1/13Chapitre n°5 : Théorème de Pythagore

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Chapitre n°5 : Théorème de Pythagore

Liste des objectifs :

a. 4ème : connaître et utiliser la propriété de Pythagore.

Exercice n°1 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

Donner le carré des nombres suivants (Rappel : le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même ) :

a) 6 : son carré vaut …………

b) 8 : son carré vaut …………

c) 3 : son carré vaut …………

d) 1 : son carré vaut …………

Exercice n°2 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

Donner les nombres dont les carrés sont les suivants : a) 49 est le carré de ………

b) 36 est le carré de ………

c) 4 est le carré de ………

d) 9 est le carré de ………

e) 121 est le carré de ………

f) 100 est le carré de ………

g) 64 est le carré de ………

h) 81 est le carré de ………

i) 25 est le carré de ………

j) 16 est le carré de ………

k) 144 est le carré de ………

Exercice n°3 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

Trouver les hypoténuses de chacun des triangles ci-dessous (Rappel : l’hypoténuse d’un triangle rectangle est le côté en face de l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle rectangle) :

Exercice n°4 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

Trouver les hypoténuses dans chacun des cas suivants :

a) ADF est un triangle rectangle en A. Son hypoténuse est donc ………….

b) EDR est un triangle rectangle en D. Son hypoténuse est donc ………….

c) FGY est un triangle rectangle en Y. Son hypoténuse est donc ………….

Hypoténuse : …….

Hypoténuse : ……. Hypoténuse : …….

A

B

C

D

E

F

K J

L

M

O Fe

)

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Exercice n°5 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

A l'aide du quadrillage, détermine les aires de chaque carré (l'unité est le carreau), éventuellement en déplaçant des morceaux, puis complète le tableau suivant :

Triangle Petit carré Carré moyen Grand carré

T1 T2 T3 T4 T5

Que remarques-tu pour certains triangles ?

…...

...

…...

En supposant que c’est effectivement le cas, utilise ce que tu as deviné pour calculer la longueur du côté manquant du triangle rectangle suivant :

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………

Exercice n°6 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

A. Racine carrée.

Recopie et complète le tableau suivant :

AB = 8 m SD = 1,3 dm ZE = ... FG = ... UT = ...

AB² = ... SD² = ... ZE² = 36 cm² FG² = 81 m² UT² = 1,69 m²

B. Valeur exacte, valeur approchée

1. Le nombre positif dont le carré est 841 se note et se lit « racine carrée de 841 ».

a. Trouve, sur ta calculatrice, la touche √ et le moyen de saisir la séquence .

Quel résultat obtiens-tu avec la calculatrice ? ………

b. Quel calcul te permet de vérifier que ce résultat est la valeur exacte de ?

Calcul : ………

2. x est un nombre positif tel que x² = 50.

a. Comment notes-tu la valeur de x ? ……….

b. Fais le calcul à la calculatrice de façon à trouver un nombre décimal puis recopie la valeur décimale affichée :

……….

c. Si tu calcules le carré de cette valeur en posant la multiplication, quel est le premier chiffre à droite que tu écriras dans le résultat ?

…….

Explique en posant la multiplication et en commençant (on ne

demande pas de la faire entièrement) à effectuer la multiplication.

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d. D’après les questions précédentes, pourquoi la valeur donnée par la calculatrice n’est-elle pas exacte ?

………

………..

e. L’ordinateur donne, comme valeur pour , le nombre

7,0710678118654752440084436210485. A-t-il raison ? …………

Pourquoi ?

………

………..

f. Donne un encadrement de à 0,01 près puis, en utilisant le symbole

≈, sa valeur arrondie au centième.

………

3. Donne la valeur exacte (en utilisant le signe =) quand c'est possible ou la valeur arrondie au dixième (en utilisant le signe ≈) de chacune des

longueurs dont les carrés sont donnés ci-dessous :

=1,52399025

FR……… NL……… EU……… GB……… XY……… CZ………

Exercice n°7 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS − Avec TracenPoche (inspiré de Sésamath)

Rappel : 5² veut dire 5×5 ; de même, AC² veut dire AC×AC – et si AC=3, par exemple, AC²=3²=3×3=9

REMARQUE : si vous ne pouvez pas utiliser d’ordinateur, construisez six triangles ABC rectangles en A différents, mesurez les trois côtés à chaque fois, et commencez à répondre à partir de la question 3.

Conjecture avec TracenPoche

Le logiciel Tracenpoche est gratuit et utilisable à cette adresse : http://tracenpoche.sesamath.net/flash/

1. Construis un triangle ABC rectangle en A. Pour cela :

a. Place deux points A et B puis construis le segment [AB] et la

perpendiculaire à [AB] passant par A ( ).

b. Place un point C sur cette perpendiculaire ( ).

SUITE PAGE SUIVANTE SUITE PAGE SUIVANTE

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c. Construis les segments [BC] et [AC] ( ).

2. Fais apparaître les mesures des trois côtés du triangle ABC ( ).

3. Complète le tableau suivant pour des triangles rectangles ABC différents (tu déplaceras les points A, B et C, et tu noteras les longueurs affichées).

………

5. Dans la fenêtre Analyse, saisis les expressions ci-contre

puis appuie sur la touche d’analyse .

OU : compare dans le tableau la 4

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ligne et la 6

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ligne.

6. Déplace maintenant les points A, B et C et observe les résultats affichés dans la fenêtre Analyse.

Que semble-t-il se passer ?

calc (ABAB+ACAC) = calc (BC*BC) =

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………

7. Rédige cette conjecture sous la forme : « Si... alors... . », en utilisant les mots « hypoténuse » et « carré ».

………

Cours n°1 ---

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur :

Chapitre V : Théorème de Pythagore

I) Le théorème de Pythagore Propriété n°2

Si un triangle est ………., alors le carré de l’hypoténuse est égal à la

………….. des ……… des deux autres côtés.

Complétez : Complétez avec « AC² »,

« AB² », « BC² »:

Définition n°1

Définition n°2

Rappel : a²=a×a ( par exemple : 5²=5×…=…..) Le côté opposé à

l’a………

d…………. s’appelle l’h………

A

B

C

Dans le triangle

ABC

,

le carré de l’hypoténuse est :

……

Le carré d’un des côtés de l’angle droit est : …….

Le carré de l’autre côté de l’angle droit est : …….

Le théorème de Pythagore se traduit donc par l’égalité :

…………..=…………..+………….

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Exemple MODELE n°1 :

« ABC est un triangle rectangle en B. AB mesure 6 cm. BC mesure 8 cm. Calculer AC. »

Réponse :

ABC est un triangle rectangle, donc le ………. de son hypoténuse est égal à la ………….. des

……… des deux autres côtés – Ici, l’hypoténuse est :…..

……2=……2 + ……2

…….×……=……×……+……×……

………=……….+…………

………=……….

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut 100. C’est …….

Donc ……… mesure …….. cm.

Exemple MODELE n°2 :

« Soit un triangle YDU rectangle en U tel que YD= 5,2 et YU= 4,8. Calculer DU. » Réponse :

……2=……2 + ……2

…….×……=……×……+……×……

………=……….+…………

………=……….

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut 4. C’est ……. Donc ……… mesure ……..

cm.

Fin du Cours n°1 ---

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en

« accordéon ».

COLLER CES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES.

Recopier intégralement le cours sur le cahier de cours (à la maison !)

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Contrôle du savoir faire

Refaites les exemples du savoir faire, ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Complétez avec « AC² »,

« AB² », « BC² »:

Exemple MODELE n°1 :

« ABC est un triangle rectangle en B. AB mesure 6 cm. BC mesure 8 cm. Calculer AC. » Réponse :

……2=……2 + ……2

…….×……=……×……+……×……

………=……….+…………

………=……….

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut 100. C’est …….

Donc ……… mesure …….. cm.

Exemple MODELE n°2 :

« Soit un triangle YDU rectangle en U tel que YD= 5,2 et YU= 4,8. Calculer DU. » Réponse :

……2=……2 + ……2

…….×……=……×……+……×……

………=……….+…………

………=……….

On cherche le nombre qui, multiplié par lui même, vaut 4. C’est ……. Donc ……… mesure ……..

cm.

A

B

C

Dans le triangle

ABC

,

le carré de l’hypoténuse est :

……

Le carré d’un des côtés de l’angle droit est : …….

Le carré de l’autre côté de l’angle droit est : …….

Le théorème de Pythagore se traduit donc par l’égalité :

…………..=…………..+………….

+CB

²

.

Exercice n°9 − Écrire la relation – Source : Sésamath

Pour chacun des triangles suivants, recopie et complète la phrase :

« Le triangle ... est rectangle en ..., son hypoténuse est .... donc d'après le théorème de Pythagore : ...² = ...² + ...² ».

a. ^A

B

C b.

R

T S

c. ^A B

C

d. XYZ tel que (XY) et (YZ) soient perpendiculaires.

e. MNP avec \s\up4(a = 90°.

C B

Figure 1 A

A

B

Figure 2 C

B

A

C

Figure 3

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Exercice n°10 – Écrire la relations – Source : Sésamath

En utilisant les données de la figure de gauche, recopie et complète les égalités suivantes :

G H

F E EF ² = ...² + ...² FG ² = ...² – ...² EG ² = ...² – ...² EG ² = ...² + ...² GH ² = ... EH ² = ...

Remarque: Dans TOUS les exercices qui suivent, si vous utilisez le théorème de Pythagore, vous DEVEZ rédiger :

D’ABORD EXPLIQUER POURQUOI vous pouvez l’utiliser, et indiquez le NOM du théorème ou son ENONCE.

Exercice n°11 - Montrer obligatoirement au professeur – à faire sur cette feuille

Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AB= 0,9 et BC= 4.

a. Parmi AB,BC et AC, quelle longueur est l’hypoténuse ? ……

b. Calculer AC :

Quel théorème je veux appliquer : ………..

Pourquoi je peux l’appliquer :

………..

Quelle égalité me permet-il d’écrire ?

………

Je calcule alors la longueur demandée :

………..

AC² vaut donc : ………

AC vaut donc ………. car …….. × ………=………

Exercice n°12

Soit un triangle ABC rectangle en C tel que AC= 2,4 et AB= 7,4.

a. Quelle longueur est l’hypoténuse ? …….

b. Calculer BC.

Quel théorème je veux appliquer : ………..

Pourquoi je peux l’appliquer :

………..

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Quelle égalité me permet-il d’écrire ?

………

Je calcule alors la longueur demandée :

………..

BC² vaut donc : ………

BC vaut donc ………. car …….. × ………=………

Exercice n°13

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AC= 6,3 et BC= 6,5. Calculer AB.

Quel théorème je veux appliquer : ………..

Pourquoi je peux l’appliquer :

………..

Quelle égalité me permet-il d’écrire ?

………

Je calcule alors la longueur demandée :

………..

AB² vaut donc : ………

AB vaut donc ………. car …….. × ………=………

Exercice n°14 − Sésamath (http://manuel.sesamath.net/)

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 1 cm.

a. Joseph a écrit : « BC² = 6 + 2 ; BC² = 8 donc BC = 4 cm ». Indique et analyse ses erreurs.

b. Calcule BC² en rédigeant correctement COMME DANS LES

EXERCICES PRECEDENTS, puis en utilisant la touche racine carrée de ta calculatrice, donne la valeur de BC approchée par défaut au millimètre près.

Exercice n°15 − Sésamath (http://manuel.sesamath.net/)

Théo veut franchir, avec une échelle, un mur de 3,50 m de haut devant lequel se trouve un fossé rempli d'eau, d'une largeur de 1,15 m.

1. Fais un schéma de la situation.

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2. Il doit poser l'échelle sur le sommet du mur. Quelle doit être la longueur minimum de cette échelle ? Arrondis au cm. ON REDIGERA COMME DANS LES EXERCICES PRECEDENTS.

Exercice n°16

ABC est un triangle tel que, en centimètre : AB = 6, BC = 8, AC = 10,2.

Explique PAR DES CALCULS pourquoi ce triangle n’est pas rectangle.

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Résultats

Ex.1 : dans le désordre : 36 ;9 ;64 ;1

Ex.2 : dans le désordre : 7 ;10 ;12 ;6 ;11 ;4 ;5 ;8 ;3 ;2 ;9 Ex.3 : BC ;EF ;KL ;FM

Ex.4 : a)DF ;b)ER ;c)FG

Ex.5 : Indic : pour T1, on peut découper le grand carré de façon à reformer un rectangle, puis compter les carreaux - T2 : petit carré : 4, les deux autres : 10 - T3 : 5,20,25 - T4 :13,18,25 - T5 : 16,17,1

etc.

Ex.6 : A. 64 ;1,69 ; 6 ; 9 ; 1,3 B.1.a. …9 b. …9×…9 2.a. b. 7,071067812 c. 4 d. On devrait avoir 0 e. Non f. 7,07<<7,08 3. 12,5 ;9,3 ;1,6 ; 2,365 ; imposs. ; 1,2345

Ex.8 : 1.c 2. b 3. a

Ex.9 : AC² = AB²+BC² ; RS²=RT²+TS² ; BC²=BA²+AC² ; XZ²=XY²+YZ² ; MP²=MN²+ NP² Ex.10 :EF²=EG²+… ; FG²=EF²-…. ;EG²=EF²-… ;EG²=GH²+EH² ;GH²=EG²-… ;EH²=EG²-…

Ex.11 :a. AC. b.4,1 Ex.12 : a.AB b.7 Ex.13 : 1,6

Ex.14 : a. 3²  6 b. BC  3,2 Ex.15 :3,68m.

Ex.16 : s’il était rectangle, on aurait AC²=…+…. Comme AC²=.. et que AB²+BC²=…, ….