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classes de similitudes dans

M

2

(R)

Exercices corrigés

d'aprèsR. Mneimné[1]

présenté par Nicolas Prudhon

Introduction

Le but de cette série d'exercices est d'introduire l'étudiant à l'étude des quadriques par le

biais de celle des classes de similitudes dans

M

2

(R)

. On montrera au passage un certain nombre de propriétés géométriques remarquables des quadriques anes, quoique cela n'ait

pasnécessairement de rapportavec les classesde similitudes.

Exercice 0. Cas dela dimension

3

.

Etudier l'intersectiond'uncônede

R

3

avec un planane.

Un cône de

R

3

est toujours le côneisotrope d'une forme quadratique nondégénéreée de

type

(2, 1)

ou

(1, 2)

. L'intersection avec l'hyperplan vectoriel associé à l'hyperplan ane est

une formequadratiquede

R

2

detype

(2, 0)

ou

(1, 1)

sielleestnondégénéréeetdetype

(1, 0)

sinon. Cederniercasseproduit sietseulement si leplanvectoriel est tangent aucône. Dans

le premiercas nousobtenonsune ellipse dansledeuxième une hyperbole etdans letroisième

une parabole.



1 Quadriques anes

Exercice 1.1. Rappeler quelles sont à équivalence près les formes quadratiques non

dégén-érées sur

R

4

. Identier leurs cônes d'isotropie.

Les formes quadratiques sont classiées par leur rang et par leur signature. Les formes

quadratiquesnondégénéréessur

R

4

sontdoncdesignature

(4, 0)

,

(3, 1)

,

(2, 2)

,

(1, 3)

,ou

(0, 4)

.

La première et ladernière sont dénies etont donc descônes d'isotropie réduitsà un point.

Cesformesquadratiques ne nousintérsserons pas.En outre, ladeuxième etlaquatrième ont

le même cône d'isotropie, appelé cône de Lorentz. Nous obtenons ainsi deux cônes dont les

équationssont par exemple

x

2

+ y

2

+ z

2

− t

2

= 0

x

2

_{+ y}

2

_{− z}

2

_{− t}

2

_{= 0}



Lesquadriquesanessontpardénitionlessectionsdecescônespardeshyperplansanes

de

R

4

. Une quadrique est dite nondégénérée lorsque la restriction de la forme quadratique

à l'hyperplanvectorielassociéà l'hyperplanane estnondégénérée. Lesquadriques ont des

propriétés bien diérentes selon le type de cônedont on prend une sectionhyperplane. Pour

comprendre les caractères distinctifs de ces deux cônes, on va identier

R

4

Typedu cône l'hyperplan vectoriel Nomde laquadrique

(2, 2)

(2, 1)

hyperboloïde à unenappe

(1, 1)

paraboloïde hyperbolique

(3, 1)

(2, 1)

hyperboloïde à deuxnappes

(3, 0)

éllipsoïde

(2, 0)

paraboloïde élliptique

Fig. 1 Cônes etquadriquesanes

cônes seront alors respectivement l'ensemble des matrices dont le carré est de trace nulle,

et l'ensemble des matrices de déterminant nul. Avant de procéder à cette identication à la

section suivante, apprenonsà distinguer les diérentes quadriquesentreelles.

Exercice 1.2. Classier les quadriques anes en fonctiondes positionsrelatives de

l'hyper-planet du cône associés à une quadrique.

Les quadriques sont classiées par le type du cône et la signature de la restriction de la

forme quadratique à l'hyperplan vectoriel associé à l'hyperplan ane. En se basant sur les

considérations suivantes:

1. lors de larestriction à un sousespace vectoriel, les termesde lasignature d'une forme

quadratique décroissent (en eet,ces termes correspondent respectivement à la

dimen-sion maximale d'un sousespace sur le quel la forme est dénie positive, ou dénie

négative),

2. l'indice d'uneforme quadratique, c'estàdire ladimension maximale d'unsousespace

totalement isotrope,diminue enrestreignant la formequadratique àun unespace,

onvoit aisément queseulsles casapparaissant dansletableau suivant seproduisent.



Exercice 1.3. Commentreconnaître rapidement une quadrique à son équation.

Tout d'abord on homogénéise le polynôme nonhomogène de la quadrique, en

indrodui-sant une nouvelle variable, disons

t

. Nous obtenons alors l'équation du cône isotrope d'une

forme quadratique sur

R

4

, nondégénérée, et nondénie. Autrement dit, c'est l'équation de

l'un de nos deux cônes. On détermine alors le type de ce cône. La quadrique de départ est

donc l'intersection du cône obtenu avec l'hyperplan d'équation

t = 1

. L'hyperplan vectoriel

parallèle est déquation

t = 0

. Il nousreste à déterminer le type du cône de la restriction de

la forme quadratique à cethyperplan. Or, l'équation de ce nouveau côneest obtenu à partir

de l'équation de la quadrique en supprimant les termes nonhomogènes. Les deux calculs à

eectuer sefont donctrès rapidement.



Exercice 1.4. Donner un paramétrage de ces quadriques dans leur hyperplan et les repr

é-senter sur une gure enutilisant un programme comme Maple. Observer ces gures.

1

1

Voir par exemple :

www.math.uconn.edu/ hurley/math220/Maple docs/QuadricSurfs1.html.

2 Des cônes de

R

4

vus dans

M

2

(R)

Cette partie est consacrée à l'étude de propriétés géométriques des cônes de

R

4

obtenus

danslapartie pécédente.Cetteétudeseraréalisée àtraversl'identication de

R

4

avec

M

2

(R)

par l'isomorphisme d'espacesvectoriels

ϕ



R

4

_{→ M}

2

(R)

(a, b, c, d) 7→

a b

c d

.

Nouscommençonspar étudierlecôneassociéàune formequadratiquedesignature

(2, 2)

.

Exercice 2.1. a) Montrer que l'application déterminant dénit sur

M

n

(R)

une forme qua-dratique siet seulement si

n = 2

.

b) Dans ce cas, montrer que cette forme quadratique

q

,donnée par

q : M

2

(R) → R

et

q(A) = q



a b

c d



= ad − bc ,

(1)

est nondégénérée et designature

(2, 2)

.

c) Soit

T

la forme bilinéaire associée à

q

. Montrer que

T (A, B) =

1

2

tr

(A)

tr

(B) −

tr

(AB)
.

d) Montrer que le cône isotrope de

q

(ie. l'ensemble

C(q) = {A ∈ M

2

(R) , q(A) = 0}

), privéde

0

, est l'ensemble des matrices derang

1

.

Commeune formequadratiqueesthomogène dedegré

2

,ondoitavoirpourtout

λ ∈ R

et

si

A 7→ det(A)

estune formequadratique,

λ

2

det(A) = det(λA) = λ

n

det(A) .

Par conséquent, si le déterminant est une forme quadratique on a nécessairement

n = 2

.

Réciproquement si

n = 2

,l'équation (1) estunpolynômehomogène de degré

2

en

a, b, c

et

d

et

q

estdonc bienune forme quadratique.

Il estclassique que

2xy =

1

2

(x + y)

2

− (x − y)

2

.

et cecimontre que

q

est une formequadratique nondégénéréede type

(2, 2)

.Soit

A =

a b

c d

et

B =



e f

g h



.Ona alors

T (A, B) =

1

2

det(A + B) − det(A) − det(B)

=

1

2

(a + e)(d + h) − (b + f )(c + g) − ad + bc − eh + gf

=

1

2

ah + ed − bg − cf

=

1

2

(a + d)(e + h) − (ae + bg + cf + dh)

=

1

2

tr

(A)

tr

(B) −

tr

(AB) .

Une matrice noninversible est de rang

1

ou

0

,le derniercas ne pouvant seproduire que

pour lamatrice nulle. Par conséquent,lecôneisotrope de

q

privé de

0

estbienl'ensembledes

matrices rang

1

.



Exercice 2.2. On note

h, i

la forme bilinéaire sur

M

2

(R)

dénie par

hA, Bi = tr(AB

t

₎

.

Montrer que l'onmunitainsi

M

2

(R)

d'un produit scalaire qui en faitun espace euclidien. Montrons que l'isomorphisme de

R

4

sur

M

2

(R)

qui à

(a, b, c, d) ∈ R

4

associe la matrice

a b

c d

, envoie le produit euclidien habituel sur

h, i

. C'est une simple vérication. Si

ϕ

est

l'isomorphismede

R

4

avec

M

2

(R)

précédentet

h, i

R

4

leproduiteuclidiensur

R

4

ilfautmontrer

que

hx, xi

R

4

= hφ(x), φ(x)i

etnousavonsen eetpour

x = (a, b, c, d)

,

kxk

2

= a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

=

tr



a

2

₊

b

2

ac+bd

ac+bd c

2

₊

d

2



=

tr

(φ(x)φ(x)

t

_{) = hφ(x), φ(x)i .}



Exercice 2.3. a) Calculer les orthogonaux, pour ce produit scalaire, de la droite formée par

les matrices scalaires etde la droite formée par les matrices antisymétriques.

b) Montrer que la base canonique de

M

2

(R)

formée par les matrices élémentaires, plus précisement la base

B = E

11

, E

12

, E

21

, E

22

, est orthonormée pour ce produit scalaire et est

située sur le cône isotrope de

q

.

c) Ecrire la matrice de la formequadratique

q

dans cette base. Montrer que parmi les six

plans decoordonnées, il y ena quatre qui sontcontenus dans le cône isotrope de

q

.

d) Montrer qu'il existe des bases orthonormées pour le produit scalaire, telles que les

ma-tricesde

q

danscesbasessoientdiagonales.Exhiberunetellebasequisoitforméed'unematrice

a)Si

X

estorthogonaleàunematricescalaire,alorstr

(X) =

tr

(I ·X

t

_{) = 0}

.Parconséquent,

l'orthogonale desmatricesscalaires estl'ensembledes matricesdetrace nulle.

Remarquons que les matrices antisymétriques sont de la forme

A =

0

x

−x 0

et forment

donc bien une droite. Si

hX, Ai =

tr

(XA

t

_{) = 0}

, avec

X =

a b

c d

, alors

x(b − c) = 0

. Par

conséquent,l'orthogonaledesmatricesantisymétriquespourleproduitscalaireestl'ensemble

des matricessymétriques.

b) À travers l'isomorphisme

ϕ

,la baseformée par lesmatrices élémentaires correspond à

la base canoniquede

R

4

, qui estbien sûr orthonormée pour leproduit euclidien usuel. Il est

clairquecesmatricessont de rang

1

etsont donc desélémentsde

C(q)

.

c)La matricede

q

danscette baseest

M

q

=

1

4









0

0

0

1

0

0

−1 0

0 −1

0

0

1

0

0

0









.

Lesplansdecoordonnéesengendrésparlescouples

(E

11

, E

12

)

,

(E

11

, E

21

)

,

(E

21

, E

22

)

et

(E

12

, E

22

)

sontcontenusdanslecôneisotrope,tandisqueceuxengendréspar

(E

11

, E

22

)

et

(E

12

, E

21

)

ne lesontpas.Onrencontreralestroispremiersplansdansl'exercice2.4,tandisqueladistinction

entre les couples de génératrices engendrant un plan contenu dans le cône d'isotropie et les

couples de génératrices engendrant un plan qui n'est pas contenu dans le cône appraraîtra

dansla section5.

d) Soit

Q

t

lamatrice orthogonale









cos t

0

0

− sin t

0

cos t − sin t

0

0

sin t

cos t

0

sin t

0

0

cos t









L'image delabaseorthonormale formédesmatricesélémentairesparcette matriceestencore

orthonormale.Pour

t = π/4

,lamatrice de

q

danscette nouvelle baseest diagonale. Onpeut

prendre pour base



I,

1

0

0 −1

,

0

1

−1 0

, (

0 1

1 0

)



. Ce n'est autre que la base précédente à une

permutation près.



Exercice 2.4. a) Soit

X

une matrice de rang

1

. Montrer que

X

est semblable à

N = (

0 1

0 0

)

ou bien à

λP

,avec

P = (

1 0

0 0

)

, suivantque la trace de

X

est nulle oupas.

b) Soit

A

un point du cône isotrope de

q

. Montrer que l'espace tangent

T

A

en ce point au cône est donnée par le noyau dela diérentiellede

q

aupoint

A

. En déduire que

T

A

= {X ∈ M

2

(R) ,

tr

(AX) =

tr

(A)

tr

(X)} .

c) Expliciter ces espaces tangents pour les points

N

et

P

. Pourquoi l'espace tangent au

point

λP

estilindépendantde

λ

?

d)Montrerquel'espace tangentenunpointquelconque

X

ducône

C(q)

distinctdel'origine

rencontre ce cône suivantdeux plans

P

1

(X)

et

P

2

(X)

. Montrer que ces deux plansse coupent suivant la génératrice passant par

X

.

La question a) est desplus classiquesetest laissée à l'étudiant quine l'aurait pas encore

L'hyperplan tangent estl'hyperplanane dedirection lenoyau deladiérentielle

dq

A

de

q

en

A

,etpassant par

A

.La diérentielle de

q

en

A

estlaforme linéaire

X → 2 T (X, A) .

En eet

q(X + A) − q(A) = 2 T (X, A) + q(X)

,et

q(X) = O(kXk

2

₎

.Enoutreilestclairque

A

estdanslenoyaudecetteformelinéaire,cequirépondaudébutdelaquestiona)etàlande

laquestionc).D'aprèsunequestionprécédente,ona

2 T (A, X) = tr(A)tr(X) − tr(AX)

.Nous

en déduisons que le noyau de la diérentielle de

q

en

A

est

T

A

= {X ∈ M

2

(R) ,

tr

(AX) =

tr

(A)

tr

(X)} .

Dans le cas de

N

, une matrice

X

appartient á

T

N

si et seulement si tr

(N X) = 0

. On trouve alors facilement que

X

est de la forme

X =

a b

0

d

. Demême, un calculfacile indique

qu'une matrice

Y

appartient à

T

P

lorsqu'elle estde laforme

Y =

a b

c 0

.

L'intersectionde

T

N

avec

C(q)

estl'ensembledesmatricesdelaforme

a b

0

d

dedéterminant

nul. Autrement dit,

T

N

∩ C(q) = {X ∈ M

2

(R) , X =

a b

_{0 0}

} ∪ {X ∈ M

2

(R) , X =

0

₀

_d

b

} .

De lamême manière, nousobtenons

T

P

∩ C(q) = {X ∈ M

2

(R) , X =

a b

_{0 0}

} ∪ {X ∈ M

2

(R) , X = (

a 0

_{c 0}

)} .

Or, de manière générale,si

A = QBQ

−1

,alors

T

A

= {X ∈ M

2

(R) ,

tr

(AX) =

tr

(A)

tr

(X)} ,

T

A

= {X ∈ M

2

(R) ,

tr

(QBQ

−1

_{X) =}

tr

(B)

tr

(X)}

T

A

= {Y ∈ M

2

(R) , QY Q

−1

∈ T

B

}

T

A

= Q

−1

T

B

Q .

Comme

N

et

P

sontdesreprésentantsdesdeuxclassesdeconjugaisondontl'intersectionavec

C(q)

est nonvide,ceci permetde seramenerà cesdeux cas.



Nouspassonsmaintenantàl'étudeducôned'uneformequadratiquedetype

(3, 1)

.Les

sec-tionshyperplanesdececôneserontl'éllipsoïde,l'hyperboloïdeàdeuxnappesetleparaboloïde

élliptique.

Exercice 2.5. a) En identiant

R

4

à

M

2

(R)

, réaliser

l

sous la forme

l(A) = l

a b

c d

= tr(A

2

) = a

2

+ d

2

+ 2bc

Montrer que les formes

l

et

q

ont des restrictions proportionnelles sur l'hyperplan

H

0

des matricesdetracenulle.Plusprécisémemtmontrerque,si

tr(A) = 0

,alors

tr(A

2

) = −2 det(A)

. Quel est le cône isotrope decetterestriction?

b)Le cône d'isotropie

C(l)

de

l

rencontre l'hyperplan

H

S

desmatricessymétriques en

{0}

. En déduire que

C(l) \ {0}

a deuxcomposantes connexes.

c) Déterminer l'ensemble des matrices

A

telles que l'hyperplan

H(A) = {X ∈ M

2

(R) , tr(AX) = 0} ,

a) Si

tr(A) = 0

, onpeutecrire

A =

a b

c −a

et

A

2

=



a

2

+bc

∗

∗

a

2

+

bc



.

Ilvient donc

tr(A

2

) = 2(a

2

+ bc) = −2 det(A) .

Ces restrictions ont alors le même cône isotrope dans l'hyperplan

H

0

des matrices de trace nulle,qui estlecône desmatricesnilpotentes. Lasignature de cedernier est

(2, 1)

.

b)Si

X =

a b

b d

estunematricesymétrique,alorslamatrice

X

2

estdelaforme



a

2

₊

b

2

∗

∗

b

2

+c

2



etn'est donc pasde trace nulle, saufsi

X = 0

.

Si

A

0

=



a

0

b

0

c

0

d

0



et

A

1

=



a

1

b

1

c

1

d

1



sont deux matrices nonsymétriques telles que les

nombres

b

i

− c

i

,

(i = 0, 1)

, sont de signesopposés, alors toutchemin joignant

A

0

et

A

1

dans

M

2

(R)

intersecte l'hyperplan des matrices symétriques.En eet laforme linéaire sur

M

2

(R)

dénie par

M

2

(R) → R

a b

c d

7→ b − c

estcontinue,sonnoyauest

H

S

etl'imageducheminchangedesigne.Ellecontientdonc

0

par lethéorème desvaleurs intermédiaires. Si un tel chemin est contenu dans le cônede

l

, alors

il passe donc nécessairement par

0

. Le cône

C(l)

possède donc au moins deux composantes

connexes. Deplus,silesnombres

b

i

− c

i

,

(i = 0, 1)

,sont demêmesigneonpeutlesjoindrepar exempledelafaçonsuivante.L'hyperplanane

H

S

(A

0

)

parallèleauxmatricessymétriqueset passant par

A

0

rencontre lagénératrice passantpar

A

1

en unpoint

B

.Onpeut alors joindre dans lecône

A

0

et

B

par un chemin dans l'ellipsoïde

H

S

(A

0

) ∩ C(q)

qui estconnexe, puis

B

et

A

1

par unsegment lelongde lagénératrice. Enconclusion,

C(q) \ {0}

possède exactement deux composantes connexes.

c)La formebilinéaire associéeà

l

est

B

l

(X, Y ) =

1

2

tr((X + Y )

2

) − tr(X

2

) − tr(Y

2

)
= tr(XY ) .

L'hyperplan

H(A)

estdoncl'hyperplanpolairedeladroitevectoriellede

M

2

(R)

passantpar

A

. Cet hyperplanestdonctangent aucônesietseulementsi

A ∈ C(l)

,autrement dit

tr(A

2

) = 0

.



3 Premiers exemples

Exercice 3.1. Montrer que l'hyperplan vectoriel

H

0

formé par les matrices de trace nulle n'est pastangent aucône

C(q)

.Montrer qu'il enest demême de l'hyperplan

H

S

des matrices symétriques.

Nousavonsvuqueleshyperplanstangentsà

C(q)

rencontrait cecône enunplan. Il sut

doncdemontrerquel'intersectionentre

H

0

(resp.

H

S

)et

C(q)

n'estpasunplan.Toutd'abord l'intersectionde

H

0

et

C(q)

estl'ensembledesmatricesnilpotentes,c'estàdire l'ensembledes matrices de la forme

X =

a b

c −a

telles que

a

2

_{+ bc = 0}

. Ceci n'est pas la réunion de deux

plans.Pour lecasde

H

S

,lesmatricessymétriques de déterminant nulsont cellesde laforme

X =

a b

b c

etvériant

ac − b

2

= 0

,etce n'est pasnonplus une réunionde deuxplans.



Exercice 3.2. Montrer que l'intersection deces hyperplans avec

C(q)

est uncônede l'espace

1

4

(x + y)

2

− (x − y)

2

_.



Exercice 3.3. a) Montrer que l'intersection de

C(q)

avec chacun des deux hyperplans

af-nes parallèlles respectivement à

H

0

et à

H

S

et passant par le point

N + P = (

1 1

0 0

)

est un hyperboloïde à une nappe.

b) Montrer que l'intersection de

C(q)

avec l'hyperplan ane constitué des matrices de la

forme

a b

c 1

est un paraboloïde hyperbolique. Remarquer que l'espace vectoriel associé à cet

hyperplan ane est bien tangent à notre cône.

a) Commeleshyperplans

H

0

et

H

S

nesont pastangentsaucône, larestrictionde

q

àces hyperplansest nondégénérée, etlaquadrique cherchée estune hyperbooïdeà une nappe.

b)Tout d'abordlesmatricesdelaformecidessus forment bienunhyperplanane:c'est

celuid'hyperplandirecteur l'ensembledesmatricesde laforme

a b

c 0

etcontenant lamatrice

identité. Cet hyperplan directeur est quant à lui l'hyperplan tangent au cône au point

P

.

Commel'hyperplananeenquestionnepassepasparl'origine,ilenrésultequel'intersection

est unparaboloïde à une nappe.



Exercice 3.4. a) Déterminer la nature des ensembles suivants :

1. l'ensemble des matrices dela forme

x 1+y

y

z

etdont lecarré est detrace nulle.

2. l'ensemble des matrices dela forme

1+

x y

z

−x

etdont le carré est de trace nulle.

b)Montrerque si

tr(A

2

) = 0

,l'ensemble des matrices

X

telles que

tr(AX) = 1

et

tr(X

2

) = 0

est unparaboloïde à une nappe.

a) Ontrouve biensûrunellipsoïde, puisunhyperboloïde à deuxnappes.

b)Lesmatrices

X

vériant

tr(AX) = 1

etforment unhyperplananede

M

2

(R)

parallèle à l'hyperplan tangent au cone

C(l)

en

A

et ne passant pas par

0

. (En eet, si

X

et

Y

sont

danscetensemble,alors

tr(A(X − Y )) = 1 − 1 = 0

,ils'agitdoncbiend'unhyperplanane).

L'ensemble cherché est donc l'intersection de cet hyperplan ane avec le cône

C(l)

. Comme

l'hyperplan linéaire esttangent au cône, ontrouve unparaboloïde élliptique.



Questionsubsidiaire:ceparaboloïdeestcontenudansuneseuledesdeuxcomposantesconnexes

de

C(l)

. Est-ce la même que celle contenant

A

? Il sut de trouver unpoint contenu dansle

paraboloïde etd'identier sacomposanteconnexe. Un telpoint estpar exemple

(b − c)

−2

_A

t

,

où

A =

a b

c d

.

Or, ce point est un multiple positif de

A

t

qui est le symétrique orthogonal

(relativementà

l

)de

A

parrapportà

H

S

,etn'estdoncpasdanslamêmecomposanteconnexe que

A

.

4 Classes de similitudes

Exercice 4.1. Soient

α

et

β

deux nombres réels distincts. Montrer que la classe de

simili-tude des matrices ayant

α

et

β

comme valeurs propres est une quadrique à centre dont on

Tout d'abord, remarquons que les matricesayant

α

et

β

comme valeurspropres forment

bienune classede similitude dans

M

2

(R)

,car

α

et

β

sont distincts :c'estla classede conju-gaison de la matrice

α 0

0

β

. En opérant la translation de vecteurs

−βI

sur cet ensemble on

obtient donc laclassede similitude

2 dela matrice

α−β 0

0

0

.

Commençons par déterminer cette classe de similitude. Il s'agit de l'intersection de

l'en-sembledesmatricesdontlatracevaut

α − β

(quiestl'hyperplananedeplandirecteur

H

0

et passantpar

(α − β)I

)etdont ledéterminant estnul:c'estdonc l'intersectiond'unhyperplan

ane nontangent au cône ne passant pas par l'origine, et du cône

C(q)

. On trouve donc

une hyperboloïde à une nappe. L'assertion sur lecentre utilise un cas particulier du résultat

suivant,valable entoute dimemsion.

Proposition. Soient

k

une formequadratique nondégénérée et

A

unhyperplan ane

paral-lèle à

A

0

dans unespace vectoriel réel dedimension nie.Supposonsque la restrictionde

k

à

A

0

estnondégénérée. Alorsl'intersectionde

A

avec lecôned'isotropiede

q

est unequadrique à centre. Celuici est donné par l'intersection de

A

avec la droite polaire de

A

0

.

Démonstration. Cetteintersectionestbienunpointcar

A

n'estpastangentaucôned'isotropie

de

k

.Soit

C

ce point. Onadonc

A = C + A

0

.

Soit

M

un point de laquadrique,et

M

∗

sonsymétriquepar rapportà

C

.Si

A

et

B

sont des

matrices, notons

−→

AB

la matrice

B − A

. Nous avons

−→

CM

∗

_{= −}

_CM

−→

par dénition de

C

, et

donc nousobtenons

k(

OM

−→

∗

_{) = k(}

_{OC −}

−→

_{CM) = k(}

−→

_{OC) + k(}

−→

_{CM ) = k(}

−→

_{OC +}

−→

_{CM ) = 0 ,}

−→

car, en notant

B

k

laforme bilinéaire associéeà

k

,on a

B

k

(

−→

OC,

CM) = 0

−→

.Ainsilepoint

M

∗

appartient àlaquadrique.

Cette proposition nous indiqueque le centre de l'hyperboloïde à une nappe donné par la

classede similitude de

α−β 0

0

0

estlepoint

1/2(α − β)I

.Enrevenant àlaclassedesimilitude

desmatricesdontlesvaleurspropressont

α

et

β

,moustrouvonsdoncunehyperboloïde àune

nappe dont le centre est

1/2(α + β)I

.



Exercice4.2. Montrerquelaclassedesimilitudede

N

estl'ensembledesmatricesnilpotentes

nonnulles, et que cet ensemble s'identieà un cône de

R

3

auquel on a enlevé unsommmet.

(En particulier, il a deuxcomposantes connexes.)

Lefaitquelaclassedesimilitudede

N

estl'ensembledesmatricesnilpotentesnonnullesa

déjà étérencontré. Cetteensembleest exactement celui desmatricesnonnulles dont latrace

et le déterminant s'annulent. Il s'agit donc de l'intersection de

H

0

et de

C(q)

.D'autre part, nousavonsvu quelaretrictionde

q

à

H

0

estnondégénérée detype

(2, 1)

.



Exercice 4.3. Déterminer la nature de la classede similitude des matrices de trace nulleet

de déterminant

Λ = λ

2

> 0

.

Il s'agit bien d'une seule classe de conjugaison. En eet, les valeurs propres d'une telle

matrice

X

sont

±iλ

et les vecteurs propres complexes sont conjugués. Plus précisement si

v

2

Entranslatantuneclassedesimilitude,onobtientencoreuneclassedesimilitude,c'estjustementl'intérêt

est un vecteur propre (complexe) pour

iλ

, alors

v

est un vecteur propre pour

−iλ

. On en

déduit quelamatrice del'endomorphisme associéà

X

,danslabase(réelle)

v + v, i(v − v)

, est

0 −λ

λ 0

.Autrement ditlamatrice

X

est conjuguéeà cettematrice dans

M

2

(R)

. Écrivons

X =

a b

c −a

.Alorsnousavons

a

2

+ bc = −λ

2

.Cetteclassedesimilitude estdonc

unhyperboloïde àdeux nappes. Eneet, enhomogénéisant, onobtient l'équation

a

2

+ bc + λ

2

t

2

= 0 ,

lecôned'isotropied'uneformequadratiquedetype

(3, 1)

,dontl'intersectionavec l'hyperplan

t = 0

estlecôned'une formenondégénérée (detype

(2, 1)

).



Exercice 4.4. Déterminer la nature des classes de similitude de

M

2

(R)

.

Siune matrice

X

possède deux valeurspropres distinctes rélles, ou imaginaires pures, la

nature delaclassede similitude de

X

adéjàétéétudiée.Si

X

n'aqu'une seulevaleurpropre,

qui est donc réelle, elle est semblable soit à une matrice scalaire (et

X

EST cette matrice

scalaire)soit àlamatrice

λ 1

0

λ

.Danslepremiercaslaclassedesimilitude estdoncréduiteà

unpoint, etdanslesecond cetteclasse estobtenue partranslation ducone nilpotent. Il reste

doncàétudierlaclassedesimilituded'unematrice

X

dont lesvaleurspropressontcomplexes

(conjuguéesetnonrélles).

Appelons

λ = λ

R

+ iλ

I

l'une de ces valeurs propres. Ce dernier cas est résolu comme suit. Puisque les valeurs propres sont conjuguées, la matrice

X − λ

R

a des valeurs propres imaginaires pures. La classe de similitude de

X

est donc translatée dela classede similitude

des matricesde tracenulleet dedéterminant

λ

2

I

,quiest unehyperboloïde àdeux nappes.



5 Quadriques contenant des droites

Exercice 5.1. a) Montrer que les deux plans

P

1

(X)

et

P

2

(X)

associés à un point

X ∈ C(q)

sontles ensembles formésrespectivement des matricesayant même noyauet mêmeimage que

X

.

b) On appelle plan générateur du cône

C(q)

tout plan contenu dans

C(q)

. Les couples de

deux génératrices distinctes se répartissent donc en deux familles : les couples pour les quels

les deux génératrices sontcontenus dans un même plan génerateur, et les couples tels que le

plan contenant ces deux génératrices n'est pas contenu dans le cône

C(q)

.

1. Montrer que deux matrices de rang

1

ayant même noyau et même image sont

propor-tionnelles.

2. Montrer que deux plans générateurs de la forme

P

1

(X)

et

P

1

(Y )

sont identiques ou transverses, selon que les droites noyaux de

X

et de

Y

sontidentiques ou non.

3. Montrer que deux plans générateurs de la forme

P

1

(X)

et

P

2

(Y )

se coupent toujours selon une génératrice du cône

C(q)

.

4. À chaque génératrice du cône on peut associer deux droites

D

1

et

D

2

correspondant au noyau et à l'image des matrices appartenant à la génératrice. Montrer que ces droites

sont égales ou distinctes suivant que les matrices de la génératrice sont nilpotentes ou

pas.

5. Montrer que les applications

X 7→ X

t

et

X 7→ X − tr(X)I

dénissent des involutions

c) Ondit qu'une partie

F

d'un espace ane est exé, sipour touspoints

A

et

B

de cette

partie il existe un point

C

tels que les segements

[A, C]

et

[C, B]

soient contenus dans

F

.

Montrer que lecône

C(q)

est exé.

a) Rappelons quesi

X ∈ C(q)

,l'hyperplan tangent en

X

aucône intersecte ce côneen la

réunion dedeuxplansquisontainsiassociésà

X

.Le mêmeargumentquecelui utiliséàlan

de l'exercice 2.4,combinéavec lefaitquesi

A

amême noyau(resp.image)que

X = P Y P

−1

,

alors

P AP

−1

amême noyau (resp.image)que

Y

,montrequel'onpeutserameneraucasdes

matrices

N

et

P

.

Dansle casde

P = (

1 0

0 0

)

,nousavons

T

P

∩ C(q) = {X ∈ M

2

(R) , X =

a b

_{0 0}

} ∪ {X ∈ M

2

(R) , X = (

a 0

_{c 0}

)} ,

et le premier de ces plans (ie. les matrices de la forme

a b

0 0

) est l'ensemble des opérateurs

ayant même image que

P

, tandis que le deuxième (ie. les matrices de la forme

(

a 0

c 0

)

) est l'ensemble desopérateursayant même noyau que

P

.

Pour trouverles plans associéesà

N = (

0 0

1 0

)

,rappelons que

T

N

∩ C(q) = {X ∈ M

2

(R) , X =

a b

0 0

} ∪ {X ∈ M

2

(R) , X =

0

₀

_d

b

} .

Lepremierdecesplans(ie.lesmatricesdelaforme

a b

0 0

)estl'ensembledesopérateursayant

même image que

N

, et le deuxième (ie. les matrices de la forme

0

b

0

d

) est l'ensemble des

opérateurs ayant même noyauque

N

.



b) Lapremière question estlaissée à lasagacité del'étudiant.

Il est clair que si les noyaux de

X

et

Y

sont les mêmes, les plans sont identiques, et

réciproquement. Il reste donc à montrer que lorsque les noyaux sont distincts les plans sont

transverses.Sicelaétait faux,lesplanssecouperaientselonunedroite.Unpointsurunetelle

droiteserait donc unematrice ayant même noyau que

X

et

Y

à lafois,ce quiest absurde.

Si

P

1

(X)

et

P

2

(Y )

sont égaux,laquestionestévidente. Sinon,soit

v

1

danslenoyau de

X

et

v

2

dans l'image de

Y

.Alors

(v

2

, v

1

)

est une basede

R

2

,et l'opérateur ayant pour matrice

P

danscette base estdans l'intersectionde

P

1

(X)

et

P

2

(Y )

.Cetteintersection est donc une droite, etilest clairquecelleci contient l'origine:c'estdonc bienune génératrice du cône.

La question

4

estun grandclassique.

Pour la question

5

remarquons que la première transformation (la transposition) est la

symétrieothogonalepar rapport àl'hyperplan formépar les matricessymétriques,

l'orthogo-nalitéétantrelativeàlastructureeuclidiennede

M

2

(R)

dénieplushaut.Cefaitestfacilement vériéen utilisantl'exercice 2.3.Demême,latransformation

X 7→ X − tr(X)

estlasymétrie

orthogonale par rapport à l'hyperplan

H

0

desmatrices de trace nulle. Ces applications sont donc desinvolutionsde

M

2

(R)

.Ces involutions laissent stableslecônecar lespolairesde ces hyperplanspar rapportà

q

sont exactement leurs orthogonaux pour lastructure euclidienne.

(On peutaussile voirpar un calculdirect).

Soit

X ∈ C(q)

nonnilpotente(laréponseétantclairepourlesmatricesnilpotentespuisqu'il

n'y a qu'une seule droite à considérer). La réunion des plans

P

1

(X)

et

P

2

(X)

associés à

X

se transforment en la réunion des plans associés à l'image de

X

. Notons

f

une des deux

involutions.Ils'agitdedéterminersi

P

1

(f (X))

estégaleà

f (P

1

(X))

ouà

f (P

2

(X))

.Commeles hyperplans

H

0

et

H

S

necontiennentpasdeplansgénérateursducône

C(q)

,lecas

f (P

1

(X)) =

P

1

(f (X))

nepeutseproduirequesil'orthogonaldans

P

1

(X)

del'intersectionentrel'hyperplan et

P

1

(X)

(qui estune droite)est l'ensemble

1. desmatrices antisymétriques danslecasde latranformation

X 7→ X

t

,

2. desmatrices scalaires, danslecasde latransformation

X 7→ X − tr(X)

.

Or, ces droites ne peuvent être contenus dans

P

1

(X)

car elle le serait alors dans

C(q)

. Il en résulte que dans les deux cas, la transformation échange les plans

P

1

et

P

2

associés à

X

et

f (X)

,donc lesdroites de

R

2

correspondant à leurs noyauxetimages respectives.

3

Distinguons deux cas, selon que les génératrices de passant par les points

A

et

B

sont

dans un même plan générateur ou pas. Dans le premier cas la réponse est évidente. Dans

le deuxième cas, considérons les plans

P

1

et

P

2

associés à

A

et

B

. Ces plans se coupent en donnant deux nouvellesgénératrices. Onconclut alors immédiatement.

Exercice 5.2. a) Montrer qu'un hyperplan linéaire de

R

4

qui contient un plangénérateur de

C(q)

est nécessairement tangent aucône.En déduire que les planssituéssur une mêmedroite posée sur unhyperboloïde à une nappe sonttous tangents à cettehyperboloïde.

b) Montrer que lesseules quadriques nondégénérées qui contiennentdes droitessont

pré-cisémentles sections hyperplanes du cône

C(q)

. Montrer que ces quadriquessont exées.

La restriction de

q

à l'hyperplan linéaire en question est une forme quadratique en trois

variables, et dont l'indice est moins

2

car elle contient un plan totalement isotrope. Elle est

donc dégénérée :eneet,une formequadratiqueentroisvariables nondégénéréeestd'indice

au plus

1

.Un élément

X

de sonnoyau est surlecône

C(q)

, etsonorthogonalpour

q

,qui est

tangentaucônecontientnotrehyperplaninitial,etluiestdoncégal. L'assertionàdéduireest

alorsimmédiate.

Tout d'abord,lessectionshyperplanesducône

C(q)

contiennent biendesdroites.Eneet,

le plan tangent à une telle quadrique en un point

X ∈ C(q)

est l'intersection de l'hyperplan

aneetdel'hyperplantangenten

X

à

C(q)

.Cethyperplanrencontre

C(q)

selondeuxplans,qui

rencontrent l'hyperplananeselondeuxdroitescontenant

X

.Ces deuxdroitessontcontenus

danslaquadrique(etengendrentleplantangent).Cesquadriquessontexésd'aprèsl'exercice

précédent.

Enoutre, siunequadrique nondégénéréecontient unedroite, celleciestcontenudansle

cône d'isotropie de laforme quadratique et dans l'hyperplan ane. Les génératrices passant

par cette droite forment donc un plan contenu dans le cône. Or un cône de type

(3, 1)

ne

contient pasde plan.



Références

[1] RachedMneimné.Éléments degéométrie.Actions degroupes. Nouvelle bibliothèque

ma-thématique. Paris :Cassini. (1997)

[2] Michèle Audin,Géométrie. Paris :Belin. (1998)

3

Onpeutremplacerceraisonnementparuncalcul,voirpourcelal'indicationdonnéparMneimné[1,page

221]. Cependantjetrouvequel'avantagedeceraisonnementestdes'appliquerauxtransformationsobtenues

par symétriesorthogonalesparrapportàdes hyperplansdontlapolaire estl'orthogonal.Onpeutd'ailleurs

prendren'importequelhyperplannontangentaucôneetlasymétriedansladirectiondesapolaire.Question