Rappelons rapidement la dé…nition de volume de représentations et quelques de ses propriétés. On renvoi le lecteur intéréssé à [Fra] et [Dun] pour les detailles. On remarque que l’hypothèse d’irréductibilité sur M n’est pas necéssaire pour ces dé…nitions.
Notons = 1t : : : t k et considérons un voisinage ouverte U = U1 t : : : t Uk
de , où chaque Ui est un voisinage de i homéomorphe à un tore solide. Fixons
des structures produit T2 [0; 1) i sur les ouverts Ui = Ui appelées les bouts
cuspidaux de M . On note : ^M ! M le revêtement universel de M
et Vij t 1 T2 [0; 1) ij les composantes de 1(Ui).
Dé…nition 6.4.1 Etant donnée une représentation 2 R(M ), une application
di¤ érentiable par morceaux d : ^M ! H3 qui preserve l’orientation est appelé une pseudo-développante pour si elle satisfait :
i. d est equivariante par (voir 2.3),
ii. Il existe ro 2 [0; 1) tel que, pour tout (p; r0)ij 2 Vij, la courbe
t 2 [ro; 1) 7 ! d (p; t)ij 2 H3
est une geodesique de H3 parametré par longueur d’arc. De plus, il existe des points ij 2 @H3 (dependent seulement des indices i et j), tels ques
lim
t!1d (p; t)ij = ij 2 @H 3.
On note !dl’unique forme di¤ érentielle de degré 3 sur M qui satisfait !d=
d VH3, où VH3 est la forme volume de H3. Le volume de 2 R(M ) est dé…ni par
V olM ( ) = Z M !d= Z R d VH3 < 1 ,
où R M^ est une région fondamentale pour l’action de 1(M ) sur ^M .
On remarque qu’il existe toujours une application pseudo-développante pour une représentations 2 R(M ) donnée et que le volume d’une représentation ne dépend pas de l’application pseudo-développante choisi. Le résultat suivant présente quelques propriétés de la foction volume
V olM : R(M ) ! R+ .
Proposition 6.4.2 La fonction V olM est continue et satisfait les propriétés sui-
i: V olM ( ) = 0, pour toute représentation 2 R (M ) réductible,
ii: la fonction V olM se factorise au quotient R (M ) =P SL2(C). C’est-à-dire,
V olM ( ) = V olM (A: ), pour toute représentation 2 R(M ) et tout
élément A 2 P SL2(C).
iii: Soient N une variété di¤ érentiable fermée, orientable et de dimension 3, et un entrelacs plongé dans N . Supposons qu’il existe un di¤ éomorphisme f : (N; ) ! (M; ), alors
V olM ( ) = V olN ( f ) ,
pour toute représentation 2 R (M ).
Les deux propositions suivantes concernent à des propriétés essentielles des volumes de représentations pour les applications données. La première relie la notion de volume de représentations à l’operation de remplissage de Dehn. On remarque qu’une version de la première pour les variétés fermées apparait sans démonstration complète dans [Dun]. La deuxième identi…e le volume d’une variété hyperbolique conique au volume de son holonomie. Pour être complet, on presente leurs démonstrations dans l’appendice de ce manuscrit.
Proposition 6.4.3 Etant donné une variété di¤ érentiable W avec bord de tores com- pact, orientable et de dimension 3, soit M une variété fermé obtenue par remplissage de Dehn sur les composantes de bord W . Pour toute représentation 2 R (M) on a
V olM( ) = V olM ( i ) ,
où dénote l’union des âmes des tores ajoutés à W et i : 1(M ) ! 1(M ) est
l’application canonique induite par l’inclusion i : M ,! M.
Proposition 6.4.4 Soient M une variété hyperbolique conique de type topologique
(M; ) et M2 R(M ) une représentation d’holonomie pour M. Alors
V ol(M ) = V olM ( M),
où V ol(M ) est le volume riemannien de M .
Comme conséquence des propositions ci-dessus, on a deux applications des résultats du chapitre précédent concernant aux volumes des répresentations d’holonomie de variétés hyperboliques coniques Mi :
Corollaire 6.4.5 Etant donnée une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de
type topologique (M; ), soit i une suite de représentations d’holonomies associées.
Si la suite i converge vers une représentation 12 R (M ) tel que
V olM ( 1) = 0 (en particulier, si 1 est réductible),
alors M est est …brée de Seifert ou Sol.
Preuve. D’après la proposition (6.4.4), on a
V ol (Mi) = V olM ( i) ,
pour tout i 2 N. Comme la fonction V olM est continue on a,
lim
i!1V ol (Mi) = limi!1V olM ( i) = V olM ( 1) = 0 .
Alors, la suite Minécessairement s’e¤ondre et donc la conclusion découle des résultats
de la section précédent.
Corollaire 6.4.6 Supposons que la variété M a volume simplicial, noté kMk, nulle et soit une suite i de représentations pour les variétés hyperboliques coniques Mi. Si
la suite i converge vers une représentation 1 2 R (M ) et les angles coniques
satisfont tous
lim
i!1 ij = 2 ,
alors M est …brée de Seifert ou Sol.
Preuve. Comme les angles coniques convergent vers 2 , on a
1([ ] 1(M )) = 1P SL2(C) ,
pour tout méridien de . Alors la représentation 12 R (M ) se factorize à une représentation 12 R (M) (c’est-à-dire 1= 1 , où est l’application induite par l’inclusion de M dans M ). Comme le volume simplicial de M est nulle par hypothèse, on a (voir [Fra]) V olM( 1) = 0 et donc (proposition 6.4.3)
V olM ( 1) = V olM ( 1 ) = V olM( 1) = 0 .
Complements sur les volumes de
représentations
A.1
Démonstration de la proposition 6.4.3
Notons : ^M ! M et M : fM ! M les revêtements universels de M
et M respectivement. On rappelle un lemme élémentaire d’algèbre multilinéaire qui sera utilisé dans la démonstration de la proposition :
Lemme A.1.1 Soient E, F n-spaces vectoriels, T : E ! F une application lineaire et ! une n-forme lineaire alternée sur F . Si T n’est pas un isomorphisme alors T ! est nulle.
Preuve. (de la proposition 6.4.3) Soit U = M W et considérons sur chaque
composante connexe Ul une paramétrisation non-injective T2 [0; 1] l telle que
@W =G
l
T2 f0g l et =G
l
T2 f1g
En utilisant cette paramétrisation, on peut dé…nir une application f : M ! M telle que
i: fjW : W ! M est un di¤éomorphisme,
ii: fj
Ul : Ul! l est une projection radial sur l, c’est-à-dire, pour tout z 2 T
2,
f ((fzg [0; 1])l) = f(z; 1)lg ,
iii: f est di¤érentiablement homotope à IdM. En particulier,
f = (IdM) = Id 1M
où f et (IdM) sont les applications au niveau des groupes fondamentaux in-
duites par f et IdM respectivement.
Fixons une représentation 2 R (M) et soit d : fM ! H3 une application pseudo- développante pour . Si ef : fM ! fM est une application telle que M f = fe M, on
obtient que l’application df = d f est encore une application pseudo-développantee
pour car
f = Id 1M = .
Par construction, la di¤erentielle de f n’est pas un isomorphisme sur les points de U. Comme, pour tout point p 2 U,
!df (p) = (df (p)) !d(f (p)) ,
il découle du lemme (A.1.1) que !df est nulle sur U et donc
V olM( ) = Z M !df = Z W !df. (A.1)
Etant donné une application ei : ^M ! fM telle que M ei = i , on peut
construir une application pseudo-développante di : ^M ! H3 pour i de façon
à ce qu’elle coïncide avec df ei sur 1(W ) (et donc !di = i !df sur W ).
^
M ei! fM f! fe M d! H3
# # #
M ! Mi f! M
Assertion : La forme !di est nulle sur U .
Admetons que l’assertion est vraie. D’après (A.1), on obtient
V olM ( i ) = Z M !di = Z W !di = Z W i !df = Z W !df = V olM( ).
Preuve de l’assertion : Comme M est une isométrie locale, M 1( ) est variété
di¤érentiable de dimension 1 plongée dans fM et donc d M 1( ) est une union
de courbes di¤erentiables. De plus, di 1@W d M 1( ) car, pour tout p 2e
M fe ei(ep) = (f M) ei(p) = f ((ie ) (p)) 2 f (@W )e
et donc
di(p) = de f ei(ep) = d fe ei (ep) 2 d M 1( ) .
Cela implique que di 1(U ) est d’ intérieur vide et donc que, pour tout
e
p 2 1(U ), la di¤érentielle d(di) (p) de de i en p, n’est pas un isomorphisme.e
D’après le lemme (A.1.1), pour toutp 2e 1(U ), di VH3(p) = d(de i) (ep) VH3(di(ep))
est nulle. Comme est une isométrie locale, on obtient que !di est nulle sur U .