Sur le théorème du maximum de N. Korevaar pour la fonction de concavité. Extension au cas de solutions faibles

9 JAMALI ABDELHAK

SUR LE THEOREME DU MAXIMUM DE

N, KOREVAAR POUR LA FONCTION DE CONCAVITE. EXTENSION AU CAS DE SOLUTIONS FAIBLES.

Thèse présentée

à l’Ecole des gradués de l’Université Laval

pour l’obtention

du grade de Philosaphiae Doctor (Ph.D.)

FACULTE DES SCIENCES ET GENIE UNIVERSITE LAVAL

QUEBEC

FEVRIER 1988

Considérons l’équation aux dérivées partielles de type ellip­

tique

n

a2

(♦) I a*J(Du) = b(x,u,Du) dans û c R",

i,j=l 1 J

avec Du . »”■*] » et où û est un domaine borné convexe de Rn.

Avec des hypothèses adéquates sur les coefficients a1J et b N. Korevaar a montré que la fonction de concavité

Cu(x,y,X) := u(Xx+(l-X)y)-Xu(x)-(l-X)u(y),

définie dans ûxûx[0,l], associée à toute solution classique u e C(0) n C2(0)

de (*), atteint son maximum positif (s’il existe) sur le bord de Ôxûx[O,lJ.

Considérons l’équation aux dérivées partielles

(♦♦) I ai(Du) = b(x,u,Du) dans 0.

i-1 Xi

Lorsque a^b et û sont assez réguliers cette équation est du même type que (♦). Dans ce travail nous allons étendre le résultat de Korevaar aux solutions faibles u g C°»a(û) n C1»ot(0) du problème de Dirichlet associé à

l’équation (**), avec la condition aux limites

(♦♦♦) u = sur flû.

La technique utilisée consiste à construire les solutions faibles u comme limites de solutions classiques uc de problèmes approchés du problème (**, ♦♦♦). Les fonctions de concavité Cu associées à leurs solutions, satis- font aux résultats de Korevaar. Nous établissons alors la propriété de Korevaar relativement à Cu par un passage à la limite.

Remerciements

J’aimerais exprimer ici toute ma reconnaissance et ma profonde gratitude à mon directeur de recherche, le professeur Gérard Philippin qui a suivi pas à pas l’évolution de ce travail. Je tiens à le remercier pour les conseils et les encouragements qu’il m’a prodigués tout au long de ce travail. J’adresse également toute ma gratitude et mes remerciements à Messieurs les

professeurs Michel Fortin, Walter Hengartner, et René Sperb qui ont bien voulu accepter de faire partie du jury, et dont les critiques constructives ont fortement influencé la version définitive de ce travail. Mes remerciements s’adressent également à l’Equipe d’Analyse du Département de mathématiques de l’Université Laval pour son aide financière, à Louise Chamberland qui a bien voulu dactylographier cette thèse, à mes collègues et amis de l’Université Laval pour leur soutien moral, ainsi qu’à ma femme Hayat pour la totale

page

CHAPITRE I. INTRODUCTION ET PRELIMINAIRES... 1

61 Introduction... 1

52 Résultats auxiliaires... 7

CHAPITRE II. ETUDE DES PROBLEMES APPROCHES... 13

63 Choix d’hypothèses appropriées pour l’obtention de solutions faibles... 13

64 Construction de problèmes réguliers par approxi­ mation des coefficients et du domaine... 20

65 Existence de solutions de classes C2 et vérifi­ cation des hypothèses de Korevaar pour les pro­ blèmes approchés... 23

CHAPITRE III. PASSAGES A LA LIMITE... 30

66 Passage à la limite pour les solutions des équa­ tions approchées... 30

57 Passage à la limite pour les fonctions de conca­ vité correspondantes... 40

CHAPITRE IV. EXEMPLES ET APPLICATIONS... 46

68 Quelques cas particuliers pour lesquels le Théor­ ème B s’applique... 46

§9 Le comportement de la fonction de concavité sur le bord de ûxûx(O.l)... 50

CHAPITRE I

INTRODUCTION ET PRELIMINAIRES

61. Introduction

Dans le vaste domaine des équations aux dérivées partiel­

les, les questions qui sont traditionnellement étudiées sont les ques­ tions d’existence, d’unicité et de régularité des solutions. Néanmoins,

ces sujets ne sont pas les seules préoccupations des mathématiciens. Au cours de la dernière décennie, on a assisté à un intérêt croissant pour l’étude des propriétés géométriques des solutions, telles que par exemple les propriétés de convexité, ou de concavité (cf par exp [6], [7], [12], [14], [17], [18].), on telles que les propriétés de symétrie (cf par exp. [3], [9], [13], [27]) ou bien l’étude de la convexité des ensembles

de niveaux de la solution (cf par exp [1], [5], [6], [12], [14], [16]) ect•. • .

En 1983, N. Korevaar ([15], [16]) a contribué à l’étude de

la convexité des solutions en apportant des idées nouvelles qui se sont avérées très fructueuses et que nous allons exposer brièvement:

réelle u(x) définie dans û est dite convexe si la condition

(1-1) Cu(x,y,X) := u(Xx+(l-X)y)-Xu(x)-(l-X)u(y) « 0 ,

est satisfaite pour toute paire de points x,y e 0 et pour tout X e [0,1]. La fonction Cu définie sur ûxûx[0,l] est appelée fonction de concavi­ té de u. Elle est bornée sur ûxqx[0,1] et son maximum M := Max Cu(x,y,X)

x,yeû Xe[0,1]

est non négatif (puisque Cu(x,x,X) = 0). Nous observons que la fonction

u est convexe si et seulement si M est nul. Si u est non convexe, Cu prend des valeurs positives sur oxûx[0,l] et on a l’une ou l’autre

des possibilités suivantes:

(a) M > 0 est atteint à l’intérieur de Oxûx[0,l],

(b) M > 0 est atteint sur le bord a(ûxûx[0,l]) de ï)xûx[0,l].

Pour tester la convexité de u, il suffit donc d’exclure (a) et (b). Cet­ te approche a été proposée et effectuée avec succès pour la première fois par N. Korevaar pour déduire la convexité des solutions classiques d’une certaine classe de problèmes aux limites de type elliptique ([16], [17]). La première partie du test (correspondant au cas (a) ci-dessus) peut être mise sous la forme du théorème suivant [17]:

Théorème A. Soient 0 un domaine borné convexe de Rn et u e C(0) n Ca(0) une fonction qui satisfait à l’équation aux dérivées partielles de type elliptiques

(1.2) I a*J(Du) * u = b(x,u,Du) dans û,

i,j=l X* Xj

3.

et où la fonction b(x,u,p) définie dans QxRxRn, satisfait aux hypothè­ ses,

(1-3) (x,u,p) > 0 , V(x,p) e ÔxR» t

(1.4) b(Xx+(l-X)y,Xu+(1-X)v,p) £ Xb(x,u,p)+(1-X)b(y,v,p), Vp g Rn.

Alors si la fonction de concavité Cu prend une valeur positive sur Qxûx[0,l], elle atteint son maximum positif sur le bord à(ûxûx(0,1))■

L’hypothèse (1.4) signifie que b(x,u,p) est conjointement concave en

(x,u) pour tout p e Rn.

Dans le texte qui suit, nous allons nous référer à la con­ clusion de ce théorème en disant que

u satisfait a la propriété de Korevaar sur û.

L’exemple suivant illustre comment on peut exclure les cas (a) et (b) à l’aide du Théorème A et de certaines considérations supplémen­ taires sur la frontière. Considérons le problème de la première fonction propre Ui de la membrane vibrante fixée sur la frontière dû, avec fl un domaine borné strictement convexe:

(1.5) Aux + Xxui = 0 , ux > 0 dans fl,

(1.6) Uj = 0 dans dû

Posons v := -logUj. En utilisant (1.5) et (1.6), nous ob­ tenons

(1.7) Av = X j 4- | Dv |2 dans 0 ,

(1.8) Lim v(x) = +œ .

L’équation (1.7) est du même type que (1.2) avec b(x,u,p) : =

xi+IpI2» et les hypothèses du Théorème A sont satisfaites. En conséquen­

ce la fonction v satisfait à la propriété de Korevaar sur û, ce qui ex­

clut le cas (a). Pour exclure le cas (b), on montre facilement le lemme suivant (cf [12]):

Lemme 1. Soit v e C(û) une fonction bornée inférieurement sur û et telle que v(x) -> +œ uniformément quand d(x,<îO) 0. Alors la fonction de concavité Cv est non positive au voisinage de à(ûxox(O,1))■

Autrement dit, Cv(x,y,X) ne peut pas devenir positive quand (x,y,X) approche a(ûxûx(0,1)), ce qui exclut le cas (b). Nous pouvons donc conclure que -v := logUj est une fonction concave sur 0, ce qu’on exprime aussi en disant que ux est log-concave et qui implique no­ tamment que les ensembles de niveau flc <x e 0 Juî(x) > C} sont con­

vexes .

Notons que cette propriété a aussi été démontrée par des mé­ thodes différentes. Voir en particulier [1], [5].

Remarques (importantes)

1) La technique de Korevaar a stimulé beaucoup de chercheurs qui ont tour à tour rendu l’utilisation du Théorème A plus souple. Ainsi la convexité des solutions classiques u e C2(û) a pu être étudiée pour de nombreux problèmes aux limites (cf [6], [12], [14]). Toutefois une fonction con­ vexe n’est généralement pas de classe C2, et de plus l’équation (1.2) peut posséder des solutions faibles autres que celles de classe C2. Cet­ te remarque est le point de départ de notre travail, consistant précisé­ ment de généraliser la méthode de Korevaar au cas de solutions faibles

5.

u i C2, satisfaisant au problème de dirichlet

(1.9) I (a4(Du)) = b(x,u,Du) dans û,

i=l X1

(1.10) u = <t> sur 3Q.

Notons que l’équation (1.9) est aussi de la forme (1.2) si les coefficients at et u sont suffisamment réguliers, notamment si u e C2(û) et aj e C^û).

2) Remarquons aussi, qu’une fonction convexe est continue et presque par­ tout dérivable à l’intérieur de son domaine de définition, (cf [29]). Cet­

te deuxième remarque va nous inspirer le choix de l’espace fonctionnel qui contiendra les solutions faibles de (1.9)-(1.10). L’espace le plus naturel qui répond aux exigences de cette remarque est l’espace C^fl); Mais pour des considérations du choix de théorèmes d’existence et d’unicité de la so­ lution, nous optons pour l’espace Co>°(0) n C1><x(0) dans lequel toute fonction est continue et presque partout dérivable dans 0.

Pour démontrer une version du Théorème A qui s’applique au cas d’une solution faible du problème (1.9)-(l.10), nous allons adopter la stratégie suivante: Nous remplaçons le problème (1.9)-(1.10) par une suite de problèmes approchés:

(1.9)e

& £

î (ai(Due)) = bc(x,uc,Duc) dans ûc i=l ix‘

(1.io)c uc = <t> sur

ue vérifient le Théorème A. Nous montrons alors que la suite (uc)c con­ verge vers u solution faible de (1.9)-(1.10) quand « -> 0, et nous véri­ fions finalement que u satisfait à la conclusion du Théorème A.

Cette méthode qui consiste en fait en une approximation des coefficients de l’équation et de son domaine û est développée en détail dans les Chapitres II et III: Dans le paragraphe 3 nous formulons des hypothèses raisonablement peu contraignantes sur les coefficients de

(1.9)-(1.10) afin d’obtenir des solutions dans des espaces plus généraux que C(û) h Ca(0), c’est à dire des solutions généralisées (ou faibles) de

(1.9) —(1.10). Dans le paragraphe 4, nous procédons à l’approximation des coefficients et du domaine de définition û du problème (1.9)-(1.10), ce qui nous amène à considérer une suite de problèmes de la forme

(1.10) c. Dans le paragraphe 5, nous montrons que les problèmes (1.9)c-(1.10) c satisfont aux hypothèses du Théorèmes A et donc que les solutions uc satisfont à la conclusion du Théorème A. Dans le Chapitre III nous étudions les passages à la limite (e -» 0): Le paragraphe 6 établit la convergence des solutions (classiques) uc de (1.9)c-(l.10)c vers une so­ lution faible u de (1.9)-(1.10) et le paragraphe 7 établit la conver­

gence des fonctions de concavité CU£ vers Cu. Après avoir complété ce programme, nous sommes en mesure de formuler nos résultats sous forme du Théorème B dont la conclusion généralise celle du Théorème A pour le cas des solutions faibles. Le Chapitre IV est exclusivement consacré à des exemples et des applications du Théorème B. Auparavant nous achevons ce premier chapitre par un bref résumé des principaux résultats d’analyse fonctionnelle qui seront utilisés ultérieurement.

7.

62. Résultats auxiliaires

1) Le contexte fonctionnel

Soit 0 un domaine de Rn. La liste suivante indique et définit les différents ces espaces fonctionnels qui jouent un rôle dans

notre travail. Notons que ces espaces sont des espaces de Banach munis des normes respectives que nous allons leur associer:

a) C(û) est l’ensemble des fonctions définies continues sur 0. b) C(0) est l’ensemble des fonctions définies continues sur û .

On munit cet espace de la norme

c) Ck(n) est l’ensemble des fonctions u e C(0), telles que leurs déri­ vées partielles d’ordre a, D“u, sont dans C(ô), pour tout

a := g Nn avec |a| = ax+...+an < k, k e K. Nous munis­

sons cet espace de la norme suivante,

k ”

d) Co(0) est l’ensemble des fonctions u e Ck(û) dont les supports

sont contenus dans û. Notons que,

Suppu := (x g 0 | u(x) * 0> ,

e) Avec k e R, on définit Ck>^(G) comme l’ensemble des fonctions u e Ck(ô) telles que,

[D“u] := Sup IP^Çx) D^ulxH < „ v(b) , R

x.yeO 1 yl x*y

Ck»^(ô) est appelé espace de Hôlder d’ordre k, on le munit de la

nome suivante:

lui

_{:= |u|}

_rkrôi

_{+ Max C}

_DOCu^

C W

o«|a|«k

f) Ck»**(0) est l’ensemble de fonctions définies sur û, dont les res- strictions à tout sous-domaine û* ce o appartiennent à (^«^(O*).

g) Avec l<p<œ, on définit LP(û) comme l’ensemble des fonctions mesura­ bles sur û, dont la pième puissance est intégrable sur û. LP(o)

est muni de sa norme

|u|p := [ | |u(x)|P dx] , û

h) l£oc(0) l’ensemble des fonctions mesurables sur 0, dont les res­

trictions à tout compact K c o sont piùme intégrables sur K.

i) Lœ(0) est l’ensemble des fonctions mesurables sur û et presque par­

tout bornées sur 0. On le munit de la nome

|u|ra := Inf Max |u(x)| , N xgû\N

où N est un ensemble négligeable de û.

j) Avec k e N, l<p<«, on définit Wk»P(û) comme l’espace des fonctions u e LP(û) telles que leurs dérivées au sens des distributions d’ordre «, D0^, sont dans LP(O). Cet espace est appelé un espace de Sobolev. On le munit de la nome

9.

lui k

_w

:= ï |D«u|p.

I«l<k

Si p = 2, on écrit souvent Hk(fl) := Wk»2(0) qui est un espace de

Hilbert muni du produit scalaire

(u,v) := î | DauDav dx. |«|*k 0

P le

k) Wo,H(û) est défini comme la fermeture de Co(û) par rapport à la norme

Il

l) Cq(û) est 1*ensemble des fonctions indéfiniment différentiables sur

û et dont les supports sont inclus dans û. Cet espace est noté aussi D(0).

2) Rappel de quelques propriétés des espaces de Hôlder

Définition 1. Soient E et F deux espaces normés. Une application f de E dans F est dite compacte, si pour toute suite bornée <un}n dans E,

on peut extraire de la suite <f(un)}n une sous-suite qui converge dans F.

Théorème_l. Soit m e N, soit 0<a<l, et soit 0 un domaine convexe de

Rn. Alors on a l’inclusion C*’+1(0) c Cm»a(û). De plus si û est borné, 1 injection canonique Cffr*"1(o) -> Cw,»ot(û) est compacte.

Théorème_2. Soit m e R, soit 0<a<l, et soit û un domaine borné de Rn,

1 injection canonique -> Cm(û) est compacte.

ba-sées sur le théorème d’Arzéla.

Définition 2. Soit 0 c Rn un domaine borné. 0 et son bord dû sont dits de classe Ck»a, 0<a<l, si pour tout x0 e *0, il existe une boule B(xo) et une application injective i> de B(xo) à valeurs dans R1, tel­ les que

(i) f(B(xo) n û) c Rj , (ii) f(B(xo) n dû) c aftj ,

(iii) f e Ck*a(B(x0)), f1 g Ck>a(D), où D : = f(B(x0)).

Remarque: Nous observons en particulier que û est un domaine de clas­ se Ck>a, si chaque point de dû a un voisinage dans lequel dû peut

être représenté paramétriquement par

x^ = i), i — l,2,...,n,

où les fonctions x1(fj»•••»fn-i) sont dans Ck»a(B). (B est le domai­

ne de paramétrisation du bord). La réciproque est vraie si k 1.

Définition 3: [19, p.6] Soit û un domaine borné de Rn. Nous dirons que la frontière dû de 0 vérifie la condition (A) s’il existe deux nom­

bres positifs po et ôo tels que, pour toute boule Bp dont le centre est sur dû et le rayon p inférieur ou égal à po» l’inégalité

mes ûp < (l-eo)®esBp

est vérifiée pour toute composante connexe ûp de l’intersection 0p de û avec la boule Bp.

vé-11.

rifie la condition (A): Il suffit de choisir 0O = Po > ® quelconque.

3) Convolution et régularisâtion des fonctions

Définition 4. Soient f et g deux fonctions de Rn dans R, telles que l’application y g Rn -» f(x-y)g(y) est intégrable sur Rn. Le produit de

convolution de f par g au point x est noté et défini par

(f*g)(x) := j f(x-y)g(y)dy .

R"

Rappelons les propriétés suivantes du produit de convolution: (i) f*g = g*f,

(ii) si f ou g est à support compact, on a

Supp(ftg) c Supp(f) + Supp(g),

(iii) si f g Lioc(Rn), g g Ck(Rn), et si f ou g est à support compact.

Alors f*g est de classe Ck et

D«(f*g) = f*D«g v|a| « k.

Définition 5. On appelle suite régularisante, une suite dans

Co(Rn) possédant les propriétés suivantes: (a) ®c(x) > 0, pour tout x g Rn,

(fi) Supp «c c B(0,e) := <x g Rn| |x| « e>,

(?) f e£(x) dx = 1. R"

Remarquons qu’ici la suite est prise au sens général: c’est le Filtre de

Moore-Smith.

fonction régularisée de u le produit de convolution (s’il existe) uE(x) := (u*ec)(x), où (®c)t est une suite régularisante.

CHAPITRE II

ETUDE DES PROBLEMES APPROCHES

Dans ce chapitre nous procédons d’abord par un choix d’hy­ pothèses, pour que le problème de Dirichlet associé à l’équation diffé­ rentielle (1.9) (c’est à dire avec la condition u - 0 sur la frontière de û), admette des solutions faibles dans un espace fonctionnel "plus grand" que C(û) n Ca(0). Ensuite nous approchons le domaine û et les coefficients de l’équation (1.9).

B3. Choix d’hypothèses appropriées pour l’obtention de solutions faibles

a) Définitions

Nous considérons le problème de Dirichlet suivant!

(3.1)

i-x

Définition 7. Soient û un domaine borné de Rn, a*, i = l,...,n n fonctions différentiables sur Rn, b une fonction définie continue sur OxRxR" et ♦ e C(û) n Ca(û). On appelle solution classique de

(3.1)

-(3.2), toute fonction u e Ca(û) définie sur û et vérifiant (point par point) (3.1)-(3.2).

En multipliant l’équation différentielle (3.1) par une fonction v e cj(û) et en intégrant sur o (supposé suffisamment régu­

lier) nous obtenons à l’aide du théorème de la divergence

(3.3) dx = 0.

En effet, si on pose

1 : = (ajDu),... ,an(Du))v =: (ai(Du))v,

nous obtenons

div X dx = Q

j 1-n ds = 0.

J dQ

De plus, nous avons

| div î dx - o

[div[(a*(Du))]v dx+ (Ai(Du))-gradv dx. û

Les deux dernières relations donnent

n ï i=l d (ai(Du))v = - j I ai(Du)* — û i=l 1

15.

Définition 8. Soient û un domaine borné de Rn , alt i = l,...,n,

et b des fonctions réelles définies et localement intégrables respec- tiveinent sur Rn et sur ûxRxR" . Soit enfin 4» une fonction dans

Hx(0). On appelle solution faible de (3.1)-(3.2) toute fonction u g Hx(û) qui satisfait à

(3.3) j [ I (ai(Du))~- + b(x,u,Du)v]dx = 0 Vv g cJ(O)

û i=l 1

et

(3.3’) U - <*> G Hi(û).

Remarques

(i) La définition 8 reste valable si v g hJ(O), car ci(0) est den­

se dans Hq(û) pour la topologie de Hx(0).

(ii) La définition 8 de solution faible, généralise la notion de solu­ tion classique de l*équation (3.1). En effet si les coefficients

aA sont différentiables, en appliquant le théorème de Green, on voit que toute fonction u g C2(û), solution de (3.3) au sens de

la définition 8, satisfait aussi à l’équation (3.1) point par point (pour tout x g 0).

(iii) Si u—4> est continue dans un voisinage de Jû, dans la défini­

tion 8 la condition (3.3*) s’exprime comme au sens classique: u = 4> point par point pour tout x g tfû.

Pour notre méthode nous aurons besoin de Théorèmes garan­ tissant l’existence de solutions classiques des problèmes approchés,

J E

(3.1) c E —— (ai(Duc)) = bt(x,uc,Duc) dans ûc, i=l X1

(3.2) e ue = 4» sur 40 c.

b) Existence de solutions classiques de (3.l)e-(3.2)s.

Dans ce paragraphe nous omettons l’indice e pour sim­

plifier l’écriture. Ainsi le problème de (3.1)e-(3.2)c sera remplacé par (3.1)-(3.2). L’existence de solutions classiques de problèmes plus

généraux que (3.1)-(3.2) (avec a* = ai(x,u,Du)) a été démontrée par plusieurs auteurs dont [10], [15], [22] et notamment par Ladyzenskaja et Ural’tseva [19] qui ont obtenu des théorèmes d’existence auxquels nous

allons nous référer; Ainsi nous énonçons plus loin, les hypothèses po­ sées par ces deux auteurs sur les coefficients ai, b et sur la géomé­ trie du domaine û, avec si nécessaire les interprétations de ces hypo­ thèses pour justifier le reste de notre travail.

Dans le but d’obtenir des théorèmes d’existence (et d’u­

nicité locale) Ladyzenskja et Ural’tseva se sont restreints à la clas­ se de problèmes aux limites du type (3.1)-(3.2) ayant des solutions bornées (|u| < M, M < a») et dont les coefficients aj et b vérifi­

ent les hypothèses suivantes: les coefficients a* sont des fonctions définies, différentiables sur Rn et satisfaisant à la condition d’el­ lipticité uniforme:

n

(3.4) 3v,f>0 : v|fP < £ -Si « Mlfl2 . *P = (Pi...P„) e R" l,j=l PJ Vf = (f,... f„) e R".

La fonction b, définie et continue sur ÔxRxRn satisfait à la condi­

17.

(3.5) |b(x,u,p)| + |at(p)|(l+|p|’)*/’ « P(l+lp|’),

pour tout x e fl, |u| < M, et p g Rn.

Comme la démonstration de l’existence de solutions du problème

(3.1)-(3.2) repose sur 1*application du théorème du point fixe de Leray-Shauder,

nous avons besoin d’estimations à priori des solutions de (3.1)-(3.2) dans des espaces C1»^(û) où fi est un nombre positif arbitraire entre

0 et 1. De telles estimations peuvent précisément être obtenues à l’ai­ de de (3.4) et de (3.5), et on a en particulier max |Du| 4 Mi où M,

û

est une constante indépendante de la solution u et qui ne dépend que de M, v, /i, et û.

Comme on l’a déjà mentionnée au début, on considère des solutions bornées sur 0. Pour garantir le caractère borné des solu­ tions, nous imposons la condition

(3.6) 3b!>0, 3b2^0 : b(x,u,0)’U > bjU2-^ V(x,u) e OxIR, grâce à laquelle nous avons la majoration

(3.7) |u| < max := M dans fl

pour toute solution (s’il y en a), où ♦ est bornée sur dû (cf (3.9))). De plus nous exigeons l’hypothèse

(H): la continuité au sens de Hôlder (on dit aussi a-Hôlder continuité) des quantités a4, et b.

Explicitement (pour b, par exemple) cette hypothèse si­ gnifie qu’il existe a > 0 tel que b est continue sur

(3.8) |b||0,a,D î= max |b(x,u,p)| + xeO

|u|«M |P|«M1

max |b(x',u,p)-b(x,u,p)| + Ba? |b(x,u',p)-b(x,u,p)| +

X,X* GÛ |X-X’|a xgO Iu-u'|a

|u|<M |u|,|u‘|<M

max Ib(x.p’)—b(x,u,p)| « cste .

XGÛ |p~p’|a

|u|«M IPlJp’I^Mx

Enfin Ladyzenskaja et Ural’tseva, imposent la condition sur le bord

(3.9) <t> g C2»a(ao) et <?0 g C2«“ .

Pour cette hypothèse, remarquons que la donnée de 4> e C2»a(ao) est équivalente à la donnée de <t> g C2»ot(û) (cf [10], p.94).

Avec les hypothèses précédentes, nous pouvons énoncer le théorème d’existence suivant:

Théorème 3. Sous les hypothèses (3.4)-(3.5)-(3.6)-(3.9) et (H) le pro­ blème (3.1)-(3.2) admet au moins une solution dans C2»a(0).

Ce théorème va nous garantir l’existence des solutions classiques notamment pour nos problèmes approchés (3.1)c-(3.2)c, mais n’offre évidemment aucune garantie pour l’existence de solutions non classiques, u i C2, de (3.1)-(3.2). Pour avoir donc des solutions dans un espace plus général que C2(û), nous allons affaiblir certaines hypothèses mentionnées ci-dessus. Par exemples nous remplaçons les hy­ pothèses (H) et (3.9) par les hypothèses suivantes:

19.

(H)’ Les fonctions aj i = l,...,n sont uniformément continues sur Rn et appartiennent à CX(IF). b est uniformément continue sur QxRxRn.

(3.9) * <*> g C°»«(û) n c2»a(û) avec 0<a<l et 0 est un domaine borné

convexe de Rn.

Avec les hypothèses (3.4)-(3.5)-(3.6)-(3.9)* et (H)’ nous

sommes en mesure de démontrer que le problème (3.1)-(3.2) admet au moins une solution faible u g C°>a(û) n Cx»a(û). Toutefois nous voulons aus­

si que ces solutions satisfassent au Théorème A, ce qui va nous mener à ajouter les hypothèses de ce théorème:

(3.10) (x,u,p) >0, Vx g û, Vu g R, Vp g R",

»U

et

(3.11) b(Xx+(l-X)y,Xu+(l-X)v,p) > Xb(x,u,p) + (1-X)b(y,v,p) Vx, y g û, Vu,v g R, vx e [0,1] et Vp g Rn.

Pour garantir le caractère unique de la solution, nous ajoutons aussi

la condition supplémentaire,

(3.12) b g C1(ûxRxRn)a

Nous allons montrer que sous les hypothèses (3.4)-(3.5)- (3.6)-(3.9)' (H)’, (3.10), (3.11) et (3.12) le problème (3.1)-(3.2) ad­ met une solution faible unique u g C°»<x(û) n C1»ct(û) qui satisfait

à la propriété de Korevaar sur û.

Tout d’abord, nous allons établir les résultats sus-men­

tionnés pour les problèmes approchés (au S5), que nous nous proposons de construire du §4.

54. Construction de problèmes réguliers par approximation des coef­ ficients et du domine

Pour construire (3.l)£-(3.2)£, nous allons faire une ap­

proximation de 0, a* et b. 1) Approximation de û

Définition 9. Soit o un domaine borné de Rn; On dit que la famil­ le (°e)e>0 est une exhaustion de û, si elle satisfait aux trois pro­

priétés suivantes:

a) fl£ CC Û (i.e. Ûc C 0 et b) 0£^ CC ()c^ si £ 2 _{< «Il}

c) u nc = o.

E

Proposition 1. Soit û un domaine borné convexe de Rn. Il existe une exhaution (û£)£ de û, telle que û£ est convexe, de classe C<°, et satisfaisant à l’inégalité

(4.1) £ < d(ao£,an) ,

où d est la distance de Hausdorff.

Démonstration. On sait qu’il existe une exhaustion (0®»)®* de û telle que 0£» est un domaine convexe de classe Cœ (cf par exem­ ple [18]). Pour satisfaire aussi à (4.1), procédons à une réindexation de (Ûe’)e’ en posant e : = — d(aû£»,«û). Grâce à la propriété b) de

la définition 9, nous pouvons associer à tout e le domaine û£ • ; Nous pouvons donc changer l’indexation en désignant par 0£ le domaine 0£f. Avec cette nouvelle indexation nous avons

21.

d(*û£1aû)

« := —f2—L < d(«ûe,dû).

2) Approximation des coefficients

Pour a| et b l’approximation est faite conformément

aux deux propositions suivantes:

Proposition 2. Soit a^ e C(Rn) alors il existe une suite (ai)r c Cw(Rn)

qui converge localement et uniformément vers aA dans C(Rn).

Démonstration. Soit (•e(x))c une suite régularisante dans Rn

(cf Déf. 3). Posons

aj(x) := I a1(x-y)«E(y) dy. Rn

Grâce à la propriété (iii) du produit de convolution (cf §2), nous avons aj e Cœ(Rn), car ®c e cS(R")« D’autre part avec Supp ®e c B(0,e) nous

pouvons écrire,

a*(x) = f ai(x-y)®c(y) dy =: f ai(x-y)ec(y) dy. <ydRn:|y|«e} |y|<*

Soit > 0 fixé. Evaluons Iai(x)-aj(x)| pour x g Rn et e <

®o-On a

|ai(x)-ai(x)| = I (a1(x-y)-a1(x))®F(y) dy ’ |yl^

« Sup |a1(x-y)-ai(x) |-f ®c(y) dy = Sup |aj(x-y)-ai(x)|.

|y|^e |y|«r |y|«c

Sup |ai(x)-ai(x)| < Sup |a1(z)-a1(z')| < Sup |ai(z)-af(z*)|

xeK z,z'gKb z,z'gKe

|z-z‘|<e |z-z’|

où Kc := K+Supp ®e et Kt : = K+Supp ®c sont les voisinages de K

o °

d’ordre respectifs e et ®0. Puisque a£ est continue dans Rn, ai est uniformément continue dans Kc , donc le terme à droite de la

o

dernière inégalité tend vers zéro avec e, et par conséquent

Sup |ai(x)-ai(x)| tend aussi vers zéro avec c. Ceci la convergence XgKj;

uniforme ai vers ai sur K.

Nous formulons encore une proposition semblable à la pré­ cédente pour l’approximation de b:

Proposition 3. Soit b e C(ûxRxR"). Il existe une suite (bt)c c Cœ(ûxRxRn), convergeant uniformément vers b sur tout compact de ûxRxpn.

Une démonstration analogue à celle de la proposition 2 peut être faite en prolongeant b à b, fonction définie continue sur RnxRxR" et en choisissant comme fonction d’approximation de b

bc(x,u,p) : = ] b(x-x*,u-u‘,p-p’)ec(x*,u',p‘)d(x*,u‘,p*) , R"xRxRn

où (®e(x‘,u‘,p’))e est une suite régularisante dans RnxRxR".

Avec ces approximations, nous introduisons les problèmes "réguliers" suivants:

23.

(3.2)*

£

I (ai(Duc)) = bc(x,ue,Duc) dans ûc ,

1=1 1

sur aût.

85. Existence de solutions de classe Ca et vérification des hypo­ thèses de Korevaar pour les problèmes approchés

(a) Existence.

La question de 1*existence de solutions classiques

ue e C3»a(ûc) du problème de Dirichlet (3.1)c-(3.2)c se réduit à vé­ rifier les hypothèses du Théorème 3:

(i) Vérification de la condition d*ellipticité uniforme (3.4) Par définition, on a

a®(p) := I a1(p-q)ec(q) dq. R"

Du fait que a£ g C*(Rn) nous avons en utilisant la dérivation sous

le signe somme et la commutativité du produit de convolution,

(5.1)

La multiplication de (3.4) par ®e(p~q) * 0 nous donne,

(5.2) ®c(p-q) < E “t1 (q)fi fj i,j=l PJ

•E(p-q) < mKI2 ®c(p-q) (3.1)*

uc = 0

(5.3) v|f|’ « î (P)-G fj « MlfP , i, J PJ

ce qui démontre l’ellipticité uniforme de (3.1)c.

(ii) Vérification de l’hypothèse (3.5)

Soit x e 0e, soit |u| < M et soit p e Rn. Nous avons en tenant compte de (4.1)

|bc(x,u,p)| « I |b(x-y,u-v,p-q)| «£(y,v,q)d(y,v,q), I(y>v,q)|«e

où (®e)£ est une suite régularisante dans RnxRxR". Ainsi nous avons,

(5.4) |bc(x,u,p)| « Sup |b(x-y,u-v,p-q)|• | ec(y,v,q)d(y,v,q) .

I(y»v,q)|«£ |y»v,q)|«E

La fonction (y,v»q) •—► b(x-y,u-v,p-q) est continue sur la boule fermée B((0,0,0),e), elle atteint donc son maximum en un point

(yE»vc,qc), ce qui nous donne,

(5.5) |be(x,u,p)| * |b(x-yc,u-vc,p-qc)|.

Or puisque b est uniformément continue sur ÔxRxR" (c’est l’hypo-thèse (H*)) nous pouvons écrire

(5.6) |b(x-yc,u-vc,p-q£) - b(x,u,p)| = C(c)

où C(e) est une fonction qui tend vers zéro avec e. Donc à partir d’un certain rang e0 nous avons

25.

A l’aide de (5.5),(5.6), (5.7) et de (3.5) nous obtenons

(5.8) |bE(x,u,p)| < |b(x,u,p)| + c/2 ,

pour e suffisamment petit.

£

Une démarche semblable pour les coefficients aj nous per­

met d’écrire l’inégalité

(5.9) |ai(p)l(l+|pl’)‘/’ « |a£(p)|(l+|p|I),/2 (I+IpI2)'7’ .

Additionnant les inégalités (5.8), (5.9) et utilisant l’inégalité (3.5),

nous obtenons

(5.10) |b£(x,u,p)| + |a£(p)|(l+|p|’)*/j « p(l+|p|’),/2 + f + f d+IPl2)"/2

« (M+c)(l+|p|2) - M’(l+|p|2),

où m* est une constante qui ne dépend pas de £ pour £ suffisam­

ment petit. (5.10) correspond à l’inégalité (3.5) pour les coefficients

approchés.

Il reste encore à remplacer les constantes p et p* apparaissant dans (5.3) et (5.10) par la constante p' :=• max(M»M*) qu’on notera p pour simplifier.

(iii) Vérification de l’hypothèse (3.6)

Soient maintenant (0t)e>o un© exhaustion décrite par la proposition 1 et (®e)e>o 11116 suite régularisante dans RnxRxR".

Vérifions l’hypothèse (3.6) pour br sur ûcxRxRn en nous restreignant à l’hypothèse modifiée

(3*6)‘ b(x,u,O)u > bxu2-b2 , bi > 0 et b2 > 0,

où le cas d’égalité est exclu.

A cause de (4.1) pour tout (x,u) e ûcxR, nous avons b(x-y,u-v,-q) = b(x-y,u-v,-q) pour l(y,v,q)| < e et par conséquent

nous pouvons écrire,

bc(x,u,0)u = I b(x-y,u-v,-q)u et(y,v,q)d(y,v,q) . I(u,v,q)|«e

De plus, la fonction h : (y,v,q) I—♦ b(x-y,u-v,-q)u-biU2+ba est conti­

nue et est positive au point (0,0,0); Par conséquent, il existe une boule B(b0) centrée à l’origine (0,0,0) et de rayon bo telle que

h(y»v»q) > 0 pour tout (y,v,q) e B(bo). Pour b « bo nous avons

alors,

(5.12) | b(x-y,u-v,-q)u «£(y,v,q)d(y,v,q) > ( (bxu2-b2)eE(y,v,q)d(y,v,q)

l(y»v,q)HE l(y,v,q)|«B

= bxu2—b2,

d’où il résulte que pour x e ûc et u e R

(5.13) bc(x,u,0)u > bxu2-b2 avec b < eo.

C’est à dire l’inégalité (3.6) est satisfaite pour bc. Remarquons que (5.13) permet de borner les solutions de (3.1)c-(3.2)£ indépendamment de

e» ® < Bo:

Iuc| < max max ,aûc

< max max |<t»|, . ô

27.

(iv) Vérification de 1*hypothèse (H)

£ ~

a4 et bt étant de classe C®, et û x {u e R| |u|$ M} x (p g Rn | |p| Mx} étant un convexe de R2n+1, alors l’hypothèse (H) pour

r

aA et bc est satisfaite grâce au Théorème 1 du Chapitre I.

(v) Vérification de l’hypothèse (3.9)

ûc est convexe et <*> g CI2»a(ûc) grâce à l’hypothèse

I 77“ al (Duc)(uc)>u i,j=l Fj

(3.9). De plus soc e C2»a par construction (proposition 1).

E

Nous avons donc montré que aif bc, <*> et 0c vérifient les conditions du Théorème 3, ce qui nous amène à formuler la proposi­ tion suivante:

Proposition 4. Le problème (3.1)c-(3.2)c admet au moins une solution classique ue g C2»a(Ûc).

Pour simplier, écrivons Cc pour la fonction de conca­ vité asssociée à la solution ue du problème (3.l)c-(3.2)c. Montrons que si Cc atteint son maximum positif sur flcxOcx[0,l], alors ce maxi­ mum est atteint sur le bord. Dans ce but vérifions les hypothèses de Korevaar (Théorème A):

(b) Vérification des hypothèses de Korevaar pour les équations (3.1)e £

Puisque a4 est différentiable et u£ est de classe c2, l’équation (3.1)c peut s’écrire sans la forme (1.2):

et cette équation est uniformément elliptique grâce à l’inégalité (5.3). (vi) Vérification de l’hypothèse (1.3)

En vertu de (4.1), nous pouvons écrire bc sous la forme,

(5.14) bc(x,u,p) = I b(x-y,u-v,p-q)«c(y,v,q)d(y,v,q), I(y»v,q)

avec x g ûc, u e R et p e Rn.

En dérivant (5.14) par rapport à u, nous obtenons

(5.15) (x,u,p) =| ~ (x-y,u-v,p~q)ec(y,v,q)d(y,v,q), l(y»v,q)|«E

pour tout x g ûc, u g R et p e Rn.

Posons u : = u-v. Nous avons en vertu de l’hypothèse (3.10)

(5.16) £b

iU (x-y,u-v,p-q) àb

dtû (x-y,«,p-q)•

A l’aide de (5.15), (5.16), et du fait que ®e(y,v,q) » 0, nous obte­

nons 1’inégali té

(5.17) (x,u,p) * 0 Vx g ûc, Vu e R et Vp e Rn.

(vii) Vérification de l’hypothèse (1.4)

Comme précédemment, nous avons en tenant compte de (4.1) bc(Xx+(l-X)x*,Xu+(l-X)u*,p)

= J b(Xx+(l-X)x’-y,Xu+(l-X)u’-v,p-q)ec(y,v,q)d(y,v,q) I (y.v.ql^

= f b(X(x-y)+(l-X)(x'-y),X(u-v)+(l-X)(u’-v),p-q)ec(y,v,q)d(y,v,q) . I(y»v,q)

29.

Faisons usage de l’hypothèse (3.11), sans oublier que 6C * 0, nous obtenons

bc(Xx+(l-X)x’, Xu+(1-X)u',p) >

[Xb(x-y,u-v,p-q) + (l-X)b(x’-y,u'-v,p-q)]6c(y,v,q)d(y,v,q) I(y»v,q)|<e

= X bc(x,u,p) + (1-X)bc(x*,u*,p) .

Ainsi toutes les hypothèses du théorème A sont vérifiées pour l’équa­ tion (3.1)c, ce qui nous amène à formuler la proposition suivante:

Proposition 5. Le problème de Dirichlet

(3.1) Ê (3.2) e

ï

admet une solution uc e C2»a(ûc), dont la fonction de concavité Ce atteint son maximum positif (s’il existe) sur le bord.

PASSAGES A LA LIMITE

Dans le chapitre précédent nous avons montré que les problèmes (3.1)c-(3.2)e ont des solutions uc e C2«ot(0t;)l qui sa­ tisfont à la propriété de Korevaar sur ûc, c’est à dire que les fonc­ tions de concavité Cc atteignent leurs maximums positifs (s’ils exis­ tent) sur les bords de ûcxoc(0,l). Dans ce chapitre, nous allons montrer en premier lieu (§6) que la suite construite (uc)e>0 converge vers une so­ lution faible u g C°»a(Ô) n C1»<x(0) du problème (3.1)-(3.2). Ensuite (§7)

nous montrons que les Cc convergent simplement vers Cu et que u satisfait à la propriété de Korevaar sur û.

66. Passage à la limite pour les solutions des équations approchées

(i) Estimations à priori de Uc

Les solutions uc g C2>ot(0e) de (3.l)c-(3.2)e vérifient

31.

(6.1) |uc|o(Otjûc < C,

où C est une constante indépendante de e,

(6.2) |uc|i,«,û’ < C(O'),

où C(O’) est une constante qui dépend de la distance de û’ccn à £0

mais qui ne dépend pas de e.

Ces deux estimations sont une conséquence directe de la théorie standard des équations quasilinéaires elliptique (cf [19] les

théorèmes des §§1-6, ch.IV, notamment voir pages 284-285). Dans [19] ces deux estimations ont été établies avec la condition, que le bord de û vérifie la condition (A), et cette condition est satisfaite dans notre cas puisque □ est convexe. De ces deux estimations et en vertu du théorème d’Arzéla, nous pouvons extraire une sous-suite de uc qui con­ verge uniformément vers une fonction u e C°»a(Q) C1*ot(û).

(ii) Montrons que u est solution faible de (3.1)

Soit v e Cq(O) et K := Supp v. D’après la proposi­

tion 1 nous avons à partir d’un certain rang e0 >0, K c oc pour e « eo

âv

aVeC := ^1

c-a-d. v e C0(û£) pour nous calculons

E^E0_{. Pour montrer que u est solution faible,}

( n J [ I

a|(Du)v * + b(x,u,Du)v] dx ’ o i=l

n

= Lim f [ E a4(Du)v i + b(x,u,Du)v] dx

e-*0 «E i=l

( n

= Lim [ E aj(Dut)v i + bc(x,uc,Duc)v] dx = 0,

e-*0 0£ i=l

faible de (3.1)c. Justifions l’avant dernière-égalité en évaluant

la différence des termes: Nous avons, 4- bc(x,uc,Duc)v] dx < f ï I ai(Du)-a'(Du£) K i=l |vjJL| dx + I |b(x,u,Du)-bc(x,uc,Duc)| |v| dx . K

Montrons que chacune des deux intégrales précédentes convergent vers zéro avec e. Nous effectuons les détails seulement pour la première

ingérale, l’autre passage à la limite (pour la seconde intégrale) se

laisse étudier de la même façon. De l’estimation (6.2) nous déduisons 1 * inégalité

(6.3) luEli,a,k C(K).

Donc Duc(x) g (-C(K),C(K)]n =: K', et nous avons

|ai(Duc)-ai(Du)| « |a*(Duc)-ai(Duc)| + |a£(DueJ-ai(Du)|

« Sup I(p)-a^(p)| + Sup |aj(Duc)-ai(Du)| =: (I)+(II)

peK’ xgK

£

(I) tend vers zéro avec e, car aj converge uniformément vers a4 sur K* en vertu de la proposition 2. (II) tend vers zéro avec e à

cause de la continuité uniforme de af. Ainsi,

, n n

î JatCDuJ-aiCDue) | |v ,|dx « ï Sup |ai(Du)-aJ(Du.)(x)|I |v Jdx —> 0,

K i=l i=l xeK K ’ c °

(iii) Montrons que u = » sur *0

Pour la démonstration de (iii), nous allons avoir re­ cours à quelques résultats intermédiaires que nous énonçons sous forme de propositions et que nous démontrons immédiatement après.

Comme û est convexe, il existe une boule Bp de rayon

P qui n’a qu’un seul point xo en commun avec û (xo quelconque sur eû). Choisissons le centre de Bp comme origine d’un système de coor­ données .

Proposition 6. Il existe X > 0 tel que

(6.4) Ic(x) := E ®ij(Duc)[|x| X-p x],ij > d“x“a Vx e n, i» j=l

avec aij(Duc) := a® (Duc) , d := diam û(p), Q(py. - u Bp(x). xeû

Démonstration. Le calcul explicite de Ie(x) nous donne,

I«(x) = X|x|~x a ï aij(DuB) [(X+2) 1 > x|xrx~2[(X+2)v-np]

i,j=l |x|

En choisissant X suffisammment grand pour que X[(X+2)v-dm] 1, on

obtient

/^i à

I£(x) > |x|“x“a > d~x_2 Vx e û, avec |x| := / E xk .

J k=l n

Proposition 7. Posons J£(x) := £ ajj(Du£(x))(v£(x))tij avec v£(x) := i» J=1

-l+e7U®. Alors il existe y > 0, tel que

(6.5) J£(x) > -Cj Vx e flc,

où Ci > 0 est indépendant de e.

Démonstration. Le calcul explicite de J£(x) nous donne

n

Je = t(v£+1)(b£(x,u£,Du£) + t E aij(Du£)(u£)>i(u£)|j]. i, j=l

A l’aide des inégalités (5.3) et (5.10), nous obtenons

Je > 7(vc+l)[-m(1+|Du£|a) + yv|Duc|2].

En choisissant y £ , nous obtenons l’inégalité

Je * “ (vc+l).

or v£ est borné indépendemment de e (comme u£), d’où l’inégali­

té (6.5).

Proposition 8. Soit "(x) := l-e7*^*0^ - ij + Ca(|x|-x-p~x) où y est

la constante introduite dans la propostion 7, où 17 est une constante

suffisamment petite et où Ca est un paramètre. Posons w£ := v£+w où v£ est la fonction définie dans la proposition 7. On peut alors donner

35.

au paramètre C3 une valeur positive indépendante de e , de telle sorte que

n

(6.6) ï aij(Due)(oc) ij > 0 dans flc, i»j=l

(6.7) ü£ « 0 sur sq£.

Démonstration. Nous avons d’après (6.4) et (6.5)

n

I aij(Du£)(«e) = JB + C2IB > - Cx+C2 d"x“2 . i, j=l

Pour obtenir (6.6), il suffit de choisir C2 de telle sort que

(6.8) Ca > Cidx+a.

Il reste à satisfaire (6.7). Pour cela nous calculons Qe sur dûc, ce qui donne

we(x) = (-l+e7**^*) ) - ) -n+C2(|x|~x-p“x).

we(x) est définie dans ûc, elle coïncide sur 5Qe avec la fonction

f(x) := (-l+e74^*)) - (-l+e7^*0)) -n+Ca( |xrx-p”x) ,

elle—même définie dans fl. Donc pour réaliser l’inégalité we 4 0 sur *flc,il suffit de choisir une valeur adéquate de C2 de sorte que f 4 0 dans û. Pour cela, nous avons besoin du 1 suivant:

Lemme 2. Soit une constante positive (choisie assez petite). Il

existe une constante C2 > 0 telle que

pour tout x g û.

Démonstration. La continuité de 4> en x0 nous permet de conclure qu’il existe une boule Br(x0) de centre xo et de rayon r telle que

(6.10) - er'>(x<,) < >1 Vx e Br(xo).

De cette inégalité et du fait que Ca(|x|-X~p-X) < 0 (pour tout x e 0 et

tout Ca > 0) nous obtenons l’inégalité (6.9) sur Br(x0) n Q. Par un choix

convenable de Ca, nous allons étendre cette inégalité à 0\Br(xo): soi Ko un majorant de - e^(<*>(xo) BUr Q\Br(xo) et soit

m0 := min «x-|xrx) xeO-Br(xo)

m0 est positif car la fonction x g o\Br(x0) I--- *(p~x~Ix|“x) est

continue et positive (le seul point où elle pourrait admettre un mini- mun nul est le point x0 à û\Br(x0)). Comme R est Archimedien, on

.ve (indépendante de e) de telle

+ Ca Bq •

rj + Cam0 < rj + Ca(p“x-|x|“x),

l’inégalité (6.9). peut choisir une constante Ca

sorte que (6.11) Ko < V Nous avons pour tout par conséquent JT^x) n7^(xo) e — e < Ko <

x e 0\Br(xo), ce qui donne

57.

pour tout x e û, et nous avons

f(x) = wc(x) « 0 sur «ûc,

ce qui établit l’inégalité (6.7). Pour réaliser simultamément les iné­ galités (6.8) et (6.11), il suffit de choisir C2 conformément à l’iné­

galité

(6.12) C2 > Max (c. dx+i,

ce qui achève la démonstration de la proposition 8.

En appliquant le principe du maximum [25] aux solutions classiques &>e du problème (6.6)-(6.7), nous voyons que

wc 0 dans QCJ

ce qui entraîne l’inégalité

eTUc(x) _ e7*(xo)

< y + Ca(p x-|x| x).

Pour |x-xo| suffisamment petit, l’inégalité précédente implique l’inégalité

(6.13) _{ue(x) - 0(xo) 0.}

Pour majorer |uc(x)—4*(x<>) |, nous devons encore construire une inéga­ lité du type suivant:

(6.14) _{"(ue(x) - <f(x0)) « 0.}

d’établir (6.13). Cette fois nous posons

vc(x) := -1 -e ru®^x\

et nous choisissons w de sorte que la fonction wc(x) := ve+w satis­ fasse au système différentiel

n

ï aij(Duc)(ôc)>ij < 0 dans ûE, i» j=l

wE » 0 sur àQc.

Les inégalités (6.13),(6.14) impliquent l’inégalité

(6.15) |uc(x) - 0(xo) | 4 max( |<5♦ (tj) |, |6”(t|) | ) =: d(*n) 0 .

Nous sommes maintenant équipés pour démontrer (iii): u = sur dû.

Soit x0 un point quelconque sur dû, l’inégalité du triangle nous permet d’écrire

(6.16) |u(x)—0(xo)| * |u(x)-ue(x)| + |uc(x)-0(xo)|.

Le premier terme à droite tend vers zéro à cause de la convergence

simple de uE vers u et le second terme tend vers zéro quand x -» xo en vertu de l’inégalité (6.15).

(iv) Unicité de la solution pour (3.1)R-(3.2)c

L’unicité de la solution est due au principe de compa­ raison suivant (cf (10), p.268):

39.

IM)

:=

J

Théorème 4. Considérons,

n

[ ï SiCDu)^^ + b(x,u,Du)f] dx, f e cJ(O). û i=l

Soient u,v e C(û) n C’Co) satisfaisant aux inégalités I(u,f) « 0 et I(v,f) < 0 pour tout f e cj(û). Supposons que a4 e C1(Rn) et

b g Cx(ûxRxR") satisfont aux inégalités

1 (P) flfj * V|<|2 ’ v y °' * := ((••••••fn) e R" i,j=l J

et

7“ (x,u,p) * 0 v(x,p) e ûxRn.

Alors si u 4 v sur àû, on a u < v dans o.

Pour les coefficients de (3.1)-(3.2), toutes les hypo­ thèses du principe de comparaison sont satisfaites. De plus si nous supposons l’existence de deux solutions faibles de (3.1)-(3.2)

u,v e C(Q) n Cl(0), nous avons les égalités suivantes

I(u,f) = I(v,f) =0 v* e ci(0), et

u = v sur SQ.

Donc d’après le principe de comparaison précédent nous avons u = v dans 0.

87. Passage à la liai te pour les fonctions de concavité des u*

Par un passage à la limite nous allons montrer le résul­ tat suivant

Proposition 9. La solution u e C°»a(Ô) n C1>“(0) de (3.1)-(3.2)

admet une fonction de concavité Cu dont le maximum positif (s’il exis­ te) est sur le bord de Gxnx(0,l).

Démonstration. Il suffit de vérifier que Cu admet son maximum posi­ tif sur le bord de tout sous-domaine convexe û*xq'x(0,1) de OxOx[0,l]

et bien sûr la conclusion de la proposition 9 sera due à l’arbitraire de

G*. Nous allons effectuer ce programme en trois étapes a), b) et c). Supposons que Cu admet une valeur positive en X e G ’G ’ x [0,1] :

a) Il existe alors un rang e0 tel que CU£(X) := C£(X) > 0 pour tout

e « eo. En effet, de la convergence simple de uc vers u dans G, nous

en concluons la convergence de la suite Cc(X) vers CU(X). Donc

3e, > 0 | Ve « e,, |Ct(X)-Cu(X)| < .

D’autre part en vertu de la proposition 1 nous avons

3e2 >0 | G’ c Qe Ve « e2.

Posons c0 = inf(Ei,«a). Ainsi nous obtenons

C£(X) = (Ct(X)-Cu(X)) + CU(X) > - Sulïl + CU(X) > 0

41.

Donc, Cc prend une valeur positive en X sur û’xfl*x[0,l] pour tout

E « Eo.

b) Il existe une suite <X£}t«£o c *(û'xo•x(0,1)) telle que

(7.1) Cc(X£) > 0 ,

(7.2) Cc(Xc) » C£(X) VX e Ô’xô’x[O,l].

Avant de justifier (7.1) et (7.2), remarquons que, si

dans le Théorème A, une fonction v satisfait à la propriété de Korevaar sur fl, alors la restriction de v sur tout sous-domaine convexe 0* c fl satisfait aussi à cette propriété sur 0’. Or d’après la proposition 5) et a ) ci-dessus, u£ satisfait à la propriété de Korevaar sur 0c et par

conséquent en tenant compte de la remarque ci-dessus, ut satisfait à cette même propriété sur fl’ car fl’ c flE pour e eo. Autrement dit

il existe une suite <XC}£ c d(fl’xn*x(0,1)) qui satisfait à (7.1) et à

(7.2) .

c) Il existe un point X e a(û’xfl*x(0,1)) tel que

(7.3) CU(X) > 0 ,

(7.4) CU(X) » CU(X) VX g û’xn*x[0,l].

En effet, a(û'xfl’x(0Jl)) est un compact qui contient la suite <X£}£. On peut donc extraire de cette suite, une sous-suite (notée de la même façon) <XC}£ qui converge vers X g a(û*xû•x(0,1)).

Montrons que

(7.5) Lim Ce(Xc) = CU(X).

Posons I£ := |C£(X£) - CU(X)|, nous avons

Ic < |C£(X£) - CU(X£)| + |CU(X£)-CU(X)|

« _ Sup |C£(X)-CU(X)| + |Cu(Xc)-Cu(X)I. xeO*xfl‘x[0,1]

Si on considère le côté droit de cette dernière inégalité, son premier

terme tend vers zéro avec e à cause de la convergence uniforme de C£ vers Cu sur û*xû*x[0,l] et le second terme tend vers zéro avec e

à cause de la continuité de Cu en X. Donc I£ » 0, ce qui établit

E->O

(7.5)

. Etablissons (7.3) et (7.4): Par passage à la limite dans (7.1) et (7.2), et compte tenu de (7.5), nous obtenons

(7.3) ’ CU(X) » 0,

et

(7.4) CU(X) » XU(X) VX e û'xn'x[0,l].

L’inégalité (7.3)* est en fait une inégalité stricte, car d’après

(7.4) , nous avons en particulier pour X: CU(X) > CU(X) > 0, ce qui établit (7.3). Nous avons ainsi achevé la démonstration de la propo­

sition 9.

Pour résumer l’étude que nous avons effectuée, nous pou­ vons affirmer que le problème (3.1)-(3.2) admet une solution faible unique u e C°*a(0) n C1»ot(0) qui satisfait à la propriété de Korevaar

sur 0.

Nous résumons l’étude précédente sous la forme du théo­

43.

Théorème B. On considère le problème de Dirichlet

(1.9)

n d

ï -— [ai(Du)] = b(x,u,Du) dans û, i=l ,x‘

(1.10) u = 4> sur dû,

avec les hypothèses suivantes:

(i) 0 est un domaine borné convexe et <t> e C°»a(û) n c2»a(û).

(ii) Les fonctions a*, i = l,...,n sont uniformément continues

sur Rn, appartiennent à C1 (F* ) et satisfont à la condition d’ellipticité uniforme:

3v,p > 0 : Vp (Pi,...,pn) e Rn, Vf = e Rn

1,1(13

*.

L,

% (p) (1(J *p|(|3 •

i

» J-l

(iii) b est uniformément continue sur ûxRxRn et appartient à

C^ûxRxR"). De plus cette fonction satisfait aux conditions a) 3bj > 0, b3 » 0, tels que,

b(x,u,0)u>b1u2-ba, Vx e û, Vu e R.

P)

y) b(Xx+(l-X)y,Xu+(l-X)v,p) > Xb(x,u,p)+(1-X)b(y,v,p), pour tout x,y g û, (u,v) g R2, p g Rn et X e [0,1].

(iv) aA et b satisfont à l’inégalité

pour tout x g û et |u| < max «ax |*t*|,

dû

J bl

et p g Rn.

Alors il existe u g C°»ot(û) n cx»<x(û), une solution faible unique du

problème (1.9)-(1.10) qui possède la propriété de Korevaar sur û.

Remarque. A la différence du Théorème A, le Théorème B est un théo­ rème d*existence qui assure aussi la propriété de Korevaar pour des so­ lutions faibles.

Théorème B i. Le Théorème B est valable, si on supprime la condition (iii)-a) et si on remplace (iii)-£) par,

~ (x,u,p) > 0 et b(x,0,p) = 0

pour tout x g û et u,p arbitraires.

En effet, pour borner 1*ensemble des solutions de l’équa­ tion du Théorème B, on a exigé la condition (iii)-a). Mais cette con­ dition peut être remplacée par l’hypothèse (cf [19])

signu-b(x,u,p) >0 Vx g û, v(u,p) g Rn+x.

db

Or cette condition est réalisable si - (x,u,p) > 0 et b(x,0,p) = 0. «U

Avec cette nouvelle hypothèse, nous pouvons recommencer la démonstra­ tion du Théorème B, sauf au niveau de l’approximation, où nous aurons besoin de l’inégalité

45.

que nous pouvons justifier de la façon suivante:

Si u > 0, nous avons b(x,u,p) > 0 car — (x,u,p) > 0 et b(x,0,p) = 0«b Par continuité en u de la fonction b(x,u,p), nous avons

Ve > 0 Vv g R: |v| < e b(x,U-V,p) > 0, V(x,p) G OXR"

d’où nous déduisons, que pour tout x g ûE et p g Rn

bE(x,u,p) = I b(x-y,u-v,p-q)ec(y,v,q)d(y,v,q) > 0, I(y,v,q)|«e

car sinon ec = 0 sur <(y,v,q) | |(y,v,q)| e } ce qui est impossi­

ble. La même démonstration peut être faite pour u < 0.

Une autre variante du Théorème B peut être obtenue:

Théorème Ba. Le Théorème B reste valable si la condition (iii)-a) est remplacée par l’hypothèse.

signu-b(x,u,p) < C^e

pour tout x g û et (u,p) e RxRn.

En effet, pour l’existence, l’inégalité précédente peut remplacer (iii)-a) (cf [19]) et pour la démonstration de ce théorème, on peut recommencer la même que celle du Théorème B, sauf au niveau de l’approximation où l’inégalité précédente subsiste pour les fonctions

approchées b E :

signu-bE(x,u,p) 4 Cte,

EXEMPLES ET APPLICATIONS

Ce chapitre est partagé en deux parties. Dans la pre­ mière partie nous examinons quelques problèmes particuliers pour les­ quels le Théorème B s’applique. Dans la seconde partie nous établis­

sons des conditions suffisantes, sous forme de deux lemmes 3 et 4, pour que Cu ne prenne aucune valeur positive sur a(ûxox(O,1)). Si l’un ou l’autre de ces deux lemmes s’appliquent de même que le Théorème B (ou

l’une ses variantes), nous sommes en mesure de conclure que la fonction u(x) est convexe.

88. Quelques cas particuliers pour lesquels le Théorème B s’applique 1. Soit 0 un domaine borné convexe de Rn. Nous considérons le cas de l’équation différentielle uniformément elliptique linéaire à coeffi­

cients constants.

n n

(8.1) E a1lu>1j(x) + E b1uji(x) + Cu(x) = f(x) dans 0,

i,j=l 1=1

47.

avec C<0 où f e C(0) n Cx(û) est une fonction concave sur 0 et avec <t> e C°»«(û) n Ca>a(Q). Cette équation différentielle est de la forme

(1.9)

, avec les fonctions n

&i(p) : = £ a1JPj e Cx(Rn), P := (Pi,...,Pn) *

qui sont uniformément continues sur Rn et n

b(x,u,p) := f(x) - £ b*Pi - Cu e C(ÔxRxRn) n Cx(oxRxRn), i=l

qui est uniformément continue sur OxRxRn.

Vérifions que les hypothèses (iii) sont satisfaites:

Pour l’hypothèse (iii)-a), considérons Mf := max|f(x)| , alors nous û

avons

(8.3) 3bx > 0, b2 > 0 | Mf + 4b2(bx+C) < 0 .

En effet, choisissons tout d’abord bx tel que 0<bx<-C, ensuite b2 tel que b >- ~Mf - - b2> 4(bx+C) Nous obtenons alors l’inégalité (8.3).

Soit le polynôme du second degré en u

P(u) := (bx+C)ua - f(x)u-b2.

En vertu de (8.3) le discriminant de P(u) est négatif:

fa(x) + 4b2(bx+C) « Mf+4b2(bx+C) <0 VX e Q,

donc le polynôme P(u) a le signe de (bx+C), c’est à dire négatif, d’où l’inégalité,

b(x,u,0)u := f(x)u-Cua > bxua-b2.

par hypothèse.

Vérifions l’hypothèse (iii)-y):

Soient X g [0,1], (x,y) g ûxû, P = P(pj,...,pn) g Rn et X e [0,1]. Nous avons b(Xx+(l-X)y,Xu+(l-X)v,P) n : = f(Xx+(l-X)y) - £ - C(Xu+(l-X)v) i=l n > Xf(x) + (l-X)f(y) - £ b1?! - C(Xu+(l-X)v) i-1

= x[f(x) - £ b1Pi - Cu] + (l-x) [f(y) - £ b1?! - Cv]

i=l i=l

= Xb(x,u,P) + (l-X)b(y,v,P).

L’inégalité précédente est due au fait que f est concave sur û.

L’hypothèse (iv) est aisément vérifiée car b(x,u,p) est bornée relativement à ses arguments x et u. Ainsi toutes les hypo­ thèses du Théorème B sont satisfaites, par conséquent il existe une so­

lution faible unique u 6C°»a(fl) n Cl»a(û) qui satisfait à la propriété de Korevaar sur û.

Remarquons qu’avec la technique que nous avons utilisée, le résultat ci-dessus peut être retrouvé en affaiblissant les hypothèses sur f:f g L“(û) est concave sur û, et en faisant plus de restrictions

sur la géométrie du domaine û : û est de classe C1’0. Ainsi nous avons obtenu le résultat suivant (cf [11]):

Théorème B,. Soit u g C1»®(ô) une solution faible de l’équation dif­

49.

n n

(8.1) £ a1^u>1J(x) + I bhi^Cx) + Cu(x) = f(x) dans Q,

i,j=l i=l

où n est un domaine borné convexe de classe C1»®, et où les coeffi­ cients vérifient les hypothèses suivantes:

n

(i) 3v,^ > 0: v|d2 « ï < Mlfla eR", i»J=l

(ii) C « 0,

(iii) f e Lœ(û) est concave sur fl.

Alors u satisfait à la propriété de Korevaar sur û.

2. Considérons maintenant le cas de l’équation différentielle non

linéaire suivante:

(8.4) Au = f(u) + bjU dans û,

(8.5) u = 0 sur aû,

où bj est une constante positive, où f:R —♦ R est une fonction

concave uniformément continue sur R, strictement croissante et telle que f(0) =0, û est un convexe borné de Rn et <t> e C°»a(û) n Ca>®(fl).

L’équation (8.4) est de la forme (1.9) avec a^(p) := p^ et b(x,u,p) := f(u)+bxu. Nous vérifions aisément que les hypothèses du Théorème B sont satisfaites, notamment

iii)-a) b(x,u,0)u = f(u)-u+bxu2 > bjU2 > bju’-bj Vb2 > 0.

De plus, avec M := max |u(x)|, nous avons Q

(8.6) bjul < bxM « b1M(l+|p|a) Vp e R",

Avec IPiI < |p| < (1+|p|2)1/2 Vp g Rn , nous avons

(8.8) IPild+lpl’)*/’ « (l+lpla).

Les inégalités (8.6), (8.7) et (8.8) nous donnent les moyens de véri­

fier l’hypothèse

(iv) |b(x,u,p)| + IPild+lpl2)*/’ « (b,M+C+l)(l+IPl2) =: Md+lpl2).

Ainsi toutes les hypothèses du théorème B sont satisfaites et donc il existe une solution unique u e C°»a(û) n C1»ot(0) qui satisfait à la propriété de Korevaar sur û.

Remarquons que pour cet exemple, les hypothèses utilisées sont celles du Théorème Bx. Nous avons choisi pour ce théorème l’exemple suivant:

(8.9) Au = f(u) dans û,

(8.10) u = <t> sur d 0,

où f est une fonction de R dans R de classe C1 strictement crois­ sante, uniformément continue sur R, concave, et satisfaisant à la condi­ tion f(0) =0. 0 est un convexe borné de Rn.

L’équation (8.9) est du même type que (1.9) avec af(p) : = Pi ab

et b(x,u,p) := f(u). Et bien sûr, nous avons (x,u,p) = f'(u) > 0 et «u

b(x,0,p) = f(0) = 0. Donc il existe une solution faible unique

uc C0»a(û) n C1»<x(0) qui satisfait à la propriété de Korevaar sur û.

89. Comportement de Cu sur le bord de flxûx(Q,l)

Le Théorème B nous permet d’affirmer que si Cu a un maximum positif, elle l’atteint sur le bord a(ûxûx(0,1)). Donc si de plus Cu n’admet pas de maximum positif sur le bord, alors nous pouvons