Propriété de maintien des facteurs communs dans le cas An

Propriété de maintien des facteurs communs dans le cas An

par

Jean-François MARCEAU

mémoire présenté au Département de mathématiques

en vue de l'obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)

FACULTÉ DES SCIENCES

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE

Le 7 novembre 2016

le jury a accepté le mémoire de M. Jean-François Marceau dans sa version nale.

Membre du jury :

M. Thomas Brüstle Directeur

Département de mathématiques

Mme. Vasilisa Shramchenko Membre

Département de mathématiques

Mme. Virginie Charette Président-rapporteur Département de mathématiques

Sommaire

L'objectif de ce mémoire est de fournir une nouvelle preuve pour la "Non-leaving face property" dans le cas An à l'aide de l'approximation dans les catégories amassées. Cette

Remerciements

Je tiens d'abord à remercier mon directeur de maîtrise, Thomas Brüstle, pour son aide et sa patience au cours de mes travaux de maîtrise. Je veux aussi remercier le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) et l'Université de Sherbrooke pour leur soutien nancier au cours des années.

TABLE DES MATIÈRES

Sommaire iii

Remerciements iv

TABLE DES MATIÈRES v

CHAPITRE 1  Notions préliminaires 4

1.1 Algèbres de chemins . . . 4

1.2 Catégories de modules . . . 6

1.3 Catégories amassées . . . 8

1.4 Triangulations de polygones . . . 13

CHAPITRE 2  Graphes d'échanges et propriété de maintien des facteurs communs 16 2.1 Graphes d'échanges . . . 16

CHAPITRE 3  Approche algébrique 23 3.1 Approximations . . . 23 3.2 Démonstration de la propriété de maintien des facteurs communs par

l'ap-proximation . . . 24

Annexe A 32

Annexe B 35

Introduction et motivation

En 2002, S. Fomin et A. Zelevinsky [FZ02] ont déni le concept d'algèbres amassées dans le cadre de la physique quantique. Une algèbre amassée est une Z-algèbre commutative engendrée par un ensemble de variables, qui sont elles-mêmes générées par un processus combinatoire appelé mutation. Ces algèbres ont par la suite été étudiées d'un point de vue strictement mathématique puisqu'elles sont liées à plusieurs autres domaines des mathématiques. Dans le cadre de cet ouvrage, nous nous concentrerons surtout sur le lien avec la combinatoire des triangulations de polygones. En eet, en 2008, S. Fomin, M. Shapiro et D. Thurston [FST08] ont montré que les variables des algèbres amassées de type An peuvent être obtenues à partir des triangulations de polygones à n + 3 côtés

en associant une variable à chaque arc interne d'une triangulation et en appliquant une suite ip (processus par lequel on retire un arc pour le remplacer par le seul autre arc compatible) pour générer l'ensemble des variables amassées. Il existe aussi un lien entre les algèbres amassées et la théorie des catégories tel que dénie par A.B. Buan, R. Marsh, M. Reineke, I. Reiten et G. Todorov [BMR+_06].

Nous pouvons également utiliser les triangulations de surfaces et les ips pour créer un graphe dont les sommets sont l'ensemble des triangulations d'une surface et où deux sommets sont connectés s'il existe un ip permettant de passer d'une triangulation à l'autre. Ces graphes sont appelés graphes d'échange ou associaèdres. Lors de l'étude du

diamètre des associaèdres en 1988, D.D. Sleator, R.E. Tarjan et W.P. Thurston [STT88] ont montré une propriété de ces graphes. Celle-ci a par la suite été nommée Non-Leaving Face Property par C. Ceballos et V. Pilaud [CP16]. Pour le présent ouvrage, nous utili-serons le terme français de propriété de maintien des facteurs communs1 _{pour désigner}

la Non-Leaving Face Property. L'énoncé original de Sleator, Tarjan et Thurston stipule qu'un associaèdre respecte cette propriété si le chemin le plus court entre deux sommets d'une même face est contenu dans cette face. Ils en ont fait la preuve pour le cas des associaèdres de type An en introduisant un nouveau concept qu'ils ont nommé

normali-sation. Par la suite, Ceballos et Pilaud ont déni la normalisation pour les associaèdres de type Bn, Cn, et Dn et ont démontré qu'ils respectent également la propriété de

main-tien des facteurs communs. Pour leurs démonstrations, ces deux groupes ont utilisé la normalisation an de projeter l'ensemble des sommets d'un associaèdre dans une seule face pour ensuite montrer que tout chemin entre deux sommets d'une même face n'étant pas contenu dans celle-ci se trouve raccourci par la normalisation. Ainsi le chemin doit être contenu dans cette face.

Notre objectif pour la suite du document est d'utiliser les notions développées lors des années 2000 dans le cadre des algèbres amassées, pour fournir une nouvelle démonstration de la propriété de maintien des facteurs communs dans le cadre des associèdres de type An. Pour cela, nous utiliserons le concept d'approximation, déni par M. Auslander et

S.O. Smalø[AS80] et le concept de morphismes minimaux, déni par M. Auslander et I. Reiten [AR77]. La démonstration aura la même structure que celle de Sleator, Tarjan et Thurston, mais l'utilisation de l'approximation la rendra généralisable.

Le présent ouvrage est structuré comme suit. Dans le premier chapitre, nous verrons les concepts d'algèbres de chemins, de catégories de modules, de catégories amassées et 1. Traduction Libre. Le terme en anglais n'ayant pas de traduction littérale, nous avons choisi de le traduire selon l'interprétation de la propriété en algèbre plutôt que l'interprétation classique provenant de la théorie de graphes. voir 2.2

de triangulations de polygones. Ensuite, pour le deuxième chapitre, nous discuterons de graphes d'échanges et de la propriété de maintien des facteurs communs. Finalement, au chapitre trois, nous dénirons le concept d'approximation et démontrerons la propriété de maintien des facteurs communs à l'aide de l'approximation.

CHAPITRE 1

Notions préliminaires

Nous cherchons à approcher la propriété de maintien des facteurs communs par un angle algébrique. Nous étudierons donc la structure du carquois d'Auslander-Reiten des caté-gories amassées de type An et nous en exposerons le lien avec les triangulations. Nous

utiliserons les notations suivantes : A est une k-algèbre de dimension nie avec k un corps algébriquement clos et modA est la catégorie de A-modules à droite de type ni.

1.1 Algèbres de chemins

Tout d'abord, nous devons dénir ce que sont un carquois, un chemin et une algèbre de chemins.

Dénition 1.1.1. Un carquois est un quadruplet Q = (Q0, Q1, s, t) où Q0 = {1, 2, . . . , n}

est l'ensemble des sommets, Q1 = {α1, α2, . . . , αm} est l'ensemble des èches, s : Q1 → Q0

est une application donnant la source des èches et t : Q1 → Q0 est une application

Exemple 1.1.2. Considérons le carquois suivant : Q = {{1, 2, 3}, {α, β, γ}, s, t} avec s et t déni comme suit :

s(α) = 1, s(β) = 2, s(γ) = 3 t(α) = 2, t(β) = 3 et t(γ) = 1

Nous pouvons représenter Q comme :

1 2

3

α

β γ

Dénition 1.1.3. Soit Q = {Q0, Q1, s, t} un carquois, un chemin de Q est une suite

de èches, α1α2. . . αk, telles que t(αi) = s(αi+1) pour tout i ∈ Z et 1 ≤ i ≤ k − 1. La

longueur d'un chemin est déni comme étant le nombre de èches qui le composent. Nous associons également àchaque sommet j ∈ Q0, un chemin j de longueur 0.

Exemple 1.1.4. En considérant le carquois de l'exemple précédant, αβ, βγ et γα sont tous les chemins de longueur 2 et αβγα est un chemin de longueur 4.

Dénition 1.1.5. Soit un carquois Q et k un corps. L'algèbre de chemins kQ est le

k-espace vectoriel ayant comme base l'ensemble des chemins de Q auquel est ajouté une

multiplication vectorielle dénie comme suit :

α₁α₂. . . α_i◦ β₁β₂. . . β_j =



α₁α₂. . . α_iβ₁β₂. . . β_j si t(α_i) = s(β₁)

0 autrement

avec α1α2. . . αi et β1β2. . . βj des chemins de Q

Dans le cadre de cet ouvrage, nous nous concentrerons sur un type de carquois en parti-culier, c'est-à-dire les carquois de type An ayant le graphe suivant comme graphe

sous-jacent :

Nous mentionnerons également parfois les carquois de type Dn ayant le graphe suivant

comme graphe sous-jacent :

1 3 · · · n

2

1.2 Catégories de modules

Maintenant, dénissons ce qu'est le carquois d'Auslander-Reiten pour une catégorie de modules.Pour cela, nous aurons besoin de quelques notions par rapport aux catégories de modules.Voir [ASS06].

Dénition 1.2.1. Soit M ∈ modA, le radical de M, radAM, est l'intersection de tout

les sous-modules maximaux de M.

Dénition 1.2.2. Soit f ∈ HomA(X, Y ), f est une section (ou une rétraction) s'il existe

un homomorphisme g ∈ HomA(Y, X) tel que gf = 1Y (ou fg = 1X).

Dénition 1.2.3. Un A-module X = 0 est indécomposable si X ∼= M ⊕ N implique que

M = 0 ou N = 0.Aussi, un homomorphisme f ∈ Hom_A(X, Y ) est irréductible si les

conditions suivantes sont remplies :

1. f n'est pas une section ni une rétraction

2.si f = gh, alors g est une rétraction ou h est une section.

De plus, Irr(X, Y ) = radA(X, Y )/rad2A(X, Y ) est un k-espace vectoriel que nous

nom-merons l'espace de morphismes irréductibles.

Exemple 1.2.4. Soit M un A-module et e un idempotent primitif de M.Alors, le

A-module eM est indécomposable et l'inclusion rad(eM) → eM est un morphisme

Dénition 1.2.5. Soient X et Y des A-modules, radA(X, Y ) est le k-espace vectoriel des

morphismes f : X → Y , tel que pour tout morphismes s : M → X et r : Y → N, avec

s une section , r une rétraction et M, N indécomposables, sfr est irréductible. Aussi, rad2_A(X, Y ) est composé des homomorphismes de la forme n_i=1g_if_i tels que pour tout i, f_i ∈ rad_A(X, Z_i) et g_i ∈ rad_A(Z_i, Y) avec Z_i ∈ modA.

Nous avons maintenant les concepts nécessaires pour dénir le carquois Reiten d'une catégorie de modules. Nous donnerons également le carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie de type A4 en exemple. Rappelons qu'une algèbre A est dite

connexe si elle n'est pas un produit direct de deux algèbres et elle est dite sobre si pour tout ensemble complet {e1, . . . , en} d'idempotents orthogonaux primitifs, eiA ∼= ejA,

pour tout i = j.

Dénition 1.2.6. Soit A une k-algèbre sobre, connexe de dimension nie et k un corps algébriquement clos. Le carquois d'Auslander-Reiten de A, noté ΓmodA, est un carquois

tel que :

 les sommets sont les classes d'équivalence des A-modules indécomposables.

 Soient M et N deux A-modules indécomposables, les èches de [M] vers [N] sont en bijection avec les vecteurs d'une base de Irr(M, N).

Exemple 1.2.7. Considérons A = kQ avec Q = 4 → 3 → 2 → 1. Les représentations des A-modules indécomposables sont (voir [ASS06]) :

P₁ = 0→ 00 → 00 → k,0 P₂ = 0 → 00 → k0 → k,1 P₃ = 0 → k0 → k1 → k,1 P₄ = k→ k1 → k1 → k,1 S₂ = 0→ 00 → k0 → 0,0 S₃ = 0→ k0 → 00 → 0,0 S₄ = k→ 00 → 00 → 0,0 I₂ = k→ k1 → k1 → 0,0 I₃ = k → k1 → 00 → 0 et0

M = 0 → k0 → k1 → 0.0

P₁ P₂ P₃ P₄ S₂ M I₂ S₃ I₃ S₄

1.3 Catégories amassées

Maintenant que nous avons déni le carquois d'Auslander-Reiten pour les catégories de modules, nous cherchons à le dénir dans le cadre de notre sujet d'étude, c'est à dire les catégories amassées. Nous allons donc construire la catégorie amassée d'une algèbre A. Pour y parvenir, nous dénirons les catégories dérivées, mais nous devons d'abord étudier les complexes de modules. Voir [Hap87] et [BMR+_06]

Dénition 1.3.1. Un complexe de A-modules est une paire (X∗_{, d}∗_{) où X}∗ _{= {X} i|

i ∈ Z} est un ensemble de A-module et d∗ = {d_i : X_i → X_i+1| d_i+1d_i = 0}, avec d_i un homomorphisme de modules pour tout i. On dénit également un morphisme de

complexes f∗ _{: (X}∗_{, d}∗_{) → (Y}∗_{, b}∗_{) comme un ensemble de morphismes de A-modules}

f∗ = {f_i : X_i → Y_i| f_ib_i = d_if_i+1}. Notons C(A), la catégorie additive des complexes de A-modules.

Exemple 1.3.2. Soit A = kQ, l'algèbre de chemins du carquois Q : 1 → 2 → 3. C est un complexe de A-modules, avec i et p l'inclusion canonique et la projection canonique.

C : . . .−→0 0 0 0 0 −→ P3 = 1 0 0 i −→ P1 = 1 1 1 p −→ S1 = 0 0 1 0 −→ 00 0 0 −→ . . .

Notons que nous pouvons appliquer une translation des indices à un complexe pour en obtenir un autre. Si C = (X∗_{, d}∗_{) est un complexe de A-modules et s ∈ Z, nous pouvons}

obtenir un nouveau complexe C[s] = (Y∗_{, b}∗_{), où Y}

n= Xn+s et bn= dn+s. Nous pouvons

utiliser cette translation pour dénir un foncteur [s] : C(A) → C(A), appelé foncteur de suspension.

Dénition 1.3.3. Un complexe de A-modules est borné s'il est composé d'un nombre ni de modules non-nuls. Notons Cb_{(A) la catégorie additive des complexes de A-modules}

bornés.

Exemple 1.3.4. Le complexe C de l'exemple précédant est borné.

Dénition 1.3.5. Soit deux complexes de A-modules X = (X∗_{, d}∗_{) et Y = (Y}∗_{, b}∗_{), deux}

morphismes de complexes f∗_{, g}∗ _{: X → Y sont dit homotopes s'il existe un morphisme}

de complexes s∗ _{= {s}

n : Xn→ Yn−1 tel que fn− gn= bn−1sn+ sn−1fn}.

Dénition 1.3.6. La catégorie d'homotopies de C(A), K(A) est C(A) quotienté par l'idéal des morphismes homotopes au morphisme nul. De même, la catégorie d'homotopies de Cb_{(A) sera notée K}b_(A).

Dénition 1.3.7. Soit un complexe de A-modules C = (X∗_{, d}∗_{) et n ∈ Z, la n-ième}

cohomologie de C est dénie comme suit :

Dénition 1.3.8. Soient C et D des complexes de A-modules et f∗ _{: C → D un}

morphisme de complexe. f∗ _{est un quasi-isomorphisme si, pour tout n ∈ Z, f}

n induit un

isomorphisme Hn_{(f) : H}n_{(C) → H}n_(D).

Dénition 1.3.9. Soient C une catégorie de modules et S une classe de morphismes de C. S'il existe, le foncteur de localisation de C par rapport à S :

F_S : C → D

est l'unique foncteur canonique tel que les morphismes de S sont des isomorphismes dans D. Dans ce cas, D est appelée localisation de C par rapport à S.

Dénition 1.3.10. La catégorie dérivée bornée d'une k-algèbre A, Db_{(A), est la}

locali-sation de Kb_{(A) par rapport aux quasi-isomorphismes.}

Nous pouvons maintenant voir la structure du carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie dérivée Db_{(A). Si A est une algèbre de chemins A = kQ, il est possible de montrer que}

les complexes indécomposables sont simplement les complexes de la forme,

M∗ : . . .−→ 00 −→ 00 → M−0 −→ 00 −→ 00 −→ . . .0

où M est un A-module indécomposable, voir [Hap87]. Le carquois d'Auslander-Reiten de

modA sera donc contenu dans celui de Db_{(A). De plus, pour chaque module}

indécompo-sable M, les translations M∗_{[n] sont indécomposables pour tout n ∈ Z. Nous pouvons en}

déduire que le carquois d'Auslander-Reiten de Db_{(A) est une suite de copie du carquois}

de modA.

Exemple 1.3.11. Voici le carquois d'Auslander-Reiten de Db_{(kQ), avec}

P1 P2 P3 P4 S2 M I2 S3 I3 S4 P1[1] P2[1] P3[1] P4[1] S2[1] M[1] P4[−1] P3[−1] . . . _{. . .} . . . . . .

Nous pouvons maintenant dénir le concept principal de cette section, c'est-à-dire, les catégories amassées. Nous donnerons la dénition et montrerons un exemple de carquois d'Auslander-Reiten d'une catégorie amassée.

Dénition 1.3.12. Soit A = kQ une algèbre, la catégorie amassée de A est le quotient

Db_(modA)/τ−1_{[1], où τ est la translation d'Auslander-Reiten.}

Notons que la catégorie amassée de A sera dite de type An (ou Dn) si A = kQ avec Q

de type An (ou Dn).

Exemple 1.3.13. En reprennant l'exemple précédant, on peut voir que

τ[1](P₁) = S₂[1], τ[1](P₂) = M[1], τ[1](P₃) = I₂[1] et τ[1](P₄) = P₁[2].

P1 P2 P3 P4 S2 M I2 S3 I3 S4 P1[1] P2[1] P3[1] P4[1] P1 P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P3 . . . P4

Dénition 1.3.14. Soient C une catégorie amassée et T ∈ C, T est un objet inclinant-amassé si les deux conditions suivantes sont respectées :

1. HomC(T, T [1]) = 0. (un tel objet est dit rigide)

2. si HomC(X, T [1]) = 0 = HomC(T, X[1]), alors X ∈ add(T )

Si C est la catégorie amassée de A = kQ, il existe une application, nommée mutation, par laquelle nous pouvons générer de nouveaux objets inclinants-amassés à partir d'autres objets inclinants-amassés, voir [BMR+_{06]. Soit T = T}∗_{⊕ X, où T est un objet}

inclinant-amassé et X un facteur indécomposable de T , la mutation en X de T , noté μX(T ),

est T∗ _{⊕ X}∗ _{où X}∗ _{est l'unique objet indécomposable tel que X}∗ _{= X et μ}

X(T ) est

inclinant-amassé.

Exemple 1.3.15. En retournant à l'exemple de la catégorie amassée de type A4 vu

précédement, nous pouvons voir que T1 = S2⊕ M ⊕ I2⊕ P1[1] et T2 = S2⊕ I2⊕ P1[1] ⊕ S4

1.4 Triangulations de polygones

Dans cette section, nous allons dénir le concept de triangulation d'un polygone et discu-ter de la relation entre ces triangulations et les objects inclinants amassés des catégories amassées de type An.

Dénition 1.4.1. Soit un polygone à n côtés P , un arc de P est un segment de droite connectant deux sommets de P . Deux arcs sont compatibles s'ils ne s'intersectent pas, sauf en leurs sommets. Une triangulation T de P est un ensemble maximal d'arcs compatibles de P . Notons que le nombre d'arcs composant une triangulation de P est constant et est égal à n − 3.

Exemple 1.4.2. Soit T la triangulation de l'heptagone suivante, α, β, γ et δ en sont les arcs. T α β δ γ

Nous allons maintenant dénir une relation d'échange permettant de générer de nouvelles triangulations d'un polygone à partir d'une triangulation donnée de ce polygone.

Dénition 1.4.3. Soient P un polygone, T une triangulation de P et α un arc de T . Le ip de l'arc α est l'action de retirer cet arc et de le remplacer par un autre arc β compatible avec T\{α}. Nous noterons le ip de α dans T , μα(T ).

α β μ_α(T ) μ_β(T) T _T . .. . .. _{. ..} . .. . .. . .. . .. . ..

Lemme 1.4.4. [FST08] Soit T1 et T2, deux triangulations d'un polygone. Il existe une

séquence de ips, μα1, μα2, . . ., μαn, telle que T1 = μα1(μα2(. . . (μαn(T2)) . . .)).

Il existe un lien entre les triangulations et les catégories amassées de type An. En eet,

les arcs d'un polygone à n + 3 côtés sont en bijection avec les objets indécomposables de la catégorie amassée de type An et les triangulations d'un polygone à n + 3 côtés sont en

bijection avec les objets inclinants-amassés de la catégorie amassée de type An. De plus,

les ips de triangulations correspondent aux mutations dans les catégories amassées, voir [FST08]. Nous pouvons donc construire le carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie amassée de type A4, voir gure 1.1.

Figure 1.1  carquois d'Auslander-Reiten de A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 2

Graphes d'échanges et propriété de

maintien des facteurs communs

Dans cette section, nous allons voir les graphes d'échanges et étudier la propriété de maintien des facteurs communs selon l'approche originale de Sleator, Tarjan and Thurston dans [STT88].

2.1 Graphes d'échanges

Dénition 2.1.1. Soit C une catégorie amassée, le graphe d'échanges de C est un graphe dont les sommets sont les objets inclinants-amassés et dont deuxsommets sont liés par une arête si les objets inclinants-amassés associés peuvent être obtenus l'un de l'autre par une mutation.

Les graphes d'échanges ont certaines propriétés qui nous seront utiles. Tout d'abord, les chemins du graphe d'échanges représente des séquences de ips connectant des

triangula-tions. De plus, ces graphes sont des polytopes et chaque face de ces polytopes correspond à un objet indécomposable de la catégorie amassée. En eet, tout les objets inclinants-amassés ayant un facteur indécomposable en commun sont des sommets de la même face et seuls les objets inclinants-amassés ayant ce facteur indécomposable sont dans cette face.

Exemple 2.1.2. Voici le graph d'échange de type A3.

Pour la suite du présent document, nous n'étudierons que les catégories amassées de type An et dans ce cas, le graphe d'échanges est appelé associaèdre.

2.2 Propriété de maintien des facteurs communs

La propriété de maintien des facteurs communs est une caractéristique de certaines fa-milles de polytopes étudiées en théorie des graphes. Elle présente un intérêt dans l'étude

des catégories amassées, car comme nous l'avons vu précédement, les graphes d'échanges sont des polytopes.

Dénition 2.2.1. Un polytope P respecte la propriété de maintien des facteurs commun, si pour toute paire de sommets appartenant à une même face, le chemin le plus court connectant ces deux sommets est contenu dans cette face.

Dans le cas qui nous intéresse, si le graphe d'échanges d'une catégorie amassée respecte la propriété de maintien des facteurs communs, cela implique que si deux objets inclinants-amassés ont un facteur indécomposable en commun, aucune séquence minimale de muta-tion entre ces deux objets inclinants-amassés ne mutera le facteur indécomposable qu'ils ont en commun.

Sleator, Tarjan et Thurston ont démontré que les associaèdre de type An respectent la

propriété de maintien des facteurs communs. Pour prouver ce résultat, ils ont du dénir un objet combinatoire qu'ils ont appelé normalisation et l'utiliser sur les triangulations de polygones.

Dénition 2.2.2. Soient T = {α1, α2, . . . , αn} une triangulation du polygone à n + 3

côtés et β un arc de ce polygone (pas nécessairement élément de T ). La normalisation de T par rapport à β, noté Nβ(T ), est l'ensemble formé des éléments suivants :

 β ∈ Nβ(T )

 Pour tout αi ∈ T , tel que αi est compatible avec β, on a αi ∈ Nβ(T ).

 Si αi connecte les sommets a et b, que β connecte les sommets c et d et que αi et β

ne sont pas compatible, les arcs α∗

i connectant a et d et α∗∗i connectant b et d sont des

arcs de Nβ(T ).

Si un arc est généré plus d'une fois au cours ce processus, nous n'en conserveront qu'une seule copie. Aussi, si un arc généré est une arête du polygone, cet arc sera ignoré. Exemple 2.2.3. Voici un exemple de normalisation, avec T une triangulation de

l'octo-gone et β un arc de l'octol'octo-gone :

c

d

T N_β(T )

Nous remarquerons, dans cette dénition, que la normalisation possède une orientation. En eet, pour la troisième étape de la normalisation, nous aurions pu choisir d'attacher α∗

et α∗∗_{au sommet c plutôt que d. Le choix de cette orientation pourrait donner un résultat}

diérent pour la normalisation d'une triangulation, mais elle ne change pas les propriétés de la normalisation et n'a pas d'impact sur la future utilisation de celle-ci dans le cadre de la démonstration à laquelle nous désirons parvenir. La normalisation possède plusieurs propriétés intéressantes que nous utiliserons pour montrer que les associaèdres de type An respectent la propriété de maintien des facteurs communs. Voici ces propriétés.

Proposition 2.2.4. [STT88] Soient T et T∗ _{deux triangulations d'un polygone à n + 3}

côtés et β un arc de ce polygone (pas nécessairement élément de T ou T∗_{), les propriétés}

suivantes sont vraies :

1. Nβ(T ) est une triangulation.

2. Si β ∈ T , alors Nβ(T ) = T .

3. Si β est incompatible avec un seul arc α ∈ T , alors Nβ(T ) = μα(T ).

4. S'il existe un arc α ∈ T tel que μα(T ) = T∗, alors soit il existe un arc γ ∈ Nβ(T ),

tel que μγ(Nβ(T )) = Nβ(T∗) soit Nβ(T ) = Nβ(T∗)

Démonstration. Pour démontrer cette proposition, il sut de faire une étude de cas sur l'eet de la normalisation sur les triangulations. Supposons que β connecte les sommets a

et b, nous normaliserons en attachant les arcs au sommet b. Tout d'abord, nous montrons que Nβ(T ) est une triangulation, en vériant que Nβ(T ) est composé du même nombre

de triangles que T . Nous numéroterons les triangles de T traversés par β, de 1 à k avec

k ≤ 2 ∈ Z, en ordre de a vers b. Notons qu'il est impossible que β traverse un seul

triangle de T . Si β ne traverse aucun triangle de T , c'est à dire si β ∈ T , il est évident que Nβ(T ) = T , donc Nβ(T ) est une triangulation (cela montre également la deuxième

partie de la proposition). Si β traverse des triangles de T , β peut les traverser de trois façons diérentes. Tout d'abord, la normalisation envoi le triangle 1 vers deux triangles :

b b

a a

N_β

Ensuite, pour le triangle k, la normalisation ne donnera aucun triangle :

b b

a a

N_β

Ainsi, les triangles 1 et k sont normalisés vers un total de deux triangles. Si k = 2, nous avons démontré que le nombre de triangles de Nβ(T ) est le même que celui de T , donc

que Nβ(T ) est un triangulation. Si k ≥ 3, pour tout les triangles j, avec 2 ≤ j ≤ k − 1,

b b

a a

N_β

Ce qui montre que Nβ(T ) est une triangulation pour tout k et montre le premier énoncé

de la proposition. Nous devons maintenant montrer que si β croise un seul arc α de

T, alors N_β(T ) = μ_α(T ). Pour cela nous n'avons qu'à observer ce qui se produit dans

le quadrilatère de T contenant α et β, puisque le reste de T ne sera pas aecté par la normalisation. b b a α a N_β

La gure précédente nous montre que Nβ(T ) = μα(T ).

Finalement, nous devons montrer que s'il existe un arc α ∈ T tel que μα(T ) = T∗, alors

soit il existe un arc γ ∈ Nβ(T ), tel que μγ(Nβ(T )) = Nβ(T∗) soit Nβ(T ) = Nβ(T∗). Pour

cela, nous nous concentrerons sur ce qui se produit à l'intérieur du quadrilatère où se produit le ip puisque le reste de la normalisation sera identique pour T et T∗_{. Nous}

procèderons par une étude de cas en vériant toutes les façons dont β peut intéragir dans le quadrilatère du ip. Nous pouvons réunir toutes ces façons dans cinq cas diérents qui sont illustrés dans l'Annexe A. En observant les diagrammes de l'Annexe A, nous constatons que le quatrième énoncé de la proposition est vérié.

Théorème 2.2.5. [STT88] Les graphes d'échanges de type An respectent la propriété

de maintien des facteurs communs.

Démonstration. Soient T et T∗ _{deux triangulations d'un même polygone, tel que l'arc β}

est commun à T et T∗_{. Considérons la suite S, de triangulations connectées par des ips,}

commençant en T et terminant en T∗_{, telle que μ}

β fait partie de la suite.

S : T → T₁ → T₂ → . . . → T_n→ T∗

En appliquant la normalisation àcette suite et grâce àla propostion 2.2.4 (1) et (4), nous obtenons une nouvelle suite, S∗_{, de triangulations connectées par des ips.}

S∗ : N_β(T ) → N_β(T₁) → N_β(T₂) → . . . → N_β(T_n) → N_β(T∗)

Selon la proposition 2.2.4 (2), Nβ(T ) = T et Nβ(T∗) = T∗, donc S∗ est une nouvelle

suite de T vers T∗_{. De plus, il existe un i tel que, T}

i+1= μβ(Ti). Ainsi, par la proposition

2.2.4 (2), Nβ(Ti) = Ti et par la proposition 2.2.4 (3), Nβ(Ti+1) = μα(Ti+1) où α est

l'arc obtenu par le ip de β. Cela implique que μα(Ti+1) = Ti, donc Nβ(Ti+1) = Ti et

N_β(T_i) = N_β(T_i+1). Alors la suite S∗ devient :

T → N_β(T₁) → . . . → N_β(T_i−1) → N_β(T_i) = N_β(T_i+1) → N_β(T_i+2) → . . . → N_β(T_n) → T∗

Ce qui fait de S∗ _{une suite de T vers T}∗_{, contenu dans la face associée à β, plus courte}

que S. Nous pouvons donc en déduire que la suite la plus courte est contenue dans la face associée à β.

CHAPITRE 3

Approche algébrique

Notre objectif pour cette section est d'utiliser des concepts provenant de la théorie des catégories amassées pour démontrer le résultat de Sleator, Tarjan et Thurston [STT88]. L'avantage de notre approche est qu'elle ouvre la porte à une généralisation du résultat pour des types de catégories amassées autres que celle de An, sans avoir à dénir une

nouvelle forme de normalisation dans chaque cas, comme l'ont fait Ceballos et Pilaud [CP16] pour les graphes d'échanges de type Dn. Pour atteindre cet objectif, nous devons

dénir l'approximation introduite par Auslander et Smalø, dans [AS80].

3.1 Approximations

Dénition 3.1.1. Soient C une catégorie additive, D une sous-catégorie additive de C et soient X et Y des objets de D et C respectivement. Un morphisme f ∈ HomC(X, Y )

est une D-approximation à droite de Y si HomC(Z, f) : HomC(Z, X) → HomC(Z, Y ) est

un épimorphisme pour tout objet Z ∈ D.

Hom_C(f, Z) : Hom_C(Y, Z) → Hom_C(X, Z) est un épimorphisme pour tout objet Z ∈ D.

Autrement dit, f ∈ HomC(X, Y ) est une D-approximation à droite de Y si pour tout

Z ∈ D et tout morphisme h ∈ Hom_C(Z, Y ), il existe un morphisme g ∈ Hom_C(X, Z), tel

que fg = h.

Évidement, étant donnés une sous-catégorie D et un objet Y ∈ C, les approximations à droite et à gauche ne sont pas uniques. Nous devons donc dénir le concept de morphisme minimal introduit par Auslander et Reiten dans [AR77].

Dénition 3.1.2. Soient X et Y des modules de mod A. Un morphisme f : X → Y est dit minimal à droite si tout g ∈ EndA(X) tel que f = fg est un automorphisme.

Dualement, un morphisme f : X → Y est dit minimal à gauche si tout h ∈ EndA(Y ) tel

que f = hf est un automorphisme.

Nous pouvons maintenant combiner ces deux dénitions : f ∈ HomC(X, Y ) est une

D-approximation minimale à droite de Y si f est une D-D-approximation à droite de Y et f est une morphisme minimal à droite. De même pour la dénition duale.

3.2 Démonstration de la propriété de maintien des

fac-teurs communs par l'approximation

Nous voulons dénir une application ayant les mêmes propriétés que la normalisation de Sleator, Tarjan et Thurston à partir de l'approximation. Pour cela, nous devons dé-nir l'équivalent algébrique d'une face d'un graphe d'échanges. Rappelons que les faces d'un graphe d'échange sont en bijection avec les objets indécomposables de la catégorie amassée et que l'ensemble des sommets de la face associée à un objet indécomposable

α est l'ensemble des objets inclinants-amassés de la catégorie amassée ayant α comme

facteur. Il est donc naturel de dénir la face de α dans la catégorie amassée comme la plus petite sous-catégorie contenant tout les objets-inclinants amassés ayant α comme facteur. C'est-à-dire l'ensemble des objets compatibles avec α.

Dénition 3.2.1. Soient C une catégorie amassée et α un objet indécomposable de C. La face de α, notée Mα, est dénie comme la sous-catégorie pleine de C ayant pour objets :

Obj(M_α) = {X ∈ C|Hom_C(X, α[1]) = 0 = Hom_C(α, X[1])}.

Nous pouvons maintenant dénir l'application que nous utiliserons pour montrer que les graphes d'échanges de type Anrespectent la propriété de maintien des facteurs communs.

Dénition 3.2.2. Soient une catégorie amassée C et T = α1 ⊕ α2 ⊕ . . . ⊕ αn−1⊕ αn

un objet de C avec les αi indécomposables. Soit β un objet indécomposable de C. La

projection de T dans Mβ, notée PMβ(T ), est dénie comme l'application suivante :

P_Mβ(T ) = (

n



i=1

Y_i) ⊕ β

où Yi est un objet de Mβ, pour lequel il existe un morphisme f : Yi → αi, tel que f

est une Mβ-approximation minimale à droite de αi. Comme pour la normalisation, nous

conserverons une seule copie des facteurs indécomposables qui se répètent dans PMβ(T )

Nous devons maintenant montrer que l'application PMβ répond aux 4 propriétés de la

normalisation vues à la proposition 2.2.4 pour les catégories amassées de type An.

Proposition 3.2.3. Soient T et T∗ _{deux triangulations d'un polygone à n + 3 côtés et β}

un arc de ce polygone (pas nécessairement élément de T ou T∗_{), les propriétés suivantes}

sont vraies :

2. Si β ∈ T , alors PMβ(T ) = T .

3. Si β est incompatible avec un seul arc α ∈ T , alors PMβ(T ) = μα(T ).

4. S'il existe un arc α ∈ T tel que μα(T ) = T∗, alors soit il existe un arc γ ∈ PMβ(T ),

tel que μγ(PMβ(T )) = Nβ(T∗) soit PMβ(T ) = PMβ(T∗)

Démonstration. Pour cette démonstration, nous procéderons à une étude de cas sur les triangulations de polygones. Nous aurons donc besoin de connaître l'action de PMβ sur

ces triangulations. Ainsi, il nous faut trouver une interprétation géométrique de l'ap-proximation d'une triangulation dans la face associée à un arc.

Premièrement, soient un polygone à n + 3 côtés et β un arc de ce polygone. Dans le carquois d'Auslander-Reiten de An, on peut voir que la face Mβ est la région en forme de

sablier ayant β comme point central (voir la région entourée en rouge et le point rouge de la gure 3.1). Soit un arc α, si α ∈ Mβ, alors il est évident que PMβ(α) = α ⊕ β. Par

contre, si α ∈ Mβ, on observe que la Mβ-approximation à droite de α doit être la somme

des diagonales connectant FMβ et α à la gauche de α pour que tout morphisme d'un objet

de FMβ vers α se factorise par celle-ci (voir les deux diagonales bleues et α en vert sur la

gure 3.1). Notons qu'il est possible que seule une ou même aucune diagonale passant par

α ne rejoigne F_Mβ vers la gauche. Dans le cas où une seule diagonale connecte avec F_Mβ,

l'approximation sera simplement cette diagonale plutôt que la somme de deux diagonales et si aucune diagonale ne connecte avec FMβ, l'approximation sera nulle. Nommons le

premier élément de chaque diagonale contenu dans FMβ, X1 et X2 (voir les points bleus

sur la gure 3.1). Nommons aussi la composition des morphismes sur les diagonales entre

X₁ et α et entre X₂ et α, f₁ et f₂ respectivement. On obtient que la M_β-approximation

à droite de α est X1⊕ X2 −−−→ α et cette approximation est clairement minimale. Ce(f1f2)

qui nous donne que PMβ(α) = X1⊕ X2⊕ β.

Figure 3.1  Structure du carquois d'Auslander-Reiten d'une catégorie amassée de type An

amassée, nous cherchons à connaître son action d'un point de vue géométrique dans la triangulation. En observant la disposition des arcs dans le carquois d'Auslander-Reiten d'une catégorie amassée de type An, nous remarquons qu'en se déplaçant le long d'une

diagonale vers la gauche, un des sommets des arcs est xe et l'autre se déplace dans le sens horaire le long du polygone (voir la gure 1.1 pour référence). Comme X1 se trouve

sur l'intersection d'une diagonale connectée à α et d'une autre diagonale connectée à β, cela signie que X1 a un sommet en commun avec α et un avec β (de même pour X2).

l'autre jusqu'à ce qu'il se connecte à un sommet de β. De cette façon, nous obtenons que P_Mβ donne : α β β X₁ X₂ P_Mβ

Maintenant que nous avons une interprétation géométrique pour l'application PMβ, nous

pouvons vérier que cette application respecte les propriétés énoncées à la proposition 3.2.3. Tout d'abord, nous devons montrer que si T est une triangulation, alors PMβ(T ) est

une triangulation. Pour cela nous allons vérier que PMβ(T ) contient autant de triangles

que T . Il nous sut de vérifer que l'image d'un triangle est un seul triangle. β intéragit avec un triangle de deux façons :

β β

P_Mβ

P_Mβ

β β

Il est clair que, dans les deux cas, le nombre de triangles ne change pas, donc PMβ(T )

est une triangulation. Cela signie que la proposition 3.2.3 (1) est respectée. En ce qui concerne la proposition 3.2.3 (2), il est évident que si β ∈ T , alors T ⊂ Mβ, ce qui veut

Ensuite, pour la proposition 3.2.3 (3), si β est incompatible avec un seul arc α de T , cela implique que nous sommes dans la situation suivante :

β α

β P_Mβ

Nous pouvons donc en déduire que PMβ(T ) = μα(T ) et ainsi que la proposition 3.2.3 (3)

est respectée.

Finalement, nous devons montrer que la proposition 3.2.3 (4) tient pour notre application. Nous cherchons donc à montrer que si T∗ _{= μ}

α(T ), avec α ∈ T , alors soit il existe un arc

γ ∈ P_Mβ(T ), tel que P_Mβ(T∗) = μ_γ(P_Mβ(T )) soit P_Mβ(T∗) = P_Mβ(T ). Pour démontrer

cette propriété, nous allons nous concentrer sur l'action de PMβ sur le quadrilatère dans

lequel se produit la mutation, car l'action de PMβ sur le reste de T et T∗ est identique

pour les deux. Nous allons donc observer toutes les façons dont PMβ peut agir sur un

quadrilatère avec une mutation. Voir les diagrammes dans l'Annexe B. Après observation de ces diagrammes, nous pouvons conclure que la proposition 3.2.3 (4) est respectée et donc que toutes les propriété énoncées dans cette proposition le sont.

La propriété 3.2.3 nous permet donc de reproduire la démonstration du théorème 2.2.5 en remplaçant la normalisation par l'application PMβ et ainsi montrer que les graphes

d'échanges des catégories amassées de type An obéissent à la propriété de maintien des

facteurs communs.

Démonstration. Soient T et T∗ _{deuxtriangulations d'un même polygone, tel que l'arc β}

commençant en T et terminant en T∗_{, telle que μ}

β fait partie de la suite.

S : T → T₁ → T₂ → . . . → T_n→ T∗

En appliquant la normalisation à cette suite et grâce à la propostion 3.2.3 (1) et (4), nous obtenons une nouvelle suite, S∗_{, de triangulations connectées par des ips.}

S∗ : P_Mβ(T ) → P_Mβ(T₁) → P_Mβ(T₂) → . . . → P_Mβ(T_n) → P_Mβ(T∗)

Selon la proposition 3.2.3 (2), PMβ(T ) = T et PMβ(T∗) = T∗, donc S∗ est une nouvelle

suite de T vers T∗_{. De plus, il existe un i tel que, T}

i+1= μβ(Ti). Ainsi, par la proposition

3.2.3 (2), PMβ(Ti) = Ti et par la proposition 3.2.3 (3), PMβ(Ti+1) = μα(Ti+1) où α est

l'arc obtenu par le ip de β. Cela implique que μα(Ti+1) = Ti, donc PMβ(Ti+1) = Ti et

P_Mβ(T_i) = P_Mβ(T_i+1). Alors la suite S∗ devient :

T → P_Mβ(T₁) → . . . → P_Mβ(T_i) = P_Mβ(T_i+1) → . . . → P_Mβ(T_n) → T∗

Ce qui fait de S∗_{une suite de T vers T}∗_{, contenu dans la face associée à β, plus courte que}

Conclusion

L'objectif du présent ouvrage était d'utiliser le concept d'approximation des catégories amassées pour apporter une nouvelle démonstration de la propriété de maintient des facteurs communs, ce que nous avons fait. La force de cette nouvelle démonstration est qu'elle est généralisable. En eet, la démonstration de Sleator, Tarjan et Thurston par la normalisation requiert de dénir une nouvelle normalisation pour chaque type de ca-tégorie amassée. Tandis que notre application PMβ peut s'appliquer à tout les types de

catégories amassées puisque l'approximation est dénie pour toute catégorie additive. Il serait donc intéressant, pour un projet futur, de déterminer quelles sont les conditions, s'il y en a, pour que PMβ respecte les 4 propriétés de la proposition 2.2.4 et ainsi

dé-terminer pour quels types de catégories amassées la propriété de maintien des facteurs communs est respectée. Notons que Ceballos et Pilaud ont déjà montré que c'est le cas pour les catégories amassées de type Bn, Cn, et Dn, mais nous n'avons aucune information

Annexe A : Étude de cas pour la

normalisation

T : T∗ : μ_α N_β N_β α = a b T : T∗ : μ_α N_β N_β α a b α μα

T T∗ μ_α N_β N_β α a b α μ_α T : T∗ : μ_α N_β N_β α = a b

Annexe B : Étude de cas pour

l'approximation

T : T∗ : μ_α P_Mβ P_Mβ α β γ μγ T : T∗ : μ_α P_Mβ P_Mβ α = β

T : T∗ : μ_α P_Mβ P_Mβ α β γ μ_γ T : T∗ : μ_α P_Mβ P_Mβ α = β

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