Propriétés des fonctions logarithmes
Après 1 mois, il y aura environ 13’333 oiseaux car :
1 1 0 0 0 1 1 2 N N N N 1 20' 000 13' 333 3 3 3 = − ⋅ = ⋅ − = ⋅ ≅ Après 2 mois : 2 N = ... Après 3 mois : ... Après t mois : t N =...(base a = ...) Après combien de mois la population d'oiseaux aura-t-elle diminué
de trois quart par rapport au 1er septembre 2003 ?
Il faut résoudre une équation exponentielle : ... ...
________________________________________________________________________________
P.S. / 2020-2021 50 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 45
Dans une grande ville, le 15 janvier 2005, 10 personnes ont la grippe (N0 = 10). Il faut en moyenne un jour pour qu'une personne ayant la grippe la transmette à trois autres personnes.
Un modèle mathématique permettant de calculer le nombre N de personnes grippées t jours après le 15 janvier 2005 est donné par la fonction : N =10 4⋅ t (voir activité 1 page précédente)
1) Combien y a-t-il de personnes grippées dans la ville
10 jours après le 15 janvier 2005 ?
2) Après combien de jours dénombre-t-on un million
de personnes grippées dans la ville ?
3) Compléter le tableau des valeurs de la fonction N = f t
( )
. (N = nombre de personnes grippées et t = temps en jours)t 0 1 2 3 4 5 6 7
( )
N = f t 10( )
(
)
log f t4) Tracer le graphique de log f t
(
( ))
pour t∈[ ]
0;7 . (1 page A4 quadrillée).Exercice 46
Un biologiste observe que le nombre d’oiseaux sur une île diminue d’un tiers chaque mois. Au premier mois de l’observation (1er septembre 2003) il y a 20'000 oiseaux.
(
N0 =20' 000)
Un modèle mathématique permettant de calculer le nombre N d’oiseaux présent sur l’île t mois après le 1er septembre 2003 est donné par la fonction :
t 2 N 20000 3 = ⋅ (voir activité 2 page précédente)
1) Combien y aura-t-il d’oiseaux au 1er décembre 2003 ?
2) Combien d’oiseaux aura-t-on 1’année suivant le début
de l’observation ?
3) Quel aurait été le nombre d’oiseaux 3 mois avant le début
de l’observation ?
4) A quelle date l’île comptera 1000 oiseaux ?
5) Compléter le tableau des valeurs de la fonction N = f t
( )
. (N = nombre d’oiseaux sur l’île et t = temps en mois)t −3 −2 -1 0 1 2 3 4
( )
N = f t 20’000( )
(
)
log f t________________________________________________________________________________
P.S. / 2020-2021 51 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 47
Si on considère une ville qui possède P0 habitants et que le taux de croissance de la population de
cette ville est de i (en %) par an, on obtient après t années une population P selon la relation suivante : P=P 10
(
+i)
t1) Supposons qu’une ville a un nombre d’habitants P0 = 12'000 en 1970 et un taux de croissance annuel de i = 5%.
a) Quel sera le nombre d’habitants en 1990 ? b) Quel était le nombre d’habitants en 1967 ?
c) Combien d’années faut-t-il pour que le nombre
d’habitants double par rapport à 1970 ?
2) Supposons que la ville ait un nombre d’habitants P0 = 200'000 en 1980 et dix ans plus tard de 450'000 habitants.
Calculer son taux de croissance (en %) par an ?
3) Deux villes A et B ont, au 1er janvier 1995, des populations respectives de 100'000 habitants et 80'000 habitants. La population de A augmente de 1 % par an, tandis que celle de B augmente de 5 % par an.
On note A t
( )
la population de la ville A, t années après 1995 et B t( )
la population de la ville B, t années après 1995.Déterminer par un calcul l'année à partir de laquelle le nombre d'habitants de B dépassera le nombre d'habitants de A. 4) Expliquer la relation : P P 1 i= 0
(
+)
t 1 0 0 2 Indication : Après 1 année : P P P i ... Après 2 ans : P ... = + ⋅ = = Exercice 48Le nombre de bactéries d'une culture suit la loi suivante :
( )
t 0B t =B a⋅ B0 est le nombre initial de bactéries ; t est le temps, en jours.
1) Déterminez B0 et a sachant que la culture comprend
200'000 bactéries après 3 jours, et 1,6 millions après 4,5 jours.
2) Quel sera le nombre de bactéries après 5 jours ?
3) Après combien de temps la colonie comptera-t-elle 5 millions de bactéries ?
4) Combien de jours faut-il pour que le nombre de bactéries triple sachant que B0 =3125 ? Ces calculs dépendent-t-ils du nombre initial de bactériesB au temps t= 00 ?
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P.S. / 2020-2021 52 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 49
Si on place un capital initial C0 à un taux de i (en%)
durant un temps t en années, on obtient un capital C
selon la relation suivante : C C= 0
(
1+i)
t (Loi des intérêts composés) Note : En Suisse, une année bancaire comporte 360 jours,c'est-à-dire 12 mois de 30 jours.
1) Si l'on retire un capital de 12583,45 $ en ayant placé son argent durant 3 ans et 5 mois à
un taux de i = 2,5 %, quel capital initial avait-on placé ?
2) Calculer le temps qu'il faudrait à un capital de 1000 Fr. placé à 2,75 % pour obtenir un capital
d’un million de francs ?
3) On place 8350 £ anglaises à 3,5 % pendant 5 ans, 3 mois et 20 jours.
Calculer les profits que rapporteront ce placement.
4) Une personne emprunte 12'500 francs et rembourse un montant de 14'967,15 francs 15 mois
plus tard. A quel taux a-t-elle emprunté cette somme ?
5) Expliquer la relation : C=C 1 i0
(
+)
t 1 0 0 2 Indication : Après 1 année : C C C i ... Après 2 ans : C ... = + ⋅ = = Exercice 50En faisant rouler une boule de neige sur une pente enneigée, son volume augmente de 10 % par mètre. Son volume initial est de 0,5 m3.
(
V0 =0,5)
1) De combien aura augmenté son volume après 8 mètres ?2) Après combien de mètres la boule a-t-elle un volume de 10 m3 ?
Exercice 51
La croissance des arbres en hauteur est fréquemment décrite par une équation logistique.
Supposons que la hauteur h (en mètres) d’un arbre à l’âge t (en années) soit h 36 0 ,2 t
1 200 e− ⋅ =
+ ⋅ .
1) Quelle est la hauteur d’un arbre de 10 ans ? 2) A quel âge la hauteur est-elle de 15 m ?
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P.S. / 2020-2021 53 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 52
Tout corps radioactif se désintègre au cours du temps. Le nombre d'atomes radioactifs N(t) au temps t (en années)
est donné par :
( )
t0
N t =N ⋅e−λ
où N0 est le nombre d'atomes radioactifs au temps t = 0 et λ un coefficient dépendant de la matière.
En particulier, le gaz carbonique de l'air contient en faible quantité du carbone 14, isotope radioactif du carbone. Tout être vivant participe au cycle du carbone. Tant qu'il est vivant, la proportion d'atomes de C14 par rapport à la masse de carbone qu'il contient est constante, soit 5·10 atomes 11 de C14 par 12 g de carbone. Quand il meurt, les atomes de C14 commencent à se désintégrer suivant la loi énoncée ci-dessus, avec 4
1,2·10
λ = − . Pour estimer l'âge d'un objet d'origine animale
ou végétale, il suffit donc d'évaluer le nombre d'atomes de C14 contenus dans 12 g de carbone prélevé sur cet objet.
1) On découvre un reste végétal contenant 5·1010atomes de C14 pour 12 g de carbone. Quel est son âge ?
2) On appelle période ou demi-vie d'un élément radioactif le temps nécessaire à la désintégration
de la moitié du nombre initial d'atomes radioactifs. Déterminez la demi-vie du carbone 14.
Exercice 53
Sur l'échelle de Richter, la magnitude R d'un tremblement de terre d'intensité I est donnée par la relation :
0 I R log I =
où I0est une intensité minimale donnée.
Magnitude Effets Fréquence annuelle
< 2 microséisme, non perceptible, enregistré sur les instruments locaux 600 000 2 à 2,9 séisme potentiellement perceptible 300 000 3 à 3,9 séisme ressenti par peu de gens 50 000 4 à 4,9 séisme ressenti par la majorité des gens 6 200 5 à 5,9 séisme modéré, quelques dommages causés par les secousses 800 6 à 6,9 séisme important, dommages en zone habitée 100 à 300 7 à 7,9 séisme majeur, dommages importants en zone habitée 15 à 20 > 8 séisme très rare, destruction totale en zone habitée 1 à 4
1) Si l'intensité I d'un tremblement de terre est de 100 fois l'intensité minimale donnée,
déterminer sa magnitude.
2) Exprimer I en fonction de R et deI0.
3) Les plus grandes magnitudes de séismes enregistrées se sont situées entre 8 et 9
sur l’échelle de Richter. Calculer les intensités correspondantes en fonction de I0.
4) Expliquer pourquoi une augmentation d'une unité sur l'échelle de Richter correspond à la
multiplication par 10 de l'amplitude mesurée sur un sismographe.
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P.S. / 2020-2021 54 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 54
Les chimistes utilisent un nombre noté pH pour décrire quantitativement la nature acide ou basique des solutions. Par définition, pH =– log
([
H+])
, où[
H+]
est la concentration d’ionsd’hydrogène en moles par litre. Autrement dit : pH est fonction de
[
H +]
.1) Tracer le graphique de cette fonction pour
[
H + ∈] ] ]
0;2 . 2) Donner approximativement le pH de chaque substance.i)
[
]
3 vinaigre : H + ≈6 ,3 10⋅ − ii)[
]
5 carottes : H + ≈1,0 10⋅ − iii)[
]
9 eau de mer : H + ≈5,0 10⋅ − 3) Exprimer[
H +]
en fonction de pH.4) Donner approximativement la concentration d’ions d’hydrogène
[
H +]
de chaque substance. i) pommes : pH ≈3,0ii) bière : pH ≈4,2
iii) lait : pH ≈6 ,6
5) Une solution est dite basique si
[
]
7H + <10− ou acide si
[
]
7H+ >10− . Déterminer les inéquations correspondantes faisant intervenir le pH.
6) Beaucoup de solutions ont un pH entre 1 et 14. Déterminer l’intervalle correspondant en
[
H +]
.Exercice 55
Soit la fonction N définie par
( )
t
5 N t
2
= avec N la surface d’un nénuphar en cm2 t le nombre de jours
N 0
( )
= 1a) La fonction N décrit un des énoncés ci-dessous, laquelle ? Justifier votre choix.
1) On suppose que la surface initiale du nénuphar est de 1 cm2. La surface d’un nénuphar augmente de moitié chaque jour. 2) On suppose que la surface initiale du nénuphar est de 1 cm2. La surface d’un nénuphar augmente de 15 mm2 chaque jour. 3) On suppose que la surface initiale du nénuphar est de 1 cm2.
La surface d’un nénuphar augmente d’une fois et demi chaque jour. 4) On suppose que la surface initiale du nénuphar est de 1 cm2.
La surface d’un nénuphar augmente de deux fois et demi chaque jour.
b) En utilisant la fonction N ci-dessus, résoudre les problèmes suivants :
1) Quelle sera la surface en cm2 du nénuphar après 7 jours ?
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P.S. / 2020-2021 55 Fonctions Exp. et Log. / 2NA
Exercice 56 *
Si un corps est placé dans un milieu ambiant dont la température est constante, la température T (en Celcius) du corps au temps t (en minute) est donnée par la loi de refroidissement de Newton :
(
)
k ta 0 a
T =T + T −T ⋅e− ⋅
Ta est la température du milieu ambiant, To est la température du corps au temps t = 0,
k est une constante positive dont la valeur dépend de la vitesse de refroidissement du corps. e est le nombre d'Euler e = 2,71828…..
1) Dans une pièce dont la température est de 20°, se trouve une bouilloire remplie d'eau dont la
température initiale est de 100°. Après 15 minutes, la température de l'eau n'est plus que de 80°.
a) Quelle est la valeur de la constante k ?
b) Quelle sera la température de l'eau après 20 minutes ?
c) Au bout de combien de temps la température de l'eau ne sera-t-elle plus que de 40° ? 2) (Loi de Newton, revue et corrigée par "LES EXPERTS")
Au moment où l'on découvre le cadavre d'un homme assassiné (à 20h15), sa température est encore de 34,8°.
Une heure plus tard, elle est descendue à 33,9°.
Sachant que la température de la pièce dans laquelle on a trouvé le corps est de 21,3°, déterminer à quelle heure le crime a été commis.
Exercice 57 *
L'O.M.S. transmet les renseignements suivants :
- en 1987 l'Algérie avait 23'039'000 habitants avec un taux d'accroissement de 3,12 % . - en 1988 la Suisse avait 6'230'000 habitants avec un taux d'accroissement de 0,8 %. En admettant que ces taux soient stables :
1) Quelle est, en 1991, la population respective de ces deux pays ?
2) Quel est, en 1991, le rapport entre le nombre d'habitants de l'Algérie et de la Suisse ? 3) Pour chacun de ces deux pays, en combien d'années la population double-t-elle ? 4) En quelle année l'Algérie sera-t-elle 10 fois plus peuplée que la Suisse ?
Quelle sera alors la population de chacun des deux pays ?
5) Quel devrait être le taux d'accroissement en Suisse pour
que la population atteigne 7'000'000 d'habitants en l'an 2000 ?
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2.5 Les fonctions trigonométriques
2.5.1 Les angles et leurs mesures
Définitions1) Un angle est une figure formée par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet de
l'angle. Le point O est le sommet de l’angle. [OA) et [OB) sont les côtés de l’angle. Les angles sont désignés par les lettres grecques α, β, γ, δ etc.
On peut aussi désigner les angles au moyen de 3 points ;
on place dans ce cas le "point-sommet" au milieu et on note AOB .
2) On appelle cercle trigonométrique
un cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un système d'axe orthonormé.
On représente un angle dans le cercle trigonométrique en plaçant le sommet au centre du cercle et un de ses cotés sur l’axe Ox positif.
Nous voulons maintenant mesurer un angle dans cette situation :
3) Un degré est la mesure d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle et dont les côtés
interceptent un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence. Notation : 1 degré = 1°.
Remarques : Afin de ne pas alourdir la notation, on note de la même façon un angle et sa mesure. Autrement dit : on parlera « d’angle α de 45°» ou « α = 45°» par exemple.
L'instrument le plus utilisé pour mesurer un angle en degré est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales).
4) La mesure en radians d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle trigonométrique
est la longueur de l’arc de cercle intercepté par l'angle.
Remarques : Le périmètre du cercle trigonométrique = 2π car P = 2πr et r = 1
La mesure d'un angle en radian est généralement exprimée en multiple de π.
5) On dit que deux angles sont égaux s’ils ont la même mesure en radians (ou en degrés).
A B O α
•
•
•
0 1 -1 -1 1 135° 225° 315° y x________________________________________________________________________________ P.S. / 2020-2021 57 Fonctions trigonométriques / 2NA
Activité 1
Donner la mesure en degré et en radian des angles suivants.