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Accurately Detecting Symmetries of 3D Shapes

Aurélien Martinet, Cyril Soler, Nicolas Holzschuch, François X. Sillion

To cite this version:

Aurélien Martinet, Cyril Soler, Nicolas Holzschuch, François X. Sillion. Accurately Detecting Sym-

metries of 3D Shapes. [Research Report] RR-5692, 2005, pp.30. �inria-00510152�

ISRN INRIA/RR--5693--FR+ENG

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

Thème COG

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Accurately Detecting Symmetries of 3D Shapes

Aurélien Martinet, Cyril Soler, Nicolas Holzschuch and François X. Sillion ARTIS - GRAVIR/IMAG - INRIA

N° 5692

Septembre 2005

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48

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2 −

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6

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~Šor„U¶J~p€Šo£•W€‹¯„4ŽÅ•^…†ˆ±¸†t?‡jˆ®~”„4st?€ŠŽ‚}

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( X , Y , Z )

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I

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



λ 0 0

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

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λ = ± 1

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3

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λ

ˆ±~[–=„N~”ˆ‰€Šˆ±¸†t•†‡£—

„†Ž

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X

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„†‹ €ŠortGˆ®~”„4s^t€ŠŽ‚}y|•†‡£—¼•W‡h•†‡r…†·±t

α

y|¶orˆ®ƒ˜o¼¶tvƒ?•W·±·V€‚ort

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„W‹ €‚ort

ˆ®~”„4s^t€ŠŽ‚}^y ~Š­£ƒ˜o+€‚o£•U€

I(λ, α)

s*•†–£~€Šo£ˆ±~J~Šo£•W–=t„4‡4€Š„^ˆ‰€‚~Št?·‰‹¹

RJ„U¶t?¸†tHŽHµr°£‡£—ˆ±‡r…•W·±·~”}Cs^s^t€‚ŽŠˆ±tH~J„W‹[•~Šo£•W–=t(ˆ®~JsG­£ƒ˜o¼s^„†Ž‚t%—ˆ‰Âƒ­r·‰€Å€Šo£•†‡¼~Šˆ±s^–r·‰}jƒ‚ort2ƒ‚ÆCˆ±‡r…

¶ort?€ŠortHŽG•j…†ˆ±¸†t?‡-€‚Ž‚•†‡£~‹¯„4ŽŠs •4ƒm€‚­£•W·±·±}hˆ®~%•¼~”}Cs^s^t€‚ŽŠ}4¹“Ї`–£•WŽŠ€Šˆ®ƒ­£·±•†Žc€‚ort‡£•Wˆ±¸†t*•†–r–rŽ‚„4•†ƒ˜oŸ€ŠoX•U€

¶„4­r·®—Gƒ„4‡£~Šˆ±~”€A„†‹Xƒ˜ortHƒ˜ÆCˆ‰‡£…c•†~As^•†‡N}%~‚•Ws^–r·±tH—G¸U•W·±­rt2~„W‹

( X , λ, α)

•4~–=„N~Š~Šˆ‰ £·‰t€‚„’°£‡£—v•c~”}Cs^s^t€‚ŽŠ}

ˆ®~‹Œ•†Žp€Š„C„*ƒ„N~€‚·‰}4¹ ¬ t€ŠoN­X~‡rt?t2—•^—t?€Št?Ž‚s^ˆ‰‡£ˆ±~”€Šˆ®ƒcs^t?€Šor„—+€Š„^°£‡£—…†„C„r—ƒH•W‡£—ˆ®—r•W€ŠtH~H¹

w’­rŽE•W–r–£ŽŠ„N•†ƒ˜o%€‚„c°£‡£—rˆ‰‡r…%~Š}Css^t?€ŠŽ‚ˆ‰t2~ ­£~ŠtH~[•†‡ˆ±‡4€ŠtHŽŠs^t2—ˆ±•W€ŠtJ½N­£•W‡N€Šˆ‰€Ð}4µ4ƒ?•†·‰·±tH—G€‚ort 9:<;=.>

$ ‹¯­r‡Xƒm€Šˆ±„†‡X~[„W‹=€ŠortÅ~”o£•†–=t†¹Anpo£tH~Št‹¯­r‡£ƒ€Šˆ±„†‡£~E¶ˆ‰·±·r =tp€Šo£tp€Š„4–rˆ®ƒ„†‹L~”t2ƒm€‚ˆ‰„4‡@£¹ À}Gt?Á•†s^ˆ‰‡rˆ±‡r…

€‚ortH~Št½N­£•†‡4€‚ˆÃ€‚ˆ‰t2~%¶t¶ˆ±·‰·—rt?Ž‚ˆ‰¸†tˆ±‡ {tHƒm€‚ˆ‰„4‡ ›¼•Ÿ—t€‚t?Ž‚sˆ±‡rˆ®~€‚ˆ±ƒ•†·‰…4„†Ž‚ˆÃ€‚ors ¶orˆ®ƒ˜o`°X‡£—r~v•j°£‡£ˆÃ€‚t

‡C­rsG =t?Ž(„†‹–=„4~‚~”ˆ± r·±t^ƒ?•†‡£—ˆ®—r•U€‚tH~’‹¯„†Ž

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s*•@}•W–£–=tH•WŽA—­rŽ‚ˆ‰‡r…Å€Šort–rŽ‚„ƒ?tH~‚~?µH€‚ortH~ŠtƒH•W‡£—ˆ®—r•W€ŠtH~A•WŽ‚t[€Šo£t?‡vƒ˜ortHƒ˜Æ†tH—( £•4ƒ‚Æ„†‡(€‚ort„†Ž‚ˆ±…†ˆ±‡£•W·4~Šo£•W–=t4¹

“Ї`€‚ort+~Š–Xt2ƒˆ‰°XƒƒH•†~Št*„W‹J•hƒtH‡4€‚Ž‚•†·~Š}Cs^st?€ŠŽ‚}"*

λ = − 1

^•W‡X—

α = π

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•†‡N}—ˆ‰Ž‚tHƒ€Šˆ±„†‡¼ƒH•W‡j =t(€‚ort # „W‹ €Šortv~”}Cs^s^t€‚ŽŠ}•†ƒHƒ„†Ž˜—ˆ±‡r…€Š„*€Šortv•W =„U¸†t(—t?°£‡rˆ‰€Šˆ±„†‡V¹ RJ„U¶t?¸†tHŽHµ

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ƒH•W‡£—ˆ®—r•U€‚t(~”}Cs^s^t€‚ŽŠˆ±tH~€‚„*ƒ‚o£tHƒ˜Æ*‹¯„4ŽH¹

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^‹¯„†Ž

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^‹¯„4Ž

− l ≤ m < 0

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P _l ^m

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Z

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Y _l ^m

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m = 0

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k

ˆ®~ptH¸†t?‡Vµ€Šort%—rtHƒ„4s–=„N~”ˆ‰€‚ˆ‰„4‡+ˆ±~p°£‡rˆ‰€Št4¹{Ct?€”€Šˆ±‡r…

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µr¶t„4 €‚•†ˆ‰‡ ¾

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p

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l=0

S ^l _p Y _2l ⁰ (β, .)

¶ˆ‰€ŠoV¾

S _p ^l =

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2l

X

k=l

( − 1) ^k 2 ^2p+1 p!(2k)!(p + k − l)!

(2(p + k − l)+1)!(k − l)!k!(2l − k)!

nport-ƒ„4ŽŠŽ‚tH~Š–=„†‡£—ˆ±‡r… —rt?ŽŠˆ±¸U•W€Šˆ±„†‡fˆ®~€Š„C„ ·±„†‡r… €‚„  =tŸtÁ–=„4~ŠtH—fort?Ž‚t†µ r­€j—„Ct2~‡r„W€+–rŽ‚tH~Št?‡4€•W‡C}

—ˆ‰Âƒ­r·‰€}†¹

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•WÁˆ±~HµL€Š„

s

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‹¯„4ŽŽŠ„†€‚•U€‚ˆ‰‡£…v€Šort

Y _2l ⁰

¿H„†‡£•†·ºo£•WŽ‚s^„†‡rˆ®ƒ?~HµC¶t(o£•2¸†t^¾

sin ^2p β =

p

X

l=0

S p ^l 2l

X

m=−2l

D _2l ^0,m (R ^s )Y 2l ^m ( ω )

Å‡£—+°£‡£•W·±·±}L¾

M ^2p (ω) =

p

X

l=0 2l

X

m=−2l

C _2l,m ^2p Y 2l ^m (ω)

^{*M² ,}

­£~Šˆ±‡r…

C _2l,m ^2p = S ^l p

Z

s ∈S k s k ^2p D ^0,m _2l (R ^s ) d s

^{*"@ ,}

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M ^2p

—tHƒ?„†s^–=„4~ŠtH~’ˆ‰‡N€Š„j• ‡N­rsG =tHŽ„W‹~Š–rortHŽŠˆ®ƒ?•†·oX•WŽ‚s„4‡rˆ®ƒ?~HµL•†‡£—

½N­£•W€Šˆ±„†‡ @ •W·±·±„@¶J~*­£~€Š„ —rˆ‰Ž‚tHƒ€Š·±} ƒ„4s^–r­€Šth€Šort-ƒ„tƒˆ±t?‡4€˜~?¹ nport-ƒ„4~”€„W‹%ƒ„4s^–r­€Šˆ±‡r…

M ^2p

ˆ®~€ŠortHŽŠt?‹¯„†Ž‚t

(p + 1)(2p + 1)

~”­£Ž”‹Œ•4ƒt^ˆ‰‡N€ŠtH…†Ž˜•W·®~ *Œ„†‡rt*ˆ±‡4€ŠtH…†Ž˜•W·[–=t?Ž%tH¸†t?‡ „4Ž‚—rt?Ž„†‹o£•†ŽŠs^„4‡rˆ±ƒ†µV­£–

€‚„h„†Ž˜—t?Ž

2p

,m¹hnporˆ®~%ˆ®~%sG­£ƒ˜o ƒ‚ort2•W–=tHŽ(€ŠoX•W‡`€‚ort•†·Ã€‚t?Ž‚‡£•U€‚ˆ±¸†t*st?€Šor„r—`„W‹Jƒ„4s^–r­€Šˆ±‡r…¼€‚ort+~ŠƒH•W·®•WŽ

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M ^2p

•†~J—t?°£‡rt% N} ½N­£•W€Šˆ±„†‡ J4µr¶ˆ‰€Šo¼tH•4ƒ‚o¼~Š–rort?Ž‚ˆ®ƒ?•W·Vo£•WŽ‚s^„†‡rˆ®ƒc £•4~”ˆ®~p‹¯­r‡£ƒ€Šˆ±„†‡V¾€Šorˆ®~

¶„4­r·®—ˆ±‡£—t?t2—+ŽŠt2½4­£ˆ‰Ž‚t’s*•†‡N}t?¸W•W·±­£•U€‚ˆ‰„4‡£~„†‹

M ^2p

µr¶orˆ®ƒ‚oˆ‰€‚~Št?·‰‹Aˆ±~—t?°£‡rtH—•4~p•^~”­rŽŠ‹Œ•†ƒ?t’ˆ±‡4€‚t?…4Ž‚•†·M¹ 6r­rŽŠ€ŠortHŽŠs^„4ŽŠt4µ‡N­rs^t?Ž‚ˆ®ƒ?•W·J•4ƒ?ƒ?­rŽ‚•4ƒ} ˆ±~*„†‡r·±} ƒ„4‡£ƒtHŽŠ‡£tH— ¶ortH‡fƒ„4s^–r­€Šˆ±‡r… €‚ort

C _2k,p ^m

^{ƒ?„CtÂ^»}

ƒ?ˆ‰tH‡4€‚~Hµ£•W‡£—+¶t(ƒ?•†‡‡r„@¶<ƒ?„†s^–r­€‚t =„W€‚o

M ^2p

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d A ( S ) = max(d M ( S , A S ), d M (A S , S ))

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