- SERIES NUMERIQUES -

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Math Sup ICAM Toulouse CB08

C.B. N° 8

- SERIES NUMERIQUES -

15/05/14 1. Déterminer la nature des séries de terme général :

i) sin₂

n

u n

= n .

ii) ²

1

n

vn =n − . iii) w_n = n− n−1^.

2. Soit

0 n n

a

∑

≥ une série à termes positifs, convergente.

Déterminer la nature des séries de terme général : i)

1

n n

n

u a

= a + ii) v_n =sin²a_n

3. On définit la suite

( )

^u_{n n}_∈ℕ^* par :

1

1 ln

2

n n

k

u n

= k

= −

∑

+

En étudiant la série de terme général v_n =u_n₊₁−u_n, montrer que la suite

( )

^u_{n n}_∈ℕ^*converge.

4. On considère pour

3 2 2 1

, ⁿ !

n n

n u

n + −

∈ℕ = _.

a) Montrer que

0 n n

u

∑

≥ ^converge.

b) Montrer que B = {1 ; X ; X(X – 1)} est une base de ℝ2

[ ]

X _,et donner les coordonnées de P = 3X² + 2X – 1 dans cette base.

c) En déduire

0 +∞

∑

= ⁿ n

u , en sachant que

0

1 e

!

+∞

=

∑

=

k n ^.

5. Existence et calcul de

1 +∞

∑

= ⁿ n

u où

( )

1

2 2

= + + + un

n n n n^.On se ramènera à un télescopage.

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