Raman Laser Modeling: Mathematical and Numerical Analysis

Texte intégral

(1)Raman Laser Modeling: Mathematical and Numerical Analysis François Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Dominique Bayart, Florence Leplingard, Catherine Martinelli. To cite this version: François Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Dominique Bayart, Florence Leplingard, et al.. Raman Laser Modeling: Mathematical and Numerical Analysis. [Research Report] RR-4776, INRIA. 2003. �inria-00071810�. HAL Id: inria-00071810 https://hal.inria.fr/inria-00071810 Submitted on 23 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Raman Laser Modeling: Mathematical and Numerical Analysis François Castella — Philippe Chartier — Erwan Faou Dominique Bayart — Florence Leplingard — Catherine Martinelli. N° 4776 Mars 2003. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4776--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.

(3)

(4)

(5)

(6) !

(7) " $#% '&)(*

(8) +#, - /. 20 1436587:9<;>=?@3A=CB4D:E>E>3 F2GIH ;>EJ;>K8KLDM? H 361$B4;JDN1 F2O 1CPQ3650R3696S T9<UV;>5+;>WXS8DZY@3\[<361CB F 0]E>961^DN5+_NDM`DNK8EJ;>58a<361^b F ?@3AB H DN1^;J58Ddce361$B4;J58DNEJE>; fgih$j@kIlnmpo\qrjsitvuxwyq{z:|}k$w"z~wyq{j@qvuwqrz| k whCjQk^z:jQ~t{k$\k^ Ryzk$wtru qr| "u~i~6zw k k^gik$gik|< l\mMuy:mn~ukC ∗. †. §. ‡. ¶. k. 8 $¡C¢4£¤¡¥¦ |Zwgiqv§~u~6k$§¨%kQwys Zu qv$k$wkuju|Mtvuk$§uj@~itrqª©ACuxwyq{z:|Mj@z k$t+qr«k$|Mu:u¬zwy®4u¯ °2zt{wk$yu} wyk$j*±²kgizx¨³wyguxwqr|ú|µq kCut%q{wsuwqrz|X¶Xwgikk^·:sAuxwqrz|AI$u|µ¸6k¨q{wwyk$|ú u*8zqvz| wk$j¨q{wgZ¸6zsi| uy }z:| q{wqrz|"sqr|iu:t{z:¸utXgAu|i:kIz¹Rz\z qr|uxwykCC±R²µknu k^,wygik·Nsik^wyq{z:| z¹8kqrwkC|kIu| s|iqr·NsikC|ikCyz¹8u@z:t{swyq{z:|X±2²µk k sA k |\ sij@k$yqrCutXygik$j@kC% ¹ºz:wgiku~i~iyz4\qrjuxwyq{z:|z¹ wgikztrswqrz|}wgAuxw"gu4«:k§j@zykIwu¸iqrtrqªw wygu|wygikwu| u giz\zwqr|i@j@kwygiz $± »Z¼:½<¾y¿À ¢4Á+ :¥ ¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCui¶N8zqvz|* wkCj¶iÃ§uj@qrtªwyz|iqvu|* wkCj¶iÄ,z:si| u «xut{sik ~iyz¸t{kCj. èªéêëyì^íîCÅºïyÆ ðNÇ ñóò/È+ë$ðÆRôÉË õö/öë/Ê ÷yÌ4ø/ÍìxÎïÏùxÐÒúÑ>ÍêÓJõyÔ ìì$õ$ð^Õ4ûÏ ñvü/êCÆXý ÏÌ4Ì4ÏÑ Ö/É ×XØÙÚ^Û4Ñ Ü<ÏØè Û4xÝÞÍÞïÏöCÛ ï $õß/ñóà/ò á$âëã ê/ô4ïõÆêÏ÷^Ì4ïÌ4ê4ÏïyÑðëñvü/×<ê^ýÏÕ4Ïåä:É æxÐ>ØÌ4çÏ ÅºÅºþ þ ÆÆÅóÅóÈÈÆÆÏÏÌ4Ì4Ì^Ì^ÏÏÑÑÉÉ×ÿ×ÿØØÙÙÚ4Ú4Û4Û4ÑÑÜ<Ü<ÏÏØØÛ4Û4ÝÞÝÞÍÞÍÞÏÏÛÛ ß/ß/à/à/ááââããÆXÆXÏÏÌ4Ì4Ì4Ì4ÏÏÑ2Ñ2×<×<ÏÏÕ4Õ4ÏåÏåääÉxÉxæxæxÐ>Ð>ØØÌ^Ì^ççÏÏ è /ê $ëyìñré$ëîø$÷^ïê4ïyðyëñvü/ê$ý æxÐJØÌ4çÈÈ Ï iiè C×<×<î ÈÈ :ïåìxï ø$ÆXÆXõñÏÏÑJÑJëÏÏØØÐJÐJëçç ê/ô÷/ëöíyÅóÅóÌ4Ì4ë/ôÌÌ õÎ/Î/ö\ØyØyñóÓJÓJü/ÍÍ ê$//ý ÌNÌNÉ2É2ÊÊÌ4Ì4ÍÍ Ó>Ó>ÔÔ ÐJÐJØØÌ4Ì4ÑJÑJÙÙÍÞÍÞÑ>Ñ>Ñ>Ñ>ÍÍ //Ì^Ì^ÑÑ ÓÓ //Ì4Ì4ÍÍ $$Û4Û4ÏÏÑÑÉ2É2ÆÆ //Û^Û^ÓJÓJÏÏÕ4Õ4ÏÏþþ ØØ ÉÉ ^Ö^Öââ //ááÇIÇIØØÐJÐJçç //Û4Û4ÑJÑJÑ>Ñ>ÍÞÍÞÑÑÉÉ æxÐJØÌ4çÈ Ï iè{éC×<ö/È îyêõyì^íyõÆXñ Ïõ ÑJCÏØöCÐJïåç ì ëê ÷/ÅóÌ4ë$ÌöíyëÎ/ô$ØyÓJõÍ ö\/ñóÌNü/É2ê$ýÊÌ4Í Ó>Ô ÐJØÌ4ÑJÙÍÞÑ>Ñ>Í /Ì^Ñ Ó /Ì4Í $Û4ÏÑÉ2Æ /Û^ÓJÏÕ4Ïþ Ø É ^Öâ /áÇIØÐJç /Û4ÑJÑ>ÍÞÑÉ æxÐJØÌ4çÏ èvò/ëô $õê4ïåì$õñ $ëê/ô4ïåì$õö/öCï÷ëöíyë/ôõöñvü/ê$ý ∗. . †. . . . ‡. § .

(9) . % & $'. ¶ .

(10) . k .

(11) . . )( *. )+ /.. . . .

(12). . . . . !. #". $. #, -. . .

(13). . . . . !. #". $. . . .

(14). . . . . !. #". $. Unité de recherche INRIA Rennes IRISA, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex (France) Téléphone : +33 2 99 84 71 00 — Télécopie : +33 2 99 84 71 71.

(15) $ +'

(16)

(17) /.

(18) +!" +@(}

(19) )

(20) , Q(* 8@(}

(21) ¥

(22) zs ws q{z:|Rs|jQz hCt{k qryykw uj@~it{q{©ACuxwqrz| u|Rs|tru:kCL"uju|X¶^yqªw%$zj@j@ksi| wh$j@k k¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCui±

(23) zsA jQz:|Nwyz| ·Nsik u|A si|ikq{wsAuxwqrz|µq Cut{k:¶Xt{k^C·Nsuwqrz| ~6k$si«:k$|Nw C$qrkI$zj@j@kIsi|Z

(24) wh$j@k kI 8z:qryz:|u4«:kC k^"z: | q{wqrz|us¸6z k$|*swyq{trqryu|Nw"si|Zgu|ikC

(25) j@k$|Nw k z\z z|| $k^:t{z:¸ut>± z:s wys qrz| trkC ·NsikCwqrz|A k$\qvwk$|AkQkw si|iqvq{w kQtru*ztrswqrz|± z:s]k$| sqrz| kC%utrz:q{wgij@k^2~Az:siLt u~i~iyz4q{juwqrz|@|\sij $yqr·Nsik ktvuz:t{siwqrz|·NsiqAz|NwL~t{s,wyu¸t{k^L·Nsik t{k^j $wgiz k^ k wyq{"$tru:qr·Nsik^$± À ¡^ ¾ ¤ ¥ ¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCui¶xo\ wyh$j@k kL8zqvz|¶xo \whCj@k%Ãuj@q{t{wz:|iq{kC|X¶xRyz¸itrh$j@kLu4«:kCR$z| qªwyq{z:| us¸6z .

(26) .

(27) . !#"%$'&)(*#,+-$'. fgik~iyz¸t{kCj k^$qr¸6k qr|´wgiqv~Au~6k$z:qrqr|uwkCI¹ºz:j)uZj@z kCtLz¹""uju|´tvuk$ujQ~t{q{©A$uwqrz| k

(28) .<kC/w]q{|Mu|Zz~wyqrI©¸AkC0/ 1Â±"oNwyu| u Z qv$k$wkj@z kCtrz¹8wgiqv"~gik$|iz:j@k$|iz:|32Òk$k4/65-18z'/ 187trkCu wyzu wk$j z¹ 9q .6kCkC|:wyqrut<kC·Nsuxwyq{z:|%z¹¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCu ¹ºz:: j 2Òk$k§¹ºz,qr|wu|$0k /<;=187/¶\¨gikCk]giqrg¯>¹ºk^·Nsik$|$ ¨,u4«:kCÿwyyu4«:k$trq{|¹ºzy¨,u u| ¸u®\ü qr|nwgik%©¸6k$ qvk$j@qr|uxwyk%~uw+z¹iwygik$qr8k$|ikC: ]wz]t{zx¨¯>¹ºk^·Nsik$|$ ¨,u4«:kC wygiz:sig ud~iyk$ N¯>~k uxwyzI~iyzkCyC±MÄ%z:si| u z:| q{wqrz|nz:ykC~Az:| qr|i*wzÄ%u:Zk >kCwqr|i truwwqvkûyk q{j@~6z:k z|¸AzwgZq k^z¹+wgikItvuk$Cu4«Nq{w? / 1Â± ¦ | wgik}$ukz¹u| q kCut{6q @$k ©¸6k$^¶wygiqrn wkCj ws|zswwyzZgu4«ku*8z:qryz:|´wyswsiyAk 2Òk$k@¹ºz: q{Ã"|zxwy¨,uk$|«kCBk C¶</ ;wygi187@k¹ºsiz:| ¨k$ygit{qv \qrg |iZ¨%ÃkMuCj@u| qrtªwyk$z\|igqvuq{¸i|q{w¹ºsik$|\~wt{qrqvz| q{wkCqvIt{ uEwgi|ikkÃüq{j@wg qrtªwyzk^|i~6qvukC|w uw| z wgiwgkDk s|iC,®\u|izxq{j@¨qr|C±@qr|Nf«xugkqvu|NzwyC¯ ± k^~6z| q{|i*qr|\«4uqvu|Nw ju|iq{¹ºzt qr]wygNsAI|izw$zj@~u:/wzwyguxwIwygikkqvwyk$|$kQz¹u*ztrswqrz|µyk$juqr|Iu |iz|¯>wyqr«Nqvut ·:skCwqrz|X±Mzyk$zx«kCC¶\wygikn wyk$jqr~AzNk u§u¸6zsi| uy «xutrsik~z:¸it{kCj*±"fgikCku~6kC/w z|Nwyqr¸iswyk2wzju®:kLu|\sij@k$yqrCutu~i~iyz4q{juxwyq{z:| Fq Estªw wz"z:¸wyuq{!| Gÿ¹ºz:Xq{|Awu|$k¶^wgiHk JIKLNMOPRj@k$wgiz / 1%qv wzM¸6k¸u|i|ik gik$yk sikwyz*wgik}~iykCk$|$kQz¹|iz|itrqr|ikCuq{wqrkC4 2Òj@z:wq{|qªwyqrutL«xutrsikC¨%z:sit trkCu wz ¸it{zx¨¯Âsi~nq{|Q©|iq{wk,wyq{j@k 7

(29) Q:j@z:k,k$tvu¸6zuxwyk j@k$wgiz C¶sgQu: ©|iq{wk 9q .6kCkC|k^$¶$ztrt{zCuxwqrz|¶xz8jsit{wqr~itrk giz\zwqr|i¶iuk ~6z:yqr¸itrk utªwyk$y|uxwyq{«:kCC¶\¸isw"j@q{:gNw¸6kC$zj@kI~iyzgiqr¸iq{wqr«kCt{ $z:wtr q{|*tvuyk qrjQkC|q{z:|X± "|izwgikC Fq E$sitªw zj@k^¹ºyzj wygik¹Òu:/w@wgAuxw@q{| wgikzyqrqr|ut,«xuyqru¸it{k^$¶8wygik$ykkqrwy@ut{ü4 u R wyqr«\qruTt SZztrswyq{z:| z:ykC~Az:| qr|i wzVwgik $u:k¨gik$ykZwygikµuju| uj@~it{q{©ACuxwqrz|

(30) k .<kC/w*gu:|izw :kw wuwk ±

(31) sij@k$yqrCutrt{ :¶wygik]~ik^kC|kz¹ÿwgqr sij@jn z:t{swyq{z:|ju®k^Rwygik§gzqvkz¹ÿwgik]qr|iqªwyqrutA«xut{sik^Lqr| u|qªwyk$uxwqr«k ~iyzk^ 9q Esit{w"wz k$wkCj@qr|ik± Ã"kCk}¨%k}~izx«:kwgAuxwwygik+z:qryz| \wkCj $u|V¸Ak¸iyzsi:g:wwz $u|z|iqv$utR¹ºzyj)wgiyzsg Uu 9WVXN gu|i:kz¹L$z\z q{|Auxwk^$±

(32) zwykwyguxw]wgikQgu|kz¹Lz\z qr|uxwykC k©|ik qrU| Y]uy¸Az:s\¯Â¬q{k "fgk$zyk$j qv ssAutrt{ trz$utu| wgAuxw"wygikIt{q{wkCyuwsiyk Nz .<k$z|itr uQ¹ºkC¨ k$uj@~it{k^z¹2sAg:t{z:¸utÿgu|ik^ 2Òk$k /<;1~i~± xKl 5§¹ºz"uQ|iqvkIk$iuj@~itrk 7/±2²µkgizx¨ wgAuxw¹ºz"u|*q kût<©¸6k$wygikIkC·Nsuwqrz|Cu|¸AkIÿq{wwkC| ¨qªwyg H(u, d) = X d sinh u , 2J56± 57 u = G∇ H(u, d) ¨k$trgik$j@k$yk$k |Nuw}qvz¹ u|}si¶ |i®\|izxu ¨|®:k$«:¨kC¯åwz \j@zj@¹ k wyqrjQqv*kC|jq{uxz:w| yq{n ≥u| 1 z¹¹ºs|/wyq{z:wy|gi kµ gk©Au|ij@k qr tªwyzz|i|qvuwgi| k]z©¹I¸6wk$gi^kµ¶ d~iuyz|¸istrk$|ij*®\|i± zx¨,| w wgiqv"wyu:k¶:Rkwwyq{|G@u@Cu|iz:|iqrCut<

(33) 8zqvz|* \wkCj y kC·NsiqrH(u, k^%z:|id)tr wz@¸iyqr|iQwgi[k Z\K -MTNKM] _^W

(34) `baT -c)! Md -eZ j@uwyqª G wz*$u|z|iqv$utX¹ºzyj*± zwknwguw§wygik d uy!k C,u:qrj@q{]qr|N«xuqvu|Nwyz¹RwygikQsi| kCtr \q{|i8zqvz| wyswsiyk 2Òk$k /<;187/± ¦ |wgqrL¹ºzyj*¶wygik R wyq{«\qvuft Sz:t{siwqrz|gu: qvu~i~6kCuyk ¶¸isw%wgik§~iyz¸itrk$jRz¹ÿkqrwkC|k§u| s|iqr·Nsik$¯ |ikCyIz¹wygikztrswqrzg| 2Ju| wg\s k©A|iqªwyq{z:| u| $z|\«kC:k$|$knz¹"giz\zwqr|iMgk$j@kC\ 7 uykwyq{trtL~k^kC|:w^±

(35) zwykwyguxw§wgikQ¸Az:si| u *z:| q{wqrz| k$~6k$| utvzz|*wygikns|i®\|izx¨|Z«xutrsikC§z¹2wygi!k C,u:qrj@q{§q{|\«xuyqru|Nwy ± ¦ |wygikkC|ik$utXCu4k 2ºq>± k:±%|zw¹ºz§u|*q kCutr6q @$k ©A¸AkC\ 7¶¨,kgizx¨ wguw¨,k$u|*ÿqªwyk wgik~iz:¸itrk$j qr| d u¹ºz:jtrz:k§wyAz 2h5:9± 5=7L¨gk$yk§wygik d kCjuqr|}qr|\«4uqvu|Nw%z¹ wygikI~iyz¸itrk$j ¨qªwygs|i®\|izx¨|}«xut{sik^$± ²kIgizx¨ wyguxwq{wqvuwsut{tr ~AzNqr¸it{k§wzQwu®k]¸6k$|ik$©iwz¹wygik u4«4uq{tvu¸t{k§¹ºkCk§~Auuj@kwyk$ d zQu:Lwyz _ ei

(36) N -kj6Mf 2wygik~iyz¸t{kCj u%? u l]jKZ\IPcHmn _WV

(37) 9 oi

(38) N %0 -c= -MT phiHqMT T _aJN r _

(39) qMOeNs XtjKMdeK /± ¦ |@wygiqv ¹ºzyj¶<wygik@~iyz¸itrk$j qv]¨%kCt{t{¯>~6z:k G§sqr|i}wyu| u wykCgi|qr·Nsik^) 2>ogus k$ "wygik$z:kCj 7¶<wgik@k$\qvwk$|Ak z¹%ztrswqrz|A§Cu|M¸6knkûq{tr *~iyzx«k ¹ºz]¸Az:si| u Zz:| q{wqrz|§qr| k$~6k$| k$|NwIz¹ 2Òk$uk / N 17'± v"|iqv·Nsik$|kCy ¹ºz¸6zsi| uy d«xutrsik^ wguwuyk|izwIwyz\zZ¹Òuu~uwu| u| u¸qªwyyu q{j@k$|Aqrzd| qvutvzMgizx¨|X±

(40) zwyk wguwu ¯ÂgizwykCgi|qr·Nsik^,ut{trzx¨ ¹ºz:%wygik wykCuwj@k$|Nwz¹wgikIz:|ik]u| w¨%z¯ qrj@k$|qrz|ut6CukC%¹ºz"u¸iq{wuy ¸Az:si| u }«4ut{skC0 2JkC4k / 187/x± wR«: k$|Nwsut{tr ¶A ¨%k~izx«: k]wgikn kqrwkC|knu| si|qr·NsikC|ikCy"z¹2uztrswyq{z:|*wzwygik zyq{:q{|ut~iz:¸itrk$y j 2Ò¨qªwyg ¸6zs| uy V$z| q{wqrz|A k$~6k$| q{|i´z:| d7Qsi| k$wz:|i uysij@~wyq{z:|@z| wgk uxwui± vq{|Zwgikq{|NwkCyz¯ 9q .6kCkC|:wyqrut8¹ºzyjsitvuxwyq{z:|z¹wgik~z:¸it{kCj*¶ ¨,k kCqr«kuZ|\sij@k$yqv$utLRqrCu ¯Ât{qr®k gikCj@k$z|\«kC:q{|wyzx¨,u wgik"ztrswqrz|Qsi| k$Ljutrt{|ik^2u:sij@~wyq{z:|8z|Qwgk uxwui±+²k"$z|$t{s k%wygiqv n. 0. i. u. i=1. n. i. i. i. ÆÆÌNzâ{-{. ". i.

(41) l. l]= -Mf

(42) 6,l IK -Mde

(43) Nj,c -M Tm X -Mdn . ¨%z:®¸\ :q{«\qr|iQ|NsjQkCqv$utÿkiuj@~itrkCgizx¨qr|inwguwwgiqv"ygik$j@kIz:|N«:k$yk^Ltrq{|kCuytr wzQwgkz:t{swyq{z:|}qr| ~iyu:/wyqrCutX$u:k^$± ¦ |o\kCwqrz|¶N¨,k kCyyq{¸6kwgk"zyq{:q{|Auti¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCu§kC·Nsuxwyq{z:|Ru| q{|o\k^/wyq{z:| ¨%kk$\gq{¸iq{wRwygik +z:qryz|*wyswsiykIqr|}wygikCuk]z¹Ru|*q kCutX©¸AkCC±%²k wygik$|Mgizxëu@trz¸utÿ«k$q{z:|}z¹ wygi0k Y]uy¸Az:s\¯Â¬q{k fgik$z:kCj ¹ºzwygiqr wk$j q{|Mo\k^/wqrz|l± o\kCwqrz|' ;i¶Xi¶+}uk k$«:zwk wyzwgik@~iyz\z¹Lz¹%kqvwyk$|$ku| si|iqv·:sk$|ik^ ykCsit{wy§¹ºz wygik@k$|k$ut ~iz:¸itrk$j sqr|iwgikgu|ikQz¹si|i®\|izx¨|A k©|k q{|ó\k^/wqrz| lA± ¦ | ~iuwqv$ut8CukCC¶ÿwgkj@uwyqª G qv q{|\«kCwyq{¸t{kI¨gikC| qv"kC«k$|¶u| q{|sitvu¨q{wg*wygikk$qrkC|\«4ut{sk z¹+jnsitªwyq{~t{qvq{w ¨gk$| qrz i ±L²µk wg\s qvwqr|isiqvgnwygikCk w¨%z@$u:k^$± ¦ |Mo\k^/wqrz?| ;¶¨,k]©w$z|q 0 k$,wgikqrjQ~t{k^w1Cuk§¨gikCnk n qrkC«kC|X¶ qrLq{|\«kCwyq{¸t{ku| wgk¸6zsi| uy Q$z| q{wqrz|ALuykqr| k$~6k$| k$|Nwz¹ ±8²µk§z:j¸iqr|ikwygiqvLykCsit{wL¨qªwygwgk G sku©\k ¯Â~Az:q{|Nw wgikCzyk$j wzZz¸iwyuqr| u| kqvwyk$|$ku| si|iqv·Nsik$|ik^dk^sit{wI¹ºz wygikkC|ik$utRCu?k 2ºq>± k:± ¨qªwyg¸Az:si| u Qz| qªwyq{z:| kC~AkC| qr|iz:| d78¨gikC| n qv2k$«:k$|@qr|o\kCwqrz|i± wR«:k$|Nwsut{tr ¶\o\kCwqrz| kûtv ¨qªwyg}wygik$u:k ¨gikCk n qrz i ± +q{|ut{tr ¨,k qr«k]|\sij@k$yqrCutÿykCsitªwq{|Mo\k^/wyq{z:| ±.

(44). . . $'&p$ * *& &!b+ "!"# ". ²k k$|izwk ¸\ wgikItrk$|wgz¹+wgk$u4«\qªw :¶u| ¨,k si~i~6z:k]wguw u4 ,uw"qr«kC|¹ºykC·Nsik$|AqrkC ¶ ¶i

(45) ν -ÿ` ±r±{±r¶ XIν u| u yk§V\yk$Z\~i^Ny` kCLk$ _|Nwy¨k u4«¸\k^ ,nk^¹º~6s|kC/wwyqrq{«z:k$|tr ± F (x) u| B (x) ¹ºz x ∈ [0,nL] k$|zwqr|inwgik ~6zx¨%kCy,z¹Xwνgik fgikj@z k$t2k^·:sAuxwqrz|AI$u|µ¸6k¨q{wwyk$| u]¹ºztrtrzx¨"$¶X¨gk$ykwygikq{| k i s|]¹ºz:j 0 wz n 2JkCk?/ÞL1 u| /65-17

(46) G P P 1. 2. n. i. Fi0. i. = −αi Fi − j<i gij (Fj + Bj )Fi + j>i gij (Fj + Bj )Fi , P P = αi Bi + j<i gij (Fj + Bj )Bi − j>i gij (Fj + Bj )Bi .. "Ã k$ykIu| qr|}wygikIk^·Nsik$t>¶\wgik k$|izwk^Lwygik kCqr«xuxwqrz|¨q{wgk^~6kCw,wyz x ∈ [0, L] ±8fgkz\k

(47) Eqrk$|Nw g uyk§|iz:||ikC:uwqr«k§u| yk$~k^kC|:w,wgk]"uju|Nuqr|¸6kw¨,k$kC|wgk]ü4«k§t{kC|iwygz¹wgk]trk$«:k$t u| ±2fgik z\k

(48) Eqrk$|Nw α > 0 uyk]uwwkC|\suxwyq{z:|$zNkEqrk$|NwyC±2²k k©|ik]wygik"uju|}Nuqr|}juxwyq{ G =i (G j) ¸\ nG qª¹ j > i, G = −g qª¹ i < j, G = g G = 0. ²kCu||izx¨ yk$ÿqªwyk kC·Nsuxwyq{z:| 2Ji9± 5=7%q{|ZuQj@zyk $zj@~u:/w"¬Xzw®xux¯Â°2zt{wkCuI¹ºz:j u:,¹ºztrt{zx¨"L G P F = −α F + G (F + B )F 2>6± 57 P G (F + B )B . B = αB − fz*z:j@~it{k$wknwgik k^$qr~wyq{z:|dz¹Lwgik@~iyz¸itrk$j*¶<q{w yk$juq{|wzZ$z|q k$§wgik@¸6zsi| uy *$z| qªwyq{z:| q{| 0 u| L ±2fgikC ykCu u| F (0) = R B (0), i = 2, . . . , n 2Ji± W 7 F (0) = P u| u| F (L) = R B (L), 2Ji± 7 B (L) = R F (L), i = 1, . . . , n − 1 ¨gik$yk@wgik}z\

(49) k Eqrk$|Nw R u| R uykk >kCwqr«\qªw µz\

(50) k Eqrk$|NwIz¹wgkÄ,yutruwwqvk^qr| x = 0 u| x kC=~ik^LkCy|NkCw%~Awyk^gi/kIwyq{~i«:sik$j@tr ~*¶:u~A| zx¨,Rk$qr|xqrkCRwwgik k§ trqru:|w%wgikk>CkCu4«\wqrqª«Nw q{w nuw,$z\wygi

(51) k Ek ¹ºyqrkCk$·N|Nsi,w k$2J|AkC0k /νL 17±2±2²fkIgik¨|\qrtrsitXjnj¸AukCqr|i t{P }qrLz|Aqr«q kCk$|,uwy| gik q{wsuwqrz|¨gik$yk R ' 1 u| R < 1) 2ºsAsut{tr R = 0.15 u| R = R = 0.997± Bi0. 0. i. ij. ij. ij. ij. ij. ij. ii. 0 i. i i. 0 i. i. 1. n j=1. n j=1. i. L i i. i. 0 i. ij. 0 i. i. ij. j. j. j. j. i. i. i. n. out. n. L i. out. i. out. out. 0 i. 1. L i. Åºþ ÆÅóÈ.

(52)

(53) . ;. zwk wgAuxwwgk wk$j J2 ±65¯±Þ4¯± W7R~AzNkCykC%wgik R w yqr«Nqvut ]ztrswqrz|

(54). . B1 (x) = R1L P exp(α1 (x − 2L)). u| ¹ºz: ±fgiqr§z:t{siwqrz|Zz:ykC~Az:| ,wyzwgikn$ukI¨gikCk wygikn"uju|Zuj@~itrqª©6$uxwyq{z:|

(55) k .<kC/w%Fgu=2B|zwL= :k0wLu~~Aikû≥yk 2 ± ¦ | kCk ¶:wgik§ wk$j 2Ji±95=7 kCyyq{¸6kCLuwuxwyq{z:|uy yk$qrj@kz¹<j@zykk$|k$ut wqrjQk kC~AkC| k$|NwkC·Nsuwqrz|C± ¦ |V~iuwqvk¶8wygik'tru:RkCnwyuwyn z| wgik*|iz:qrk skwyzuZ¹ºswygik$QwkCj |zw ~ik^kC|NwLq{|kC·Nsuxwyq{z:|2>±65¯±Þ4¯± W7¶xwgik]z¯ÂCutrt{k j@~it{q{©k o\~6z|Nwyu|ik$z:s]wRj@qvqrz| 02Ò]oPw 7#2Òk$k0/ N17± iyzj³u"juxwygik$juwqv$utN~6zqr|:w+z¹«\qrk$Ï¶4¨gikC|wg,k 2Ò]Po w 7wkCjqv wyu®:k$|Iqr|Nwz§u:$$zsi|NwC¶^wygik%z:|itr u j@qryq{¸itrk wuxwqrz|Auy yk$qrj@kqvwgk|iz:|¯Jwyqr«\qrutXz|k±"Ã"zx¨,k$«:k$^¶u§z\z:|Muwygiktvuk$]wuwyC¶iwgknz:|Nwyq{¸isiwqrz|Zz¹ wgi'k 2J§Po w 7R$u|Q¸6k$zj@~itrkwyk$tr |ik$:t{k^/wyk ±+²k"uk%wg\sRt{z\z®\qr|i§¹ºzRu]~ig\ qv$ut\ztrswyq{z:|nz¹ 2Ji9± 5$¯åi± x¯åi± 7/¶ uwqv¹º \qr|iQwgik ¹ºsiwgk$"uysij@~wqrz|L G u| B > 0 ¹ºz i = 1, . . . , n. 2Ji± Pl 7 F >0 wR«kC|duxwwgiqvkûyt{ *wyu:k¶Aqªw]qrq{|NwkCk^wyq{|wz}|izwyqr$kIwguwwygikn wyk$jgu§kC«k$utj@uwgikCjuxwqv$ut q{|\«xuyqru|NwyC±8q{j@~itrk$utr$sitvuxwqrz|*gizx¨",q{| k$k wyguxw F1 (x) = P exp(−α1 x),. i. i. . i. ∀ i = 1, . . . , n,. i. ∀ x ∈ [0, L],. (Fi Bi )(x) = (Fi Bi )(0) = (Fi Bi )(L).. ¦ ¹R¨%kj@u®kIwygikI¹ºsiwgk$ uysij@~wyq{z:|wguw qv®k$¨¯å Nj@j@kwyqv 2ówyguxw]qr"wzyu4 wyguxwwgikCknqr|iz {t zNz¹ :uq{|n7/¶iu| wyguxwwygik α uk utrtÿ«xu|iqvgiq{|G2Òj@kCu|q{|iQwyguxwwyPgik$yk qr|iz@trz:yz¹+k$|ikC: sik wzQwygik z:sit{k k.6k^/w¨qªwygiqr|}wygik ©¸6k$-7/¶\wygik$|*¨,k Cu|¹ºsiwygik$|zwqvk]wyguxw qv®kC~w"z|Awu|Nw"utrz|i wgik©¸AkCC±fgiqrn·Nsu|Nwq{w $u|´¸6kqr|NwkC~iykwyk u:Iwgkk$|k$y dz¹wgik(F −wk$Bj )u| qªw~iykCk$y«xuxwyq{z:|µqr| u¸k$|$k z¹+uwwyk$|\suxwyq{z:|}qv~ig\ qrCutrt{ zsi| k ± ¦ |~iuwqv$ut6CukCC¶wygik§juwyqª G qvtrz:k"wyznun¸iq qruz|utjuxwyq{ G˜ sgwyguxw G˜ = 0 ¼ £¢ ¹ºz |i − j| > 1 ¶ G˜ = 0 ¹ºz i = 1, . . . , n ¶ G˜ = −σ ¹ºz: i = 1, . . . , n − 1 u| G˜ = σ ¹ºz: ¶¨gikCk qvLuIykCuti~6z:qªwyq{«:k"|\sij¸6k$^±

(56) zwykwguw%¨q{wg@wygiqr k©A|iqªwyq{z:|X¶ qrLq{|\«:k$wqr¸it{k¨gk$| i = 2, . . . , n qn vkC«kC| u| q{|i:siσtvuI¨q{wg´wygikk$qrkC|\«4ut{sk 0 z¹jsit{wqr~itrqr$qªw 1 ¨gikC| n qvz i G˜±*fgqr$zyk^~6z| wz}wgik@$u:kn¨gik$yk¨,kz:|it{ wu®knq{|Nwyzu:$z:si|Nw"wgkQqr|NwkCyu:/wqrz|A"¸6kw¨,k$k$|µsA$k^qr«kI¹ºykC·NsikC|qrkCC¶ÿu| ¨gik$yk ¨%k s~i~AzNk]wyguxwwgkI«4ut{sk]z¹wygikI"uju|:uq{| z\kC|izw k$~6k$| z|}wgk ¹ºk^·:sk$|$q{k^$¶\¸isw"z:|itr z|Zwygik Fq .<k$yk$|$kn¸6kw¨,k$kC|Zw¨,z¹ºykC·Nsik$|AqrkC) 2Òk$k /ÞL 187/± ¦ |dwgiqv ~6kC$qrut+CukCC¶6¨,k¨qrtrt8k$kwguw]¨,knCu| z¸wuqr|}j@zyk k$©|ik k^wyq{juxwykCC± fgik@kqvwyk$|$kQz¹LwygikCk@q{|\«xuyqru|Nwy§¨q{trt2¸Ak^z:jQk@|uwsiut8qr|µwgik@|ik$NwkCwqrz|X¶X¨gk$ykwygik wkCj ¨q{trti¸6k"gizx¨|wz gu4«:ku]8zqvyz:|nwys/wysik:± ¦ w2qvRu]¨%kCt{t{¯Â®N|zx¨|¹Òuw8wguwLsg@ \wkCj2$u|Q¸6k¸iz:sigNw ¸u®Qwz@$u|iz|qrCuti¹ºz:j*¶Nwgz:siguntrz\Cut<gu|k"z¹«xuyqru¸it{k^$± ¦ |wygik z|Nwyk\w,z¹ÿwgik ~iykCk$|Nwwys ¶\q{w qrqr|}¹Òu/w"~6z:yq{¸itrk]wzk$\gq{¸iq{wu N6V\igu|ik]z¹8«xuyqru¸itrkCu| wgqr¨qrtrtX¸Ak wygiksi¸kCw"z¹2o\kCwqrz|*l± i. . j. j. j. . ij. ii.

(57). *$'. #. ". . . i,i+1. #+. . . . $'&. . +X. . i+1,i. $+ ' $ n %"#(!*##(". ¦ |wgiqvkCwqrz|X¶¨,kz:|q kC"uQzj@kC¨guxwq kCut{q6@$k j@z kCtJ¶i¨gqrgZ$u|*¸AkI«\qrk$¨,k u"u@q{j@~itrqª©Ak ¹º¹ºzz:yj³j zuQ¹ij@wygiukwgi~ikCjkC«\uxq{z:wqvs$utXz:|i~6kz±8qr|:fwgizk¹+«\zqr¯>k$z:Ï¸± wyuiq{y|zk j |i zx¨wyk$j³z|g¶iu:¨% k]z:wy¸\gN«NsAqrzsAjtru ]®wk§giwkgu k ¹º«xzutr|:t{zxwü:qr|ikRwz]uy¸6k,sj@jQz:~iwkLqrzw|#u/G wu¸itrk 5± g = −g ¶AzQwgAuxwwgk]juwyqª G qv"®:k$¨¯å \j@j@kwyqv± ±,wygikjuxwyq{ G qv"z¹2juxqrjutXu|iU® G G qrq{|\«:k$wqr¸it{kIq{¹ n qrk$«kC|Zu| G qr"z¹2yu|i® n − 1 qr n qr z i ± i± α = 0 ¹ºz"ut{t i = 1, . . . , n 2ówygik$ykIqr|zt{zN,z¹8k$|k$y ¨q{wgiqr|*wgik ©A¸AkC\ 7±. ij. ji. i. ÆÆÌNzâ{-{. ".

(58) . l]= -Mf

(59) 6,l IK -Mde

(60) Nj,c -M Tm X -Mdn . ¦ |wygik,¹ºztrt{zx¨qr|i]¨%kkw u| ¨%k k©A|ik B) u+¸AkCq{|§wygik n×n juxwyq{¨qªwyg z\k

(61) Eqrk$|Nw G F B ±2fgik 2nY ¯ =qrj@(F,k$|B)qrz|∈utARy·:sAuyk¯Âj@uwyqª J(YG(F, qvLwygik$|z:|wysA/wk ¸\ Qwgik]kC·Nsuwqrz| ) 2Ji6± 57 G(F, F ) −G(F, B) , J(Y ) := F) G(B, B) y w i g k \ z k E$q{kC|Nwyz¹wgqrjuwyqª 2 α, β = 1, . . . , 2n7/± u| qvtrkCuytr ®:k$¨¯å \j@j@kwyqv±8²µkI¨q{wk J−G(B,

(62) zx¨ ¹ºz:w¨%zQ¹ºsi|A/wqrz|A H u| K z¹ Y ¨,k k©A(Y |ik )wgikI¸yu:®kw X ∂H(Y ) 2Ji±Þ 7 ∂K(Y ) {H, K}(Y ) = J (Y ) . ∂Y ∂Y ²kI¶ ¨qrt{ut | kCk§wyg¹ºsuxw|/wywygiq{qrz:"|¸iyzu:¹ ®k$Gw k$©|ikû x \ V

(63) _WZX^W MJ¶wyguxw"qvyuxwqv©kC,wygik wgiyk$k q k$|Nwyqªwyq{k^$¶¹ºz:"utrt H K Q Y 2J®:k$¨¯å \j@j@kwy 7 {H, K} = −{K, H} . 2 Nu$z¸iq<q k$|Nwq{w 7 {H, K}, Q + {K, Q}, H + {Q, H}, K = 0 2Ò¬k$qr¸i|i6q @Isitrk 7 {H · K, Q} = H · {K, Q} + K · {H, Q} fgiqr"qru@z:|kC·Nsik$|Ak z¹ wgik ¹ºz:t{trzx¨q{|Qtrk$j@ju 2º¨q{wg m = 2n7-G £

(64) M m ≥ 1 A VX A _^ `baT -ck

(65) Md -eZu!NMO - Jiu X m A = −A M L¼. 2n. ij. i. j. αβ. 2n. αβ. α. α,β=1. β. . . A(Y ). V\ 'M8I 0Md - Ji' _W

(66) .

(67) ]n

(68) 0xN \

(69) N H _WZX^W

(70) M. . m. b` αβM8IAZ\L

(71) Z

(72) e KMO. Aαβ Yα Yβ. αβ IK

(73) UMIK k\mmnFeZXNMOeN. m X ∂K(Y ) ∂H(Y ) (H, K) 7→ Aαβ (Y ) . ∂Yα ∂Yβ α,β=1. ¦ wqv¨%kCt{t<®\|izx¨|U2JkCk!/ ;17LwgAuxwwgik ykCsit{w,qv,wysik qª¹ wgik juxwyq{ m X ∂Aβσ (Y ). ¹ºz"utrt Y ∈ R ±RÄ,sw¨,kIgu4«k α=1. m. ∂Yα. βα. Aαδ (Y ) +. yuxwqv©kC%wgk]yk$tvuxwyq{z:| 2Ò± 7 (Y ) = 0,. A(Y ). ∂Aσδ (Y ) ∂Aδβ (Y ) Aαβ (Y ) + Aασ ∂Yα ∂Yα. m X ∂Aβσ (Y ) Aαδ (Y ) = Aβσ Aβδ Yβ Yδ Yσ + Aβσ Aσδ Yβ Yδ Yσ ∂Yα α=1. fgNsA,wgikIyk$tvuxwyq{z:|D2Ji± W7%qr"kC·Nsiqr«4ut{kC|Nw,wyz. u | ¨,k k$k]wyguxwwygiqr"kCtruwqrz|qv"yuxwyqr©k sq{|nwygik ¹Òuwwguw A qv"®k$¨¯å Nj@j@kwyqv±

(74) zx¨ ¨%k kCkwyguxw qrz¹Xwgiqv¹ºz:j*¶\sq{|iQwygik ~uwq{wqrz| u| wyg\s2Ò± W7 k$©|ikû +z:qryz|*Ä%u®:kw^±+³q{j@J(Y~itrkI) z:jQ~swyuwqrz|}wgikC| \qrk$t wygik ¹ºztrt{zx¨qrY|iQ=k^(F,stªwB)G ¢ À LÀ Ò¡ À jmmK= uM8I M'N M8I α = 0 nM8I M G 4 _^ `baT -ck

(75) Md -eZ ! I MIK u -c= \Mf 2J6± 57 k Xtj#"9 KM MTMIK -c= -MT 2Ò± lP7 Y = J(Y )∇H (Y ) ` I _ J(Y ) 'M8I '!NMO - 2Ò9± 5=7' H (Y ) MIK #IK)MTNKeN X i

(76) Y = (F, B). 2Ò± ;W7 H (Y ) = (F − B ) Aβσ Aβδ + Aβσ Aσδ + Aσδ Aσβ + Aσδ Aδβ + Aδβ Aδσ + Aδβ Aβσ = 0 αβ. . i. 0. 0. 0. n. 0. i. i. i=1. Åºþ ÆÅóÈ.

(77) .

(78) . k$ju®QwgAuxw%q{¹ qvLkC«kC|u| qª¹Xwygik uyk"|iz:|[@$kCzA¶wygik$|wgikCk§kqrw n kûtA$z\k

(79) Eqrk$|Nwy a sg wguwwgik wyk$j 2>±65n7%qr"kC·Nsiqr«4ut{kC|Nw,wyz@wgiαk wyk$j 2Ò± 7 Y = J(Y )∇H (Y ) ¨gik$yk J(Y ) qv,wgikIjuxwyq{U 2Ji6± 57u| H (Y ) qrwgikIguj@q{t{wz:|iqru| X ¹ºz 2Ò±Þ 7 H (Y ) = Y = (F, B). F − B + a log F ¦ | k$k ¶i¨,kIkCk§wyguxw"¨,k gu4«k i. i. 0. a. a. n. a. i. i. i. i. i=1. ∇Ha (Y ) = (1 + a1 /F1 , . . . , 1 + an /Fn , −1, . . . , −1)T .. f gNsAwgk wkCj 2>±657qv"k^·:sq{«xutrk$|Nwwyzwgikn wk$j 2Ò± 7q{¹2u| z|t{ qª¹2¨,kgu4«:k a G = −α ¨gik$yk k$|izwkCwgk«k^/wyz u| wygik«kCwz: (a ) ± vqr|iMwygik}u:sij@~wqrz| wguw G qv α q{|\«kCwyq{¸t{k ¨gikC| n qr"k$«(αkC|X¶) ¨,k]:kwwgkIkâsit{wC± fgikI8zqvz|wysA/wsk z¹+wgkI~iz:¸itrk$j \qrk$t |uxwysiutÿqr|N«xuqvu|Nwy,z¹wgkI~iz:¸itrk$j*± ¢ À LÀ Ò¡ À jmmK= uM8I M α = 0 Nn G _^W

(80) `baT -c)! MO -eZJi4 W!N XP^ IK u -c= \Mf 2J6± 57 'MIjP \tj#"=N9

(81) qM Mf!M8I x \ U -c= -MT 2Ji± l 7. T. i i=1,...,n. T. i i=1,...,n. . i. 8i 8i . . Pn. 0 "= M8I ' -c= \Mf mK= \ - \ - n l]= -) ' " -eNKMO c = F B i = 1, . . . , n i i i. D MIK U \c= -Mf

(82) mK= \

(83) X

(84) n + 1 lb -k " -eNKMO c = F B i = n i i i ` I _ a = (a )n % -jKZXI?MIKM aT G = 0 a log F n. 1, . . . , n. . Ä% M$z|wyswqrz|X¶ÿq{¹ ¹ºz ¶ÿwgkQjuwyqª ) k©|ik qr| 2Òi±657§gu:§wgik ujQk]u|i®u:LwygikIjuxwyq{ G ±RZYzyk$zx6=«:k$0^¶q{¹ ¨,αkI=k$w 1,c. .=. ,Fn B ¹ºz i = 1, J(Y ¶¨,k]k$k]wgAuxwwgik «:kC/wyz . . . , n u y k r q * | w i g n k ® C k i | C k X t z ¹ " ± § " y w i g C k k « ^ k / y w z " u y I k { t r q i | ^ k u y { t { q | $ k 6 ~ $ k | $ k N | C w A ¶ wgik c ¶ i = 1, . . . , n ¶<uyk ∇c J(Y ) , C : u r q @ j { q , z + ¹ w i g I k \ w C k * j ± n ¦ ¹ n qvQk$«kC|X¶2wygik$yk}qvQ|izµzwgk$[ C,uq{j@qrn¸6kCCusk}wgikyu|i®´z¹ J(Y ) qr n ¹ºz:n:k$|ikCqv}|iz| @$k$yz Y ¶ ± α = 1, . . . , n ¦ ¹ n qrz i u| q{¹8¨%kIkw A(Y ) = P a log F ¶wygik$|*¨,k]gAu4«k i=1. i. i. i i=1. α. i. i. i. i. i. α. n i=1. u| ¨,k $zj@~iswyk q{ykCwtr wyguxw. i. i. ∇A(Y ) = (a1 /F1 , . . . , an /Fn , 0, . . . , 0)T ,. {q ¹ 1 ≤ α ≤ n, q{¹ n + 1 ≤ α ≤ 2n, ∇A(Y ) J(Y ) = u| gik$|$k ∇A(Y ) J(Y ) = 0 ±2 ∇A(Y ) qv,q{| k$~6k$| k$|Nwz¹wygik ∇c ¹ºzkC|ik$yqv Y ¶Nwygiqrj@kû|Lwguw qrwygikItvuwC,u:qrj@q{z¹wygik wkCj± A(Y ) o\si~i~6z:kI|izx¨ wguw α 6= 0 ± iz:qr«k$| i ¨,kIzj@~isiwk wgAuxw P u| F B = −α F B + G (F + B )F B T. . T. . α. (aT G)α Fα (aT G)α−n Bα. i. i. 0 i. i. i i. Bi0 Fi. n j=1. i. = α i B i Fi −. Pn. ij. j. j. i. i. Gij (Fj + Bj )Bi Fi .. u| wygNsAq{w}qvtrkCuwgAuxw ¶"u| gk$|$kZwgik ukM$z|wyu|Nwutrz|i wygik wuxkCwz:qrkC,z¹ 2Ji±95=7/±2fg\s,FwgiBk +wyFk$j Bwygi=k \0wkCj 2Ji±95=7%¨qªwyg αc 6=:=0 wFqrt{tÿB~6z:ykCyk^Lwygik n qr|\«xuyqru|:w ¹ºz: i = 1, . . . , n ± c =FB 0 i. i. i. 0 i. j=1. i. i. i. i. ÆÆÌNzâ{-{. i. ". i. i.

(85) l]= -Mf

(86) 6,l IK -Mde

(87) Nj,c -M Tm X -Mdn . . . : $p(4[$. . . . . fgik wkCj 2Ji±95=7§Cu|µ¸Akk$kC|µu:]wgik@k~iykCyq{z:|dz¹%wgik k$yq{«xuxwyq{«:knz¹ ) ¹ºz: i = 1, . . . , n ± Z zyk$zx«:k$^¶:¨,kI®\|izx¨ wyguxw"qr|Zutrt$u:k^$¶\wygikI~iyz s/w c := F B uk qr|\«4uqvu|Nwlog(F L¹ºz: i = 1, . . . , n ±Lfguw qr¨g\ ¨,k ju®k]wygik ¹ºztrt{zx¨qr|i@gu|k]z¹8si|i®\|izx¨|LG 2ºlA9± 5=7 c = FB, √ (F, B) 7→ i = 1, . . . , n. u = log(F / c ) fgiqr+gu|ik2z¹isi|i®\|izx¨|qr¨%kCt{t k©A|ik s| k$wgik,uysjQ~iwqrz[| 2>± l 7ÿu| ¨%k%gu4«k8wygikLqr|\«kCykRyk$tvuxwqrz| √ u| B = √c e . F = ce ¦ wqr"wg\s§trkCu"wguw¨%kIgAu4«k F + B = 2√c cosh(u ) u| u = F /F ±fgik wyk$j 2Ji9± 5=7$u|wygNsA ¸AkIÿqªwwkC|X¶ ( P √ u = −α + 2 G c cosh u ¹ºz i = 1, . . . , n. 2ºlA± W 7 fgikI¸Az:si| u $z| qªwyq{cz:|=uyk 0|izx¨ √ u| u (0) = log R ¹ºz i = 2, . . . , n, 2ºlA± 7 u (0) = log(P/ c ) u| ¹ºz: i = 1, . . . , 0 u| u (L) = − log R . 2Òl± l 7 u (L) = − log R ¬Xk$ws$z|q k$"|zx¨ wygikq kCut $u:k:¶i¨gikCk u| qr§®:k$¨¯å \j@j@kwyqv§z¹2j@uq{jutyu|i®<± ¦ |}wygikI|ikC¨ z\z: qr|uwkCC¶\wgk Ã§uj@qrtªwyz|iqvu| H (Y )α q{| =2Ji0<± ;7%¨Gq{wk^|izx¨ i. i. i. i. i. 0 i. i. i. i. i. n j=1. i. i. ui. i. i. i. i. i. i. i. 0 i. i. ij. −ui. j. 0 i. i. j. 0 i. 1. 1. 1 2. i. 1 2. i. 0 i. L i. n. 1 2. out. i. 0. H0 (u, c) = 2. n X √. ci sinh ui .. t{z$ut{ftr gi¨kMyqªwtvuwkCy|*qrCu:uHt u@Y]u y¸Awz:k$js\¯Âz¬¹+q{wkgiwk g¹ºk$z:zyj k$j wuxwykC@wyguxw}uµ8zqvyz:| wyk$j ¨ { q w g J 0 , z = J ∇K(z) J = 0 0 ¨gik$yk J qv,wgikIjuxwyq{ i=1. −1. 0. 0. 0. 0 −I. J=. y 0 = A(y)∇H(y). $u| ¸Ak 2Òl±<;7. I 0. ¨gik$yk I qr,wygikIq k$|Nwq{w juwyqªz¹ qrj@k$|qrz| d ¶i¨gk$yk 2d qrwygikIu|i®z¹ A(y) ± Ã"kCk:¶8¹ºz F > 0 u| B > 0 ¶ i = 1, . . . , n ¶8wygik}juwyqª J(Y ) qrnz¹§yu|i® n q{¹ n qvnk$«kC|Vu| q{¹ qvz ±2²kI|zx¨ gzx¨ wgAuxw"sq{|nwygik ~iyk$«\q{z:sgu|k z¹+si|i®\|izx¨|X¶¨,kI$u|ÿqªwyk u9V\N n−1 n Y§u¸6zs\¯å¬Xqrk]wu|¹ºzyjuxwqrz|± ²µk ©wgu4«:kwygikIt{kCj@j@uKG £ I _ ! W -M 4 "

(88) -MdeV9 k!NMO - M hi'N _ n -jKZXI?MIKM L¼. i. i. . ` I _. A = J −1. i. n. G = M AM T. k "

(89) . A=. ` I _. J −1. 0hi0N! -eN. n−1. i. n. k. . J −1 0. 0 0. . Åºþ ÆÅóÈ.

(90)

(91) . Ä, wgkykCut8og\si kC$zj@~AzNq{wqrz|*wygik$z:kCj Ò2 k$k¹ºz:qr|wyu|Ak[/ l187/¶Xu|N ykCut juxwyq{ G Cu| ¸AkI¸iyzsgNwwzQwgik ¹ºz:j . R11  0  QT GQ =   0. ±±.  R1m R2m     ··· · · · Rmm. R12 R22. ··· ···. ±±. ±±. ¨ gik$yk*wgik uyk*k$q{wgikC}u ¯Â¸\ N¯ kûtjuxwyq{ z:u ¯Â¸\ :¯ kûtjuxwyq{ ¨q{wg z:j@~it{k$ $z|xsiNuxwyk k$qrk$|\«xutrsik^$R±

(92) zwkwyguxw%wgik"j1uwyqª 1Q q{|\«z:t{«:k qr|wgik"w2u|¹ºz2yjuxwqrz|@qvRykCutzwgzz:|ut>¶xq>± k:±8yuxwyqr©k^ ±

(93) zxÏ¶iq{|Ak G qvsi~i~6z:k wz¸6k®:k$¨¯å \j@j@kwyqv¶\¨%k qrj@jQk qvuxwkCt{ }k$w Q Q=I ¹ºz j 6= i, R = 0 R = −R . fgiqr+j@kCu|wguw Q GQ qv qr|¹Òu:/w2u¸t{z®N¯ qruz|Autjuxwyq{I¨qªwygQ®kC¨¯Â \j@jQk$wyqrR¸it{z® z¹ qrj@k$|qrz| z: 2 z:|wygik qvu:z|utJ¶\q>± k:±2z¹+wgik ¹ºz:j R = 0 z: 1 0. ii. T. ij T ii. ii. T. ii. C%z|q . Rii =. . 0 −ωi. . ωi 0. .. k$|izx¨ wgikI¸itrz® qvu:z|ut6juwyqª D ¨q{wg qvuz:|ut<¸itrz® D. N|zwsgt{tXk$yz:¨qrz¹+k±wgifk g¹ºkLz:ykCj y$utrk j uwyqª. Dii =. . |ωi |−1/2 0. DT QT GQD . 0 |ωi |−1/2. . ii. =1. q{¹ R. ii. u| . =0. ,. qvX¸itrz®N¯ qvu:z|ut¨q{wg qvu:z|ut¸itrz®\ D R D k$q{wgikC ii. 0 ±1 ∓1 0. . ii. ii. .. ¦ wkCjuqr|wz|zwqvkwguw D Q GQD $u|*¸Ak¸z:sigNwwzwygikI¹ºz:jwuxwk q{|*wygiktrk$j@juQwgiyzsgZu ~AkCjnswyuwqrz|j@uwyqª P yuxwyqr¹º \q{|i P P = I 2 M qvwygik$| (QDP ) 7± vq{|iQwygiqr"t{kCjQju¶i¨%k z:¸wyuq{|kCu:qrt{ wgik ¹ºz:t{trzx¨q{|nykCsit{wLG ¼\À ¢ ¼ jmmK= M8I NM α = 0 Nn G [ _^ ` \c)

(94) Md -eZAhi W _^ M M V\ M8I !NMO -?Ji9 knl6± 5 u9

(95) M c Nn u MIK 0j^ `bK 'W n \[D2Òl±657 IK

(96) M8I !Z\I PW Ji " -eV9 T. T. T. −T. . i. 009WVXN) V\j WaObe kZ\I N )Ji "=N -eV9 i\ _N B > 0 } Mf { (v, c) ∈ R2n | c > 0 }. { (F, B) ∈ R2n | Fi > 0 i i -AM8I )Z\LN _ Mf ' -c= -Mf

(97) z = (v, c) ]M8I ' \c= -Mf

(98) `b -Mf -. (F, B) 7→ (v, c). ` I _. v = M −1 u. . ` I _ ?Ji MIK 'i

(99) - 2ºlA± ;W7 `bMI I )MfJq0e K(z) `b -Mf - . z 0 = J0 ∇K(z),. J. K(z) = K(v, c) =. JiA

(100) K \eN n X √. n. i. n. ? "= Nn. n−1. i. n. 6 . I. √ ci sinh((M v)i ) = ( c)T sinh(M v).. i=1.

(101) zwyk wguw"qª¹ qr"z ¶isq{|nwygik k$©|iq{wqrz|*z¹ ¶wygikItru:w$zj@~6z|ikC|:w"z¹ qvz¹ wygik ¹ºzyj ¨gik$yk a = (an) qrqr|}wgikI®:k$y|ik$tÿz¹ G ±Rfg\s Mv qrwgikkC,u:qrj@q{z¹8Ryz~6z:vqªwyq{z:|± ± n i i=1. ÆÆÌNzâ{-{. ". n. Pn. i=1. a i ui.

(102) 5C. l]= -Mf

(103) 6,l IK -Mde

(104) Nj,c -M Tm X -Mdn . 7/¶L¨,k*kCk}wyguxw¨,k zqr|iµ¸u® wyzwygik*kC|ik$ut$u:k 2ºq>± k± |iz:| ®kC¨¯Â \jQj@k$wyqr}u| k sk wgikn~iyz¸itrk$j 2Ji±95$¯åi± x¯åi± 7R~6z:k z:|*GwgikQk$w { (F, B) ∈ R | F >α0 6=u| 0 B > 0 } wyzwgk ~iz:¸itrk$j ¨q{wg*¸6zsi| uy z:| q{wqrz|2Òl±Þ4¯Âl± x¯Âl± l72z:|wygikkw { (u, c) ∈ R | c > 0 } ± ²k}¨q{trt,|izx¨ wys µwgiqvntru:wQ~iz:¸itrk$j)q{|Vk$«:k$utLwkC~C± +q{wz¹ut{t>¶8¨%k}|izwykwgik~iykCk$|$kz¹ wgik@qr|igizj@z:k$|k$zsA¸6zsi| uy Zz| qªwyq{z:| u (0) = log P/√c k$~6k$| q{|i*z:| c ¨giqrt{kQwgkQzwgikCy uk q{q{|| wk$g~6kk$|u jQkC|Nk wL¨z¹Au4 @wgi¹ºk"z $zNk Ek$«:k$qr|k$|Nzwy c z ïqªwy gQ± s|i®\|izx¨|n«xut{sik^$±8R¨%k¨qrt{tk$k:¶xwgqrR$z| qªwyq{z:|Qqv8|izw2wykCuxwyk ² gik$| n qvIk$«:k$| n¨,ksk@wygink¹ºz:t{trzx¨q{|*wuxwyk$:n G¨%kws M©wwgik~iyz¸t{kCj 2ºlA± x¯>lA± ¯>lA± Pl 7"¸sw ¨qªwyg Du Yqrqvgitrkw@z| qªwyq{z:|Vz:| qr| k$~6k$| k$|Nw@z¹ 2Ò¨%k}¨q{wkqªw ¨gikCk ¹ºz: gizj@z:k$|ikCqªw @ykCu:z:|X 7±+fgqr~iyzu¸t{(0)kCj qrws q{k qr|wygik c|ik\w"kC/wyq{z:|X± §|logk]¨,Rk§~iyzx«k kRqvwyk$|>$kI0u| si|iqv·:sk$|ik^§k^stªw§¹ºz"wygiqv§~z:¸it{kCj ¹ºz: R j@ut{ft S «xutrsik^z¹2wgikn¸Az:si| u *z:| q{wqrz|C¶<¨%kIwygik$|qr«kqr| k^/wqrz|u|kqvwyk$|$knu| si|iqv·Nsik$|ik^]ykCsit{w¹ºz§wgknqr|iq{wqvut8~iyz¸itrk$j ¨q{wgMwygikQ¸Az:si| u Zz:| q{wqrz| 2ºl± W 7±R¨,kI¨q{trtXk$k¶iwgikIz:| q{wqrz|"z|}wgikI~6zx¨%kC P wyzQz:¸wyuq{|}wgqrykCsit{w"uyk k$«:k$yk± ¦ |wgk]Cuk"¨gik$yk qvLz i ¶:¨,k¨qrt{t<k$kqr|kCwqrz|}]wyguxw,¨%k§$u|sk]u|kCt{kCjQkC|Nw%z¹ÿwygik]®k$y|ikCtz¹ wG yzz:|wysA/wRu|@qr|N «xunqvu|NHw 2ówygik"tvuw C,uq{j@qr2q{|\«xuyqru|Nw8qr|Qwgik§$uk¨ gik$yk G qvR®kC¨¯Â \jQj@k$wyqr 7 u| wguwL¨%k"Cu|@z¸iwyuqr| qrk^/wtr nu|@k~iykCyqrz|Qz¹ c ¨q{wgykC~Ak^/w2wyz wgik uxwyu z¹Awygik"~iyz¸t{kCj± vqr|i wgiqvC¶ ¨%kCu| ~iyzx«kQwgkkqvwyk$|$ku| s|iqr·NsikC|ikCyz¹wgik~z:¸it{kCj 2Òl±Þ4¯Âl± x¯Âl± l 7"¹ºznu*:q{«:k$| P uwqv¹º \qr|i wyz:|iQ$z| qªwyq{z:|$± i. 2n. i. i. 2n. i. 1. 1. 1. i. 1. 1 2. 1. in. in. 1. . )+ n. "%$. 4* . . ![& . (+(. . " ( . . $'". n. . . . . $'&)+ b+ &. ¦ ¹ qv,k$«:k$|X¶Nwgk]~z:¸it{kCj 2ºlA± W 78wz:k$wgikC,¨q{wg}wgk§¸6zsi| uy z:| q{wqrz|# 2ºlA± ¯>lA± lP7Rk$k$j q9Esit{w wz z:t{«:kn¶x¸6kC$usk%z¹iwgik~iykCk$|Ak,z¹iwygik,wk$yj log(P/√c ) q{| 2ºl± W7¹ºz:+¨gqrgnqªw2qv gAu wz]gu4«:kL¸6zsi| Ò2 k$kRwygik,|ik\w+kCwqrz|q7±+Ãk$yk¶4¨,kR©w+~iyzx«k8wgk%k$\qvwk$|AkLz¹uztrswqrz|z¹u"j@z q{©k ~iz:¸itrk$j*¶4¨q{wwyk$| ( P √ u = −α + 2 G c cosh u ¹ºz i = 1, . . . , n, 2O;i±95=7 ¨qªwyg}wygikI¸6zsi| uy z:c| q{w=qrz| 0 u| u (0) = log R ¹ºz: i = 2, . . . , n, 2O;i± W 7 u (0) = log R u| ¹ºz i = 1, . . . , n u| u (L) = − log R , 2d;± W 7 u (L) = − log R ¨gik$yk R qr ukût|\sijn¸AkCC± ¦ |ZwygikQzyq{:q{|ut«xuyqvu¸itrk¶6wgqr]z:ykC~Az:| "wzwygikQ¸Az:si| u Zz:| q{wqrz| ± ¦ |}wygik ¹ºztrtrzx¨q{|iA¶q{|z kCwz@k$w$zj@~u:/w¹ºzyjsitvu¨,kIk$Lw G F (0) = R B (0) u| R := R . R := R ¦ | wgikq kCutL$u:k¨gk$yk G qv®k$¨¯å Nj@j@kwyqv@u| α = 0 ¶Xwygiqr~iyz¸itrk$j qru*8z:qryz:|µ wyk$j ¨qªwyg ¸Az:si| u z| qªwyq{z:|C± vqr|i@wgiknujQkIj@k$wgiz uqr| / 1Â¶i¨%kgizxë|izx¨ wguwq{|wygikkC|ik$utXCuk¶i¨,k $u|yk¹ºzyjstruwk§wgiqv~iyz¸itrk$ju4u C,usg\ ~z:¸it{kCj ¹ºz" wyk$j z¹+qr|NwkCyz¯ Fq .<k$yk$|NwyqrutAk^·:sAuxwqrz|A$± ¬Xk$w"sq{|Nwyk$uxwyk]wgikIk^·:sAuxwqrz|A# 2d;6± 57%¹ºyzj 0 wyz L ±2²k ©| ¶¹ºz"ut{t i = 1, . . . , n G 1. 0 i. n j=1. i. ij. j. j. 0 i. 1 2. 1. i. 1 2. in. i. 1 2. 0 i. L i. n. 1 2. out. in. 1. in. 1. 0 1. in. ui (L) − ui (0) = −αi L + 2. L n. n X j=1. out. √ Gij cj k cosh uj k 1. Åºþ ÆÅóÈ.

(105)

(106) . ¨gik$yk. k cosh uj k 1. 55. qv,wgik L |izyj z¹ cosh u q{| 1. [0, L]. i. ∀ i = 1, . . . , n. ²k k$©|ik wygikI«k^/wz: µ ∈ R ¸\ . 2. n X j=1. n. √ Gij cj k cosh uj k 1 = − 21 log RiL −. −1. 1 2. 2d;± l7. log Ri0 + αi L,. º¹ z i = 1, . . . , n. ±RfgikIk^·Nsuxwyq{z:|U2O;i± lP7%wgikC|*¨q{wk^ µ∈R 1 2. µi = − 21 log RiL −. ¦ ¹ G qr"q{|\«kCwyq{¸t{k:¶N¨,kkw q = G. Ã"k$|Ak ¨%kk$k]wyguxw. log Ri0 + αi L. n. 2d;±<;7. √ ci k cosh ui k 1 = 21 qi .. fgiqrngzx¨"IwgAuxwwygik}$z| q{wqrz| q > 0 qv|ik^kCyyuy Zwzgu4«k@wygikkqvwyk$|$kz¹uZztrswyq{z:| uwqv¹º \qr|i ±RZzyk$zx«:k$^¶:si| k$wygiqrz| qªwyq{z:|X¶\wgk wk$j 2O;±657,qvkC·Nsiqr«xutrk$|Nwwz@wygik wkCj c >0 X 2d;± W 7 cosh u . ∀ i = 1, . . . , n u = −α + G q k cosh u k

(107) zwykwguw2wgiqv8kC·Nsuwqrz|QqrR|izwRu|@z: qr|u 9q .6kCkC|Nwqvutik^·:sAuxwqrz|¶u| wgAuxwRq{wL$u|Q¸6k"k$w+¹ºz:Ruy¸iq{wuy ¶ ~AzNq{¸t{ *|ikC:uxwyq{«:k¶ q ±Ifgikn$z| q{wqrz| q > 0 ¹ºz utrt i = 1, . . . , n wyg\s u~i~6kCuy§u]uz:| q{wqrz|]sg wguwwgikI~iyz¸t{kCj 2O;i9± 5$f¯ ;i± xf¯ ;i± 7Ru jQq{wyu R ~ig\ qv$uTt S§z:t{siwqrz|¨qªwyg|z|*|ik$Nuxwyq{«:k c ±

(108) zwkj@zyk$zx«:k$,wgAuxwq{¹ yuxwyqr©kC0 2O;± W 7¨qªwyg*wgik¸6zs| uy }$z| qªwyq{z:|0 2d;±Þ 7¶wgikC|M¸\ k©|qªwyq{z:|z¹ q ¶\wygikI¸6zsi| uyu =z:(u| q{)wqrz| 2d;± W 7,uykIutvz@uwqv©Ak ± ²k ¸6k$:q{|¸\ gizx¨qr|iQu|k$qrwkC|k ykCsitªw,¹ºzunkC|ik$ut6~iyz¸itrk$j z¹Xwgik]¹ºz:j 2d;± W 7%¨qªwy?g C,usg\ ¸Az:si| u $z| qªwyq{z:|q{| x = 0 2JkC!k / N 17

(109) G ¢ À LÀ Ò¡ À M β ∈ R A V\ 04!NMO - hi# - n v ∈ R IK

(110) _ ) -MO "= \ZMTN v `bM8I ∀ i = 1, . . . , n i. i. n. 0 i. i. j. ij j. j 1. j=1. i. i. i. n i i=1. . \M8IAZ\L

(111) Z

(112) e KMO. . . W n \[N. n. jMde hiM8I ) \t

(113) jKNMOeN 0. n. vi (x) i = 1, . . . , n [0, L]  n X  cosh vj (x)  v 0 (x) = β + , Aij i i k cosh vj k 1 i = 1, . . . , n j=1   vi (0) = vi0 .. i

(114) . ¶ ¹ºz: i = 1, . . . , n u| β = −α v = log R i ¶ % ¨ k k s $ I k { q @ j @ j k v q x u y w { t w i g k º ¹ : z { t r t x z ¨ { q | Q y C k i s { t L w G 1, . . . , n jmmK= 0MIKM n 0 "=

(115) M µ MIK n a " \Z

(116) Mf 0W n \4Vc ¼\À ¢ ¼. vq{|ZwgiqvykCsit{w¨q{wg. i. i. 0 i. 1 2. 0 i. . 2d;± N7. x ∈ [0, L],. Aij = Gij qj. ¹ºz. i, j =. i

(117) N i = 1, . . . , n. 2O;i± 7 IK # -c= -MT 2O;±657,Mf_ MIK

(118) ,`bMI[M8I V\j -c!Z\nNMOeN %2O;±Þ7# )2O;± W7]mK= \ - \

(119) #0 \M8I NjMOeN `b MI c > 0 i

(120) i = 1, . . . , n ] i' uNKc i%M8I " XZMf q = G−1 µ NMO

(121). i i

(122) N i = 1, . . . , n. 2Oi; ± 7 qi > 0 -AM8IP kZ\= ]` #IK " kMIK ' _ 9NMOeN µi = − 21 log RiL −. 1 2. log Ri0 + αi L. . ci =. ÆÆÌNzâ{-{. ". qi 2k cosh ui k 1. !2. i

(123) N. i = 1, . . . , n..

(124) 5^. l]= -Mf

(125) 6,l IK -Mde

(126) Nj,c -M Tm X -Mdn . ²kZ¨qrtrt qrysA@tvuxwyk$QwgikM$z| qªwyq{z:| 2d;± W7Qu| gizx¨ wgAuxwq{w@qvyuxwqv©k q{| $u:k^Qz¹ ~iyu:/wyqrCut {q |NwkCk^w'2JkCkIRz:~AzNq{wqrz|*i± n¸AkCt{zx¨7±

(127) ²µk]k$k§wgAuxw v qv,z:t{swyq{z:|z¹ 2O;± N7Lq{¹ u| z|itr @qª¹ qªwqv%ztrswqrz|z¹Xwygik kC·Nsuxwyq{z:| v = Φ(v) ¨gik$yk Φ qv k©A|ik ¸\ Z X ¹ºz i = 1, . . . , n. 2d;±65C7 cosh v (t) Φ(v) (x) = v + β x + dt, A k cosh v k §|}wygik~u$k ¶¨,k k©|k wgik|zyj kvk = max kv k ± ¦ ¹ v ∈ (L ) ¶i¨,kkCk§wyguxw§gu4«k ¹ºz"utrt x ∈ [0, L](L¶ ) 2O;i9± 5W57 kΦ(v)k ≤ kv k + Lkβk + kAk , ¨gik$yk k · k k$|zwk^2k$q{wgk$2wygik|izyj z:| (L ) z8wgkwu| u qr|©|iq{w |zyj¹ºz2«:kCwzRu| juxwyq{ q{| R ±

(128) zwk wyguxw¨,kIsk wygik ¹Òuwwguw Z 2O;6± 5^W 7 cosh v ≤ 1. 0≤ k cosh v k Zzyk$zx«:k$^¶NsAqr|iwygikI¹Òuw"wgAuxw"¹ºz:utrt j = 1, . . . , n ¶ k cosh v k ≥ L ¶i¨,kutvzQgAu4«k ¹ºz§utrt v ∈ (L ) u| i = 1, . . . , n ¶ n. 0 i. i. x. i. j. ij. j 1. 0. j=1. ∞ n. n i=1. ∞. ∞ n. i L∞. 0. ∞. ∞. ∞. ∞. ∞ n. n. ∞. x. j. j 1. 0. ∞ n. j 1.

(129)

(130) n X

(131) dΦ(v)i (x)

(132)

(133)

(134) ≤ |βi | + 1 |Aij | cosh kvj k L∞

(135)

(136) dx L j=1. u| gikC|k. kΦ(v)0 k ∞ ≤ kβk ∞ +. fgNsA k©|kC"uQ¹ºsi|A/wqrz|*¹ºyzj ¨%k gu4«:Φk§¹ºz:"utrt i = 1, . . . , n ¶ Φ(u)i (x) − Φ(v)i (x) =. vq{|i@wygik. wgikI¸6zsi| G. +. n X. n X. (L∞ )n. Aij. j=1. Z. Aij. x 0. (W1,∞ )n. 1 k cosh uj k 1. Z. cosh vj (s) ds k cosh vj k 1. ¹Òuwwguwwgik L |izyjz¹+wgik j=1. wz. 1. 1 kAk ∞ cosh kvk ∞ . L. ±

(137) zxë¨%k$zj@~iswykIwguw¹ºz u u| v qr|. cosh uj (t) − cosh vj (t) dt. 0. !. 1 k cosh uj k 1. cosh uj. u| . n X j=1. Z. cosh vj. L 0. cosh vj (t) − cosh uj (t) dt.. kuk ∞ ≤ M. u| . kvk ∞ ≤ M. ¦ |*u@q{j@qrtru¨,u4 :¶\¨%k]©| wyguxw. kΦ(u) − Φ(v)k ∞ ≤ 2kAk ∞ (sinh M )ku − vk ∞ .. kΦ(u) − Φ(v) k ∞. 1 ≤ L. fgiqrgizx¨"%wyguxw Φ qr"$z|Nwqr|\sizsAL¹ºyzj. . cosh M 1+ L. (L∞ )n. wz. . 2O;i±95^W7. uyk ykCuxwyk$,wgAu| L ¶u| 2O;±65^W7%¨%kI:kw. |Aij |k cosh uj − cosh vj k L∞ ,. ¹ºz"utrt i = 1, . . . , n ±

(138) zx¨ ¨%kIk$k]wgAuxw"q{¹ u u| v yuxwyqr¹º 0. n. x. |Φ(u)i (x) − Φ(v)i (x)| ≤ 2. 0. L∞. ¶¨,k gu4«k. 2O;i±95Cl7. kAk ∞ (sinh M )ku − vk ∞ .. (W1,∞ )n. ±. Åºþ ÆÅóÈ. ¶.

(139) 5C.

(140) . [0, L] qr@¸6zsi| k ¶%wgkqr|xk^/wqrz| W → C(0, L) qr$zj@~uwC± fg\s Φ k$©|ikûµ$z|Nwqr|\sizsA zj@~u:/w"u~~it{qv$uwqrz| Φ: L −→ L ¨qªwygM¸Az:si| k qrj@uk K ⊂ C(0, L) 2Òk$k[2d;±655=7h7/±Ä, }wgik@ogus k$wgikCzyk$j*¶ Φ gu:u@©\k ~6zqr|:w v q{| K ± fgNsA qv]u}z:|:wyq{|\siz:s]z:t{swyq{z:|Mz¹ 2d;± N7§u| ¨%kQkCkn¸\ *q{| s/wyq{z:|Mwyguxw v ∈ C (0, L) ± fgqr gizx¨" wgikI~iyvz~6z:q{wqrz|X± ¼ £¢ ¦ | wygik}Cuk¨gik$yk β = 0 ¶ wygik* wk$j 2d;± N7 qvqr|\«xuyqru|:wn¸N ý$ut{qr|iMz¹wgik}q{|NwkC«xut ¦ knwyguxwnqª¹wgk@¹ºsi|/wyq{z:| v ¶ i = 1, . . . , n ¶8uykz:t{swyq{z:| z¹ 2O;i±Þ 7]z| [0, L] ¶wgikC| [0, wgik L]¹ºsi± |A/| wqrzkC|Ak y¶+¨,7→kvkC(Ly) uyk]ztrswyq{z:|z¹ wgikIyuj@k§k^·Nsuxwyq{z:|}z:| (0, 1) 2º¨q{wgwygik L |izyj z| (0, 1) ± fgiqr"qrkûq{tr k$k$|¸\ gu|ik z¹+«xuyqru¸it{k:± 1,∞. ∞ n. ∞ n. n. ∞. . . i. i. 1. i. ¦ | / 1 ¨,kI~izx«:k]wguw¹ºz ¶ u| ®kC¨¯Â \j@jQk$wyqr¶\wgikztrswyq{z:|:q{«:k$|*qr|*fgk$zyk$j ;±Þdqv@si|iqv·Nsik± §@¨%k*¨qrt{tk$nk*=|izx2Ï¶%αsii |i=qv·N0sik$|ik^QG¹ºz:@giq{:gik$ q{j@k$|Aqrz| qr@z:|itr ~iyzx«k gik$yk*si| kC. jutrtr|ikCyLg\ \~6zwgkCqr,z|wgik uwyui±2§%¸6k¹ºz:k:¶¨%k©wqr«k]u:k$|ikCyutA~iyz~6z:q{wqrz|¹ºz:%~iyz¸t{kCj z¹Xwygik ¹ºzyj 2O;i±Þ7-G ¢ ÀLÀ Ò¡ À IK