Les diapositives

(1)

l y c é e m a r c e l i n b e r t h e l o t p c *

Réduction des endomorphismes

Jean-Pierre Becirspahic

Lycée Marcelin Berthelot

(2)

Sous-espaces stables

Si H est un sous-espace vectoriel stable par u et(e) une base adaptée à

H , alors

Mat_(e)(u) = A B

O C ! avec A= Mat_(e H)(uH). A B O C                                                 u(e_H) · · · e_H .. .

(e_H) désigne une base de H .

uH∈ L(H ) est la restriction de u à H .

Réduireun endomorphisme, c’est trouver une telle décomposition de

l’es-pace, avec uHi / Ai aussi simple que possible :

ui= λiId (homothétie)ou ui= λiId + ni (homothétie + nilpotent, HP)

(3)

Sous-espaces stables

Si E=MH_ioù les H_isont stables par u, alors dans une base(e)

adap-tée à cette décomposition,

Mat(e)(u) = diag(A1, . . . , Ak) avec Ai= Mat(ei)(uHi).

A₁ A2 A_k                                                      

(4)

Sous-espaces stables

A₁ A2 A_k                                                      

(5)

Sous-espaces stables

Cas de la trigonalisation :         4 1 −1 −6 −1 2 2 1 1         est semblable à         1 1 0 0 1 0 0 0 2         • _{dim H} 1= 2, u1=Id + n1avec n1nilpotent ; • _{dim H} 2= 1, u2= 2Id.

(6)

Sous-espaces stables

Des exercices en général difficiles

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, et u ∈ L(E ). Montrer qu’il existe au moins une droite ou un plan stable par u.

Quelles sont les droites stables par u ?→ les droites engendrées par des

vecteurs propres.

Si u possède une valeur propre, le problème est réglé. Dans le cas contraire, on plonge dans C grace à une interprétation matricielle de l’exercice :

Soit A ∈ M_2n(R) une matrice réelle sans valeur propre. Montrer qu’il

existe au moins un plan stable par A .

Soitλ ∈ C et X ∈ C2nnon nul tel que AX= λX .

On pose X= Y + iZ , λ = a + ib . Alors :

A(Y + iZ ) = (a + ib )(Y + iZ ) ⇐⇒ (AY = aY − bZ

AZ = bY + aZ

doncVect(Y, Z ) est stable par A .

(7)

Sous-espaces stables

Quelles sont les droites stables par u ?

→ les droites engendrées par des vecteurs propres.

AZ = bY + aZ

(8)

Sous-espaces stables

vecteurs propres.

AZ = bY + aZ

(9)

Sous-espaces stables

vecteurs propres.

AZ = bY + aZ

(10)

Sous-espaces stables

vecteurs propres.

AZ = bY + aZ

(11)

Sous-espaces stables

vecteurs propres.

AZ = bY + aZ

(12)

Polynôme caractéristique

χ

_u(x) = det(xId − u) = xn− (tr u)xn−1+ · · · ? · · · + (−1)ndet u.

• _{Les valeurs propres de u sont les racines de}

_χ

u.

• _Si

_χ

u(x) = (x − λ)nλQ(x) alors dim(Ker(u − λId)) 6 nλ.

• _Lorsque

_χ

u(x) =

n Y

i=1

(x − λi) est scindé (tjs vrai lorsque K = C),

tr u = n X i=1 λi et det u = n Y i=1 λi.

Chaque valeur propre apparait autant de fois que sa multiplicité.

(13)

Polynôme caractéristique

χ

_u(x) = det(xId − u) = xn− (tr u)xn−1+ · · · ? · · · + (−1)ndet u.

• _{Les valeurs propres de u sont les racines de}

_χ

u.

• _Si

_χ

u(x) = (x − λ)nλQ(x) alors dim(Ker(u − λId)) 6 nλ.

• _Lorsque

_χ

u(x) =

n Y

i=1

(x − λi) est scindé (tjs vrai lorsque K = C),

tr u = n X i=1 λi et det u = n Y i=1 λi.

Chaque valeur propre apparait autant de fois que sa multiplicité.

(14)

Polynôme caractéristique

Soit A ∈ M_p(C). Déterminer le rayon de convergence deXtr(An)zn,

puis exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de A .

On poseSp(A ) = {λ1, . . . , λp} (répétées avec multiplicité).

A est trigonalisable donctr(An) =

p X k=1 λn_k. +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 +∞ X n=0 (λkz)n = p X k=1 1 1 −λkz lorsque ∀k ∈ ~1, p, |z| 6 1 |λk| doncR= 1 max |λk| .

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

A(z) = p X k=1 1 z − λk et ainsi : +∞ X n=0 tr(An)zn=

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(15)

Polynôme caractéristique

puis exprimer sa somme en fonction du polynôme caractéristique de A . On poseSp(A ) = {λ1, . . . , λp} (répétées avec multiplicité).

p X k=1 λn_k. +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 +∞ X n=0 (λkz)n = p X k=1 1 1 −λkz lorsque ∀k ∈ ~1, p, |z| 6 1 |λk| doncR= 1 max |λk| .

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(16)

Polynôme caractéristique

p X k=1 λn_k. +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 +∞ X n=0 (λkz)n = p X k=1 1 1 −λkz lorsque ∀k ∈ ~1, p, |z| 6 1 |λk| doncR= 1 max |λk| .

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(17)

Polynôme caractéristique

p X k=1 λn_k. +∞ X n=0 tr(An)zn= p X k=1 +∞ X n=0 (λkz)n = p X k=1 1 1 −λkz lorsque ∀k ∈ ~1, p, |z| 6 1 |λk| doncR= 1 max |λk| .

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(18)

Polynôme caractéristique

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(19)

Polynôme caractéristique

Par ailleurs,

χ

A(z) = (z − λ1) · · · (z − λp) donc

χ

0 A(z)

χ

0 A(1/z) z

χ

A(1/z) .

(20)

Diagonalisabilité

u est diagonalisable si et seulement si l’une de ces conditions équiva-lentes est réalisée :

• _{il existe une base}_{(e) telle que Mat}

(e)(u) est diagonale ;

• _{il existe une base}_{(e) formée de vecteurs propres de u ;}

• _E₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) ;

•

_χ

u est scindé et pour toute valeur propre,dim(Ker(u − λId)) = nλ.

Cas particulier: si

χ

u est scindé à racines simples, u est diagonalisable.

(21)

Diagonalisabilité

• _E₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) ;

•

_χ

Cas particulier: si

χ

(22)

Diagonalisabilité

• _E₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) ;

•

_χ

Cas particulier: si

χ

(23)

Diagonalisabilité

• _E₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) ;

•

_χ

Cas particulier: si

χ

(24)

Diagonalisabilité

• _E₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) ;

•

_χ

Cas particulier: si

χ

(25)

Diagonalisabilité

Un exercice difficile mais classique

Soit A ∈ GLn(C) inversible et diagonalisable, et B =

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

Montrer que B est diagonalisable.

Résoudre le système B X Y ! = λ X Y ! ⇐⇒ (AX = λ 2_X Y= λX

Soit(X₁, . . . , Xn) une base de v.p. de A : AXk= µkXkavecµk, 0.

On noteλ_kune racine carrée deµ_k, Z_k= Xk

λkXk ! , eZ_k= Xk −λkXk ! . n X k=1 (a_kZ_k+ b_keZ_k) = 0 ⇐⇒ n X k=1 (a_k+ b_k)X_k= 0 et n X k=1 λ_k(a_k− b_k)X_k= 0 ⇐⇒ a_k+ bk= 0 et λk(ak− bk) = 0 ⇐⇒ ak= bk= 0 car λk, 0.

(Z_k,eZk)16k 6nest une base de vecteurs propres de B , B est diagonalisable.

(26)

Diagonalisabilité

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

(27)

Diagonalisabilité

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

(28)

Diagonalisabilité

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

(29)

Diagonalisabilité

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

(30)

Diagonalisabilité

O I

A O

!

∈ M_2n(C).

(31)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Si u est diagonalisable, u ◦ v= v ◦ u ssichacun des sous-espaces propres

de u est stable par v.

(32)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

• _{Si u ◦ v}_{= v ◦ u, alors pour tout x ∈ Ker(u − λId),}

u ◦ v(x) = v ◦ u(x) = v(λx) = λv(x) donc v(x) ∈ Ker(u − λId).

• _{Réciproquement, E}₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) donc pour tout x ∈ E ,

x= X

λ∈Sp(u)

x_λ avec x_λ∈ Ker(u − λId).

Pour toutλ ∈ Sp(u), v(xλ) ∈ Ker(u − λId) donc

u ◦ v(x_λ) = λv(xλ) = v(λxλ) = v ◦ u(xλ) et par linéarité, u ◦ v(x) = v ◦ u(x).

(33)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

• _{Si u ◦ v}_{= v ◦ u, alors pour tout x ∈ Ker(u − λId),}

u ◦ v(x) = v ◦ u(x) = v(λx) = λv(x) donc v(x) ∈ Ker(u − λId).

• _{Réciproquement, E}₌ M

λ∈Sp(u)

Ker(u − λId) donc pour tout x ∈ E ,

x= X

λ∈Sp(u)

x_λ avec x_λ∈ Ker(u − λId).

Pour toutλ ∈ Sp(u), v(xλ) ∈ Ker(u − λId) donc

u ◦ v(x_λ) = λv(xλ) = v(λxλ) = v ◦ u(xλ) et par linéarité, u ◦ v(x) = v ◦ u(x).

(34)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Dans ce cas, dans une base adaptée,

Mat_(e)(u) = λ1I λ₂I λkI                                                       et Mat_(e)(v) = A1 A₂ Ak                                                      

Cette base adaptée est construite en choisissant une basequelconque

sur chacun des s.e.v. propre.

(35)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Mat_(e)(u) = λ1I λ₂I λkI                                                       et Mat_(e)(v) = A1 A₂ Ak                                                       Cas particulier : u et v sont des endomorphismes symétriques d’un es-pace euclidien.

La restriction de v àKer(u − λId) est toujours symétrique, donc on peut

choisir une b.o.n. deKer(u − λId)formée de vecteurs propres de v.

Dans ce cas, chaque Aiest diagonale, et u et v sont diagonalisablesdans

une même base orthonormée.

(36)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Mat_(e)(u) = λ1I λ₂I λkI                                                       et Mat_(e)(v) = A1 A₂ Ak                                                       Cas particulier : u et v sont diagonalisables.

On peut procéder de même à condition de démontrer le théorème : La restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est encore diagonalisable.

(difficile à prouver avec le programme de PC*)

(37)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Mat_(e)(u) = λ1I λ₂I λkI                                                       et Mat_(e)(v) = A1 A₂ Ak                                                      

Cas particulier simple: chaque sous-espace propre de u est de

dimen-sion 1 (les valeurs propres sont simples). Dans ce cas, v est diagonali-sable dans la même base que u.

(38)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Racine ne_{d’une matrice}

Trouver les M ∈ M3(R) telles que M3= A avec A =

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On a AM= M4= MA donc les solutions sontdans le commutant de A .

On calcule

χ

A(x) = x(x − 8)(x + 8) donc Sp(A ) = {0, 8, −8} ; A est dz avec

trois valeurs propres simples : ∃P ∈ GL3(R) tel que :

A= P         0 0 0 0 8 0 0 0 −8         P−1 et M= P         x 0 0 0 y 0 0 0 z         P−1 Ainsi, M3= A ⇐⇒ x3= 0, y3= 8, z3= −8 ⇐⇒ x = 0, y = 2, z = −2.

Pour terminer l’exercice, il reste à calculer P puis M .

(39)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On calcule

χ

(40)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On calcule

χ

(41)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On calcule

χ

(42)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On calcule

χ

A= P         0 0 0 0 8 0 0 0 −8         P−1 et M= P         x 0 0 0 y 0 0 0 z         P−1 Ainsi, M3= A ⇐⇒ x3= 0, y3_{= 8}_{, z}3_{= −8 ⇐⇒ x = 0}_{, y = 2, z = −2.}

(43)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

        −4 4 −4 −4 4 4 −8 8 0         .

On calcule

χ

A= P         0 0 0 0 8 0 0 0 −8         P−1 et M= P         x 0 0 0 y 0 0 0 z         P−1 Ainsi, M3= A ⇐⇒ x3= 0, y3_{= 8}_{, z}3_{= −8 ⇐⇒ x = 0}_{, y = 2, z = −2.}

(44)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

Racine ne_{d’une matrice symétrique}

Rappel :deux endomorphismes symétriques qui commutent se

diagona-lisent sur une même base.

Soit A une matrice symétrique réelle. Montrer qu’il existe une unique

matrice symétrique réelle M telle que M3= A .

Pour tout a ∈ R, l’équation x3= a possède une unique solution réelle.

Soit A une matrice symétrique réelle positive (Sp(A ) ⊂ R₊). Montrer qu’il

existe une unique matrice symétrique réelle positive telle que M2= A .

Pour tout a ∈ R+, l’équation x2 = a possède une unique solution dans

R₊.

Attention: ces deux équations peuvent avoir d’autres solutions, mais elle

ne seront pas des matrices symétriques.

(45)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

R₊.

(46)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

R₊.

(47)

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable

R₊.

(48)

Trigonalisation

u est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est

scindé (toujours vrai lorsque K= C).

LorsqueMat(e)(u) est triangulaire, les valeurs propres apparaissent sur

la diagonale avec leur multiplicité.

Si A ∈ M3(C)n’est pas diagonalisable, A est semblable à une matrice de

l’un des trois types suivants (résultat admis) :

•

_χ

A(x) = (x − λ)2(x − µ) :         λ 1 0 0 λ 0 0 0 µ        

(deux s.e.p. de dimension 1).

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ        

(un s.e.p. de dimension 2).

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ        

(49)

Trigonalisation

•

_χ

A(x) = (x − λ) 2 (x − µ) :         λ 1 0 0 λ 0 0 0 µ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ        

(50)

Trigonalisation

•

_χ

A(x) = (x − λ) 2 (x − µ) :         λ 1 0 0 λ 0 0 0 µ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ        

(51)

Trigonalisation

•

_χ

A(x) = (x − λ) 2 (x − µ) :         λ 1 0 0 λ 0 0 0 µ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ        

•

_χ

A(x) = (x − λ)3:         λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ        