BTSA Mme LE DUFF
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Fiche de cours : Variables aléatoires.
Les variables aléatoires discrètes :
Soit un universΩ=
{
a ,...,1 an}
.Notion de variable aléatoire.
On définit une variable aléatoire X en associant à chaque évènement élémentairea de l’univers i un nombrex , tel que : i
i i i p a p x X p( = )= ( )=
Remarque : On représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de
tableau. Valeur x1 x2 … x n Probabilité p1 2 1 p p … pn
La fonction de répartition.
Pour tout réel x, on note F(x) l’évènement « Obtenir une valeur de X inférieure ou égale à x ». F est appelée fonction de répartition de X, on note pour tout réel x :
) ( )
(x p X x
F = ≤
Espérance mathématique, et écart type.
• L'espérance mathématique E( X) d'une variable aléatoire réelle X , prenant les valeurs (x1,…,xn) avec les probabilités (p1,…,pn), est définie par:
. ...
)
(X p1x1 pnxn
E = + +
• La varianceVar( X)est définie par :
2 2 2 1 1 1 1( ( ))² ... ( ( ))². ... ( ) ) (X p x E X p x E x p x p x E X V = − + + n n − = + + n n −
• L'écart type est le nombre :
) ( )
(X = V X
σ
On obtient ces valeurs à la calculatrice graphique à l’aide du menu stats.
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Propriétés :
• Somme de variables aléatoire : soient X et Y deux variables aléatoires quelconques, et a et b
deux nombres réels quelconques.
) ( ) ( ) (X Y E X E Y E + = +
Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour toutxi∈X(Ω)et toutyj ∈Y(Ω):
[
(X xi) (Y yj)]
p(X xi) p(Y yj)p = ∩ = = = × =
Pour deux variables aléatoires indépendantes :V(X +Y)=V(X)+V(Y)
• Loi conjointe :
Si l’on doit étudier simultanément deux variables aléatoires X et Y, prenant les
valeurs
{
x1;xn}
et{
y1;ym}
, il suffit de connaître la loi conjointe des deux variables aléatoires, c'est-à-dire l’ensemble des probabilités :)) (
)
((X xi et Y yj
p = =
• La loi marginale de X (ou Y) s’obtient par somme :
)) ( ) (( ) ( 1 j i m j i p X x et Y y x X p = =
∑
= = =Les variables aléatoires continues :
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La fonction de répartition.
La fonction de répartition donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure à une valeur x. dt t f x X p x F x a
∫
= ≤ = ( ) ( ) ) (La fonction de répartition n'est déterminée qu'une seule fois et le résultat contient une variable x qui prendra des valeurs numériques en fonction des probabilités recherchées.
