COURS 04 SERIES NUMERIQUES 2020 2021

(1)

61

CHAPITRE 4

S´

ERIES NUM´

ERIQUES

⊙

La considération de véritables sommes infinies est une question étroitement liée à celle du pas-sage à la limite. L’absence persistante de concepts satisfaisants engendra de nombreuses interrogations et spéculations, `_{a l’exemple des paradoxes de Z´}enon. On trouve néanmoins déj`_{a chez Archim`}ede (quadrature de la parabole) les premières sommations explicites, avec les progressions géométriques.

En Angleterre, Richard Suiseth (XIVe siècle) calcule la somme de la série de terme général n 2n et son contemporain Nicole Oresme établit la divergence de la série harmonique. À la même époque, le math´_{ematicien et astronome indien Madhava est le premier à considérer des développements de fonctions} trigonométriques, sous forme de s´_{eries de Taylor, séries trigonométriques pour l’approximation de}π.

Au XVIIe si`_{ecle, James Gregory redécouvre plusieurs de ces résultats, notamment le développement} des fonctions trigonométriques en s´_{eries de Taylor et celui de la fonction arc-tangente permettant le calcul} deπ_{. En 1715, Brook Taylor, en donnant la construction générale des séries qui portent son nom, établit un} lien fructueux avec le calcul différentiel. Au XVIIIe siècle ´_{egalement, Leonhard Euler établit de nombreuses} relations remarquables portant sur des séries, notamment la très célèbre

+∑∞ n=1 1 n2 = π2 6 . En 1821, Cauchy ´

etablit le premier une théorie rigoureuse, il ´_{enonce avant Riemann la règle de convergence des séries qui} portent son nom.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : g´en´eralit´es

- 1 : d´efinitions et exemples. . . .page 62 - 2 : conditions de convergence. . . .page 62 Partie 2 : s´eries `a termes positifs

- 1 : comparaison de deux séries. . . .page 64 - 2 : comparaison série-intégrale. . . .page 67 Partie 3 : s´eries générales

- 1 : convergence absolue. . . .page 68 - 2 : séries alternées. . . .page 68 - 3 : transformation d’Abel (HP). . . .page 70 - 4 : produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. . . .page 71 - 5 : Espaces de suites. . . .page 72 - 6 : produits infinis (HP). . . .page 72 Partie 4 : rappels

- 1 : notations de Landau. . . .page 73 - 2 : d´eveloppements limit´es. . . .page 74

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PARTIE 4.1 : G´

EN´

ERALIT´

ES

La notation K d´esigne soit le corps des nombres r´eels, soit le corps des nombres complexes.

4.1.1 : D´

efinitions et exemples

D ´EFINITION 4.1 :

Si (un)n∈ N est une suite d’éléments de K, on dit que la série de terme général un, notée

∑ n>0un , ou ∑ n∈ N un ou mˆeme ∑

un, est une s´erie convergente si la suite (Sn)n∈ N, d´efinie par Sn = n

∑

k=0

uk, est

elle-mˆeme convergente. Dans le cas contraire, on dit que la s´erie ∑

n>0un est une s´erie divergente.

S_n est appel´e somme partielle d’ordrende la s´erie ∑ n>0

u_n.

Si ∑

n>0

un converge, on appelle somme de la s´erie

∑ n>0 un, notée +∑∞ n=0 un, la limite S= lim n→+∞Sn. Dans ce cas, on définit, pourn∈ N, le reste d’ordrende la série parRn=

(+∑_∞ p=0 up ) −Sn =S−Sn= +∑_∞ k=n+1 uk. EXEMPLE 4.1 : • La série ∑ n>0 (−1)n (2n)! converge et +∑∞ n=0 (−1)n (2n)! =cos(1). • La série ∑ n>0 1 2n est convergente et +∑∞ n=0 1 2n =2. • La série harmonique ∑ n>1 1 n diverge.

4.1.2 : Conditions de convergence

PROPOSITION SUR LES RESTES DE S ÉRIES CONVERGENTES 4.1 : On a une “réciproque” : ∀n∈ N, un=Sn−Sn−1 avec la convention S₋₁=0. Si la série ∑

n>0

un converge, alors lim

n→+∞Rn =0. De plus, ∀n> −1, S=Sn+Rn avec R−1=S.

REMARQUE 4.1 : Si (u_n)_n>n₀ n’est définie qu’à partir den₀∈ N∗, on considère la série ∑ n>n0

u_n ; si

elle converge, sa somme est not´ee +∑∞ n=n0

un. Par exemple les s´eries de Riemann

∑

n>1

1

nα o`uα∈ R.

PROPOSITION SUR LA “LIN ÉARIT É” DE LA CONVERGENCE DE S ÉRIES 4.2 : Soitλ∈ K, (u_n)_n_{∈ N}, (v_n)_n_{∈ N} deux suites d’éléments de K :

(i) Si ∑ n>0un et ∑ n>0vn convergent : ∑ n>0(un+vn) converge et +∑_∞ n=0 (un+vn) = +∑_∞ n=0 un+ +∑_∞ n=0 vn. (ii) Si ∑ n>0 u_n est convergente : ∑ n>0 (λu_n) converge et +∑∞ n=0 (λu_n) =λ +∑∞ n=0 u_n. (iii) Si ∑ n>0 un converge et ∑ n>0 vn diverge : ∑ n>0 (un+vn) diverge.

(3)

G ÉN ÉRALIT ÉS 63

REMARQUE 4.2 : • On ne peut rien dire de la somme de deux s´eries divergentes.

• L’application “somme”Sest une forme lin´eaire sur le sous -espace vectoriel de KNconstitu´e par les suites (u_n)_n_{∈ N} telles que ∑

n>0 u_n converge ; avecS : (u_n)_n_{∈ N}7→ +∑∞ n=0 u_n.

PROPOSITION SUR UNE CONDITION N ´ECESSAIRE DE CONVERGENCE 4.3 : Si la s´erie ∑

n>0

un converge alors la suite (un)n∈ N tend vers0.

REMARQUE 4.3 : • La réciproque est fausse comme en témoigne la série harmonique. • Une série ∑

n>0

un telle que (un)n∈ N ne tend mˆeme pas vers0est dite grossi`erement divergente.

TH ÉOR ÈME SUR LA DUALIT É SUITE/S ÉRIE ( ÉNORME) 4.4 : Soit (u_n)_n_{∈ N}∈ KN, on a l’équivalence : ((u_n)_n_{∈ N} converge)⇐⇒( ∑

n>0

(u_n+1−u_n) converge).

REMARQUE 4.4 : En cas de convergence ci-dessus, +∑_∞ n=0 (un+1−un) = ( lim n→+∞un ) −u0. EXERCICE 4.2 : Sip>2,n>0etvn = p ∏ k=1 1 n+k : ∑ n>0vn converge et +∑_∞ n=0 vn= ₍ 1 p−1)(p−1)!.

PROPOSITION SUR LES S ´ERIES COMPLEXES 4.5 : Soit (u_n)_n_{∈ N} une suite de nombres complexes :

(i) ( ∑ n>0 u_n converge ) ⇐⇒( ∑ n>0 Re(u_n) et ∑ n>0 Im(u_n) convergent ) . (ii) Dans ce cas, on a

+∑∞ n=0 un = +∑∞ n=0 Re(un) +i +∑∞ n=0 Im(un).

EN PRATIQUE : Soit (un)n∈ Nune suite r´eelle ou complexe, pour montrer que

∑

n>0

un converge :

• On trouve (v_n)_n_{∈ N}convergente versℓ telle queu_n=v_n−v_n+1, alors +∑∞ n=0

u_n=v₀−ℓ. • On exprime ∑

n>0

un comme la somme de deux s´eries convergentes. • Si (un)n∈ Nest complexe, on montre que

∑

n>0Re(un) et

∑

n>0Im(un) convergent. Soit (u_n)_n_{∈ N} une suite r´eelle ou complexe, pour montrer que ∑

n>0

u_n diverge : • On justifie que (un)n∈ Nne tend pas vers 0.

• On trouve (vn)n∈ Ndivergente telle queun=vn−vn+1. • On exprime ∑

n>0

un comme la somme d’une s´erie convergente et d’une s´erie divergente. • Si (un)n∈ Nest complexe, on montre que

∑ n>0Re (un) ou ∑ n>0Im (un) diverge.

EXERCICE CONCOURS 4.3 : E3A PSI 2014 Soufiane Soitu₀> 0et∀n>1, u_n+1= √

u2_n 1+u2_n. a. ´Etudier la variation, la convergence et la limite ℓde cette suite (un)n∈ N.

b. Calculer

n

∑

p=1

(4)

PROPOSITION SUR LES S ÉRIES G ÉOM ÉTRIQUES 4.6 :

Soita∈ C, à propos des séries géométriques : (i) La série ∑ n>0 an converge si et seulement si |a|< 1. (ii) Si |a|< 1alors +∑_∞ n=0 an = 1 1−a et Rn= +∑_∞ k=n+1 ak= an+1 1−a.

EXERCICE 4.4 : Convergence et valeur de la somme de ∑

n>2 ln ( 1+(−1) n n ) .

PARTIE 4.2 : S´

ERIES `

A TERMES POSITIFS

4.2.1 : Comparaison de deux s´

eries

PROPOSITION SUR UNE CONDITION N ´ECESSAIRE ET SUFFISANTE DE

CONVERGENCE DES S ´ERIES A TERMES POSITIFS 4.7 : Soit (un)n∈ N une suite de r´eels positifs :

(i) La s´erie ∑

n>0

u_n converge si et seulement si la suite (S_n)_n_{∈ N} est major´ee. (ii) Si c’est le cas :

+∑∞ n=0

un=Sup

n∈ NSn ; sinon on a : n→+∞lim Sn= +∞.

REMARQUE 4.5 : • On a un résultat analogue pour les suites réelles à valeurs négatives.

• Cette équivalence est valable même si le terme généralun n’est positif qu’à partir d’un certain rang

n0 : mais si la s´erie converge on a seulement +∑_∞ n=0

un= Sup n>n0

Sn et pas forc´ement +∑_∞ n=0

un=Sup n∈ N

Sn.

EXERCICE 4.5 : D´eterminer la nature de la s´erie ∑

n>1un

de terme général donné selon les cas par un = 1

n sin est un carr´e etun = 1

n2 sinon. Si elle converge, que vaut alors sa somme ?

TH ÉOR ÈME DE COMPARAISON ( ÉNORME) 4.8 : Soit (u_n)_n_{∈ N} et (v_n)_n_{∈ N} deux suites réelles à termes positifs :

(i) Si ∃n0∈ N, ∀n>n0, un 6vn et si ∑ n>0 un diverge alors ∑ n>0 vn diverge. (ii) Si∃n0∈ N, ∀n>n0, un 6vn et si ∑ n>0vn converge alors ∑ n>0un converge. (iii) Siun = +∞O(vn) et si ∑ n>0 vn converge alors ∑ n>0 un converge. (iv) Si un ∼ +∞vn alors ∑ n>0 un et ∑ n>0

vn sont de mˆeme nature.

REMARQUE 4.6 : Soit (un)n∈ N∈ ( R+)Ntelle que

∑ n>0un converge ; alors ∑ n>0u 2 n converge aussi.

EXERCICE 4.6 : ´Etablir la convergence de la s´erie ∑

n>2ln ( 1− 1 n2 ) . Calculer sa somme.

(5)

S ´ERIES `A TERMES POSITIFS 65

REMARQUE 4.7 :

• La plupart du temps, on a mˆemeun=

∞o(vn) ce qui impliqueun=∞O(vn).

• On peut comme avant ne supposer la positivit´e de ces deux suites qu’`a partir d’un certain rang : si on aun ∼

+∞vn alors quevn > 0, on a bien sˆurun> 0`a partir d’un certain rang.

• Ce qui compte est la constance des signes donc cela marche aussi si les suites sont n´egatives.

ORAL BLANC 4.7 : CCP PSI 2014 Thibault et CCP PSI 2016 Adrien Boudy

Soit (u_n)_n_{∈ N} d´efinie paru₀∈]0;π[ et∀n∈ N, u_n+1=sin(u_n). a. Montrer que (u_n)_n_{∈ N}converge et trouver la limite.

b. Montrer que ∑

n>0

u3_n converge. Indication : ´etudieru_n+1−u_n. c. Nature de ∑

n>0u 2

n ? Indication : ´etudierln(un+1)−ln(un).

REMARQUE HP 4.8 : On se rappelle du th´eor`_{eme de Cesaro : si une suite (}un)n∈ N converge versℓ, alors la suite des moyennes arithm´etiques

(

mn= u0+· · · +un−1

n

)

n∈ N∗

converge aussi versℓ.

REMARQUE HP 4.9 : Soit deux suites strictement positives (u_n)_n>0 et (v_n)_n>0 telles que u_n ∼

+∞vn. Alors si ∑ n>0un converge, on a +∑_∞ k=n+1 uk ∼ +∞ +∑_∞ k=n+1 vk. De plus, si ∑ n>0un diverge, on a n ∑ k=0 uk ∼ +∞ n ∑ k=0 vk.

EXERCICE 4.8 : En d´eduire un ´equivalent de (un)n∈ N d´efinie par ∀n∈ N, un+1 =sin(un) et

u0∈]0;π[ . Reprendre alors l’exercice précédent qui devient alors évident.

EXEMPLE FONDAMENTAL 4.9 : SoitIn =

∫

π/2

0 sin

n₍_t₎_dt_(int´

egrales de Wallis). a. Montrer que (In)n∈ Nest d´ecroissante. Trouver une relation entreIn etIn+2.

b. En d´eduire que∀n∈ N, (n+1)InIn+1 =π

2. Puis queIn+∼∞

√ π 2n. c. Donner une expression avec des factorielles deI2p, deI2p+1.

TH ÉOR ÈME SUR L’ ÉQUIVALENT DE STIRLING ( ÉNORME) 4.9 : Il existe γ∈ R (appelée constante d’Euler) telle que

n ∑ k=1 1 k+=∞ln(n) +γ+o(1). ´ Equivalent de Stirling : n! ∼ +∞ ( n e )n_√ 2πn.

EXERCICE CLASSIQUE 4.10 : Justifier l’existence et calculer la valeur de

+∑_∞ n=1

1 n(2n−1).

REMARQUE 4.10 : Si (un)n∈ N ∈ ( R∗+)N est telle que ∀n >n0, un+1

un 6

a < 1 alors la s´erie ∑ n>0

un

converge. C’est un r´esultat du `_{a d’Alembert mais en pratique on utilise plutˆot :}

TH ÉOR ÈME SUR LA R ÈGLE DE D’ALEMBERT 4.10 : Soit (un)n∈ N∈ ( R∗+)N, lim n→+∞ un+1 un =ℓ∈ R+= R+∪ {+∞}, alors : • Siℓ > 1 alors la série ∑ n>0 u_n diverge. • Siℓ < 1 alors ∑ n>0 un converge.

EXEMPLE 4.11 : Nature de la s´erie ∑

n>0

n! nn.

(6)

REMARQUE 4.11 : Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème ci-dessus : • Si lim

n→+∞ un+1

un

=1, on ne peut a priori rien dire de la convergence de la s´erie car c’est le cas pour toutes les s´_{eries de Riemann pour lesquelles on a}un= 1

nα. • Si lim n→+∞ un+1 un =1+, alors ∑ n>0

un diverge (grossi`erement) car (un)n∈ N est croissante `a partir d’un certain rang et strictement positive donc ne tend pas vers 0.

PROPOSITION 4.11 :

Soit (un)n∈ N une suite de r´eels positifs et k > 0 :

(i) S’il existe α > 1 tel queun ∼ +∞ k nα alors ∑ n>0 un converge.

(ii) S’il existe α61 tel queun₊∼

∞ k nα alors ∑ n>0un diverge. (iii) S’il existe α > 1 tel queun =

+∞O ( 1 nα ) alors ∑ n>0 un converge.

(iv) S’il existe α61 etn0∈ N tel que ∀n>n0, un> k

nα alors ∑

n>0

un diverge.

REMARQUE 4.12 : En pratique, on montre souvent, pour une série de terme généralun> 0: • qu’elle converge en établissant que lim

n→+∞n α_u

n =0avecα > 1, • qu’elle diverge en montrant que lim

n→+∞n α_u

n= +∞ avecα61.

EN PRATIQUE : Soit (un)n∈ Nune suite positive, pour montrer que ∑

n>0

un converge, on trouve : • (vn)n∈ N telle que∀n∈ un6vn et telle que

∑

n>0

vn converge. • (v_n)_n_{∈ N} telle queu_n =

+_∞O(vn) (ouun+=_∞o(vn)) et telle que

∑ n>0 v_n converge. • (vn)n∈ N telle queun ∼ +∞vn et telle que ∑ n>0 vn converge. •α > 1etk > 0 tels queun ∼ +∞ k nα ouun+=∞O ( 1 nα ) . •α > 1tel que lim

n→+∞n α_u

n =0. •ℓ < 1tel que lim

n→+∞

un+1

un

=ℓ.

Soit (un)n∈ N une suite positive, pour montrer que

∑

n>0

un diverge, on trouve : • (vn)n∈ N positive telle que∀n∈ vn 6un et telle que

∑

n>0vn

diverge. • (v_n)_n_{∈ N} positive telle quev_n =

+_∞O(un) (ou vn+=_∞o(un)) et telle que

∑ n>0 v_n diverge. • (vn)n∈ N telle queun ∼ +∞vn et telle que ∑ n>0 vn diverge. •0 < α61etk > 0tels que un₊∼ ∞ k nα ou 1 nα+=_∞O ( un ) . •0 < α61tel que lim

n→+∞n α_u

n = +∞. •ℓ > 1tel que lim

n→+∞

un+1

un

=ℓ.

ORAL BLANC 4.12 : Calculer

+∑∞ n=1

(√

n+a√n+1+b√n+2)quand elle converge.

EXERCICE CONCOURS 4.13 : Centrale PSI 2013 Mathieu

On pose, pourn>2,un= 1

(ln n)ln(ln n). Convergence de ∑

n>2

(7)

S ÉRIES G ÉN ÉRALES 67

EXERCICE CONCOURS 4.14 : E3A PSI 2014 Micka¨el On considère la s´_{erie de Bertrand générale pour} ∑

n>2

1 nα(lnn)β. a. ´Etudier la convergence de la s´erie en fonction deαet β. b. Montrer que

n

∑

k=2

1

k ln(k)+=∞ln(ln(n)) +C+o(1) avecCque l’on ne cherchera pas à déterminer. REMARQUE HP 4.13 : Les s´_{eries de Bertrand, comme les intégrales du même nom, sont extrêmement} classiques, doivent être connues mais on doit connaˆıtre la preuve de la divergence ou de la convergence.

4.2.2 : Comparaison s´

erie-int´

egrale

TH ÉOR ÈME DE COMPARAISON S ÉRIE / INT ÉGRALE ( ÉNORME) 4.12 : Soit f: R+→ R+ continue par morceaux sur R+, positive et décroissante sur R+ :

∑

n>0f(n) converge si et seulement si f est int´egrable sur R+.

REMARQUE HP 4.14 : Avec ces hypoth`eses : si on d´efinitw_n = (

∫

_n

n−1f(t)dt )

−f(n) pour tout entier n>1, alors la s´erie ∑

n>1

wn converge.

REMARQUE FONDAMENTALE 4.15 : Avec la fonctionf:x7→ 1

x, la s´erie ∑

n>1

1

n diverge mais il existe une constante γ ∼ 0.577 appel´_{ee constante d’Euler telle que}

+∑∞ n=2 (

∫

n n−1 dt t − 1 n ) = 1−γ ce qui se traduit par, en posantH_n=

n

∑

k=1

1

k (somme partielle de la s´erie harmonique),Hn+=_∞ln(n) +γ+o(1) !

Soitα∈ R, à propos des séries de Riemann : la série ∑

n>1

1

nα converge si et seulement siα > 1.

REMARQUE FONDAMENTALE 4.16 : Fonction zˆ_{eta de Riemann}ζ:]1; +∞[→ R,ζ(α) =

+∑∞ n=1

1 nα. • Quelques valeurs classiques sont `a connaˆıtre : ζ(2) = π2

6 ,ζ(4) = π4

90,ζ(6) = π6 945.

• L’encadrement établi lors de la démonstration de la proposition précédente montre la double inégalité : ∀α > 1, 1 α−1 6ζ(α)6 1 α−1+1; donc l’équivalentζ(α)∼1 1 α−1 et la limiteαlim→+∞ζ(α) =1. • La fonction ζ _{de Riemann se prolonge à C et la position de ses zéros a un rapport étroit avec la} répartition des nombres premiers via la relationζ(α) = ∏

p∈P

1

1−p−α qui utilise les s´eries ci-dessus.

ORAL BLANC 4.15 : Avec une comparaison s´erie-int´egrale, d´eterminer lim

a→+∞ +∑∞ n=1

a n2+a2. REMARQUE 4.17 : On peut se servir de cette comparaison série-intégrale pour les équivalents des sommes partielles des s´_{eries de Riemann divergentes et des restes des séries de Riemann convergentes :}

• Siα∈ [0;1[ alorsSn= n ∑ k=1 1 kα+∼∞ n1−α 1−α. • Siα > 1alorsR_n = +∑_∞ k=n+1 1 kα+∼_∞ 1 (α−1)nα−1.

(8)

PARTIE 4.3 : S´

ERIES G´

EN´

ERALES

4.3.1 : Convergence absolue

Soit (un)n∈ N∈ CN, on dit que

∑

n>0un

est une s´erie absolument convergente si ∑

n>0|un| est convergente.

REMARQUE 4.18 : ∑

n>0|un| est à termes positifs ; on peut lui appliquer les techniques précédentes.

PROPOSITION SUR LA CONVERGENCE ABSOLUE DES S ´ERIES COMPLEXES 4.14 : Soit (_∑ un)n∈ N une suite de nombres complexes, alors on a l’´equivalence suivante :

n>0

un est absolument convergente si et seulement si

∑ n>0 Re(un) et ∑ n>0 Im(un) le sont.

TH ´EOR `EME SUR UNE IMPLICATION ENTRE CONVERGENCE ET ABSOLUE

CONVERGENCE ( ´ENORME) 4.15 :

Toute s´erie absolument convergente est une s´erie convergente. Si ∑

n>0un

est absolument convergente alors

+∑_∞ n=0 un 6 +∑∞ n=0 |un|. REMARQUE 4.19 : • La réciproque de ce théorème est fausse.

• Une s´erie convergente mais non absolument convergente est dite une s´erie semi-convergente. • Soita∈ C, ∑

n>0a

n _{est absolument convergente si et seulement si}_|_a_|_{< 1}_.

TH ÉOR ÈME DE COMPARAISON ( ÉNORME) 4.16 : Soit (un)n∈ N et (vn)n∈ N deux suites réelles ou complexes :

(i) Si un = +∞O(vn), ∑ n>0vn absolument convergente =⇒ ∑ n>0un absolument convergente. (ii) Siu_n ∼ +_∞vn, ∑ n>0 u_n absolument convergente ⇐⇒ ∑ n>0 v_n absolument convergente.

4.3.2 : S´

eries altern´

ees

On dit que ∑ n>0

un est une s´erie altern´ee s’il existe (vn)n∈ Nr´eelle de signe fixe et∀n∈ N, un= (−1)nvn.

REMARQUE 4.20 : On peut ne commencer qu’`a un rang n0: l’important est l’alternance des signes.

EXEMPLE FONDAMENTAL 4.16 : ∑ n>1 (−1)n+1 n converge et +∑_∞ n=1 (−1)n+1 n =ln(2).

REMARQUE HP 4.21 : Que se passe-t-il si on permute les termes d’une s´erie r´eelle convergente ? En d’autres termes, si ∑

n>0un

converge et siσ: N → N est une bijection, que peut-on dire de ∑

n>0uσ(n) ? • Si ∑

n>0

u_n est absolument convergente, alors toute s´erie ∑ n>0

u_σ(n) converge (et vers la mˆeme somme). • Si ∑

n>0

un est semi-convergente, alors on peut faire converger

∑

n>0

(9)

TH ÉOR ÈME SP ÉCIAL DES S ÉRIES ALTERN ÉES ( ÉNORME) 4.17 : Si ∑

n>0un est une s´erie altern´ee telle que la suite

(

|un|

)

n∈ Nest d´ecroissante et tend vers0 alors

∑

n>0

u_n converge. On dit aussi critère spécial des séries alternées (en abrégé CSSA). De plus, dans ce cas, pour n> −1, Rn =

+∑∞ k=n+1

uk est du signe deun+1 et|Rn| 6 |un+1|.

REMARQUE 4.22 : Le critère spécial des séries alternées est une condition suffisante mais pas nécessaire de convergence pour les séries qui sont alternées.

EXEMPLE 4.17 : Donner un exemple de suite (u_n)_n_{∈ N} positive qui tend vers0telle que :

• la s´erie ∑ n>0

(−1)n_u

n converge et telle que (un)n∈ Nn’est pas d´ecroissante. • la s´erie ∑

n>0

(−1)n_u

n diverge et telle que (un)n∈ Nn’est pas d´ecroissante. REMARQUE FONDAMENTALE 4.23 :

• Si ∑ n>0

u_n v´erifie le CSSA alors +∑∞ n=0 u_n est du signe deu₀et +∑∞ n=0 u_n 6 |u₀|. • Si ∑ n>0

u_n est altern´ee, (u_n)_n_{∈ N}tend vers 0et(|u_n|)

n∈ Nest d´ecroissante `a partir du rangn0alors

∑

n>0

un converge. Par contre les propri´et´es sur le resteRn ne sont a priori valables que pour n>n0.

EXEMPLE 4.18 : Soitαun r´eel :

• Siα > 0alors ∑

n>1

(−1)n+1

nα converge (avec convergence absolue si et seulement siα > 1). • Siα60alors ∑

n>1

(−1)n+1

nα diverge grossi`erement.

REMARQUE 4.24 : Ne pas utiliser la règle des équivalents pour des séries non positives : par exemple siun =(−1) n √ n + 1 n alors ∑ n>1

un diverge alors queun ∼ +∞ (−_√1)n n et ∑ n>1 (−_√1)n n converge.

EXEMPLE 4.19 : ´Etudier la nature de ∑

n>1

(−1)n n2/3+cos(n)

.

ORAL BLANC 4.20 : D´eterminer, en fonction deα∈ R∗₊, la nature de ∑

n>2 ln ( 1+(−1) n nα ) .

REMARQUE HP 4.25 : Sommation par paquets : soit (u_n)_n_{∈ N}une suite r´eelle ou complexe, si on trouve une suite strictement croissante d’entiers (vn)n∈ Nqui tend vers +∞ et telle que

( ∑vn k=0 uk ) n∈ N converge

(versℓ) et qu’en plus

( v∑n+1

k=vn+1

|uk|

)

n∈ N

tend vers0, alors la s´erie ∑ n>0un

converge et sa somme vautℓ.

Démonstration : Soitε > 0, par la première hypothèse,∃n₀∈ N, ∀n>n₀,

vn

∑

k=0

u_k−ℓ 6 ε 2.

Or, la seconde condition montre qu’il existe aussin1∈ Ntel que∀n>n1, vn+1∑

k=vn+1

|uk| 6 ε

2.

Avecn2=Max(n0, n1), pour tout entierp>vn2, il existe un unique entiern>n2tel quevn6p < vn+1,

et on a la majoration : p ∑ k=0 uk−ℓ = vn ∑ k=0 uk−ℓ+ p ∑ k=vn+1 uk 6 vn ∑ k=0 uk−ℓ + v∑n+1 k=vn+1 |uk| 6ε.

(10)

ORAL BLANC 4.21 : Soit (un)n>1 d´efinie par u1 = 1, u2 = 1 3, u3 = − 1 2, u4 = 1 5, u5 = 1 7, u6 = −1

4,.... On a donc tous les termes de la série harmonique alternée mais on en prend deux positifs, puis un négatif, etc.... Montrer que ∑

n>1

u_n converge et d´eterminer la valeur de

+∑_∞ n=1

u_n.

EN PRATIQUE : Soit (un)n∈ Nune suite complexe, pour montrer que

∑ n>0 un converge : • On justifie que ∑ n>0| un| converge. • On trouve (vn)n∈ Npositive telle que

∑

n>0vn converge etun+=∞O(vn) ouun+=∞o(vn). Soit (un)n∈ N une suite r´eelle altern´ee, pour montrer que

∑

n>0

un converge : • On ´etablit que (|un|)n∈ Nd´ecroˆıt et tend vers0.

• On d´ecomposeun=vn+wn par DL avec

∑

n>0

vn qui v´erifie le CSSA et

∑

n>0

wn ACV. • On d´ecompose ∑

n>0un

par paquets (petit en valeur absolue) dont la s´erie converge.

EXERCICE 4.22 : ´Etudier la convergence de ∑

n>1

sin(ln n)

n .

4.3.3 : Transformation d’Abel (HP)

REMARQUE HP 4.26 : L’idée est de faire une analogie avec l’intégration par parties des intégrales. Au niveau des suites, ce qui fait office de dérivée est la différenceu_n+1−u_n de termes consécutifs et ce qui ressemble à une primitive est une somme partielle.

Quand on a une somme partielle faisant intervenir un produit n

∑

k=0

u_kv_k avec (u_n)_n_{∈ N} et (v_n)_n_{∈ N} des suites r´eelles ou complexes, on exprime l’un des termes, disons vn, sous la formevn =Vn−Vn−1 avec Vn =

n

∑

k=0

vk etV−1=0par convention. Ainsi, il vient une sorte d’IPP : ∀n>1, n ∑ k=0 ukvk= n ∑ k=0 uk(Vk−Vk−1) = n ∑ k=0 ukVk− n∑−1 k=0 uk+1Vk=unVn− n ∑ k=0 (uk+1−uk)Vk.

PROPOSITION SUR LA TRANSFORMATION D’ABEL 4.18 :

(HP) Soit (a_n)_n_{∈ N}∈ CN, (b_n)_n_{∈ N}∈ ( R+)N et∀n∈ N, un =anbn, on poseAn= n

∑

k=0

a_k. Si (An)n∈ N est born´ee et (bn)n∈ N d´ecroissante avec lim

n→+∞bn =0alors

∑

n>0

un converge.

D´emonstration : Avec la conventionA₋₁=0, on ´ecrit

n ∑ k=0 u_k = n ∑ k=0 b_k(A_k−A_k₋₁)qu’on d´ecompose n ∑ k=0 uk= n ∑ k=0 bkAk− n∑−1 k=0 bk+1Ak=bnAn+ n∑−1 k=0 (bk−bk+1)Ak.

Comme(A_n)_n_{∈ N}est born´ee (parM) et lim

n→+∞bn =0, on an→+∞lim bnAn =0.

De plus,|(bk−bk+1)Ak| = (bk−bk+1)|Ak| 6M(bk−bk+1). Or, par la dualit´e entre les suites et les s´eries

(t´elescopiques), la s´erie ∑

n>0(bn−bn+1)converge car la suite(bn)n∈ Nconverge.

Ainsi, la s´erie ∑

n>0

(bn−bn+1)An est absolument convergente. Par cons´equent,

(n∑−1 k=0

(bk−bk+1)Ak

)

n∈ N

converge ainsi que

( ∑n k=0

uk

)

n∈ N

(11)

REMARQUE 4.27 : Sian= (−1)n, on retrouve le critère spécial des séries alternées (critère de Leibniz).

EXEMPLE 4.23 : Soitα /∈2πZ, montrer que la s´erie ∑

n>1

einα

n converge.

4.3.4 : Produit de Cauchy de deux s´

eries absolument convergentes

Soit (un)n∈ Net (vn)n∈ Ndeux suites complexes, on appelle produit de Cauchy des s´eries ∑

n>0 un et ∑ n>0 vn la s´erie ∑ n>0 wn telle que∀n∈ N, wn = n ∑ k=0 ukvn−k= n ∑ k=0 un−kvk= ∑ p+q=n upvq.

EXEMPLE 4.24 : Avec ces notations, si∀n∈ N, un =vn = 1

n!, on a wn= 2n n!. TH ÉOR ÈME 4.19 : Si les séries ∑ n>0un et ∑

n>0vnsont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy

∑ n>0wn l’est aussi et on a +∑∞ n=0 wn= (₊_∑_∞ n=0 un ) × (₊_∑_∞ n=0 vn ) .

D´emonstration : Cette preuve n’est pas exigible en PSI. PosonsWn= n ∑ k=0 wk,Wn′ = n ∑ k=0 |wk|,Un= n ∑ k=0 uk,U′n = n ∑ k=0 |uk|,Vn= n ∑ k=0 vk,Vn′ = n ∑ k=0 |vk|. • ∑ i+j6n| u_i||v_j| = W′_n 6 U′_nV_n′ = ∑ 06i,j6n| u_i||v_j| 6 W_2n′ = ∑ i+j62n|

u_i||v_j|donc (W_n′ )_n_{∈ N} est

ma-jor´ee par (+∑∞ n=0 |un| )(+∑∞ n=0 |vn| )

, convergente car croissante et par th´eor`eme d’encadrement, on a la relation :

lim

n→+∞W ′

n =_n_→+∞lim U′n_nlim_→+∞Vn′ donc +∑_∞ n=0 |w_n| = (₊_∑_∞ n=0 |u_n| ) × (₊_∑_∞ n=0 |v_n| ) .

•Comme|Wn| 6Wn′ par in´egalit´e triangulaire et que(Wn′)n∈ Nconverge,

∑

n>0wkconverge absolument.

Pourn∈ N, posonsEn={(p, q)∈ N2|p+q6n}etFn={(p, q)∈ [[1;n]]2|p+q > n}alors : |UnVn−Wn| = ∑ (p,q)∈Fn upvq 6 ∑ (p,q)∈Fn |up||vq| = ∑ (p,q)∈[[0;n]]2 |up||vq| − ∑ (p,q)∈En |up||vq|. Ainsi|UnVn −Wn| 6 U′nVn′ −Wn′ or lim n→+∞U ′

nVn′ −Wn′ = 0 d’après ce qui précède. Ainsi, il vient

lim n→+∞UnVn−Wn=0donc la relation +∑∞ n=0 wn = (₊_∑_∞ n=0 un ) × (₊_∑_∞ n=0 vn ) . D ´EFINITION 4.5 :

On d´efinit la fonction exppar ∀z∈ C, exp(z) =

+∑_∞ n=0

zn n!.

REMARQUE 4.28 : Il faudra justifier que cette fonction est la fonction exponentielle, pourtant :

On a alors∀(z, z′)∈ C2_{, exp}₍_z₊_z′_{) =}_exp₍_z₎_×_exp₍_z′_).

(12)

4.3.5 : Espaces de suites

REMARQUE HP 4.29 : Soitx∈ R, on peut l’´ecrirex=n+a o`u n=⌊x⌋ ∈ Z eta=x− ⌊x⌋ ∈ [0;1[. Il

suffit donc parler du développement d´ecimal des r´eels entre0et1pour les avoir tous. On définit, pour a ∈ [0;1[ et tout entier n ∈ N∗, les entiers cn = ⌊10na⌋ −10

⌊

10n−1a⌋ ∈ [[0;9]]. On

montre que la s´erie ∑ n>1

cn

10n converge et que sa somme est égale àa : ce qu’on écrita=0, c1c2· · ·cn· · ·. • Les réels pour lesquels ∃n₀∈ N∗, ∀n>n₀, c_n=0sont les décimaux.

• Les r´eels pour lesquels ∃n₀∈ N∗, ∃m>1, ∀n>n₀, c_n+m=c_n sont les rationnels. 1

2 =0, 4999999· · · est un d´eveloppement d´ecimal impropre. L’algorithme donne 1

2 =0, 5000· · · !

Démonstration : 10na−1 <⌊10na⌋ 610naet10na−10 < 10⌊10n−1a⌋610naet en ”soustrayant” ces inégalités, on obtient−1 < cn< 10, mais commecnest un entier, cela revient àcn∈ [[0;9]].

PosonsS_n = n ∑ k=1 c_k 10k. CommeSn6 n ∑ k=1 9 10k = 9 10 ( 1− 1 10n )

61, la suite(S_n)_n_{∈ N}converge car elle est

croissante et major´ee. On aSn = n ∑ k=1 ck 10k = n ∑ k=1 (⌊₁₀k_a⌋ 10k − ⌊ 10k−1a⌋ 10k−1 ) = ⌊10 n_a_⌋

10n par t´elescopage car ⌊a⌋ =0. Ainsi,a− 1

10n < Sn6a, d’o`un→+∞lim Sn=a.

REMARQUE 4.30 : Les ensembles suivants sont des sous-espaces de KN : • ℓ∞(K) : suites born´ees (norme ||(un)||∞=Sup

n∈ N|un|)). • ℓ1(K) = { (un)n∈ N∈ KN ∑ n>0| un| converge } (suites sommables). • ℓ2(K) = { (u_n)_n_{∈ N}∈ KN ∑ n>0| u_n|2CV }

(suites de carr´e sommable). • ℓ1(K) ⊂ℓ2(K) ⊂ℓ∞(K). ((un),(vn) ) ∈ℓ2(K)2=⇒ (unvn)∈ℓ1(K) car2|unvn| 6 |un|2+|vn|2. • Comme ∑n k=0 ukvk 6 n ∑ k=0 |uk||vk| 6 √ n ∑ k=0 |uk|2 √ n ∑ k=0

|vk|2 (in´egalit´e de Cauchy-Schwarz), si

(un)n∈ Net (vn)n∈ Nsont de carré sommable, on a l’inégalité +∑∞ n=0 unvn 6 √ +∑∞ n=0 |un|2 √ +∑∞ n=0 |vn|2.

4.3.6 : Produit infinis (HP)

REMARQUE HP 4.31 : Si (u_n)_n_{∈ N}∈ RN, on dit que le produit infini ∏ n>0 (1+u_n) converge si la suite ( Pn = n ∏ k=0 (1+uk) ) n∈ N

converge versP̸=0et on note alorsP=

+∏∞ n=0

(1+un)∈ R∗. • il n’existe donc pas de n0∈ N tel queun0=−1sinon on aurait∀n>n0, Pn=0.

• comme ∀n>0, Pn+1= (1+un)Pn, une condition n´ecessaire de convergence est que lim

n→+∞un=0. • si lim n→+∞un=0 + _ou₀−_, ∏ n>0 (1+u_n) converge si et seulement si ∑ n>0 u_n converge.

EXERCICE 4.25 : Calcul du produit de Wallis

+∏∞ n=1 ( 1− 1 4n2 ) .

(13)

RAPPELS 73

PARTIE 4.4 : RAPPELS

4.4.1 : Notations de

Landau D ´EFINITION 4.6 :

Soit deux suites réelles ou complexesu= (un)n∈ N etv= (vn)n∈ N avec la suitev qui ne s’annule pas : • On dit queu est négligeable devantv, noté u=

∞o(v), ou un=∞o ( vn ) si l’on a lim n→+∞ un v_n =0, on dit queu est un ”petit O” dev(au voisinage de +∞).

• On dit queuest domin´ee par v, not´eu=

∞O(v), ouun=∞O ( vn ) si u v born´ee ( (_u_n vn ) n∈ N born´ee), on dit queu est un ”grand O” dev.

• On dit queuest ´equivalente `a v, not´e u ∼

+∞v, ouun+∼∞vn si l’on a n→+∞lim

u_n vn

=1.

TH ´EOR `EME 4.21 :

On se donne des suites u,v,w,z,t (certaines ne doivent pas s’annuler) et des scalairesλetµ: (i) un= ∞O(un) et un+∼∞un. (ii) u_n= ∞o(vn) =⇒un=∞O(vn),un+∼_∞vn =⇒un=_∞O(vn) et un+∼_∞vn⇐⇒vn+∼_∞un. (iii) (u_n= ∞O(vn) et vn∞=O(wn) ) =⇒u_n= ∞O(wn) et ( u_n ∼ +_∞vn et vn+∼_∞wn ) =⇒u_n ∼ +_∞wn. (iv) (un= ∞o(vn) et vn=∞O(wn) ) =⇒un= ∞o(wn) et ( un= ∞O(vn) et vn=∞o(wn) ) =⇒un= ∞o(wn). (v) (un= ∞O(wn) et vn=∞O(wn) ) =⇒λun+µvn= ∞O(wn) et ( u_n= ∞o(wn) et vn=∞o(wn) ) =⇒λu_n+µv_n= ∞o(wn). (vi) (un= ∞O(zn) et vn=∞O(tn) ) =⇒unvn= ∞O(zntn) et ( un ∼ +∞zn etvn+∼∞tn ) =⇒unvn ∼ +∞zntn. (vii) (un= ∞o(zn) et vn=∞O(tn) ) =⇒unvn= ∞o(zntn) et ( un= ∞O(zn) et vn=∞o(tn) ) =⇒unvn= ∞o(zntn). (viii) un ∼ +∞vn ⇐⇒ 1 un+∼∞ 1 vn et (un ∼ +∞zn etvn+∼∞tn ) =⇒ un vn +∼∞ zn tn . (ix) (un= ∞o(vn) et φ: N → N strictement croissante ) =⇒u_φ(n)= ∞o(vφ(n)). (x) (un= ∞O(vn) et φ: N → N strictement croissante ) =⇒u_φ(n)= ∞O(vφ(n)). (xi) (u_n ∼ +_∞vn etφ: N → N strictement croissante ) =⇒u_φ(n) ∼ +_∞vφ(n). (xii) (u_n= ∞o(vn) et vn+∼_∞wn ) =⇒u_n= ∞o(wn) et ( u_n= ∞O(vn) et vn+∼_∞wn ) =⇒u_n= ∞O(wn). (xiii) (u_n ∼ +∞vn etvn=∞o(wn) ) =⇒u_n= ∞o(wn) et ( u_n ∼ +∞vn et vn=∞O(wn) ) =⇒u_n= ∞O(wn). (xiv) un ∼ +∞vn ⇐⇒un−vn=∞o(un)⇐⇒vn−un=∞o(vn). (xv) lim ∞(un−vn) =0⇐⇒e un ∼ +∞e vn_.

Si u etv sont des suites strictement positives et α∈ R : (xvi) Si α > 0,un ∼ +∞vn⇐⇒u α n₊∼_∞vαn,un= ∞O(vn)⇐⇒u α n_∞=O(vαn) et un= ∞o(vn)⇐⇒u α n=_∞o(vαn). (xvii) Si α < 0,un ∼ +∞vn⇐⇒u α n₊∼_∞vαn,un= ∞O(vn)⇐⇒v α n_∞=O(uαn) et un= ∞o(vn)⇐⇒v α n=_∞o(uαn). (xviii) (un ∼ +∞vn etlim∞ un =ℓ∈ R+\ {1} ) =⇒ln(un) ∼ +∞ln(vn).

(14)

REMARQUE 4.32 :

• La propriété (v) du théorème suivant nous dit que l’ensemble des suites dominées par une suite fixev est un espace vectoriel ; même chose pour les fonctions négligeables devantv.

• La propriété (xviii) ne doit pas être utilisée telle quelle car hors programme, on peut souvent s’en passer comme pour montrer queln(n+1) ∼

+∞ln(n). EXEMPLE 4.26 : • n10= ∞o ( 2n)et (ln(n))5= ∞o (√

n)d’apr`es les croissances compar´ees.

• Si on note pn le n-i`eme nombre premier et π(n) le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou

égaux à n, alors il a été prouv´e en 1896 qu’on avaitpn₊∼

∞n ln(n) etπ(n)+∼_∞

n ln(n).

REMARQUE 4.33 : Quelques traductions : • u_n=

∞O(1) est équivalent àuest bornée.

• un=

∞o(1) est ´equivalent `a n→+∞lim un=0. • un ∼

+∞vn etn→+∞lim vn =ℓ impliquentn→+∞lim un =ℓ.

REMARQUE 4.34 : Avec la notation≪ de Hardy qui est ´equivalente `a o: un ≪vn ⇐⇒un=

∞o(vn)

et en prenant douze r´eels : 0 < b′< a′ < 1 < a < b, δ′ < γ′< 0 < γ < δ,β′< α′< 0 < α < β, on a : b′n≪a′n≪nδ′ ≪nγ′ ≪lnβ′n≪lnα′n≪1≪lnαn≪lnβn≪nγ≪nδ≪an≪bn≪n!≪nn.

Vient maintenant la comparaison logarithmique :

(HP) Soit deux suites (un)n∈ N et (vn)n∈ N de r´eels strictement positifs telles que :

∃n0∈ N, ∀n>n0, un+1

u_n 6 vn+1

v_n . On peut alors conclure que : un∞=O(vn).

REMARQUE 4.35 : On retrouve le crit`_{ere de d’Alembert en prenant}v_n =an avec0 < a < 1.

4.4.2 : D´

eveloppements limit´

es

Soitf:A→ K = R ou C une fonction définie au voisinage de0 et un entiern∈ N. On dit que fpossède un développement limité à l’ordre n en 0(notéDLn(0)) s’il existe un polynôme P à coefficients dans

K et de degré inférieur ou égal à ntel quef(x)−P(x) =

0o(x

n_{) not´}_e _f₍_x_{) =}

0P(x) +o(x n_). Ce polynˆomeP est alors unique et on l’appelle la partie r´eguli`ere duDLn(0).

REMARQUE 4.36 : Plus g´en´eralement,fadmet unDLn(a) sif(x) =

aP(x−a) +o

(

(x−a)n).

Si f admet un DL_n(0) de partie régulière P(X) = a₀+a₁X+· · · +a_nXn et que p∈ [[0;n]], alors f admet unDL_p(0) de partie régulièrea₀+a₁X+· · · +a_pXp (troncature).

Soitf:A→ K = R ou C une fonction d´efinie au voisinage de 0alors : fadmet un DL1(0) ⇐⇒ fest d´erivable en0. Dans ce cas : f(h) =

0f(0) +f

′₍₀₎_h₊_o₍_h_).

REMARQUE 4.37 : C’est faux pour les rangs supérieurs, c’est-à-dire que sip>2, on n’a pas équivalence, pour fdéfinie au voisinage de0, entre “fadmet unDLp(0)” et “fadmet une dérivéep-ième en0”.

EXERCICE CLASSIQUE 4.27 : Soitf: R → R telle quef(x) =x3sin (

1 x2

)

six̸=0, f(0) =0. Cette fonction possède unDL2(0) mais n’est pourtant pas dérivable deux fois dérivables en0.

(15)

RAPPELS 75

Soitf:A→ C avec A∈ R symétrique par rapport à 0 et qui possède un développement limité d’ordre n∈ N de partie régulière P, alors :

• fest paire =⇒ P est pair. • fest impaire =⇒ P est impair.

REMARQUE HP 4.38 : Grâce `_{a Rolle, on établit la règle de L’Hospital : si}fetgsont deux fonctions dérivables définies au voisinage dea telles quef(a) = g(a) =0, g′ ne s’annule pas au voisinage dea et

lim

x→a f′(x)

g′(x) =ℓ∈ R, alors on a aussi xlim→a f(x) g(x) =ℓ.

TH ´EOR `EME 4.25 :

Soit n∈ N et f: A→ C continue avec A⊂ R et 0 adhérent à A, on suppose quef possède un DLn(0) donné par : f(x) =

0a0+a1x+· · · +anx

n₊_o₍_xn_{) alors en notant} _F_:_A_{→ C une primitive de}

f, celle-ci poss`ede unDL_n+1(0) : F(x) =

0F(0) +a0x+ a₁ 2 x 2₊_{· · · +} an n+1x n+1₊_o₍_xn+1_).

REMARQUE 4.39 : On ne peut pas en général déduire de l’existence du DLn(0) de f (pour n ∈ N∗) l’existence du DLn−1(0) def′ comme le montre la fonction de l’exercice ci-dessus. Mais....

Soit n ∈ N∗ et f: A → C dérivable avec A⊂ R et 0 adhérent à A, on suppose que f possède un DLn(0) donné par : f(x) =

0a0+a1x+· · · +anx

n₊_o₍_xn_{) alors si}_f′ _{est continue et poss`}_{ede un}

DLn−1(0), on l’a en d´erivant : f′(x) = 0a1+2a2x+· · · +nanx n−1₊_o₍_xn−1_). PROPOSITION 4.27 :

Soit n ∈ N, λ ∈ C et f, g : A → C deux fonctions avec A ⊂ R et 0 adhérent à A, on suppose que f et g admettent des DLn(0). Alors λf, f+g, f×g admettent des DLn(0) donnés par, si

f(x) = 0a0+a1x+· · · +anx n₊_o₍_xn_{) et} _g₍_x_{) =} 0b0+b1x+· · · +bnx n₊_o₍_xn_{), par :} λf(x) = 0 λa0+· · · +λanx n₊_o₍_xn₎ f(x) +g(x) = 0 a0+b0+· · · + (an+bn)x n₊_o₍_xn₎ f(x)×g(x) = 0 a0b0+ (a0b1+a1b0)x+ (a0b2+a1b1+a2b0)x 2₊_{· · · + (}_a 0bn+· · · +anb0)xn+o(xn) REMARQUE 4.40 :

• La partie principale d’unDLn(0) d’une fonctionfest le premier termearxr non nul dans sa partie r´eguli`ere, sif(x) = 0arx r₊_{· · · +}_a nxn+o(xn) avecar̸=0alors : f(x)∼ 0arx r₌_⇒_f₍_x_{) =} 0O(x r_).

• Soitn∈ N∗, f:A→ R etg: B→ C telles f et gadmettent un DLn(0) de partie régulièreP et Q, alorsg◦fa un DLn(0) de partie régulière obtenue en ne gardant dans Q◦P que les termes de degré inférieurs ou égaux à n.

• Soitn∈ N etf:A→ C admettant unDL_n(0) qui commence para₀̸=0, alors en utilisant leDL_n(0)

deu7→ 1 1+u,

1

f possède unDLn(0) obtenu en écrivant 1 f(x) = 1 a₀ × ( 1+f(x)−a0 a0 )−1 . TH ÉOR ÈME 4.28 :

Soit n ∈ N∗ et f:A→ R ou C d´efinie sur A qui contient 0, si f(n)(0) existe, alors f admet un DLn(0) : f(x) = 0f(0) +f ′₍₀₎_x₊f′′(0) 2 x 2₊_{· · · +}f(n)(0) n! x n₊_o₍_xn_{) (formule de Taylor-Young).}

(16)

EXEMPLE 4.28 : Calculer leDL4(0) def(x) =exp(sin(x)ch(x)).

ORAL BLANC 4.29 : ENSAM PSI 2014 Gabriel D.

Déterminer lesP∈ R[X] tels que la série numérique ∑

n>0 unconverge avecun= √ n2₊_n₊₁−√3 P(n). PROPOSITION 4.29 :

Soitn∈ N,α∈ R, en notant pourk∈ N, ( α k ) = α(α−1)· · · (α−k+1) k! : 1 1−x =0 1+x+x 2₊_x3₊_x4_{· · · +}_xn₊_o₍_xn₎ ₌ 0 n ∑ k=0 xk + o(xn) sin(x) = 0 x− x3 6 + x5 120+· · · + (−1)nx2n+1 (2n+1)! +o(x 2n+1₎ ₌ 0 n ∑ k=0 (−1)kx2k+1 (2k+1)! + o(x 2n+1₎ cos(x) = 0 1− x2 2 + x4 24+· · · + (−1)nx2n (2n)! +o(x 2n₎ ₌ 0 n ∑ k=0 (−1)kx2k (2k)! + o(x 2n₎ ex = 0 1+x+ x2 2 + x3 6 +· · · + xn n! +o(x n₎ ₌ 0 n ∑ k=0 xk k! + o(x n₎ sh(x) = 0 x+ x3 6 + x5 120+· · · + x2n+1 (2n+1)!+o(x 2n+1₎ ₌ 0 n ∑ k=0 x2k+1 (2k+1)! + o(x 2n+1₎ ch(x) = 0 1+ x2 2 + x4 24+· · · + x2n (2n)! +o(x 2n₎ ₌ 0 n ∑ k=0 x2k (2k)! + o(x 2n₎ ln(1+x) = 0 x− x2 2 + x3 3 +· · · + (−1)n+1xn n +o(x n₎ ₌ 0 n ∑ k=1 (−1)k+1xk k + o(x n₎ ln(1−x) = 0 −x− x2 2 − x3 3 − · · · − xn n +o(x n₎ ₌ 0 − n ∑ k=1 xk k + o(x n₎ Arctan(x) = 0 x− x3 3 + x5 5 +· · · + (−1)nx2n+1 2n+1 +o(x 2n+1₎ ₌ 0 n ∑ k=0 (−1)kx2k+1 2k+1 + o(x 2n+1₎ Argth(x) = 0 x+ x3 3 + x5 5 +· · · + x2n+1 2n+1+o(x 2n+1₎ ₌ 0 n ∑ k=0 x2k+1 2k+1 + o(x 2n+1₎ (1+x)α ₌ 0 1+αx+ α(α−1)x2 2 +· · · + ( α n ) xn+o(xn) = 0 n ∑ k=0 ( α k ) xk+o(xn) tan(x) = 0 x+ x3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 +o(x 7₎ _th₍_x₎ ₌ 0 x− x3 3 + 2x5 15 − 17x7 315 +o(x 7₎ √ 1+x = 0 1+ x 2− x2 8 + x3 16+o(x 3₎ √ 1 1+x =0 1− x 2+ 3x2 8 − 5x3 16 +o(x 3₎ Arcsin(x) = 0 x+ x3 6 + 3x5 40 + 5x7 112+o(x 8₎ _Argsh₍_x₎ ₌ 0 x− x3 6 + 3x5 40 − 5x7 112+o(x 8₎

COMP´

ETENCES

• déterminer si une série est à termes positifs, alternés... à partir d’un certain rang.

• établir la convergence absolue d’une série par comparaison aux séries géométriques ou de Riemann. • montrer la convergence absolue d’une série par application de la règle de d’Alembert.

• prouver la convergence d’une suite par dualit´e suite-s´erie.

• appliquer sans oublier d’hypothèses le critère spécial des séries alternées.

• trouver des équivalents des sommes partielles des séries divergentes par comparaison série-intégrale. • trouver des équivalents des restes des séries convergentes par comparaison série-intégrale.