⁼

^- *=#

Donc

, cosl35oxsinl20oxtanl50o -cos45ox'i"6got-"?$ ,-(\ J,

.r:-- :UOS+J =---

cos

60o ro

2

o B=sin80o+cosl l0o+sinl600+cos1700

On a:

sin 8oo = sin (9oo

-

^t

^o")

⁼^cos^loo

cos I I oo = cos (9oo +

20")

₌

-sin

^2oo

sin l6o0 = sin (t ^8oo

- ^to")

^{= sin 2oo}

cos 170" ₌

*,

^(180"

_- lo"):

_{-cos loo}

Donc

.B

:

sin 80o +cos I l0o +

sinl60o+cos

1700 B

:

cos l0o-sin2Oo + sih 20o

-coJl0" :

0

4.

Axes de cosinus, de sinus et de

tangente

Soit M(x;y)

un

point

du cercle trigonométrique.

o Axe

de cosinus

.

I'e'cosihus'd'un

angle I

^estI'abscisse

x

^de

M

donc

I'axe (&)

est appelé

I'axe

de cosinus.

o Axe

de sinus

Le

sinus d'un

angle d

est

I'ordowÉe y de M

donc

I'axe (afl

^estappelé

I'axe

de sinus.

o

La droite passant

par A(l;0),

de même sens que I'axe de sinus est appelé

l'axe

de tangente.

(4)

Exemples:

Déterminer la mesure de

I'angle d

dans chacune des équations sachant que

oo

<e

^<

l8oo.

a. sind=1

2

b. cosd--'6

2

c.

tan 0

=-l

Solution:

a. sind

₌

1 -2

On

a:

I

D'autre part, d'après la

formule

sia(tso"

-li|=sine, Ona:

50o

soil

d=150o

Donc sind=1 +p=30" ou

^g

:l50o.Onécrit

aussi ^s={:0., tso.}

2

(5)

M et M'

soit AÔM =3oo

et AÔM:t80"-30"

coad=-v' t;

2 b.

Représentation

sur

le

cercle trigonométrique.

On sait que le sinus

d'un angle d

est l'ordonnée

d'un point

-

^Doncsur l'axe de

sinus

^(Q.'y, on place le

point do'lj _\2)

-

Passantpar

P,

on trace la parallèle à I'axe de cosinus

(e).

Cefte parallèle coupe le cercle trigonométrique en deux points

Ona:

D'après la

formule

_-cosd=cos (tg0"

-d),

On

a:

Donc 0:150o ou S={fSO"}

Représentation

sur

le cercle

trigonométrique.

On sait que le cosinus

d'un angle d

est I'qbcisse

d'un point

-

^Donc^surI'axe de cosinus

(aù,

.

(t;\

on place le

point

_Al

_{\ -.} - i'o

^l.

-

^Passarfi^par

8,

on tracè.la parallèle ./ à I'axe de sinus

(Aù.Cette

parallèle coupe le demi-cercle trigonométrique en un point

itz soit

PôM =30"

et ,4ôu

= l80o

-30":150"

tzn9:-l

On

a:

[-t=tan0

l-r =-*+s'

D'après la

formule - wte= t*(tao' -a),

On a donc ^:

(6)

(-l

₌_{tut o}

1 r r*

^tan⁰=tan l35o

soit

0 =135"

l-

^{I =}- ^{tan 45o}⁼^tan^(t^SO"- ^+S'J

Donc 0:135o ou S={f:s.'}

Représentation

sur le cercle

trigonométrique.

On sait que la tangente

d'un angle I

^est^I'ordonnée

dlun

point

de I'axe de tangente.

-

Donc sur I'axe de tangente, on place le

point {t;-

^t)

-

^Passant

par P,

on trace la

droite

^(Op)

.'

Cette droite coupe le cercle

trigonométrique en un

point M d

^M'

- Or

0o < e <

l80o

donc

,eÔu:90"

+ 45o = 135"

Exemple

l:

Détermoner

cosd et tand,

sachantque

sind=

Solution ^: Méthode

l.

;

_JI

^et 00<d<1800.

Pour

obtenir

cos

d

connaissant sind , on utilise la

relation

æs2 e +sin2

0=l

mt2 a+ sin2

o:l s'écrit

:

t't\2

æsz e +[

I _{l- =l}

_<+cos2

_d=l- ^I

₌⁸

\3/ ee

2Jt ^ ^2Jt

<+ cos

a

otr cnts a

=--

Or

^0o

<e<1800;

_donc

0o<d<90o

ou 900

<0

31g00:

0o

<0 <90o. _cosd>o

_et

trrd>o

I

't^li

'- æsO

- -'-

_et

J

sind i

I

I J,

tTu:-=

æs0 zJt 2^E

⁴

J

^

^sind

ânA:-=

cos d

2J'

3 g0o

<0<

l89o,.oos.d<.o'et

tute<o:

cos

e=-2!2

"t

.

0o<

0<90o,

oosd>o et

tma>0.

Sur le triangle rectangle, on a

.

:

sind =

^B,C

AB :!

³

Le théorème de Pythagore permet

d'ècrire

^:

AC2 =32

-l:8 eAC=2Jj

/t/1

't

12

^BC

Donc cos

0=nu -'\ ^er t?gf-a-- -

I 2J2

_

_J'

4

Méthode 2.

on utilise la relation trigonométrique dans un triangle rectangle.

or 0o<d<1800;

donc 0o

<0<90o ou 90o<d<1800:

B

J'

(7)

.t; _Jt

90o

<e

< 180o, cosd<O

et tand<0:

cos

e=-:+ 34 ^et

^tan

0=--

Exemple

2

^:

À

I'aide

d'un

cercle trigonométrique, résoudre les inéquations suivantes dans [o',rso"J.

VJ

,.

a. cost/>-

2

Solution:

a. "o.Bt-{

²

- Sur

I'axe

de cosinus

(&)

_,on place le

point

_0l

_-(,2 /t;\ - 9;

^o^{| .}

)

- Passant

par Q,

^on^trace^la^parallèleà I'axe de sinus (@,).

Cette parallèle coupe le demi-cercle trigonométrique en un

point M.

or cosd>-v' t;

^et

2

b.

tan

e> -l

0o <0<180" donc les angles correspondant sont compris entre ^0o

et

^l50o- On

écrit

0o <

e

< l50o ou S = [0", tso"[

b. -tanâ2-l

Sur

I'axe

de tangente, on place le

point r(t;-r)

Passant

par p,

on ûace la

droite

(op) .

Cette

droite

coupe le cercle

trigonométrique

_I

en un

point M a

M,.

Or

tan

e> -l ^et

^0"<0<t8O"donc _les_angles

correspondant sont compris

entre

0" et 90o; 135"

et

1800.

On

écrit

0o<d<90o

et

l35o

<0

<180o

ou g=[0",m.[.r[t:s.,

_tao"J.

(8)

Bxercices

l.

Compléter le tableau suivant.

2.

Calculer les expressions suivantes.

a. sin2 40o + sin2 50o

b.

tan l3o xtanTTo

".

"or2 ^{I 5o}⁺cos2 30o + cos2 45o + cos2 60o + cos2 75o

d.

sin 75o

+sin

l20o

-cos

^{l50o +cos}¹⁶⁵⁰

e.

sin l60ox cos 70o + cos2Oox sin 70o

3.

Dans chacun des cas suivants,

calculer d

sachant que 0o < A < 1800.

a.

sind: I ^b. ^.ord

=

1

2

c. tan2=.8

d. 2sing=Jl e. Jlcos?+l:0 ^t. $tane+t--O

- 4. Dani

chaque cas, déterminer

sind,

^cos

0 et tan?,

sachant

que

0o < d < 1800.

u. "oro=-? ^b.

^sin

o=? ^c. tano=-!

373

5.

Sachantque 0o

<0<1800

_et

sind+.orA:t1

? a. calculer sin d x cos d ^.

b. calculer sin3

9+"o.3 d.

6.

Sachantque 0o

<e4

^80o

et 4c,ps0+2sjn0:J|.Déterminer tan2D

7.

^.ÀI'aide du cercle trigonométrique, résoudre les inéquations suivantes dans

[o',180'].

a.

sin er.€

2

d,.2sin0<Jl

b.

cos

I3!

2

c.

tan 0

<Jt

". ^lDcos 0+l>0 ^f- tand+.6>0

e ₀₀ ₃₀₀ ₄₅₀ ₆₀₀ ₉₀₀ ₁₂₀₀ 1350, I 500 I 90"

cosd

Leçon 26 : Cosinus, sinus et tangente d'un angle compris entre Activités