Si la décomposition en facteurs premiers de n est n = p1

Si la décomposition en facteurs premiers denest n=p1α1×p2α2 ×...×p_k^αk, le nombre de diviseurs de nest égal à(α₁+ 1)(α₂+ 1)...(α_k+ 1).

Q1

1. La réponse est positive.

Pourp= 20 = 2²×5 etq= 81 = 3⁴, le nombren= 2³×3 = 24 convient.

En effet :24p= 480 = 2⁵×3×5, qui admet donc6×2×2 = 24 diviseurs.

Et 24q = 1944 = 2³×3⁵ qui admet donc4×6 = 24diviseurs.

Le nombren= 30convient également (30p et30q ont alors 24 diviseurs chacun) 2. La réponse est positive.

p= 1610 = 2×5×7×23 admet 16 diviseurs etq= 2019 = 3×673admet 4 diviseurs.

On peut observer alors que 10pp = 2³×5³×7²×23² qui admet 144 diviseurs et que10pq = 2²×3×5²×7×23×673qui admet 144 diviseurs.

Le nombren= 10p= 16100convient donc et les nombresnpetnqauront chacun 144 diviseurs.

3. La réponse est négative.

p= 1961 = 37×53 admet 4 diviseurs etq = 84323 = 37×43×53admet 8 diviseurs.

Commeq= 43p,nq= 43npet doncnqetnpne peuvent avoir le même nombre de diviseurs, car la décomposition denq sera identique à celle denp à l’exception de la valuation 43-adique qui sera d’une unité de plus dans nq que dansnp: les nombres de diviseurs seront alors distincts.

Q2

D’après la question 3. de Q1, aucun diviseur ni multiple de 2019 (à l’exception évidente de 2019 lui-même) n’admettra d’égalisateur avec 2019.

On obtient dans un premier temps l’ensemble{1 ; 3 ; 673 ; 4038 ; 6057 ; 8076}.

Démontrons qu’aucun autre nombre inférieur à 10000 ne peut rejoindre cette liste (celle des nombres pour lesquels on ne peut trouver d’égalisateur avec 2019).

1ère étape : Montrons que la liste cherchée ne peut contenir que des multiples de 3 ou de 673 en montrant qu’aucun autre nombre ne peut y appartenir en exhibant à chaque fois un égalisateur de ce nombre et de 2019.

Montrons dans un premier temps qu’aucune puissance d’un nombre premier ne se trouve dans la liste cherchée (excepté les nombres 3 et 673).

• Si k est une puissance d’un nombre premier autre que 3 et 673, disons k = p^α (avec α ≥ 1), le nombre n = 3²×673×p^α−1 convient. Dans ce cas les nombres nk = 3²×673×p^2α−1 et 2019n= 3³×673²×p^α−1 ont12α diviseurs chacun.

• Sikest une puissance de 3:k= 3^α (avecα≥2).

Siα= 2 : le nombren= 3×673² convient : nk= 3³×673² et2019n= 3²×673³ ont alors 12 diviseurs chacun.

Siα≥3, le nombren= 3^α−3 convient :nk= 3^2α−3 et2019n= 3^α−2×673ont2α−2diviseurs chacun.

• Sikest une puissance de 673:k= 673^α (avecα≥2).

Siα= 2 : le nombren= 3²×673convient : nk= 3²×673³ et2019n= 3³×673² ont alors 12 diviseurs chacun.

Si α ≥ 3, le nombre n = 673^α−3 convient : nk = 673^2α−3 et 2019n= 3×673^α−2 ont 2α−2 diviseurs chacun.

Aucune puissance d’un nombre premier (excepté les nombres 3 et 673) ne se trouve donc dans la liste cherchée.

A partir de maintenant et jusqu’à la fin du document, tout nombre noté pi sera un nombre premier distinct de 3 et 673 et tout nombre α_i sera supérieur ou égal à 1.

Montrons qu’aucun nombre admettant exactement deux facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

Sik=p^α₁¹ ×p^α₂² avec α_i ≥1 etp_i différent de 3 et 673, alors le nombre n=p^α₁¹⁻¹×p^α₂²⁻¹ convient.

Les nombresnk=p^2α₁ ¹⁻¹×p^2α₂ ²⁻¹ et2019n= 3×673×p^α₁¹⁻¹×p^α₂²⁻¹ ont chacun4α₁α₂ diviseurs.

Aucun nombre admettant exactement deux facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

Montrons qu’aucun nombre admettant exactement trois facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

Sik=p^α₁¹×p^α₂²×p^α₃³ avecα_i ≥1etp_idifférent de 3 et 673, alors le nombren=p^3α₁ ¹⁻¹×p^2α₂ ²⁻¹×p^α₃³⁻¹ convient. Les nombresnk =p^4α₁ ¹⁻¹×p^3α₂ ²⁻¹×p^2α₃ ³⁻¹ et 2019n= 3×673×p^3α₁ ¹⁻¹×p^2α₂ ²⁻¹×p^α₃³⁻¹ ont chacun24α1α2α3 diviseurs.

Aucun nombre admettant exactement trois facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

Montrons qu’aucun nombre admettant exactement quatre facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

Si k = p^α₁¹ ×p^α₂² ×p^α₃³ ×p^α₄⁴ avec α_i ≥1 et p_i différent de 3 et 673, alors le nombre n = p^2α₁ ¹⁻¹× p^2α₂ ²⁻¹×p^3α₃ ³⁻¹×p^3α₄ ⁴⁻¹ convient. Les nombresnk =p^3α₁ ¹⁻¹×p^3α₂ ²⁻¹×p^4α₃ ³⁻¹×p^4α₄ ⁴⁻¹ et2019n= 3×673×p^2α₁ ¹⁻¹×p^2α₂ ²⁻¹×p^3α₃ ³⁻¹×p^3α₄ ⁴⁻¹ ont chacun144α1α2α3α4 diviseurs.

Aucun nombre admettant exactement quatre facteurs premiers distincts (autres que 3 et 673) dans sa décomposition ne peut appartenir à la liste cherchée.

k ne peut pas contenir cinq facteurs premiers ou plus (différents de 3 et 673) car le plus petit cas possible est 2×5×7×11×13 = 10010qui est supérieur à 10000.

Fin de la 1ère étape

2ème étape : Montrons qu’aucun multiple de 3 (les multiples de 673 s’en déduiront par les mêmes arguments), autre que ceux déjà présents, ne peut se trouver dans la liste cherchée.

Montrons qu’aucun produit de nombres premiers ne peut se trouver dans la liste cherchée (excepté 4038 = 2×3×673).

• Sikest un produit de deux nombres premiers, alors n= 1 convient car ket 2019 ont chacun 4 diviseurs.

Aucun produit de deux nombres premiers ne se trouve donc dans la liste cherchée.

• Si k = 3p1p2 avec pi différent de 673, le nombre n= p²₁p2 convient : kn = 3p³₁p²₂ et 2019n = 3×673×p²₁p2 ont alors chacun 24 diviseurs.

Sik= 673p₁p₂ avec p_i différent de 3, le nombre n=p²₁p₂ convient : kn= 673p³₁p²₂ et 2019n= 3×673×p²₁p2 ont alors chacun 24 diviseurs.

Aucun produit de trois nombres premiers (autre qu’un multiple de 2019) ne se trouve donc dans la liste cherchée.

• Sik= 3p₁p₂p₃, avecp_i différent de 673, alors le nombren=p⁴₁p³₂p²₃ convient :kn= 3×p⁵₁p⁴₂p³₃ et2019n= 3×673×p⁴₁p³₂p²₃ ont 240 diviseurs chacun.

Sik= 673×p₁p₂p₃ avecp_idifférent de 3, alorskest supérieur à 10000 (le plus petit cas possible étant673×2×5×7 = 47110

Aucun produit de quatre nombres premiers ne se trouve donc dans la liste cherchée.

• Sik= 3p₁p₂p₃p₄ avec p_i différent de 673, le nombre n=p⁷₁p⁶₂p⁵₃p²₄ convient :kn= 3p⁸₁p⁷₂p⁶₃p³₄ et 2019n= 3×673×p⁷₁p⁶₂p⁵₃p²₄ ont 4032 diviseurs chacun.

Sik= 673×p1p2p3p4,kest largement supérieur à 10000.

Aucun produit de cinq nombres premiers ne se trouve donc dans la liste cherchée.

• Aucun produit de six nombres premiers ou plus n’est inférieur à 10000.

Aucun produit de plusieurs nombres premiers (excepté 4038) ne peut se trouver dans la liste cherchée.

Nous pouvons également éliminer de la liste les nombres de la formek= 3^αp^α₁¹ avecα≥2: le nombre n= 3^3α−5p^8α₁ ¹⁻¹×673convient : les nombreskn= 3^4α−5p^9α₁ ¹⁻¹×673et2019n= 3^3α−4p^8α₁ ¹⁻¹×673² ont chacun72α₁(α−1)diviseurs.

De la même façon, nous pouvons éliminer de la liste les nombres de la forme k = 3^αp^α₁¹p^α₂² avec α ≥ 2 : le nombre n = 3^8α−10p^3α₁ ¹⁻¹p^3α₂ ²⁻¹ convient : les nombres kn = 3^9α−10p^4α₁ ¹⁻¹ ×p^4α₂ ²⁻¹ et 2019n= 3^8α−9p^3α₁ ¹⁻¹×p^3α₂ ²⁻¹×673ont chacun144α₁α₂(α−1)diviseurs.

De la même façon, nous pouvons éliminer de la liste les nombres de la forme k = 3^αp^α₁¹p^α₂²p^α₃³ avec α ≥ 2 : le nombre n = 3^3α−5p⁷₁p⁶₂p⁵₃ convient : les nombres kn = 3^4α−5p^9α₁ ¹⁻¹ ×p^8α₂ ²⁻¹×p^7α₃ ³⁻¹ et 2019n= 3^3α−4p^8α₁ ¹⁻¹×p^7α₂ ²⁻¹×p^6α₃ ³⁻¹×673ont chacun2016α₁α₂α₃(α−1)diviseurs.

De la même façon, nous pouvons éliminer de la liste les nombres de la formek= 3^αp^α₁¹p^α₂²p^α₃³p^α₄⁴ avec α≥2 : la seule possibilité estk= 3²×2×5×7×11 (toutes les autres dépassent 10000). Le nombre n= 3⁶2⁶5⁶7⁵11⁵ convient :kn= 3⁸2⁷5⁷7⁶11⁶ et2019n= 3⁷2⁶5⁶7⁵11⁵673ont chacun 28224 diviseurs.

Au-delà de quatre nombres premiers pi, le nombrek dépasse 10000.

kne peut être de la forme k= 673^α×aavec α≥2 car673² dépasse déjà largement 10000.

Aucun multiple de 3 ou de 673, autre que ceux déjà présents, ne peut se trouver dans la liste cherchée.

Fin de la deuxième étape

En résumé des deux étapes nous avons démontré qu’en dehors des six nombres présents dans la liste initiale, tout nombre qui n’est pas un multiple de 3 ou 673 ne peut se trouver dans la liste, de même que tout nombre qui est un multiple de 3 ou 673.

En conclusion, il n’y a quesixnombres inférieurs à 10000 pour lesquels on ne peut trouver d’égalisateur avec 2019.