Contribution à la modélisation numérique d'écoulements électro-fluido-dynamiques diphasiques tridimensionnels

THESE

POUR LæOBTENTION DU GRADE DE

DOCTEUR DE LæUNIVERSITE DE POITIERS

(Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées) (Diplôme National – Arrêté du 7 août 2006)

Ecole Doctorale Sciences et Ingénierie en Matériaux, Mécanique, Energétique et Aéronautique

Secteur de Recherche : Génie électrique / Mécanique des milieux fluides

Présentée par :

Jean-Charles LAURENTIE

CONTRIBUTION A LA MODELISATION NUMERIQUE

DæECOULEMENTS ELECTRO-FLUIDO-DYNAMIQUES

DIPHASIQUES TRIDIMENSIONNELS

Directeur de Thèse :

Lucian Dascalescu

Co-Directeur :

Philippe Traoré

Soutenue le 12 décembre 2011 devant la Commission dæExamen

Jury

P. NOTINGHER Maître de Conférences, Université de Montpellier Rapporteur L. OGER Directeur de recherche (CNRS), Université de Rennes Rapporteur

J.L. REBOUD Professeur, Université Joseph Fourier, Grenoble Président

E. MOREAU Professeur, Université de Poitiers Examinateur

H. AURADOU Chargé de recherche (CNRS), Université de Paris 11 Examinateur P. TRAORE Maître de conférences, Université de Poitiers Examinateur L. DASCALESCU Professeur, Université de Poitiers Examinateur

R

Ces trois années de travail passées au sein de Læinstitut PPRIME (ex Laboratoire dæEtudes Aérodynamique) furent pour moi une expérience enrichissante.

Je tiens dæabord à remercier messieurs Notingher et Oger pour avoir accepter dæexaminer cette thèse.

Je remercie également læensemble des membres du jury qui mæont fait læhonneur de venir juger mon travail.

Je remercie particulièrement le professeur Dascalescu, directeur de thèse, et Mr Traoré, co-encadrant, pour leur implication dans mon travail. Le professeur Dascalescuà su dirigé cette thèse depuis son lieu de travail à Angoulême, malgré la distance il mæa fait bénéficier de sa très grande expérience dans le domaine de læélectrostatique tant du point de vue expérimental que du point de vue numérique. Il a su faire preuve dæune grande patience et dæune grande réactivité lorsque cela était nécessaire. De son côté, Mr Traoré, co-directeur de thèse, était mon référant au laboratoire. Il mæa fournit les bases nécessaires au calcul et à læinterprétation de læensemble de la partie numérique, que ce soit pour la partie traitant de la mécanique ou pour celle traitant de læaspect électrostatique. Il mæa laissé une très grande autonomie dans mes recherches.

Durant ces années, jæai eu læoccasion dæéchanger des idées avec de nombreuses personnes du laboratoire. Ils ont su mæapporter des réponses, rectifier mes erreurs ou encore me donner des pistes auxquelles je ne pensais pas. Je pense notamment aux professeurs L.David, et S.Huberson, à Mr Beaudoin et tous ceux que je næai pas cités mais qui se reconnaîtront.

Ces trois ans ont également été læoccasion dæenseigner au sein de læUniversité de Poitiers. Pour cela, je remercie beaucoup Thierry Paillat pour tous les conseils quæil mæa donnés dans ce domaine. Je le remercie également pour avoir suivi du coin de læoeil læensemble de mes travaux et ainsi veiller au bon déroulement de cette thèse.

Les travaux numériques sont souvent synonymes de problèmes informatiques. Je remercie grandement Francis, les deux Vincent et Pierre-François pour avoir toujours su résoudre les nombreux problèmes que je leur ai posés. Quæils voient ici la grande reconnaissance que jæapporte à leur travail, sans eux cette thèse næaurait pu aboutir. Je pense également à Christian Refin et Laurent Dupuis ainsi que læensemble du personnel de læatelier de réalisation pour leur soutien logistique et technique lors des essais expérimentaux. Je remercie Catherine, Chantal, Karine, Serge ainsi que læensemble du personnel administratif pour tout les services quæils mæont rendu.

Une thèse cæest également savoir sæouvrir aux travaux des autres. Cæest avec sincérité que je remercie le Professeur Eric Moreau, ainsi que messieurs Bénard et Zouzou pour toutes les discutions et débats que jæai pu avoir avec eux. Cæest avec grand plaisir que je remercie læensemble des stagiaires et doctorants que jæai rencontrés durant ces années : Antoine, Badreddine, Boni, Christophe, Ciprian, David, Guillaume, Hicham, Jérôme, Jian, Laurent, Michel, Mohamed, Romain, Souria et tous ceux que jæoublie.

Pour finir, je remercie mes parents et læensemble de ma famille pour mæavoir soutenu pendant læensemble de mes études, et plus particulièrement sur la fin de cette thèse qui a été particulièrement éprouvante. Ils ont su sæoccuper de mes affaires quand je ne pouvais pas le faire. Je remercie sur ce point plus particulièrement ma mère qui a beaucoup contribué à la correction de ce manuscrit.

TABLE DES MATIERES

Introduction et contexte

CHAPITRE 1 ETAT DE L'ART

Nomenclature des principales variables... 7

1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs

1.1.1 Le modèle dit "hard sphere" ... 10

1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts ... 11

1.1.3 Le modèle dit "soft sphere" ... 11

1.1.4 Les applications des modèles granulaires ... 12

1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques

1.2.1 Le contexte industriel ... 14

1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge ... 15

1.2.3. Modélisation du phénomène ... 20

1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes

1.3.1 Les modèles à deux fluides ... 22

1.3.2 Les Modèles CFD-DEM ... 22

1.4. Parallélisation

1.4.1 Les différentes librairies de parallélisation ... 27

1.4.2 Les méthodes de parallélisation... 28

Conclusion... 29

BIBLIOGRAPHIE... 30

CHAPITRE 2 METHODE DES ELEMENTS DISTINCTS : THEORIE ET

RESULTATS

Nomenclature des principales variables... 39

2.1 Développement du modèle utilisé

2.1.1 Les modèles viscoélastiques... 43

2.1.2 Implantation du modèle dans le code... 49

2.2. Application aux lits vibrés... 50

2.2.1 Validation du code et mise en place des outils dæanalyse... 51

2.2.2 Etude et amélioration du mélange au sein des lits vibrés... 61

2.2.3 Etude des structures en 3D et des surfaces libre ... 69

Conclusion... 79

CHAPITRE 3 MODELISATION DES PHENOMENES

TRIBOELECTRIQUES

Nomenclature des principales variables... 87

3.1. Etudes expérimentales... 89

3.1.1. Installation expérimentale... 89

3.1.2. Charge triboélectrique par vibration... 92

3.2. Modèle de transfert de charge électrique dû à la collision entre deux

particules

3.2.1. Equations de base... 96

3.2.2. Prise en compte de la réversibilité de la charge ... 98

3.2.3. Calibration du modèle ... 99

3.3. Calcul du champ électrique... 101

3.3.1. Méthode de Coulomb... 101

3.3.2. Equation de Poisson... 106

3.4. Etude de quelques cas simples... 113

3.4.1. Premier test en vibration avec un mélange à 50%... 113

3.4.2. Etude de l’effet du remplissage de la boite ... 114

Conclusion... 119

BIBLIOGRAPHIE... 120

CHAPITRE 4 SIMULATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS GAZ

SOLIDE

Nomenclature des principales variables... 125

4.1. Développement du modèle utilisé

4.1.1 Les équations de Navier-Stokes moyennées en volume ... 128

4.1.2. Les forces de couplages... 131

4.2. Discrétisation

4.2.1 Discrétisation des flux et des termes sources... 133

4.2.2 Couplage vitesse pression : algorithme SIMPLE... 138

4.2.3 Correction de Rhie et Chow... 141

4.2.4 Evaluation du taux de fluide ... 143

4.3. Etude numérique tridimensionnelle dæun écoulement de lit fluidisé

4.3.1. La vitesse de fluidisation ... 147

4.3.2. Formation et dynamique dæune bulle rapide... 152

4.2.3. Le régime bouillonnant ... 160

Conclusion... 165

CHAPITRE 5 STRUCTURES DES ALGORITHMES, PARALLELISATION

5.1. La phase granulaire : algorithmes séquentiels

5.1.1 La fonction de repérage... 174

5.1.2 La recherche des contacts... 175

5.2. La phase granulaire, parallélisation... 178

5.2.1. Parallélisation, concepts de base... 178

5.2.2. La répartition des tâches ... 179

5.2.3 Læalgorithme de recherche des contacts ... 182

5.2.4 Le traitement de la contribution des charges électrostatiques ... 185

5.2.5 Optimisation ... 185

5.3 La structure du code couplé

Conclusion... 199

BIBLIOGRAPHIE... 200

Introduction et contexte

Les matériaux granulaires sont très présents dans notre environnement. Cela va de la plus petite poussière, jusqu’aux roches, en passant par le sable et toutes les poudres de l’industrie chimique et alimentaire. Depuis toujours, les ensembles granulaires ont été traités comme un état particulier de la matière. En les regardant à l’échelle de la taille des particules, leurs mouvements obéissent aux lois de la mécanique des solides. A des échelles plus grandes, un ensemble de particules peut s’apparenter à un fluide assez visqueux. Et si les particules sont de tailles submicroniques, un ensemble de forces qui agissent à faible distance s’ajoutent aux forces mécaniques.

La modélisation numérique se développe de plus en plus pour l’étude des matériaux granulaires. Cela est dû notamment au coût des expériences et à l’évolution des techniques de calcul. Un avantage non négligeable des simulations numériques est la possibilité de connaître l’ensemble des grandeurs physiques en tout point du domaine occupé par les grains et à tout instant. En effet, visualiser les mouvements de particules au sein d’un écoulement tridimensionnel n’est pas chose aisée lorsque les matériaux ne sont pas transparents. Bien qu’il existe aujourd’hui des méthodes expérimentales pouvant distinguer des particules au sein d’un écoulement 3D, soit en plaçant des traceurs sur les particules, soit par des méthodes de mesure d’imagerie à résonance magnétique, ces techniques restent limitées à de faibles épaisseurs de lits de particules et les conditions d’expériences sont assez contraignantes. La méthode numérique permettant de calculer les mouvements des particules est le modèle DEM, basé sur celui développé par Cundall et Straks. Ce modèle est encore très largement utilisé aujourd'hui. Ainsi des études ont été réalisées sur des lits de particules soumis à des vibrations verticales et/ou horizontales, pour des applications comme l’homogénéisation ou la ségrégation de mélanges de matériaux granulaires ou pulvérulents.

Dans ce type d’applications, mais aussi pendant le transport pneumatique, lors du tri par criblage ou du séchage de poudres par fluidisation, la présence de matériaux non conducteurs provoque des phénomènes électrostatiques liés à la charge des particules par effet triboélectrique. Des études poussées ont été réalisées sur ce sujet par le Prof. G. Touchard et ses collaborateurs, à partir des années 80. Ces recherches présentent un intérêt car dans certaines situations, notamment en présence de particules fines telles que des farines ou du cacao, la génération et l’accumulation d’électricité statique peuvent conduire à des accidents graves. C’est le cas lorsque le champ électrique lié à la charge des particules atteint la valeur disruptive du gaz environnant. Si les taux de concentration oxygène/matériaux pulvérulents y sont critiques, une décharge électrique assez énergétique peut causer un incendie ou une explosion (figure 1).

Fig. 1. Explosion du silo de Blaye le 20 août

1997. Une des causes possible est un incident électrostatique lié à la charge par frottement des poussières d’orge lors d’un transfert sur un convoyeur en caoutchouc.

Bien que la triboélectrification des matériaux pulvérulents ait tout d’abord été considérée comme un inconvénient, nombreuses sont les applications industrielles qui l’utilisent. L’un des premiers procédés s’appuyant sur les propriétés électrostatiques des poudres est l’impression laser. Une autre application majeure concerne le tri électrostatique des matériaux. C’est cette application, étudiée notamment par l’équipe du Prof. L. Dascalescu, à Angoulême, qui nous intéresse plus particulièrement dans le cadre de ce travail (figure 2). Si les expériences sont incontournables dans l’étude des phénomènes triboélectriques, les modèles numériques pourraient apporter un éclairage supplémentaire sur les mécanismes physiques mis en jeu.

Dans de nombreux cas les forces liant le gaz environnant et le lit de particules sont faibles en devant les forces induites par les collisions. Cependant, des processus comme la fluidisation des poudres ou le transport pneumatique des matériaux granulaires utilisent des forces aérauliques qui sont au moins égales aux autres forces mécaniques ou électriques en présence. Ainsi, en plus des forces liées aux collisions, la modélisation d’un système complet requiert l’ajout de plusieurs forces aéroliques en fonction des cas traité : forces de traînée, forces de portance…

L’analyse des problèmes présentés dans les paragraphes précédents à permis de dégager comme objectif de cette thèse la modélisation des écoulements diphasiques

tridimensionnels, avec la prise en compte des phénomènes tribo-électrostatiques et des forces d’interaction entre fluides et matériaux granulaires.

La démarche choisie a été de traiter les divers aspects de la modélisation par paliers de difficultés : élaborer d’abord un code de calcul tridimensionnel pour la simulation des mouvements des ensembles de particules, inclure dans celui-ci des équations exprimant le transfert de charge et les forces électrostatiques associées, pour arriver à la fin au couplage avec le modèle Navier-Stokes décrivant le mouvement du fluide. La structure du manuscrit suit cette démarche scientifique, en détaillant l’ensemble des étapes numériques et expérimentales ayant conduit à la réalisation d’un modèle électro-fluido-dynamique mettant en œuvre des calculs de dynamique granulaire, avec la prise en compte des effets triboélectriques, ainsi que de la dynamique de la phase fluide.

En s’appuyant sur l’étude de l’état de l’art, présentée dans le chapitre 1, nous avons abordé séparément les problèmes de simulation numérique de chacun des phénomènes liés aux écoulements éléctro-fluido-dynamiques incluant une phase solide et une phase gazeuse. Nous nous sommes ensuite concentrés sur le couplage des différents modèles. Dans cette logique, la construction du code numérique a commencé par la programmation de la partie granulaire, celle-ci étant à la base de tout le développement logiciel. Cette partie du code, bâtie sur une version 2D simple, fait l’objet du chapitre 2. L’extension en 3D de ce noyau logiciel a été suivie de la réalisation du modèle de charge triboélectrique des ensembles granulaires. Le

DISPOSITIF DæALIMENTATION RACCORD HAUTE TENSION ELECTRODES PLANES COLLECTEUR PORTE ELECTRODE INFERIEURE PORTE ELECTRODE SUPERIEURE

Fig. 2 : Séparateur triboelectrostatique a chute libre développé au sein du Laboratoire

couplage ente les deux modèles a conduit à des résultats encourageants présentés dans le

chapitre 3. L’application principale de ce modèle complexe a été la simulation des lits vibrés

utilisés pour la charge triboélectrique des polymères granulaires. La simulation de la charge des particules en lit fluidisé imposait la modélisation de la phase fluide. En associant la phase fluide à la partie granulaire, il a été possible d’effectuer des simulations d’écoulements diphasiques. La démarche numérique et les résultats obtenus sont décrits dans le chapitre 4. Les applications industrielles concernent des écoulements diphasiques comportant un grand nombre de particules. D’un point de vue numérique cela signifie qu’il sera nécessaire de réaliser un très grand nombre d’opérations très coûteuses en terme de temps de calcul. La réduction de ce temps de calcul passe par la parallélisation des algorithmes les plus chronophages, comme montré dans le chapitre 5. Le manuscrit sera terminé par une conclusion sur l’élaboration d’un code de calcul 3D, prenant en compte les aspects tribo-électrostatiques et les interactions fluide-particules, permettant la modélisation d’une large gamme de procédés industriels faisant intervenir des écoulements diphasiques. Cette

conclusion générale, qui clôture le mémoire, présente une synthèse des principales contributions apportées dans les différents domaines étudiés, ainsi que de l’énoncé des perspectives ouvertes par ce travail.

&KDSLWUH



(WDWGHO·DUW

Nomenclature des principales variables... 7

1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs

1.1.1 Le modèle dit "hard sphere" ... 10

1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts ... 11

1.1.3 Le modèle dit "soft sphere" ... 11

1.1.4 Les applications des modèles granulaires ... 12

1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques

1.2.1 Le contexte industriel ... 14

1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge ... 15

1.2.3. Modélisation du phénomène ... 20

1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes

1.3.1 Les modèles à deux fluides ... 22

1.3.2 Les Modèles CFD-DEM ... 22

1.4. Parallélisation

1.4.1 Les différentes librairies de parallélisation ... 27

1.4.2 Les méthodes de parallélisation... 28

Conclusion... 29

Nomenclature des principales variables

Ds Densité dæétat de surface e Charge dæun électron

fijc Forces dues aux collisions interparticulaires

ffi Forces fluides agissant sur la particule i

fpf Forces des particules sur le fluide

g Accélération de la pesanteur Ii Moment dæinertie de la particule i

mi Masse de la particule i

Mi Couple de la particule i

p Pression du fluide q Charge dæune particule

Q Charge électrique transférée lors dæun contact S Surface de contact

t Temps

T Temps dæexécution du programme ~

u Vitesse du fluide v Vitesse dæune particule V Potentiel

Ì Mesure de læaccélération du programme Ï Distance de séparation durant un contact Ð Taux de fluide dans un volume de contrôle Ò0 Permittivité du vide

× Viscosité du fluide

Ü Masse volumique du fluide ı Densité surfacique de charge ij Fonction de travail

ETAT DE L'ART

L’étude numérique des écoulements granulaires passe par l’élaboration de modèles efficaces. Le sous-chapitre 1.1 introduit les modèles les plus utilisés pour l’étude des milieux granulaires, en faisant appel à la méthode des éléments distincts. Les collisions entre les particules en mouvement s’accompagnent de la génération de charge par effet tribo-électrique. C’est un phénomène qui fait l’objet d’un volume important de recherches. Le sous-chapitre 1.2 introduit les concepts de base et décrit brièvement les modèles de transfert de charge existants. Les interactions entre les particules et les fluides ont également été étudiées. Plusieurs modèles sont proposés pour la simulation numérique de diverses situations d’intérêt pratique. Le sous-chapitre 1.3 sera focalisé sur la présentation des modèles couramment utilisés. Par la suite nous utiliserons l’approche CFD/DEM pour l’élaboration du code de calcul adapté aux besoins de cette thèse. Le choix des méthodes numériques utilisées pour ce travail doit se faire en adéquation avec la complexité des modèles mathématiques capables de refléter convenablement le couplage des phénomènes tribo-électriques et fluido-dynamiques. Sans avoir la prétention de l’exclusivité, le sous-chapitre 1.4 synthétise une partie des recherches qui se poursuivent dans ce domaine, notamment sur la parallélisation des programmes.

1.1. Modélisation d’écoulements granulaires purs

Par définition les milieux granulaires sont composés dæéléments distincts. Il semble donc naturel de modéliser les écoulements granulaires par des méthodes dæéléments distincts. Cependant, en regardant de loin le déplacement d’un ensemble de particules, le mouvement global peut être assimilé à une sorte de fluide. C’est l’hypothèse sur laquelle la plupart des chercheurs se sont basés pendant les années 70 [1,2]. En effet, à cette époque, la puissance de calcul n’était pas encore suffisante pour arriver à modéliser un grand nombre de particules indépendantes. Alors que les méthodes classiques de la mécanique des fluides sont utilisées pour définir une loi de comportement généralisée en assimilant les milieux granulaire à un milieu continu, il existe une seconde approche plus représentative des phénomènes locaux et tenant compte de la discontinuité du milieu. Cette seconde stratégie appelée méthode des éléments distincts (DEM), consiste à prendre en compte l’ensemble des contraintes appliquées localement à chaque particule. Ces contraintes peuvent se résumer en l’application de forces normales et tangentielles aux points de contact ou au centre de masse de la particule.

1

Ces forces seront alors utilisées pour calculer la trajectoire des particules. C’est donc par une approche purement Lagrangienne que seront traités les écoulements granulaires.

Parmi l’ensemble des contraintes subies par les particules, en l’absence d’environnement spécifique et en dehors de la gravité, la première contrainte subie par des particules sera les forces résultant des chocs. Le tout premier modèle de calcul de chocs, à la base des méthodes DEM, a été introduit par Cundall et Strack [3] en 1979. Ce modèle est basé sur la mécanique des contacts dont la théorie a été développée par Hertz [4].

La méthode des éléments distincts consiste à calculer la position des différentes particules par la résolution de la seconde loi de Newton. Les forces et les moments agissant sur les particules sont obtenus par des lois de modélisations appliquées aux points de contact lors d’une collision. Ces lois peuvent être linéaires ou non. Le glissement ou frottement entre les particules est calculé par la méthode du cône de frottement dont les paramètres sont dérivés de la loi de Coulomb [3]. Par læutilisation dæun modèle DEM, nous sommes donc en mesure de calculer la trajectoire de chacune des particules, tout en tenant compte de leurs particularités physiques et de leur histoire au sein de leur environnement. Dans la catégorie des modèles granulaires, nous pouvons distinguer plusieurs approches différentes.

En dehors des premières méthodes de simulation basées sur des statistiques telles que les simulations dites Monte-Carlo [5], il existe aujourd’hui trois autres approches très largement utilisées. La première, dont les grandes lignes sont données dans le paragraphe 1.1.1, est appelée "hard sphere model". Le modèle qui lui est associé, basé sur la dynamique des contacts, est expliqué succinctement dans le paragraphe 1.1.2. La troisième approche appelée "soft sphere model", par opposition à la première est, introduite dans la partie 1.1.3. Les détails de cette dernière méthode, qui est la base du modèle utilisé dans ce manuscrit, sont l’objet de la première partie du chapitre2.

1.1.1 Le modèle dit "hard sphere"

Ce type de modélisation est dérivé des méthodes collisionnelles [6-10], et considère donc à chaque instant des collisions binaires et non durables dans le temps pour chaque particule. Dans les écoulements fortement dilués, les interactions entre les particules sont relativement faibles, et les chocs rares. Partant de cette hypothèse il est raisonnable de penser que deux collisions ont peu de chances d’arriver en même temps. De cette façon les chocs peuvent être traités de façon binaire. Aussi connues sous le nom de "event driven" ces méthodes utilisent un tri des évènements en fonction du temps de vol des particules. En utilisant des compacités suffisamment faibles, cette méthode fonctionne très bien. Dans ce modèle trois paramètres suffisent à déterminer la vitesse et la position des particules après un

choc. Ce sont le coefficient de restitution normal, le coefficient de restitution tangentiel et le coefficient de frottement.

En cas de multiple collisions, les auteurs ont formulé différentes méthodes d’ordonnancement pour classifier l’ordre d’apparition des chocs le plus probable, et ainsi les traiter séparément [11-13]. Les collisions sont détectées au début du pas de temps, selon les auteurs, soit en fonction de la position des particules, soit en fonction de leur vitesse et trajectoire. Le principal désavantage de cette méthode concerne la partie ordonnancement de la prise en compte des chocs, puisque la solution obtenue dépendra de l’ordre choisi. Ainsi, la gestion de contacts multiples et durables devient quasiment impossible à traiter de façon réaliste en cas d’écoulement dense, ou quasi statique. Pour pallier ce problème, Stratton [13] utilise une méthode améliorée appelée "Averaged hard sphere model". Malgré cette amélioration, le nombre de particules prises en compte dépasse rarement 100000.

1.1.2 La méthode de la dynamique des contacts

Sans changer de point de vue sur la rigidité des particules, mais en élargissant le modèle à de multiples contact simultanés, nous pouvons à chaque instant établir un réseau de connexions entre les particules. Une fois le réseau établi, la méthode consiste à résoudre en une seule fois l’ensemble du système d’équations formées par la loi de Newton appliquée à chaque point de contact. L’équilibre du système se résume à un système dæéquations linéaires dont la solution peut être obtenu par une méthode itérative de type Gauss-Seidel par exemple [14]. Cette méthode, développée par Moreau [15-18] et Jean dans les années 80 et 90 [19-21] et [22], est appelée dynamique des contacts. De nombreux problèmes statiques [23], quasi-statiques [24], et dynamiques [16,18,25] ont montré la précision de ce modèle. La simulation du "berceau de Newton" est une configuration particulièrement démonstrative de la puissance de cette méthode. Aujourd’hui encore, seul ce type de méthode est en mesure de tenir compte des effets distants propagés par les réseaux de connexions interparticulaires.

Malgré ces indéniables avantages, cette seconde méthode ne semble pas adéquate pour les applications que nous voulons résoudre. En effet les systèmes d’équations formés peuvent vite devenir très imposants dès que le nombre de particules augmente, et surtout lorsque que le nuage de particules atteint une compacité maximum, ce qui est le cas dans les lits vibrés ou certains types de lits fluidisés. Nous ferons donc l’hypothèse que les effets de chocs distants ne sont pas prépondérants pour ce type d’écoulement.

1.1.3 Le modèle dit "soft sphere"

C’est un modèle appartenant à la catégorie des simulations de dynamique moléculaire. Cæest en étendant la physique microscopique représentée par la modélisation des molécules à la physique macroscopique des tas de sables, que la première méthode DEM "soft sphere" fait son apparition dans un article de Cundall [3] en 1979. Encore aujourd'hui, cette méthode reste l’une des plus répandues [26], notamment pour simuler un grand nombre de particules dans des configurations compactes [27]. Le qualificatif de sphères molles est lié à la représentation de la déformation des particules sous l’effet des chocs et du poids des autres particules. Le grand avantage de cette méthode réside dans le fait qu’elle permet de gérer les multi contacts tout en conservant une bonne approximation des positions et trajectoires des particules. De plus l’ordre de traitement des chocs n’affectera en rien la solution finale. Cependant, il existe un inconvénient non négligeable concernant les pas de temps à utiliser en simulation. En effet, si pour la méthode des sphères dures les pas de temps doivent être choisis de façon à ce qu’un contact ne dure pas plus d’un ou deux pas de temps, il n’en est pas de même lorsque l’on utilise des sphères molles, puisque la durée d’un contact dans ce cas se doit d’approcher la dizaine de pas de temps. Dans la majorité des cas, les méthodes de "sphères molles" sont couplées à une représentation ressort-amortisseur de type kelvin-Voigt modélisant les contacts dus à des forces normales et tangentielles. Ainsi, l’énergie transmise aux particules lors d’un choc est calculée suivant les deux composantes. Du point de vue numérique, la convergence des algorithmes est assurée par deux paramètres très importants. Le premier est relatif au pas de temps utilisé pour l’intégration temporelle, le choix de ce paramètre doit être fait de telle sorte que les déplacements liés à l’inertie des particules soit suffisamment petits devant les déplacements dues aux forces engendrées par les collisions [28]. Le second paramètre assurant la convergence des algorithmes est la dissipation de l’énergie cinétique. Cette énergie est dissipée par l’intermédiaire d’un coefficient d’amortissement propre à chaque matériau.

1.1.4 Les applications des modèles granulaires

Une fois les algorithmes de base mis en place, les modèles de simulation granulaire sont capables de reproduire de nombreuses applications. Selon les spécificités des systèmes à modéliser, il peut être nécessaire dæajouter des forces et des intéractions supplémentaires au modèle de base.

De nombreux modèles rhéologiques utilisent les méthodes DEM comme base [29-31]. Ces modèles requièrent alors généralement la modélisation des forces cohésives [32,33] ainsi que les forces de capillarité [34-36]. La percolation de particules fines au travers dæempilements

désordonnés de particules de grosses tailles a également été étudiée, notamment par Oger et Lominé [37,38]. Les écoulements de silos, et les phénomènes de voûtages sont étudiés, pour læindustrie agroalimentaire [40,41]. Des études sur les agrégats et la disposition naturelle des grains à læintérieur dæun amas de particules ont été menées pour comprendre comment sont structurées les chaînes de forces dans ces amas [42,43]. La vibration sert à faire des mélanges, ou à læinverse trier des matériaux par ségrégation [44,45]. Elle est également utilisée pour transporter des poudres et autres granulés dans læindustrie chimique et pharmaceutique. Pour finir, nous pouvons citer tous les domaines qui utilisent des combinaisons particules-fluide. Cæest le cas du transport pneumatique [46,47], de la fluidisation [27,48], mais également du transport de dunes ou encore le transport sédimentaire. Parmi toutes ces applications, nous nous intéresserons à celles qui sont régulièrement rencontrées pour charger les particules par effet triboélectrique. Il sæagit dæune part de la vibration verticale, et dæautre part de la fluidisation.

1.2. Modélisation des phénomènes triboélectriques

L’effet triboélectrique se définit comme l’échange de charges électriques entre deux matériaux, qu’ils soient initialement neutres ou non, lors de leur mise en contact ; une fois transférées, ces charges restent piégées dans leur nouvelle position, même après la séparation des matériaux. Typiquement, la triboélectricité est générée en frottant deux matériaux ensemble. Cependant, l’échange de charges se produit aussi dans les cas où deux matériaux entrent en collision, sans contrainte de cisaillement au point d’impact. C’est ce qui est appelé parfois électrification par contact.

La polarité des surfaces ainsi chargées après séparation dépend principalement des propriétés électriques des matériaux mis en contact, mais aussi de la présence d’impuretés, du taux d’absorption d’humidité, ou de l’état des surfaces. Des classements des matériaux en fonction de leurs propriétés triboélectriques ont été établis de façon empirique (Fig. 1.1), L’ordre des matériaux dans une telle liste est très sensible aux facteurs cités ci-dessus, ce qui fait apparaître certaines différences entre les séries trouvées dans la littérature.

La charge par effet triboélectrique des matériaux granulaires est étudiée en rapport avec certaines applications industrielles, brièvement décrites dans le § 1.2.1. Plusieurs mécanismes physiques peuvent expliquer le transfert de charge ; ils sont exposés dans le § 1.2.2. Des modèles mathématiques qui facilitent la compréhension des phénomènes physiques en jeu sont présentés dans le § 1.2.3.

Fig. 1.1 Séries tribologiques de plusieurs matériaux isolants (PA = Polyamide, CA = Acétate de cellulose,

PMMA = Polyméthacrylate de méthyle, PETP = Polyéthylène téréphtalate, PVC = Polychlorure de vinyle, ABS = Acrylonitrile-butadiène-styrène, PAN = Polyacrylonitrile, PS = polystyrène, PP = Polypropène, PTFE = Polytetrafluoroethylene

1.2.1 Le contexte industriel

Les phénomènes tribo-électriques ont été largement étudiés au sein de l’institut PPRIME depuis une quinzaine d’années. Les motivations de ce travail ont tout d’abord été stimulées par l’industrie du recyclage des matériaux plastiques. De ces études sont nés plusieurs concepts de séparateurs électrostatiques initiés par Dascalescu [49-51]. Chaque séparateur étant couplé à un dispositif de charge auxiliaire ou intégré. Le premier séparateur de ce type a été un séparateur à chute libre [49]. La charge des matériaux étant assurée par une goulotte vibrante. Fort de cette première expérience, des dispositifs incluant dans le même module le dispositif de charge et le dispositif de tri ont été réalisés. Plusieurs améliorations ont été apportées, pour aboutir à un processus industriel de tri par lit fluidisé et séparation automatique [51]. Cette dernière version a fait l’objet d’un brevet intitulé « Procédé de séparation électrostatique d’un mélange de granules de matériaux différents et dispositif de mise en œuvre ». Il a été déposé le 23 mars 2009, aux noms conjoints de la société APR2 et de l’Université de Poitiers, citant le Professeur Lucian DASCALESCU et le Dr. Ing. Laur CALIN comme inventeurs. Les applications industrielles de ce brevet sont le tri à flux continu de matériaux granulaires.

D’autres études ont également été menées pour la prévention des risques liés à la triboélectrification de matériaux pulvérulents par transport pneumatique [52,53].

Toutes les études ci-dessus utilisent comme principe de base l’étude du chargement des particules par effet triboélectrique. La triboélectrification, tout comme la charge par contact est le processus qui décrit le transfert physico-chimique de charge qui arrive lorsque deux surfaces sont mises en contact. Comme nous l’avons précisé précédemment, la charge par effet triboélectrique apparaît dans de nombreuses situations et est utilisée dans un grand nombre d’applications industrielles. Plusieurs théories permettent d’expliquer ce phénomène. En fonctions de la nature, conducteur / isolant / polymère, des matériaux mis en contact, les théories sont plus ou moins abouties.

1.2.2 Les mécanismes de transfert de charge

Le contact entre deux conducteurs est expliqué par un transfert électronique de surface, ce mécanisme de transfert de charge est aujourd’hui accepté par l’ensemble de la communauté scientifique. Nous ne pouvons pas en dire autant lorsque l’un des deux matériaux qui entre en collision est un isolant. En effet, la théorie concernant cette catégorie de matériaux n’a pas été encore totalement explorée et certains effets restent encore inexpliqués. Une dernière catégorie de transfert de charge existe également lors de la mise en contact de deux particules du même matériau, ce qui remet en cause les théories précédentes. Les trois sous parties suivantes donnent un ensemble représentatif des théories élaborées pour chacun des cas.

a) Le contact entre deux conducteurs :

Le mécanisme d’électrisation par contact entre deux conducteurs est bien connu et assez bien compris. D’une manière générale il est accepté par l’ensemble de la communauté scientifique. Bien que l’électrisation entre deux conducteurs arrive rarement car les excès de charges ont tendance à fuir vers la terre, le phénomène reste cependant observable lorsque les deux matériaux sont isolés électriquement de la terre. Par leur nature offrant très peu de résistance à la libre circulation des électrons, les métaux, et d’une manière plus générale les conducteurs, permettent d’assurer une égalisation des niveaux d’énergie électronique des deux matériaux.

A l’intérieur des métaux, les électrons sont libres et forment un "nuage" électronique. Cependant il existe à la surface une force qui empêche ces électrons de sortir du conducteur, formant ainsi une barrière qui repousse les électrons vers l’intérieur. Ainsi, dans un métal, les électrons sont dans un puits de potentiel, et l’énergie des électrons est inférieure à la valeur énergétique du niveau de Fermi qui leur permettrait de sortir du matériau. La différence d’énergie entre le niveau de Fermi et l’énergie maximum des électrons est appelée fonction de

travail, ou énergie d’extraction. Cette énergie est de quelques électronvolts (eV) (1eV=1,6.10-19 joules).

Ainsi, pour faire sortir les électrons du conducteur, il faut leur fournir l’énergie nécessaire pour franchir la barrière du niveau de Fermi. Pour un métal, cette énergie est située autour de 4 ou 5 eV. La mise en contact des deux matériaux provoquera à leur surface une égalisation des niveaux de Fermi (figure 1.2). En effet, la faible distance entre les deux surfaces (quelques Angströms) permet, par effet tunnel, une circulation des électrons qui ont tendance à égaliser les niveaux d’énergie. Le mécanisme de transfert par effet tunnel a été très largement étudié par Harper [54]. Dans une telle configuration, le transfert d’électrons se fait toujours d’un niveau d’énergie élevé vers un niveau d’énergie faible. Ainsi, le matériau ayant initialement le niveau de Fermi le plus élevé perdra des électrons, se chargeant ainsi positivement par déficit d’électrons, et le matériau ayant le niveau de Fermi le plus faible se chargera négativement par gain d’électrons. Finalement, tout en conservant une interface globalement neutre, une différence de potentiel s’établira entre les deux surfaces des matériaux. Cette différence de potentiel s’exprime tel que :

ǻV = ij1−ij2

e (1.1)

e étant la charge d’un électron et iji la fonction de travail des matériaux mis en contact.

Si la rupture de contact est simultanée sur l’ensemble de la surface, et que les deux matériaux sont bien isolés de la terre, chaque conducteur conservera son excès ou déficit d’électrons, et donc sa charge acquise lors du contact. Ainsi, Harper [54] a montré une proportionnalité entre la charge transférée et la différence de potentiel entre les deux surfaces après séparation (figure 1.3). Cependant la charge mesurée après séparation est plus faible que celle attendue. Cette différence étant certainement due aux états de surface, et à une annulation partielle des charges lors de la séparation liée à un effet tunnel ou à une relaxation des charges. Le nombre de charges transférées après séparation est donné par la formule :

Q=k ij1−ij2

e (1.2)

Où k est un facteur qui tient compte de la forme, de l’état de surface et des conditions expérimentales.

Fig. 1.2. Mécanisme de tribo électrification issue de la théorie des bandes pour des matériaux conducteurs.

Fig. 1.3. Courbe de charge (Q) en fonction de la différence de potentiel ·V (Selon Harper)

b) Les contacts conducteur/semi-conducteur

Ce type de contact a été étudié par Coste qui a donné une expression de la densité surfacique de charge transférée lors de la mise en contact d’un métal et d’un semi conducteur. Ainsi, pour des semi-conducteurs à faible densité d’états de surface (Ds), la densité surfacique de charge Ý peut s’exprimer de la façon suivante :

ı=eDs

(

)

La densité dæétats étant définie comme le nombre dæétats disponibles pour les électrons. Si le

Niveau de Fermi

Avant contact Après contact

2 1 2 1 N iv ea u d æé n er g ie Charge initiale nulle à2 à1 Charge négative Charge positive

semi conducteur concerné par la collision a une grande densité d’états de surface, alors l’expression de la densité surfacique de charge transférée s’exprime tel que :

ı İ0/(e*Ï) *

(

)

Ò0 étant la permittivité du vide, Ï la distance de séparation pendant le contact (typiquement 1.107 m)

Tout comme pour les contacts conducteur/conducteur, nous retrouvons une proportionnalité entre la charge échangée et la différence des travaux d’extraction des matériaux mis en contact (figure 1.4).

Fig. 1.4. Densité surfacique pour deux types de semi-conducteurs (Selon Coste)

c) Le chocs isolants / polymères :

Alors que la triboélectrification entre deux polymères ou même entre un polymère et un métal ne fait aucun doute, la théorie concernant leur mécanisme de charge n’est toujours pas totalement comprise. A première vue, il est assez absurde de considérer une charge par effet triboélectrique dans des polymères puisque les bandes de conduction et la bande de valence sont séparées par de forts niveaux d’énergie. Selon la théorie des bandes, aucun électron ne peut se situer dans la bande interdite entre la bande de valence et la bande conduction. De plus, même si des électrons arrivaient à traverser la bande interdite, la charge transférée lors d’un contact devrait donc être fonction de l’épaisseur de la bande interdite, ce qui n’est pas le cas comme le montrent les séries triboélectriques.

Il est cependant indéniable qu’un transfert de charges s’effectue en présence de polymères, comme il a déjà été dit en introduction. Pour expliquer cette charge électrostatique, plusieurs théories ont été avancées. Afin de calquer la théorie utilisée pour les conducteurs et semi conducteurs, certains auteurs, Coste [55], mais également Lowel [56] ont tout simplement étendu l’utilisation des formules utilisées pour les semi conducteurs aux polymères. Ainsi un

àPàVF

transfert électronique entre les matériaux a été identifié comme étant responsable de la charge des polymères. Cependant la relation liant la densité de charge et le travail d’extraction n’est pas toujours linéaire. Des études ont montré que la charge produite par la mise en contact de matériaux ayant des différences de travaux d’extractions ne dépassant pas 5ev donne des courbes linéaires alors que quand la différence des travaux d’extractions est supérieur à 5ev, la courbe semble plutôt exponentielle (figure 1.5).

Fig. 1.5. Comparaison des courbes de charge pour des contacts métal-polymère et pour des contacts

polymère-polymère

Dès 1902, une observation de Knoblauch a montré que les matériaux organiques acides avaient tendance à se charger négativement alors que les matériaux organiques basiques se chargeaient plutôt positivement. C’est donc en relation avec l’acidité / basicité qu’il a établi une relation de transfert de protons pour expliquer la charge des matériaux solides organiques. Le même phénomène a été observé par Medley en 1953. Ainsi, dans les années 60, Harper [54], puis plus récemment Diaz [57] puis McCarty et Whitesides [58] ont montré que dans certains cas, un transfert ionique pouvait expliquer la charge des polymères. Alors que Harper [58] conclut, au sujet du débat sur le mécanisme transfert électronique ou transfert ionique, que " la réponse définitive ne peut maintenant être donnée ", Diaz [57,59] a proposé qu'un mécanisme de transfert de protons puisse expliquer la triboélectrisation de plusieurs matériaux isolants.

Un des points faibles de la théorie du transfert ionique lors d’une collision de deux isolants réside dans l’explication de la tribocharge en présence de polymères non ioniques. Comment expliquer la présence d’ions mobiles à la surface de tels matériaux ? C’est ainsi que Lowell et Rose-Innes [56], malgré un travail basé sur le livre de Harper [54], arrivent à des conclusions complètement contradictoires affirmant læexistence dæun transfert électronique pour les matériaux qu’ils ont étudiés.

Encore aujourd’hui, malgré des preuves formelles de son existence, la triboélectricité reste un phénomène inexpliqué lorsqu’elle met en cause des matériaux complexes tels que les polymères.

1.2.3. Modélisation du phénomène

La complexité des phénomènes physiques et les rapports d’échelles spatiales et temporelles mis en jeux ont conduit les auteurs à mettre en place des modèles de charge triboélectrique. Suivant les applications étudiées, nous pouvons distinguer presque autant de modèles que d’auteurs. Nous les avons cependant regroupés en quatre catégories. Le plus simple a été initié en 1983 par Masui et Murata [60], puis appliqué en 2003 au calcul de charge générée par le transport pneumatique de poudres [61]. Dans ce modèle simple, les échanges de charges sont considérés linéaires et proportionnels à la surface selon la formule :

Q=Sq (1.5)

Où Q est la charge échangée durant la collision, S la surface de contact entre les particules et q une constante correspondant à une densité surfacique de charge maximum déterminée expérimentalement. En pratique, ce modèle ne peut être utilisé que pour des simulations non résolues en temps, permettant d’avoir une idée de la charge globale en fin de simulation. Un second modèle plus élaboré est basé sur la représentation des contacts sous forme de circuit résistance/capacité (RC) et a été utilisé dès les années 70 et jusqu’à aujourd’hui [62,63]. Ses précurseurs sont Cheng et Soo [64], mais on peut également citer Matsusyama [62] qui a effectué de nombreuses recherches basées sur ce modèle. Il est notamment l’auteur de la théorie sur la relaxation de charge utilisée dans notre étude sur la charge triboélectrique par impact [65].

Parallèlement, un autre modèle a été introduit par Lowell et Truskott [66] en 1986. Egalement utilisé plus récemment par Lacks et Duff [67,68] pour calculer de façon plus précise l’évolution de la charge d’un nuage de particules au cours du temps. La particularité, de ce modèle est qu’il considère la distribution surfacique des charges sur les particules ainsi que le niveau d’énergie de ces charges. Ce modèle, qui doit être l’un des mieux résolu dans le temps et dans l’espace doit également être l’un des plus coûteux du point de vue du temps de calcul.

Parmi tout les modèles présentés ici, nous retiendrons que ce qui a été privilégié par les auteurs est : soit une grande simplicité permettant des calculs rapides, soit des modèles très précis, mais compliqués et donc difficiles à mettre en œuvre pour effectuer des calculs à grande échelle comprenant de nombreuses particules.

Dans le but de trouver un compromis, une autre catégorie de modèle a été proposée. Développé en 1995 par Castle [69], et appliqué en 1998 dans une étude sur la charge de matériaux dispersés [70], ce modèle tente d’allier les paramètres physiques, l’environnement et la géométrie des matériaux. La seule limitation concerne son utilisation puisque la formulation du problème a été développée pour des milieux homogènes et pour une phase

granulaire dispersée. Partant de ces hypothèses, les équations sont simplifiées par une étude statistique sur les collisions supprimant ainsi du champ d’application la modélisation du transfert de charges dans des lits de particules compacts. C’est en se basant sur les théories développées par Castle que nous avons étendu ce modèle à des cas plus généraux incluant à la fois des milieux homogènes ou hétérogènes par une résolution du problème à l’échelle de la particule.

1.3. Modélisation de la phase fluide, couplage DEM/Navier-Stokes

L'approche consistant à combiner la simulation numérique de la phase fluide continue avec la méthode des éléments distincts pour la phase discrète a été très utilisée pour étudier l’aspect fondamental du couplage particules fluide. Différents modèles de couplages fluide-particules ont été utilisés. Il apparaît dans la littérature que trois sortes de formulations coexistent [71]. D’une manière générale le couplage entre les phases apparaît toujours comme une approche multi- échelle, tant en terme d’échelle de temps que d’échelle spatiale [72-74]. Tout comme la partie granulaire, la partie fluide peut elle aussi être discrétisée suivant plusieurs échelles : simulation de dynamique moléculaire (SPH), méthode Lattice-Boltzman, ou alors les méthodes plus conventionnelles comme les volumes finis, éléments finis ou différences finies.

Deux approches majeures existent : une première est appelée eulérienne-eulérienne avec les modèles à deux fluides et læautre est appelée eulérienne lagrangienne avec les modèles CFD/DEM. Dans les modèles à deux fluides, initiés par Anderson et Jackson [75] en 1967, les deux phases sont considérées comme des milieux continus qui sæinterpénètrent. La résolution du problème se fait sur une grille dont la taille des mailles doit être supérieure à la taille des particules. Les performances de cette approche sont intimement liées aux modèles de transferts entre la phase solide et la phase fluide, notamment l’échange d’énergie et de la quantité de mouvement entre ces phases. Ceci est particulièrement critique dans le cas de la prise en compte dæune phase solide polydisperse. Dans les couplages CFD-DEM, la dynamique du fluide est obtenue par résolution des équations de Navier-Stokes modifiées par des moyennes dæensemble, tandis que le mouvement des particules est calculé à partir de la seconde loi de Newton. Le couplage entre les deux phases est pris en compte au travers des forces d’interactions particules- fluide. L’utilisation de læapproche CFD-DEM constitue un avantage important pour comprendre les écoulements relativement complexes puisquæil donne accès à toutes les grandeurs à l’échelle de la particule telles que : les vitesses, positions, trajectoires, forces… [76,77]. Les équations de la phase fluide des modèles CFD-DEM sont directement tirées de celles utilisées pour les modèles à deux fluides.

1.3.1 Les modèles à deux fluides

Les modèles à deux fluides pour traiter un couplage gaz-solide ont été proposés dès l’aube des années 70. On peut citer par exemple Anderson et Jackson [75] en 1967 et Ishii [78] en 1975. Plus récemment, entre le milieu des années 90 et le début des années 2000, Gidaspow [79], Enwald [80] et Jackson [81] ont repris ces travaux. Parmi tout les travaux effectués plusieurs variantes ont été apportées, notamment par Arastoopour et Gidaspow [82], Lee et Lyczkowski [83], ou encore van Wachem [84]. Le lecteur trouvera un résumé très complet dans le livre de Prospertti et Tryggvason [85].

De façon générale, dans toutes les variantes, le fluide, comme la phase solide sont traités comme des milieux continus. Pour arriver aux équations finales, les équations de Navier-Stokes sont écrites et moyennées dans læespace pour les deux phases. La pression solide et la viscosité de la phase solide sont deux paramètres importants dans la modélisation de la phase solide [78,86-90].

Deux variantes existent et sont couramment appelées model A et modèle B. Les équations du modèle A sont celles utilisées dans les codes de calculs industriels tel que Fluent® ou CFX®. Le Modèle B, ainsi que le Modèle B simplifié sont basés sur le tout premier modèle formulé par Anderson et Jackson [75]. Ce second modèle ne distribue pas la pression suivant les deux phases, seule la phase continue faisant apparaître le terme de pression, ce qui est compréhensible à partir du moment où la phase dispersée est un milieu granulaire. Des tests menés d’abord par Arastoopour & Gidaspow [82] en 1979 sur le transport pneumatique, puis ensuite en 1989 par Bouillard [91] sur des lits fluidisés montrent des différences insignifiantes entre les deux modèles. Cependant, Bouillard [91] précisera tout de même que "La présence du gradient de pression dans la phase fluide et dans la phase solide du modèle A résulte d’un problème mal posé initialement, ce qui conduit à de possibles instabilités dans certaines conditions, le modèle B étant lui bien posé puisqu’il ne fait appel qu’à des caractéristiques physiques propres à chaque phases". Enwald [80] précisera plus tard que l’unicité et la stabilité du modèle B n’avait été prouvée que dans sa version unidimensionnelle, et ce par Lyckowski en 1978 [94]. Le modèle A est alors resté le plus populaire.

1.3.2 Les Modèles CFD-DEM

La principale différence entre les modèles à deux fluides et l’approche eulérienne-lagrangienne se situe dans les échelles de résolution spatiale. Tandis que dans les modèles à deux fluides, les deux phases sont calculées aux mêmes échelles spatiales (taille des mailles), les modèles utilisant les méthodes particulaires utilisent deux échelles propres à chaque phase. La phase fluide est calculée à l’échelle des mailles, alors que la phase solide est résolue à l’échelle des particules. Ainsi, sans changer de façon significative les équations utilisées pour

la phase fluide, les modèles CFD-DEM utilisent les modèles particulaires décrits précédemment pour le calcul du mouvement des particules.

Les équations concernant la dynamique moléculaire ont été très étudiées et sont détaillées dans le chapitre 2. Les interactions fluide-particules sont basées sur la somme de toutes les forces appliquées individuellement par le fluide sur les particules.

Les équations générales régissant ces modèles sont les suivantes :

Pour les particules,

midv_dt =

¦

¦

Les fijc représentent les forces dues aux collisions interparticulaires et les collisions particules

-parois tandis que les f_fi représentent les forces du fluide agissant sur les particules. m_i est la masse de la particule i, g læaccélération de la pesanteur, Mij est le couple engendré par les

forces de contacts. v et åi sont respectivement la vitesse de translation et la vitesse de

rotation de la particule i, I_i est le moment dæinertie de la particule i.

Pour la phase continue, les équations directement tirées du modèle à deux fluides donnent :

pf t _{u f} u p u u t u _{+∇⋅ ⊗ =− ∇ +∇⋅ ∇ +∇ −} ∂ ∂ )) ( ( ) ( )

( & & & & &

µε ε ρε ρε (1.8) et 0 ) ( ) ( = ⋅ ∇ + ∂ ∂ u t u& & ρε ρε (1.9)

où fpf est la somme des contributions des forces ffi des particules sur le fluide se trouvant dans

le volume de contrôle. Dans cette écriture, İ représente la fraction volumique de la phase continue dans le volume de contrôle considéré. Ü et × sont respéctivement la masse volumique et la viscosité du fluide, ~u est sa vitesse et p la pression.

Parmi les forces d’interactions entre le fluide et les particules, nous pouvons citer les plus courantes que sont les forces de traînées, les forces dues au gradient de pression, les forces visqueuses, les forces de masse ajoutée, forces dæhistoire (forces de Basset), ainsi que les

forces de portance telles que les forces de Saffman et Magnus.

Dans les modèles CFD-DEM, le couplage entre les phases est principalement dû aux forces d’interactions entre les particules et le fluide. Ces forces sont résolues à l’échelle des particules pour la phase dispersée et à l’échelle des mailles pour la phase fluide. On trouve dans la littérature trois formes de résolution de ces forces [93]. :

- Méthode 1 : elle consiste à calculer l’action des particules sur le fluide par une moyenne locale exactement comme dans les modèles à deux fluides. Les forces du fluide sur les particules sont calculées individuellement particule par particule en fonction de la vitesse relative entre la particule et le fluide.

- Méthode 2 : les forces des particules sur le fluide sont calculées de la même façon que dans le premier schéma, cependant les forces de rétroaction ne sont plus calculées de façon locale, mais sont issues d’une moyenne pondérée des forces des particules sur le fluide par le nombre de particules présentes dans le volume de contrôle.

- Méthode 3 : elle consiste à calculer d’abord les forces d’action du fluide sur les particules à leur échelle, pour ensuite les sommer et avoir les forces à l’échelle d’une maille [76].

L’utilisation de la première méthode amène à se poser des questions sur le respect de la troisième loi de Newton. En effet, à cause de la décorrélation du calcul des forces fluide sur particules avec le calcul des forces particules sur fluide, sans précautions particulières, rien ne garanti à priori l’équilibre de forces. Ce problème n’apparaît pas dans les deux autres méthodes. Cependant les artéfacts numériques et les hypothèses nécessaires au calcul des forces des particules sur le fluide à l’échelle des mailles fluides dans le second modèle ont conduit à l’utilisation du troisième modèle. Les différentes formulations de ces modèles ont été résumées par Zhou [71] et ont toutes été comparées sur différentes configurations.

La fluidisation est l’un des tests majeurs pour un modèle diphasique fluide/particule. Selon Zhou [71], dans l’ensemble des tests effectués, les trois modèles se comportent de façon très similaire, introduisant des différences très mineures d’un modèle à l’autre sur des grandeurs macroscopiques mesurées à l’échelle du fluide tel que la pression, ou les forces d’interactions. Des résultats probants ont également été obtenus pour du transport pneumatique. Encore une fois, les différences observées sont mineures. Cependant, læutilisation de la troisième méthode conduit à surestimer les gradients de pression dans les écoulements pistonnants. Ce phénomène avait d’ailleurs déjà été observé, mais avec une amplitude très faible pour les lits fluidisés. Un dernier cas test a été effectué à l’aide du logiciel Fluent. Il s’agit de la simulation d’un cyclone de séparation et de tri par densité des matériaux granulaires [71]. Seuls les modèles 1 et 3 ont été comparés et des différences majeures ont été observées. Ces différences concernent tant le mouvement des particules que les grandeurs macroscopiques telles que la pression et les forces d’interactions. Les auteurs concluront que le modèle n°3 n’est pas en mesure de représenter l’écoulement dans un cyclone car certaines conditions nécessaires à la

validité du modèle ne sont pas respectées.

Parmi toutes les forces de couplage, il en est certaines qui peuvent parfois être négligées selon les conditions et paramètres dæécoulement. En outre, certaines configurations d’écoulements diphasiques permettent également de ne pas tenir compte de l’ensemble des couplages particules-particules ou particules-fluide. Ainsi, dans l’ensemble des écoulements incluant une phase dispersée, plusieurs degrés de couplage peuvent être distingués. Le choix du couplage est principalement dicté par le taux de concentration de la phase dispersée dans la phase continue. On trouve alors quatre niveaux de couplage allant du "one way coupling", pour une phase solide très dispersée, au "four way coupling" pour les écoulements denses [94].

Le premier couplage est utilisé pour des écoulements très dilués, et dont la taille et la masse volumique des particules ne laissent présager aucune chance de collision interparticulaires, mais également aucune influence des particules sur l’écoulement. C’est l’hypothèse qui est faite notamment lors de l’utilisation de traceurs pour des méthodes de visualisations tels que la PIV (visualisation par imagerie de particules). Certaines méthodes numériques basées sur des méthodes Monté-Carlo utilisent également de tels traceurs [95,96]. Dans ce cas là, les forces des particules exercées sur le fluide étant très faibles devant les gradients de pression, elles peuvent donc être négligées, seule les forces exercées par le fluide sur les particules est pris en compte.

Dans le couplage "two way", la densité de particules ou la vitesse relative entre les particules et le fluide, requiert la modélisation des efforts des particules sur le fluide. Ce couplage tient compte simultanément des forces dæinteraction du fluide sur les particules, mais également des forces de rétroaction des particules sur le fluide. On peut citer comme exemple l’entraînement d’un fluide par l’injection de particules ou l’interaction entre un panache de bulles et un liquide.

La modélisation "three way" est un peu plus subtile, elle doit permettre de tenir compte de l’effet de la turbulence produite par des particules sur d’autres particules. L’une des conséquences de ce couplage serait l’entraînement d’une particule par un effet d’aspiration due à une particule la précédant. Dans les codes numériques, ce troisième couplage se traduit généralement par une modification du coefficient de traînée en fonction du taux de particules présentes dans la maille [94,97].

Dans tout les cas précédemment cités, les forces fluides sont dominantes par rapport aux forces engendrées par le mouvement des particules, ce sont des régimes d’écoulements dispersés. Les écoulements denses quant à eux sont dominés par les collisions interparticulaires. Dans des cas quasi statiques, les collisions peuvent être ramenées à des contacts. Dans des écoulements à collisions dominantes, les forces interparticulaires deviennent comparables, voir supérieures, aux forces fluides. Dans ce type dæécoulement, tout les types de couplages doivent être pris en compte : les forces liées aux chocs

particules-particules, les forces de collisions avec les parois, mais également les forces particules-fluide et fluide-particules sont calculées. On obtient alors le couplage "four way".

Une augmentation de la concentration de particules dans le domaine peut conduire à des temps de suspension très faibles devant les temps de contacts. Si la masse volumique des matériaux granulaires est très grande devant celle du milieu fluide environnant, on peut ramener le système à un écoulement à contact dominant, réduisant ainsi la dynamique de l’ensemble. Les lits vibrés sont un cas particulier d’écoulement granulaire puisque la dynamique des particules est majoritairement dominée par des contacts au sein du lit, ainsi que les chocs à la surface du lit. De tels écoulements sont généralement traités comme des écoulements granulaires purs, en négligeant les effets du fluide sur les particules, on parle alors dæécoulements granulaires secs. Des écoulements clairement diphasiques peuvent également faire cœxister des écoulements dispersés et des écoulements denses, c’est typiquement le cas du transport de sédiments (dunes…) par un écoulement cisaillant, provoquant un écoulement chargé à proximité du lit de particules, et un écoulement dispersé dans le sillage.

1.4. Parallélisation

Quæils soient utilisés pour modéliser une phase solide ou une phase fluide, il est notoire que les modèles particulaires prenant en compte une grande quantité de particules sont de gros consommateurs de temps CPU. La principale source de consommation du temps se situe dans la recherche des particules voisines avec lesquelles il va être nécessaire de calculer des forces dæinteractions. Læune des solutions qui a été largement adoptée ces dernières années pour remédier à ce problème consiste à distribuer les taches sur de multiples processeurs. On parle alors de multitâche et de parallélisation. Plusieurs types de parallélisation peuvent être rencontrés. La plus simple à mettre en œuvre est utilisée lorsquæil est nécessaire de faire une étude paramétrique. Cette méthode consiste à exécuter le même code sur différents processeurs en utilisant des jeux de paramètres différents. La gestion de la distribution des tâches est laissée à læinitiative du programmeur, par des scripts BASH, PYTHON ou autres langages de programmation bas niveau. Deux autres types de programmation, qui relèvent plus à proprement parler du domaine de la parallélisation, peuvent être envisagés. Cæest le type de machine utilisé pour les calculs qui va déterminer le type de parallélisation quæil faut envisager. Avant dæaborder les méthodes de parallélisation, le paragraphe suivant donne un bref aperçu des possibilités offertes en fonction du type de machine disponible.