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ème5 DM3 : Théorème de Pythagore
décembre 2021CORRECTION 1) Écrans
La dimension des écrans (d'ordinateur, de télévision, etc.) est donnée par la longueur de la diagonale de l'écran qui, rappelons-le, est un rectangle. On donne aussi le format de l'écran qui est le rapport entre le grand et le petit côté du rectangle. Ainsi, on dira d'un écran qu'il mesure 19'' et a un format de 16:9. Cela signifie que sa diagonale mesure 19 pouces (1 pouce = 2,54 cm) et que ses côtés sont dans le rapport 169 . a) Mon ordinateur a un écran de 19'' au format 16:9. Calculer, en expliquant le
raisonnement et en faisant un schéma, les côtés de mon écran (réponse arrondie au cm le plus proche).
Si mon écran mesurait 16'' sur 9'', sa diagonale mesurerait
16²9²=
25681=
337≈18,357''.Nous ne sommes donc pas loin du compte.
Si on nomme x la largeur de mon écran, la longueur vaut 169 x. D'après le théorème de Pythagore, on aurait 16
9 x
2
x2=192=361 soit 25681 1x2=33781 x2=361 Donc x2=361÷33781 =361×33781 =29241337 .
Finalement x=
29241337 ≈9,31497.La longueur valant 169 x mesure environ 169×9,31497 , soit 16,56 pouces.
En cm l'écran mesure environ 42 cm sur 24 cm.
b) Il y a quelques années les écrans étaient au format 4:3. La télévision de ma grand-mère a ainsi un écran de 17'' au format 4:3. Calculer les côtés de cet écran, puis comparer les aires des deux écrans (réponse arrondie au cm² le plus proche) pour savoir si je peux affirmer « mon écran est plus grand que le tien, mamie! » sans me tromper.
L'écran de ma grand-mère a une largeur x et une longueur de 43x, avec 4
3x
2
x2=172=289, soit 169 1x2=259 x2=289 et donc x2=289÷25
9 =289× 9
25=2601
25 =104,04.
Finalement x=
104,04=10,2 et la longueur valant 43x mesure 43×10,2=13,6 pouces.En cm l'écran de ma grand-mère mesure environ 35 cm sur 26 cm.
Si je compare les aires avec les valeurs arrondies en cm, je trouve que mon écran a une aire de 42×24=1008 cm² alors que l'écran de ma grand-mère a une aire de 35×26=910 cm².
Mon écran est donc un peu plus grand que celui de ma grand-mère (même s'il a une largeur moindre).
Sur l'illustration, on voit que les deux sortes de bandes rectangulaires qui font la différence n'ont pas la même superficie : mon écran gagne plus en longueur qu'il ne perd en largeur.
2) Parallélépipèdes
a) Le cube, dessiné ci-contre en perspective, a des côtés mesurant 10 cm.
Calculer la longueur des diagonales de ses faces (ED par exemple, dans la face ADHE du dessus). Dessiner alors en vraie grandeur le plan de coupe rectangulaire EDCF de ce cube qui contient la diagonale [EC] du cube. Calculer alors la longueur de cette diagonale (résultats arrondi au dixième).
La longueur d des diagonales des faces du cube est donnée par le théorème de Pythagore d2=102102=200 donc d=
200=10
2≈14,14cm.La longueur d' de la diagonale [EC] du cube est donnée par le théorème de Pythagore d '2=
2002102=200100=300 et donc, on a :d '=
300=10
3≈17,32cm.b) Le parallélépipède IJKLMNOP a pour dimensions : IJ=0,45 m, IL=2,20 m et IM=1,2 m.
La figure ci-contre le représente (longueurs non respectées).
Calculer la longueur de sa diagonale [MK].
Les 3 sortes de diagonales du parallélépipède sont ML, MJ et MO auxquelles on ajoute MK, la diagonale intérieure du parallélépipède. On trouve :
ML2=MI2IL2=1,222,22=6,28 et donc ML=
6,28≈2,506m ; MJ2=MI2IJ2=1,220,452=1,6425 et donc MJ=
1,6425≈1,282m ; MO2=MI2IL2=1,222,22=6,28 et donc MO=
5,0425≈2,246m ;Pour MK, on se situe dans le rectangle MLKN (exercice déjà fait en cours) MK2=ML2LK2=6,280,452=6,4825 et donc MK=
6,4825≈2,546m.Ce parallélépipède est en fait la forme d'un meuble qui était couché pour son transport, et qui doit être relevé pour être mis en place.
Le plafond de la pièce étant à 2,25 m du sol, sera t-il possible de le faire pivoter autour de l'arête [OK] pour le mettre en place, ou faudra t-il en démonter une partie ?
Répondre avec une justification.
La distance sol-plafond est suffisante (la diagonale du meuble qui peut poser problème mesure 2,246 m environ, ce qui est bien inférieur à 2,250) en théorie...
Remarque : le problème serait plus intéressant si on présentait tout d'abord le meuble posé sur la face IJKL, en demandant si on peut le faire pivoter autour de [KL] car alors on trouve environ 2,506 m et le meuble ne passe pas, même si on donne la hauteur de plafond égale à 2,5 m.
3) Disque équivalent à une couronne
a) Tracer deux cercles concentriques de rayon 3 carreaux et 5 carreaux.
Colorier la couronne comprise entre les deux cercles et calculer l'aire de cette couronne.
La couronne comprise entre les deux cercles a pour aire la différence des aires des deux disques :
Aire couronne=×52−×32=×52−32=×25−9=16 carreaux, soit environ 50,26548 carreaux.
b) Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que BC=5 carreaux et BA=3 carreaux. Tracer le cercle de centre A et de rayon AC.
Comparer l'aire du disque limité par ce cercle et l'aire de la couronne.
Notre triangle est le triangle 3, 4, 5 classique.
Le disque ayant pour rayon 4 carreaux aura pour aire 16π carreaux, soit environ 50,26548 carreaux, ce qui est exactement égal à l'aire de la couronne.
c) On dit d'un disque qu'il est équivalent à une couronne si les deux surfaces ont la même aire. Déduire de ce qui vient d'être fait quel est le rayon du disque équivalent à une couronne dont les petit et grand rayons mesurent 36 m et 85 m.
Le rayon du disque équivalent à une couronne dont les petits et grands rayons mesurent 36 m et 85 m est 77 m (car 85²−36²=77²)
4) Triplets pythagoriciens
Il est écrit à la fin du cours sur mathadomicile :
« Si p et q désignent deux nombres premiers entre eux (qui n'ont aucun diviseur commun à part 1), alors le triplet (p²−q², 2pq, p²+q²) est un triplet pythagoricien et tous les triplets pythagoriciens peuvent être trouvés avec cette formule. Ainsi le plus petit triplet primitif (3, 4, 5) correspond à p=2 et q=1, le suivant (5, 12, 13) correspond à p=3 et q=2 ».
a) Vérifier les deux dernières affirmations de ce texte, puis tracer des triangles dont les côtés sont proportionnels aux nombres contenus dans ces triplets (marquer les nombres correspondants sur les côtés).
Lorsque m=1 et n=2 on a :
a=2mn=2×1×2=4, b=n²−m²=2²−1²=3, c=n²+m²=2²+1²=5.
Le triplet (a, b, c) obtenu est (4, 3, 5) qui est bien un triplet pythagoricien car 4²+3²=9+16=25=5².
Lorsque m=2 et n=3 on a :
a=2mn=2×2×3=12, b=n²−m²=3²−2²=9−4=5, c=n²+m²=3²+2²=13.
Le triplet (a, b, c) obtenu est (12, 5, 13) qui est bien un triplet pythagoricien car 12²+5²=144+25=169=13².
b) Déterminer au moins un autre triplet pythagoricien avec la formule du texte, non proportionnel aux deux premiers, puis tracer le triangle obtenu.
Ci-dessous, obtenus avec un tableur, les différents triplets pythagoriciens donnés par cette formule pour n<m≤10. J'ai représenté ensuite le triangle (8, 15, 17) le 3ème de cette liste.
m n a=2mn b=m²-n² c=m²+n² a²+b² c²
2 1 4 3 5 25 25
3 1 6 8 10 100 100
4 1 8 15 17 289 289
5 1 10 24 26 676 676
6 1 12 35 37 1369 1369
7 1 14 48 50 2500 2500
8 1 16 63 65 4225 4225
9 1 18 80 82 6724 6724
10 1 20 99 101 10201 10201
3 2 12 5 13 169 169
4 2 16 12 20 400 400
5 2 20 21 29 841 841
6 2 24 32 40 1600 1600
7 2 28 45 53 2809 2809
8 2 32 60 68 4624 4624
9 2 36 77 85 7225 7225
10 2 40 96 104 10816 10816
4 3 24 7 25 625 625
5 3 30 16 34 1156 1156
6 3 36 27 45 2025 2025
7 3 42 40 58 3364 3364
8 3 48 55 73 5329 5329
9 3 54 72 90 8100 8100
10 3 60 91 109 11881 11881
5 4 40 9 41 1681 1681
6 4 48 20 52 2704 2704
7 4 56 33 65 4225 4225
8 4 64 48 80 6400 6400
9 4 72 65 97 9409 9409
10 4 80 84 116 13456 13456
6 5 60 11 61 3721 3721
7 5 70 24 74 5476 5476
8 5 80 39 89 7921 7921
9 5 90 56 106 11236 11236
10 5 100 75 125 15625 15625
7 6 84 13 85 7225 7225
8 6 96 28 100 10000 10000
9 6 108 45 117 13689 13689 10 6 120 64 136 18496 18496 8 7 112 15 113 12769 12769 9 7 126 32 130 16900 16900 10 7 140 51 149 22201 22201 9 8 144 17 145 21025 21025
