Math Sup ICAM Toulouse CB13
C.B. N°13 (30 min)
SERIES NUMERIQUES
07/06/161. Déterminer la nature de la série de terme général un
(
n≥1)
dans les cas suivants (justifier la réponse) :i) 1
n ln 1
u n
= +
ii) 1
1 cos un
n
= −
iii) 1
1
n n
u n
= −
2. Etablir la convergence, puis déterminer la somme de la série 2
2
ln 1 1
n≥ n
−
∑
(on fera apparaître un télescopage).
3. a) Soit (un) une suite numérique. Montrer que si la série de terme général u2n et la série de terme général u2n+1 convergent, alors la série de terme général un converge et que dans ce cas,
2 2 1
0 0 0
n n n
n n n
u u u
+∞ +∞ +∞
= = = +
= +
∑ ∑ ∑
.b) On note 12 un
=n . Justifier que 2
1 n n
u
≥
∑
et∑
u2n+1convergent et, sachant que2
1 n 6
n
u
+∞
=
∑
=π , calculer( )
20
1 2 1
n n
+∞
= +
∑
.Math Sup ICAM Toulouse CB13
C.B. N°13 (30 min)
SERIES NUMERIQUES
07/06/161. Déterminer la nature de la série de terme général un
(
n≥1)
dans les cas suivants (justifier la réponse) :i) 1
cos 2 un
n
= −
π
ii) 1 1
n sin
u n n
= −
iii) 12
n n
u = n
2. a) Donner la nature de la série
2
ln 1
n 1 n
≥ n
+
−
∑
.b) En faisant apparaître un télescopage, établir la convergence et déterminer la somme de la série
( )
2
1 ln 1 1
n n
n
≥ n
+
−
−
∑
3. a) Soit (un) une suite numérique telle que lim n 0
n u
→+∞ = . Pour tout n, on note vn = u2n + u2n+1.
Montrer que les séries
∑
unet∑
vnsont de même nature, et qu’en cas de convergence,0 0
n n
n n
u v
+∞ +∞
= =
∑
=∑
b) Etablir la convergence et la somme de la série de terme général
( )
(
1( )
1)
, 2.n
n n
u n
n n
= − ≥
+ −
