Fonctions / 2e / 20-21

(1)

Picchione Serge 2020-2021

FONCTIONS

2

ème

_année

2.1 Rappels sur les fonctions

1 2.2 Opérations sur les fonctions

6 2.2.1 Introduction

6 2.2.2 Composition de fonctions

7 2.2.3 Décomposition de fonctions

10 2.3 Fonctions bijectives et fonctions

réciproques

19 2.3.1 Fonctions bijectives

19 2.3.2 Fonctions réciproques

23 2.4 Fonctions exponentielles et logarithmes

30 2.4.1 Rappels sur les puissances et racines

à exposants dans



*

30 2.4.2 Extension de la notion de puissance

31 2.4.3 Fonctions exponentielles

34 2.4.4 Fonctions logarithmes

37 2.4.5 Formule de changement de base

45 2.4.6 Équations exponentielles et logarithmiques

46

(2)

2.5 Les fonctions trigonométriques

56 2.5.1 Les angles et leurs mesures

56 2.5.2 Définition de sin(

α), cos(α) et tan(α)

61 2.5.3 Relations trigonométriques

63 2.5.4 Définition des fonctions trigonométriques

69 2.5.5 Fonctions sinusoïdales

71 2.5.6 Fonctions trigonométriques réciproques

78 2.5.7 Équations trigonométriques

81 2.5.8 Exercices supplémentaires *

84 2.6 Ce qu’il faut absolument savoir

91

(3)

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en deuxième année ; le sujet central est le concept de fonction.

Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des

exercices.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé

leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio

Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

(4)

(5)

________________________________________________________________________________

P.S. / 2020-2021 1 Fonctions / Rappels / 2NA

2.1 Rappels sur les fonctions

Définition

Une fonction f est définie par :

1) Un ensemble A appelé ensemble de départ. 2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.

3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de

l'ensemble de départ x ∈A fait correspondre

zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y ∈ B.

Remarques

a) On désigne souvent une fonction par les lettres f, g ou h.

b) Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble

de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels .

Exemples f f 2 : x x 5 x 6 = (x) → → + +  

f est une fonction de  dans  . C'est une fonction réelle. • L'image de -4 est

( ) ( )

2

( )

f − = −4 4 + ⋅ − + =5 4 6 2

• L'image de l’intervalle

[

−2;0

]

est f

(

[

−2;0

]

)

=

[ ]

0;6

• L'ensemble des préimages de 2 est 1

( ) {

}

f− 2 = − − , car 4; 1 f

( )

− =4 2 et f 1

( )

− = 2 Ce sont les solutions de l'équation : 2

f(x)= x +5x+ = 6 2 • Le domaine de définition de f est D_f =

• L'ordonnée à l'origine de f est f 0

( )

= 6 • Les zéros de f est l'ensemble 1

( ) {

}

f− 0 = − − car 3; 2 f

( )

− = et 2 0 f

( )

− = 3 0 Ce sont les solutions de l'équation : f(x)= x2 +5x+ = 6 0

• Le graphique de f sur l'intervalle [−7;5] est : • Tableau des valeurs de f :

x préimages f(x) images -5 6 -4 2 -3 0 -2 0 -1 2 0 6 1 12

•

f A B x2 x1 x3 x4 y1 y2 y3

•

y4

(6)

________________________________________________________________________________

g g : x x = (x) → →  

g est une fonction de  dans  . C'est une fonction réelle. • L'image de 4 est g 4

( )

= 4 = 2

• L'image de -4 n’existe pas dans  . En effet : g

( )

− = − ∉4 4  • L'ensemble des préimages de 3 est 1

( ) { }

g− 3 = 9 , car g 9

( )

=3 Ce sont les solutions de l'équation : g( x )=3

• Le domaine de définition de g est D_g =₊=

[

0;+∞

[

Définitions

• Si un nombre x ∈ A est en correspondance avec un nombre y ∈ B, alors :

- y est appelé image de x par f et on note y = f(x) (x possède au plus une image) - x est appelé préimage de y par f et on note f -1_{(y)={x,…} (y peut posséder zéro,}

une ou plusieurs préimages)

préimage image

f : A B x f (x)= y

→

→ On parle d'une fonction f de A dans B. • Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble des nombres appartenant à  qui ont une image par f. Cet ensemble est noté D_f. • L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0) • Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1₍₀₎

Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.

• Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées

(

x; f x

( )

)

où x∈D_f .

Remarque

La notion de fonction est fondamentale en mathématiques. La compréhension de cette notion et des concepts qui s’y rattachent permet de décrire les relations entre grandeurs et prend de ce fait

une place centrale lors de l’étude de la physique, de l’économie, de la médecine, etc. Un peu d’histoire

La notion de fonction est très récente dans l’histoire des mathématiques. Le Discours de la méthode de Descartes (1596-1650), paru en 1637, est l’un des premiers ouvrages à développer l’idée des coordonnées d’un point du plan, et établit ainsi pour la première fois le lien entre géométrie et algèbre. La notion d’équation de courbe apparaît plus ou moins au même moment : Fermat (1601-1665) interprète une équation à deux inconnues x et y comme l’expression algébrique d’une courbe du plan. Il exprime ainsi l’idée novatrice qu’une courbe est le « résultat » d’une équation. La notation f n’apparaît qu’au

(7)

________________________________________________________________________________

Exercice 1

D'après la représentation graphique de f, déterminez

a) l’image de : −7 ; −4 ; −2 ; 0 ; 2 ; 4 et 5,5 par la fonction f. b) les préimages de : −2 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 et 4,5 par la fonction f . c) l’image de :

[

− −7; 4

]

;

[

−1;1

]

;

[ ]

2;7 par la fonction f.

d) Le(s) zéro(s) de f et son ordonnée à l'origine.

Exercice 2

Calculez l'image de −2, 0 et 8 pour les fonctions suivantes.

a) f x

( )

= − +3x 24 b) f x

( )

=x2− 4 c) f x

( )

= x− d) 3 f x

( )

₂3x x 1 =

+ Exercice 3

Calculez la ou les préimage(s) éventuelle(s) de −1, 0 et 2 pour les fonctions suivantes.

a) f x

( )

= −8 x 7+ b) f x

( )

=2x 2 c) f x

( )

=3

x

d) f x

( )

= 2

Exercice 4

Voici quatre fonctions

( )

2

( )

12 x

f x x 5 g x x 1 h x 2,5x j x

2 −

= + = − = − =

et quatre tableaux de valeurs, chacun associé à l'une d'entre elles :

x x x x −3 7,5 −3 −3 −3 −2 −2 3 −2 −2 −1 −1 −1 2,5 −1 0 0 5 0 0 1 1 1 1 0 2 5 2 2 2 3 3 3 3

(8)

________________________________________________________________________________

Exercice 5

Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes.

a) f x

( )

=3x+ 2 b) f x

( )

=x2− 9 c) f x

( )

=x3−2x2+ x d) f x

( )

=

x

e) f x

( )

= x+ f) 5 f x

( )

5 x 3 = + g)

( )

2 x f x 1

x

= − h)

( )

2 x 2 f x 4

x

− = − i) f x

( )

=

x

2 j)

( )

2 f x = x k) f x

( )

₂x 4 25

x

− = − l)

( )

x 2 f x 2 x + = − Exercice 6

On définit la fonction suivante : g x

( )

=x2+3x− 4

a) Quel est le domaine de définition de la fonction g ? b) Quelle est l'ordonnée à l'origine de la fonction g ? c) Quelle est l'image de 2 par g ?

d) Calculer g 5 .

( )

e) Calculer le(s) zéro(s) de la fonction g. f) Déterminer les préimages de −4 par g.

g) Tracer le graphique de g sur l'intervalle

[

−6;6

]

. (1 demi page A4 quadrillée et un tableau des valeurs).

Exercice 7

Justifier vos réponses.

1) Les "écritures" suivantes : f x

( )

=2x+ et 1 f u

( )

=2u 1+ désignent-elles les mêmes fonctions ?

2) Soit g x

( ) {

= −x; x

}

. g définit-elle une fonction ?

3) Soit h x

( )

1 si x 0 1 si x 0

≥ 

= ₋ _<

 . h définit-elle une fonction ?

4) Une ellipse est-elle le graphique d’une fonction ?

5) Les écritures suivantes désignent-elles des fonctions ? x 1+ ; x 1 0+ = ; j x

( )

= + x 1

6) Soit k x

( )

1 x

= . k définit-elle une fonction ?

7) m définit-elle une fonction ?

y x

•

m A B x2 x1 x3 x4 y1 y2 y3

•

y4

(9)

________________________________________________________________________________

Exercice 8

Considérons la fonction « valeur absolue » définie par : f x

( )

x x si x 0 x si x 0 ≥  = _{= } − <  a) Que valent 7 ; −7 ; 0 ; 17−29 ?

b) Que représente géométriquement le calcul a−b avec a,b∈ ?

c) Tracer le graphique de la fonction « valeur absolue » sur l'intervalle

[

−5;5

]

et dans un repère orthonormé. (1 page A4 quadrillée et tableau des valeurs).

d) Soit f x

( )

= x et g x

( )

= x2 deux fonctions. Est-ce que f x

( )

=g x

( )

∀ ∈x  ?

e) Soit la fonction h x

( )

= − . x 3

i) Compléter l'écriture suivante : h x

( )

x 3 ... si ... ... si ... 

= − =  

ii) Déterminer le domaine de définition, le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'origine de h .

iii) Tracer le graphique de la fonction h sur l'intervalle

[

−10;10

]

et dans un repère orthonormé. (1 demi page A4 quadrillée et tableau des valeurs).

(10)

________________________________________________________________________________

P.S. / 2020-2021 6 Fonctions / Opérations / 2NA

2.2 Opérations sur les fonctions

2.2.1 Introduction

Considérons l'ensemble des nombres entiers  =

{

...; 2 ; 1;0 ;1;2 ;3 ;...− −

}

On sait depuis des centaines d'années additionner, multiplier, soustraire et diviser des nombres entiers. Ce sont les 4 opérations élémentaires sur les entiers.

Exemple 2 3 5 ; 6 2 4 ;

( )

2 4 8 ; 5 3 1 2 1 2

3 3 3

⋅ +

+ = − = − ⋅ = − = = +

Motivation

Peut-on étendre la notion d'opération sur les fonctions ?

Autrement dit peut-on additionner, multiplier, soustraire ou diviser des fonctions ?

Et bien oui, il est possible de définir la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions comme ci-dessous :

Définitions Soient f et g deux fonctions.

• Somme de deux fonctions :

(

f +g

)( )

x = f x

( )

+g x

( )

On additionne l'image de x par f avec l'image de x par g. • Différence de deux fonctions :

(

f −g

)( )

x = f x

( )

−g x

( )

On soustrait l'image de x par g avec l'image de x par f. • Produit de deux fonctions :

(

f g⋅

)( )

x = f x

( ) ( )

⋅g x

On multiplie l'image de x par f avec l'image de x par g. • Quotient de deux fonctions :

( )

f x f x g g x   ₌    

On divise l'image de x par f avec l'image de x par g.

Exemples Soient

( )

3

f x =x et g x

( )

= x deux fonctions. On a les nouvelles fonctions suivantes :

(

)( )

( )

3 f +g x = f x +g x =x + x

(

f −g

)( )

x = f x

( )

−g x

( )

=x3− x

(

)( )

( ) ( )

3 f g⋅ x = f x ⋅g x = x ⋅ x

( )

3 f x f x x g g x x   ₌ ₌     Notations

( )( ) (

2 f x = f + f

)( )

x = f x

( )

+ f x

( )

= ⋅2 f x

( )

( )( )

αf x = ⋅α f x

( )

( ) (

)( )

( ) ( )

(

( )

)

2 2 f x = f ⋅f x = f x ⋅f x = f x fα

( )

x =

(

f x

( )

)

α Remarque

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux fonctions ainsi définies donne de « nouvelles » fonctions.

(11)

________________________________________________________________________________

2.2.2 Composition de fonctions

Exemple

Considérons deux fonctions réelles f et g, définies par

( )

2

f x =x et g x

( )

= +x 2. Construisons la fonction composée de f et de g (prises dans cet ordre).

Explication

Un nombre quelconque x est envoyé par f sur le nombre

( )

2

f x =x , puis le nombre y (c.-à-d. x ) est envoyé par g 2 sur le nombre g y

( )

= +y 2 (c.-à-d.

( )

_x2 +₂_{) .}

Finalement, le nombre x est envoyé sur x2+ . 2

On peut définir alors une nouvelle fonction qui est construite à l'aide des fonctions f et g prise dans cet ordre. On note :

(

)( )

(

( )

)

( )

2 2

g f x g f x= = g x = x +2 (composition de f et g)

Si g agit avant f, on a le schéma ci-contre : Et la fonction construite est :

(

)( )

₍

( )

₎

(

) (

)

2

f g x = f g x = f x+2 = x+2

(composition de g et f)

Remarque Attention, en général f g g f_ ≠ _

Autre exemple

Soient les fonctions f x

( )

=4x+3 et g x

( )

= x

(

g f

)( )

x =g f x

(

( )

)

=g 4 x

(

+3

)

= 4 x+3

(

f g

)( )

x = f g x

(

( )

)

= f

( )

x =4 x+3

Définition Soient f et g deux fonctions.

La composition de deux fonctions est définie par :

(

g f

)( )

x =g f x

(

( )

)

.

On calcule l'image de x par f, c’est-à-dire f x , ensuite on calcule l'image de

( )

f x par g,

( )

c’est-à-dire g f x

(

( )

)

.

Remarques

a) « g f » se lit « g rond f » et définit une nouvelle fonction « construite » à partir de f et de g. b) L'ordre dans lequel les fonctions sont considérées est très important. Par convention nous parlerons pour g f de la composition de f et de g , dans cet ordre pour dire que f est la première fonction agissant et que g est la seconde.

x2 f x g x+2 g x f 4x+3 f x g _g x f

(12)

________________________________________________________________________________

Exercice 9

Considérons les deux fonctions f et g définies par f x

( )

=2x−1 et g x

( )

=x2+ . 1 Calculer et simplifier :

(

f +g

)( )

2 =

(

f g⋅

)( )

1 =

(

f / g

)( )

0 =

(

f g

)( )

2 =

(

g f

)( )

2 =

(

f  g

)

( )

2

(

f +g

)( )

x =

(

f −g

)( )

x =

(

f g⋅

)( )

x =

(

f / g

)( )

x =

(

f g

)( )

x =

(

g f

)( )

x = Exercice 10

Considérons les trois fonctions définies par f x

( )

=2x− , 3 g x

( )

= x 2 et h x

( )

1 x = .

a) Déterminer les fonctions suivantes ainsi que leur domaine de définition :

(

f g

)( )

x =

(

g f

)( )

x =

(

fh

)( )

x =

(

h f

)( )

x =

(

f  f

)( )

x =

(

g g

)( )

x =

(

h h

)( )

x =

(

h g h 

)( )

x =

(

h f h

)( )

x =

b) Calculer les images :

(

f g

)( )

3 =

(

g f

)( )

3 =

(

fh 3

)( )

=

(

h f

)( )

3 =

(

f f

)( )

3 =

(

g g

)( )

3 =

c) Comparer f g et g f . Que constate-t-on ?

Exercice 11

Considérons les six fonctions : f₀

( )

x = x f₁

( )

x = − 1 x f₂

( )

x 1 x =

( )

3 1 f x 1 x = − 4

( )

x 1 f x x − = 5

( )

x f x x 1 = − 1) Compléter le tableau suivant en composant les fonctions entre-elles .

2) Que constate-t-on ?

f

0

f

1

f

2

f

3

f

4

f

5

f

0

f

2

f

1

f

2

f

1

f

3

f

3

f

4

f

5

f

5

(13)

________________________________________________________________________________

Exercice 12 *

a) Considérons la fonction g définie par g x

( )

1 1 x = − . Calculer et simplifier :

(

g g

)( )

x =g2

( )

x = g8

( )

x =

(

g g g 

)( )

x =g3

( )

x = g10

( )

x =

(

g g g g  

)( )

x =g4

( )

x = g13

( )

x =

( )

5 g x = g₅₄

( )

x =

b) Considérons la fonction m définie par m x

( )

= . x3 Calculer et simplifier :

(

m m

)( )

x =m2

( )

x = m8

( )

x =

(

m m m 

)( )

x =m3

( )

x = m10

( )

x =

(

m m m m  

)( )

x =m4

( )

x = m13

( )

x =

( )

5 m x = m₅₄

( )

x =

(14)

________________________________________________________________________________

2.2.3 Décomposition de fonctions

On appelle fonction élémentaire une fonction ne faisant intervenir qu’une seule « opération ».

Exemples

( )

n * 1 f x =x n∈ f₂

( )

x = ⋅b x b∈* f₃

( )

x = +x a a∈*

( )

4 1 f x x = f₅

( )

x = x f₆

( )

x =cx c∈*+ sont élémentaires.

A l'aide des fonctions élémentaires vues précédemment et de la composition de fonctions, on peut « construire » beaucoup d'autres fonctions réelles.

Par exemple, la fonction g définie par

( )

(

)

6

1 g x

x 5 =

− peut être vue comme la composition des fonctions définies par : f₁

( )

x = , x6 f₃

( )

x = − et x 5 f₄

( )

x 1

x = . En effet, on a:

(

)( )

(

( )

)

(

)

(

)

(

)

( )

6 5 1 3 5 1 3 5 1 5 6 1 f f f x f f f x f f x 5 f x 5 g x x 5 = = − = − = = −   Illustration :

(

)

(

)

3 1 6 5 f f f 6 1 x x 5 x 5 x 5 → − → − → −

On peut donc imaginer que, grâce à la composition de fonctions, la plupart des fonctions réelles puissent se construire à l’aide d’un petit nombre de fonctions élémentaires.

Exercice 13

a) Décomposer les 8 fonctions g en choisissant au préalable 4 fonctions élémentaires de type f :

g₁

( )

x =2x 1+ g₂

( )

x =2x2 g₃

( )

x ₂1 x 1 = +

( )

2 4 g x =2x + 1 g₅

( )

x 2 x =

( )

(

)

6 2 1 g x 2x 1 = +

( ) (

)

4 7 g x = 2x+2 g₈

( )

x =2x2+4 x+ 2

b) Décomposer les 8 fonctions h en choisissant au préalable 5 fonctions élémentaires de type f :

h x₁

( ) (

= x+1

)

5

( )

(

)

2 5 1 h x x 1 = +

( )

(

)

5 3 h x = x+1

( )

(

)

5 4 h x = x+1 h x₅

( )

1 3x =

( )

5 6 1 h x 3x 3   = _ ₊ _ 7

( )

1 h x x =

( ) (

)

25 8 h x = 3x+3

c) Décomposer les 8 fonctions k en choisissant au préalable 5 fonctions élémentaires de type f :

k₁

( )

x =3−4 x k₂

( )

x = − ⋅ 4 3x k₃

( )

x =3x 1− k₄

( )

x _x1 3 1 = − k₅

( )

x =3− −4 x 1 k₆

( )

x =32 x

( )

x2 7 k x =3

( )

x2 2 x 1 8 k x =3 − + g

(15)

________________________________________________________________________________

f x f x

Transformation du graphique de f

Considérons une fonction réelle : f :

_{( )}

x f x y → → =   Expression algébrique de la fonction x→ f x

( )

+k =g x

( )

k∈ x→ f x

(

−k

)

=g x

( )

k∈ Décomposition de fonctions Type de transformation et interprétation géométrique Translation verticale du graphique de f Translation horizontale du graphique de f Propriété de la transformation • k >0 translation verticale du graphique de f vers le haut d’une distance de k

• k =0 aucune translation du graphique de f • k<0 translation verticale du graphique de f vers le bas d’une distance de k

• k>0 translation horizontale du graphique de f vers la droite d’une distance de k

• k =0 aucune translation du graphique de f • k<0 translation horizontale du graphique de f vers la gauche d’une distance de k

(16)

________________________________________________________________________________

f x f x Expression algébrique de la fonction x→ k f x⋅

( )

=g x

( )

k∈*+ x→ f k x

(

⋅

)

=g x

( )

k∈*+ Décomposition de fonctions Type de transformation et interprétation géométrique Homothétie verticale

du graphique de f Homothétie horizontale _{du graphique de f}

Propriété de la transformation • k >1 étirement vertical du graphique de f d’un facteur k • k =1 aucun étirement ni compression du graphique de f • 0< <k 1 compression verticale du graphique de f d’un facteur 1 k • Toutes les fonctions ont les mêmes zéros.

• k>1 compression horizontale du graphique de f d’un facteur k • k=1 aucun étirement ni compression du graphique de f • 0< <k 1 étirement horizontal du graphique de f d’un facteur 1 k • Toutes les fonctions ont la

même ordonnée à l’origine.

(17)

________________________________________________________________________________

Activité (transformation du graphique de f )

a) Considérons la fonction f définie par f x

( )

= x2 .

Compléter le tableau suivant :

Expression algébrique de la fonction g _i Transformation successives.

(

)

1 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

2 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

3 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

4 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(18)

________________________________________________________________________________

b) Considérons la fonction f définie par f x

( )

= x2 .

Compléter le tableau suivant :

Expression algébrique de la fonction g _i Transformation successives.

(

)

1 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

2 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

3 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(

)

4 g ( x ) ... f ... x ... ... ... = ⋅ ⋅ −……… + = 1) 2)

(19)

________________________________________________________________________________

Exercice 14

a) Considérons les quatre fonctions définies par leur expression algébrique :

f x

( )

= x2 g ( x )₁ = f x 4

(

−

)

g ( x )₂ 1 f x

(

4

)

2

= ⋅ − g ( x )₃ 1 f x

(

4

)

8 2

= ⋅ − −

Tracer dans le même repère orthonormé, les graphiques de ces quatre fonctions.

b) Considérons les quatre fonctions définies par leur expression algébrique :

f x

( )

1x2 2 2

= − + g ( x )₁ = f x 5

(

+

)

g ( x )₂ = ⋅2 f x 5

(

+

)

g ( x )₃ = ⋅2 f x

(

+ + 5

)

5

Tracer dans le même repère orthonormé, les graphiques de ces quatre fonctions. c) Considérons les quatre fonctions définies par leur expression algébrique :

( )

1 3

f x x

9

= g ( x )₁ = −f x

( )

g ( x )₂ = f x 6

(

−

)

g ( x )₃ = −f x 6

(

−

)

Tracer dans le même repère orthonormé, les graphiques de ces quatre fonctions.

Proposition (décomposition d’une fonction polynomiale de degré 2 en fonction élémentaires)

Soit p une fonction polynomiale de degré 2 définie par

( )

2

p x =ax +bx+c a≠0, b , c∈ a) La fonction p peut se décomposer en fonction élémentaire de la manière suivante :

Si f₁

( )

x = − x h f₂

( )

x =x2 f₃

( )

x = ⋅ a x f4

( )

x = +x k

alors p x

( )

=

(

f₄  f₃ f₂ f₁

)

( )

x =a x

(

−h

)

2+k

Illustration : _x→ − → −f1 _x _h f2

(

_x _h

)

2→f3 _{a x}

(

−_h

)

2→f4 _{a x}

(

−_h

)

2+_k

b) Le sommet S de la parabole (graphique de p) à pour coordonnées : S h;k

(

)

c) Le graphique de la fonction p peut s’obtenir à partir du graphique de

( )

2 2

f x =x en effectuant dans l’ordre suivant :

1) une translation horizontale du graphique de f d’une distance de ₂ h

2) une homothétie (étirement ou compression) du graphique de f₂ d’un facteur f₁ a ou 1

a

3) une translation verticale du graphique de f₃  d’une distance de f₂ f₁ k p

(20)

________________________________________________________________________________

S •

Exemple Représentation graphique :

On utilise la complétion du carré :

( )

2 p x = −2 x −12 x−22 a= −2 ; b= −12 ; c= −22

(

2

)

2 x 6 x 22 = − + −

(

2

)

2 x 6 x 9 2 9 22 = − + + + ⋅ −

(

)

2 2 x 3 4 = − + −

( )

(

)

2 2 x 3 4 = − − − − a= −2 ; h= −3 ; k= −4 Le sommet de la parabole est S

(

− −3; 4

)

Illustration :

(

)

3

(

)

4

(

)

1 2 2 f 2 f 2 f f x→ + → +x 3 x 3 →−2 x+3 →−2 x+3 −4 Si f₁

( )

x = + x 3 f₂

( )

x =x2 f₃

( )

x = −2x f₄

( )

x = −x 4 alors p x

( ) (

= f₄  f₃ f₂ f₁

)( )

x = −2 x

(

+3

)

2−4 Démonstration a)



(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 k h 2 p( x ) ax bx c b a x x c a b b b a x x a c a 4a 4a b b 4ac a x 2a 4a b b 4ac a x 2a 4a b a x b 4ac 2a 4a a x h k ∆ _∆ = + +   = _ + _+     = _ + + _− ⋅ +   −   = _ + _ −   −   = _ + _ −      _ _ = _ − −_ __ − = −       = − +  b) 2 2 2 2 2 2 2 2 b b S ; p 2a 2a b b b p a b c 2a 2a 2a b b a c 4a 2a b 2b 4ac 4a b 4ac 4a b 4ac 4a ∆ _∆ ₋ ₋     _ _   ₋ ₌ ₋  ₊ ₋ ₊             = ⋅ − + − + = − = − = − = − Donc S b ; S h;k

( )

2a 4a ∆ ₋ ₋ ₌    

c) 1) translation horizontale du graphique de f d’une distance de h : ₂ f₂ f₁

2) homothétie du graphique de f2 d’un facteur a ou f1

1

a : f3   f2 f1

3) translation verticale du graphique de f₃  d’une distance de k : f₂ f₁ f₄    f₃ f₂ f₁ p

(21)

________________________________________________________________________________

Proposition * (décomposition d’une fonction homographique en fonction élémentaires)

Soit h une fonction homographique définie par h x

( )

ax b cx d

+ =

+ ad−bc≠0 et c≠0 a) La fonction h peut se décomposer en fonction élémentaire de la manière suivante :

Si f₁

( )

x = − x h f₂

( )

x 1 x = f₃

( )

x = ⋅ m x f4

( )

x = +x k alors h x

( )

(

f₄ f₃ f₂ f₁

)

( )

x m 1 k x h = = + −    Illustration : _x f1 _x _h f2 1 f3 _m 1 f4 _m 1 _k x h x h x h → − → → → + − − −

b) Le centre de symétrie I de l’hyperbole (graphique de h) à pour coordonnées :I h;k

(

)

c) Le graphique de la fonction h peut s’obtenir à partir du graphique de f₂

( )

x 1 x = en effectuant dans l’ordre suivant :

1) une translation horizontale du graphique de f d’une distance de 2 h

2) une homothétie (étirement ou compression) du graphique de f₂ d’un facteur f₁ m ou 1

m

3) une translation verticale du graphique de f₃  d’une distance de f₂ f₁ k Exemple * h x

( )

A x

( )

_{( )}

3 x 10 B x x 4 − = = − Représentation graphique : a=3 ; b= −10 ; c=1 ; d= −4

On utilise la division euclidienne :

( )

(

)

( )

A x = 3x 10 x 4 B x 3x 12 3 Q x 2 R x − − = − − = =

( )

R x

( )

_{( )}

2 h x Q x 3 B x x 4 = + = + − m=2 ; h=4 ; k=3 Le centre de symétrie de l’hyprebole est I 4 ; 3

(

)

. Illustration : 3 4 1 2 f f f f 1 1 1 x x 4 2 2 3 x 4 x 4 x 4 → − → → ⋅ → ⋅ + − − − Si f₁

( )

x = − x 4 f₂

( )

x 1 x = f₃

( )

x =2x f₄

( )

x = +x 3 alors h x

( ) (

f₄ f₃ f₂ f₁

)( )

x 2 1 3 x 4 = = ⋅ + −    h h I • h

(22)

________________________________________________________________________________

Démonstration * a) Soit

( )

A x ax b h x B x cx d + = = + ad−bc≠0 et c≠0

On effectue une division euclidienne de ax+ par cx db + :

( )

A x = ax b cx d B x da a ax Q x c c da b R x c + + =   −_ + _ =   − = Donc :

( )

( )  ( ) ( )



R x 2 k Q x B x _m h ad bc ad bc ax b a _c a _c a ad bc 1 1 h x m k d cx d c cx d c d c c x h x c x c c − − − − +  −  = = + = + = + −_ _⋅ = + + +  _{− −}    _{− −}  −      _ _ _ _    

b) La démonstration ne sera pas exposée dans ce cours.

c) 1) translation horizontale du graphique de f d’une distance de h : ₂ f₂ f₁

2) homothétie du graphique de f₂ d’un facteur m ou f₁ 1

m : f3   f2 f1

3) translation verticale du graphique de f₃  d’une distance de k : f₂ f₁ f₄    f₃ f₂ f₁

Exercice 15

Considérons les fonctions suivantes :

1) p x

( )

=x2+4 x+ 4 2) p x

( )

=x2+2x+ 3 3) p x

( )

=2x2−12x+22 4) p x

( )

= −2x2+16 x 33− 5*) h x

( )

2x 1 x + = 6*) h x

( )

2 x 5 = − 7*) h x

( )

4 x 1 x 1 − − = + 8*)

( )

3x 8 h x x 3 + = +

Pour chacune de ces fonctions :

a) déterminer sa décomposition en fonctions élémentaires (utiliser la complétion du carré ou la

division euclidienne). Indiquer toutes les fonctions élémentaires.

b) déterminer les coordonnées du sommet S des fonctions p x ou du centre de symétrie I

( )

des fonctionsh x .

( )

c) tracer son graphique dans un repère orthonormé.

Indiquer les transformations successives effectuées sur le graphique de la fonction : •

( )

2

f x =x pour obtenir la fonction p x .

( )

• f₂

( )

x 1

x

(23)

________________________________________________________________________________ P.S. / 2020-2021 19 Fonctions bijectives et réciproques / 2NA

2.3 Fonctions bijectives et fonctions

réciproques

2.3.1 Fonctions bijectives

Définition

Soit f une fonction de A vers B.

f est une fonction bijective (ou bijection) de A vers B si :

• Pour tout x∈A il existe exactement un y∈ tel que B y= f x

( )

. • Pour tout y B∈ il existe exactement un x∈A tel que y= f x

( )

.

Exemples

a) Soit f x

( )

=2x+ une fonction avec 3 D_f = .

• Graphiquement, on constate que chaque élément y∈ =B  possède exactement une préimage x∈ =A



par f.

• Finalement : f est bijective de A= vers B=.

b) Soit f x

( )

= une fonction avec x2 Df = .

• Graphiquement, on constate que chaque élément y∈ =B  ne possède pas exactement une préimage x∈ =A



par f.

i) On peut trouver un élément y₃∈B = n'ayant aucune préimage x∈ =A



par f .

ii) On peut trouver un élémenty_1,2∈ =B  ayant

deux préimages x , x₁ ₂∈A = par f .

• Finalement : f n’est pas bijective de A=vers B=.

Remarque

On peut rendre bijective une fonction f non bijective en restreignant l’ensemble de départ A et/ou d’arrivée B.

Par exemple, f x

( )

=x2, est une bijection de A=+vers B=+, de A=− vers B=+

ou encore de A=

[ ]

0;2 versB=

[ ]

0;4 .

bijections fonctions

(24)

y x 8) 1

°

-1 y x 9)

°

-1

Activité (fonctions f bijectives)

Voici 12 relations représentées sous forme graphique avec comme donnée, l’ensemble de départ A et l’ensemble d’arrivée B. f : 1 si x 0 x f ( x ) 1 si x 0 → ≥  → _{= } − <    f : x si x 0 x f ( x ) x 1 si x 0 +→ + ≥  → _{= } − <   

Remplissez par Vrai ou Faux le tableau ci-dessous. Donnez quelques justifications.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fonction de A vers B bijection de A vers B y x 3) y x +1 -1 4) _y x 5) y x 6) →  

_y x 11) y x 1) 1 -1 y x 2) 4 • y x 7) 1 -1 1 -1 y x 10) 2 • y x 12) 3 S • 2

(25)

Exercice 16

En utilisant le graphique des fonctions tracées ci-dessous, déterminez si les fonctions f et g sont bijectives de A vers B. Justifier votre réponse.

( )

f x =2x−3 de A vers B. (fonction polynomiale de degré 1)

1) A=

[ ]

0;5 B= 2) A=

[ ]

0;5 B= −

[

3;7

]

3) A=₊ B=₊ 4) A= −

[

3;3

]

B=_f

( ) ( )

−3 ; f 3 _

( ) ( ) (

)

2 g x = − ⋅1 x−4 −3 de A vers B. (fonction polynomiale de degré 2)

1) A= B=₋

2) A= −∞ +∞

]

;

[

B= −∞

]

;0

]

3) A= −∞

]

;4

]

B= −∞ −

]

; 3

]

4) A=

[

4;+∞

[

B= −∞ −

]

; 3

]

5) A= B=

Remarque : S est le sommet de la parabole.

S

(26)

Exercice 17

a) Considérons une fonction f définie par f x

( )

= − +x 4. i) Tracer le graphique de la fonction dans un repère.

ii) Déterminer les ensembles A et/ou B afin que f soit une bijection de A vers B :

1) A=

[ ]

0;1 B=...

2) A= B=...

3) A=... B=

[ ]

2;7

4) A=

[

100 ;1000

]

B=...

5) A=... B=

[

3;+∞

[

b) Considérons une fonction g définie par

( )

2

g x =x −6 x+11.

i) Déterminer sa décomposition en fonctions élémentaires (utiliser la complétion du carré). ii) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole (graphique de g).

iii) Tracer le graphique de la fonction dans un repère et représenter le sommet S.

iv) Déterminer les ensembles A et/ou B afin que g soit une bijection de A vers B :

1) A=

[

3;+∞

[

B=...

2) A=... B=

[

2;+∞

[

3) A=

[ ]

0 ;3 B=...

4) A=... B=

[ ]

2 ;6

5) A=

[ ]

0 ;6 B=...

c) Considérons une fonction h définie par

( )

2

h x = −2x −16 x−37.

i) Déterminer sa décomposition en fonctions élémentaires (utiliser la complétion du carré). ii) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole.

iii) Tracer le graphique de la fonction dans un repère.

iv) Déterminer les ensembles A et/ou B afin que h soit une bijection de A vers B :

1) A= − −

[

7; 5

]

B=...

2) A=... B=

[ ]

0 ;2

3) A= − +∞

[

6;

[

B=...

4) A=... B= −∞

]

;2

]

(27)

2.3.2 Fonctions réciproques

Définition

Soit f : A→B une fonction bijective.

1

f− : B→ est appelée la fonction réciproque de la fonction f si : A

( )

1

f− y =x ⇔ f x = y ∀ ∈x A et ∀ ∈y B On note f −1ou parfois rf la fonction réciproque de f.

Remarques

a) f est une fonction bijective de A vers B ⇔ f admet une fonction réciproque de B vers A . b) La fonction réciproque d'une bijection est aussi une bijection.

Recherche d’une fonction réciproque

Méthode 1

Si on a une fonction élémentaire alors on peut « deviner » la réciproque.

Exemples a) f x

( )

=x2 de ₊ →₊ alors f−1

( )

y = y de ₊ →₊ f 2

( )

= ⇔4 f−1

( )

4 = 2 b) f x

( )

= +x 2 de  → alors f−1

( )

y = − de →y 2   f 6

( )

= ⇔8 f−1

( )

8 = 6 c) f x

( )

1x 3 = de  → alors f−1

( )

y =3 y de  → f 12

( )

= ⇔4 f−1

( )

4 =12 d) f x

( )

1 x = de *→ alors * f 1

( )

y 1 y − _{= de}*→ *

( )

1 1 1 f 3 f 3 3 3 −   = ⇔ _{ }=   Méthode 2

On part de la relation y= f x

( )

⇔ = x f−1

( )

y . Pour trouver algébriquement la fonction réciproque d’une fonction donnée, on isole une variable par rapport à l’autre.

Exemple

Considérons la fonction f définie par f x

( )

=2 x+ . f est une bijection 3 de A= vers B= .

On isole la variable x : y 2x 3 y 3 2x x y 3 x 1y 3

2 2 2

−

= + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = − .

La fonction réciproque de f de B= vers A= est : 1

( )

1 3

f y y

2 2

− ₌ ₋

En particuler : f 1

( )

= ⇔5 f−1

( )

5 = ou 1 f 3

( )

= ⇔9 f −1

( )

9 = 3

Que représente intuitivement la fonction f−1 ? f−1 « défait » ce que f avait « fait » et réciproquement.

f

A

B

f -1

(28)

Définition

La fonction identité est définie par i :



→



telle que i x

( )

= x. Elle ne modifie pas les fonctions avec lesquelles on la compose. Autrement dit : i f = fi= f

Exemple Soit f définie par f x

( )

=3x alors :

(

f i

)( )

x = f i x

(

( )

)

= f x

( )

=3x et

(

i f

)( )

x =i f x

(

( )

)

=i 3x

( )

=3x= f x

( )

.

Propriété

La composition d’une fonction avec sa réciproque donne la fonction identité. Autrement dit :

(

1

)

( )

1

(

( )

)

1

( )

f−  f x = f− f x =f− y = =x i x pour tout élément x∈A , donc f−1 f =i

(

1

)

( )

(

1

( )

)

( )

f f− y = f f− y =f x = =y i y pour tout élément y∈ , donc B f f−1 =i

Exemple

( )

1

( )

1 3 y f x 2x 3 x f y y 2 2 − = = + = = −

(

1

)

( )

1

(

( )

)

1

(

)

1

(

)

3

( )

f f x f f x f 2x 3 2x 3 x i x 2 2 − _ ₌ − ₌ − ₊ ₌ ₊ _{− = =} x∀ ∈

(

1

)

( )

(

1

( )

)

1 3 1 3

( )

f f y f f y f y 2 y 3 y i y 2 2 2 2 − ₌ − ₌  ₋ ₌  ₋ _{+ = =}          ∀ ∈y 

Représentation graphique de

f

et de sa réciproque

f

-1

( )

1 y f x 2x 3 bijective de A= vers B= 1 3 x f y y bijective de B= vers A= 2 2 − = = + = = −     Remarques

a) Par convention , l’ensemble de départ A de la

fonction f et de ça réciproque f−1 est situé sur l’axe horizontal (axe des x) et l’ensemble d’arrivée B, sur l’axe vertical (axe des y) .

On note alors : 1

( )

1 3

y f x x

2 2

−

= = −

b) Si on trace le graphique d’une fonction bijective et celui de sa réciproque dans un même repère

orthonormé, on remarque que ces deux graphiques présentent une symétrie d’axe.

Propriété

Dans un repère orthonormé, les graphiques d’une fonction f et de sa réciproque f−1

présentent une symétrie par rapport à la droite i , graphique de la fonction identitéi x

( )

= x.

f

A B

f -1