Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Arithmétique 3ème Mathématiques
Exercice 1
Montrer par récurrence les propositions suivantes 1) 2 − 1 est divisible par 7 ∀ ∈ 2) 3 + 5 est divisible par 7 ∀ ∈
3) 3 + 2 est divisible par 7 ∀ ∈ et 3 + 2 est divisible par 11. ∀ ∈ ℕ∗ 4) 3 − 3 est divisible par 7 ∀ ∈
Exercice 2
1) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ on a 2 × 3 + 3 est divisible par 11 b) En déduire le reste de la division euclidienne de 4 × 3 + 13 par 11 2) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ on a 4 − 1 est divisible par 3 b) En déduire le reste de la division euclidienne de 8 − 2 + 29 par 3 Exercice 3
1) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ on a 3 − 1 est divisible par 8 b) En déduire que 3 − 3 est divisible par 8
2) a) Déterminer les restes de la division euclidienne par 8 des nombres 3 et 3
b) Déterminer les restes de la division euclidienne par 8 des nombres 3 et 5 × 3 + 2 Exercice 4
1) Soit un nombre premier supérieure ou égal à 5. Montrer − 1 est divisible par 8 2) a) Justifier que 2011 ets un nombre premier
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011 par 8 Exercice 5
1) Calculer les restes de la division euclidienne de 1 , 4 , 4 et 4 par 3
2) Formuler pour tout ∈ , une hypothèse ( ) concernant le reste de la division euclidienne de 4 par 3. et montrer que ( ) est vérifiée pour tout ∈
3) Pour tout ∈ le nombre 16 + 4 + 3 est-il divisible par 3. Exercice 6
Soit le polynôme (%) = 6% − 5% − 12% − 4
1) Montrer que si est un entier naturel tel que ( ) = 0 alors divise 4. 2) Résoudre alors dans IR l’équation (%) = 0
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Soient a et ' deux entiers naturels, déterminer dans chacun des cas suivant les couples (( , ') ( − ' = 5 ( − ' = 9 ( − ' = 12 ( − ' = 13 ( − ' = 20 Exercice 8
1) Soit un entier naturel, vérifier que − 5 = ( + 3)( − 3 + 4) − 12 2) Soit * = + déterminer les valeurs de pour que * soit un entier naturel.
Exercice 9
1) Soit , et - deux entiers naturels non nuls tels que , =21 + 3 et - =14 + 9. On note . = (,˄ -)
a) Établir une relation entre , et - indépendante de .
b) Montrer que . divise 21. 2) En déduire les valeurs de .. Exercice 10
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres:
( = − − 12 et ' = 2 − 7 − 4.
1) Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n - 4. 2) On pose , = 2 +1 et - = +3. On note . = (, ˄ -)
a) Établir une relation entre , et - indépendante de .
b) Démontrer que . est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres , et - sont multiples de 5 si et seulement si − 2 est multiple de 5.
3) Montrer que 2 + 1 et sont premiers entre eux.
4) a) Déterminer, suivant les valeurs de et en fonction de , le PGCD de (et '.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers où =11 et = 12.
Exercice 11
Soit la fonction 0 définie sur 1 par 0(%) = (1 + %) où est un entier naturel supérieure ou égal à 3 1) Expliciter d’une autre manière 0(%)
2) Calculer de deux manières 02(%) 3) En déduire 3 = 4 + 24 + 34 Exercice 12
1) Soit ∈ , pour : 1 ≤ ≤ 6 calculer les restes de la division euclidienne de 5 par 13 2) a) Montrer par récurrence sur que 5 − 1 est divisible par 13
b) En déduire que les entiers naturels 5 − 5 , 5 − 12 et 5 − 8 sont divisible par 13 b) Déterminer alors le reste de la division euclidienne de 5 par 13
3) Soit un entier naturel, on considère l’entier naturel *6 = 5 6+ 5 6
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 b) Montrer que *6 est divisible par 13 dans le cas où = 2 + 1
4) Soit la suite (7 ) définie sur ∗\91: par 7 = 1 + 5 + 5 + ⋯ + 5 a) Montrer que 7 = <
b) Montrer que si 7 est divisible par 13 alors 5 − 1 est divisible par 13
c) Réciproquement montrer que si 5 − 1 est divisible par 13 alors 7 est divisible par 13 ( indication 137 − 3 × (47 ) = 7 )
d) En déduire les valeurs de pour que 7 soit divisible par 13 Exercice 13
1) Montrer que pour tous entiers naturels ( , ' et = on a : ('= − () ˄ ' = ( ˄ ' 2) Soit un entier naturel non nul
a) Verifier que ∀ ∈ on a : 5 − + 38 = ( + 2)(5 − 10 + 19) b) En déduire que (5 − ) ˄ ( + 2) = ( + 2) ˄ 38
3) a) Quelles sont les valeurs possibles (5 − ) ˄ ( + 2)
b) Pour quelles valeurs de on a 5 − est divisible par + 2 Exercice 14
1) Soit n un entier naturel et on considère les entiers naturels , = 4 + 6 + 3 et - = 2 + 1 a) Vérifier que , = 2 (2 + 1) + (4 + 3)
b) Montrer que ∀ ∈ on a , et - sont premiers entre eux
2) a) Montrer que ∀ ∈ on a (2 + 1) ˄ (6 + 21) = (2 + 1) ˄ 18 b) Quelles valeurs peut prendre . = (2 + 1) ˄ (6 + 21)
c) Déterminer l’ensemble des entiers naturels tel que (2 + 1) divise (6 + 21) 3) En déduire des questions précédentes, l’ensemble des entiers naturels tel que
(2 + 1)( + 1) divise (6 + 21)(4 + 6 + 3 ) Exercice 15
1) a) Montrer que, pour tout entier naturel , 3 − 11 + 48 est divisible par + 3. b) Montrer que, pour tout entier naturel , 3 − 9 + 16 est un entier naturel non nul. 2) Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls (, ' et =, (( ˄ ') = ('= − ( ˄ ')
3) Montrer que, pour tout entier naturel ≥ 2, On a : (3 − 11 ) ˄ ( + 3) = (48 ˄ n + 3) 4) a) Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
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1) Soit dans l’équation (@ ) ∶ 2% − 3B = 1 a) Verifier que (2 , 1) est une solution de (@ ) b) Résoudre alors dans l’équation (@ ) 2) Soit dans l’équation (@ ) ∶ 4% − 5B = 2 a) Vérifier que (3 , 2) est une solution de (@ ) b) Résoudre alors dans l’équation (@ ) 3) Soit dans l’équation (@ ) ∶ 5% − 3B = 7
a) Montrer que si (% , B) est une solution de (@ ) si et seulement si 2 est le reste de la division euclidienne de % par 3
b) Résoudre alors dans l’équation (@ ) Exercice 17
Soient % et B deux entiers naturel, on se propose de résoudre l’équation (@) ∶ 3% − 7B − 4 = 0
1) Montrer que si(% , B) est solution de l’équation (@) alors 2 est le reste de la division euclidienne de B par 3 2) a) Montrer que ∀( ∈ , ( est divisible par 3 ou que le reste de la division euclidienne de ( par 3 est 1 b) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (@)
Exercice 18
1) Résoudre dans , les systèmes suivants
3 : D ( × ' = 48( ˅ ' = 24 F 3 : D( × ' = 294( ˄ ' = 24 F 3 : D( ˄ ' = 5 ( ˅ ' = 60 F 3 :D( − ' = 2( ˄ ' = 2F 3 :D ( + '27( ˄ ' = 3F 3 : D( − ' = 80( ˄ ' = 4 F 3G: H ( + ' = 637 ( ˄ ' = 7 ( ˅ ' = 42 F 3I: D ( ˄ ' = 3( ˅ ' = 60 F 3G: H ( + ' = 225 ( ˄ ' = 3 ( ˅ ' = 36 F Exercice 19
1) On se propose de résoudre le système 3 ∶ D( + ' = 765 ( ˅ ' = 126 F 1) Déterminer les diviseurs de 765 et de 126
2) Soit . = ( ˄ '
a) Montrer que . = 1 ou . = 3
