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 ] si x≠0 et f 0=0.

On déduit de la

 ] si x≠0 et f 0=0.

On déduit de la

g g g h g g g g f x x f f f f k k k g g x x f x x f p f x n : x x xj : x h : x m : x x x x g x x k : x xl : x f x x

1 Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.. Pour chaque question, entoure la

g g g   h g g g g f x x f f f f k k k g g x x f x x f p f x n : x x xj : x h : x m : x x x x g x k : x xl : x f x x

1 Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.. Pour chaque question, entoure la

Soit F : R d → R de classe C 1 , et soit x ∈ R d tel que ∇F (x) 6= 0. Montrer que h ∈ R d est une direction de descente en x si et seulement si h∇F (x), hi < 0.

Le raisonnement est similaire pour n impair. On cherche la meilleure approximation linéaire

Un corps est dit parfait si Car(k) = 0 ou si p := Car(k) > 0 et Frob p : K → K est surjectif (Frob p (x) = x p ).

Montrer que E := ker(Frob p −Id A ) est un sous-espace vectoriel de A de dimension le nombre de facteurs irréductibles de P..

Montrer que argminf(C)6=∅si et seulement si ∃x∈C, ∇f(x)·x= 0 et ∀y∈C, ∇f(x)·y≥0

(iii) La fonction f est le quotient de deux fonctions polynˆ omiales qui sont Ha- damard dif´erentiables.. On suppose B

2) Montrer que si x est algébrique sur K et si [K(x

[r]

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73 h h h x x π f x x h x . k k k k x x k x h f h x f f x f f f f h x x h f f f f x f f x f x x f f 2 : C ' ' (1) G • D1F

73 h h h x x π f x x h x . k k k k x x k x h f h x f f x f f f f h x x h f f f f x f f x f x x f f 2 : C ' ' (1) G • D1F

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1. f (x) existe si, et seulement si, x + 1 6 = 0 ⇔ x 6 = − 1. D f = R − {− 1 } .

1. f (x) existe si, et seulement si, x + 1 6 = 0 ⇔ x 6 = − 1. D f = R − {− 1 } .

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• F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F

• F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si pour tout x de I, F

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1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x α si x > 0.

1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x α si x > 0.

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2. (a) Soit A ∈ M n ( C ), on a A ∈ U n si et seulement si ∀ x,y ∈ C n (Ax | Ay) = (x | y) si et seulement si ∀ x,y ∈ C n (A ∗ Ax | y) = (x | y) si et seulement si ∀ x ∈ C n A ∗ Ax = x si et seulement si A ∗ A = I n et puisque

2. (a) Soit A ∈ M n ( C ), on a A ∈ U n si et seulement si ∀ x,y ∈ C n (Ax | Ay) = (x | y) si et seulement si ∀ x,y ∈ C n (A ∗ Ax | y) = (x | y) si et seulement si ∀ x ∈ C n A ∗ Ax = x si et seulement si A ∗ A = I n et puisque

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√ x +3 - x si x ≤ 1 f(x)= �

√ x +3 - x si x ≤ 1 f(x)= �

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(0si x≤0 e−x si x >0 1.1 f une densité de probabilité f est une densité de probabilité si est seulement si f(x)≥0 ∀x∈R (1

(0si x≤0 e−x si x >0 1.1 f une densité de probabilité f est une densité de probabilité si est seulement si f(x)≥0 ∀x∈R (1

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Si K = R ou C , pour un polynôme P(X) ∈ K[X] on notera P la fonction polynôme associée à P (X). On note P 0 (X) le polynôme dérivé de P(X).

Si K = R ou C , pour un polynôme P(X) ∈ K[X] on notera P la fonction polynôme associée à P (X). On note P 0 (X) le polynôme dérivé de P(X).

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