Lemme 5.2.1 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3 fermée, orientée, irréductible, un entrelacs plongé dans M et T t S1 S1 un tore plongé dans M . Si
M est hyperbolique, alors T sépare M et satisfait une, et une seule, des a¢ rmations ci-dessous :
i. T est parallèle à une composante connexe de (donc borde un tore solide dans M ),
ii. T borde un tore solide d’un côté de M et est contenu dans l’autre côté,
iii. T est contenu dans une boule de M . Il borde l’exterieure d’un noeud dans S3 d’un côté de M et est contenu dans l’autre côté.
Preuve. Supposons que T n’est pas parallèle à une composante connexe de . Comme M est hyperbolique (atoroïdal et irréductible), T sépare M et est com-
pressible dans M . On peut écrire
M = U t
T V ; U = \ U et V = \ V .
Supposons sans perte de généralité que U 6= ;. On divise la démonstration en deux
cas :
Fig. 5.1 –T compressible dans V (gauche). T compressible dans U (droite)
1ere cas : T est compresible dans V
Prenons un disque de compression D V et soit S la sphère obtenue par la
compression de T le long de D. Comme M est irréductible, S borde une boule
B M .
Le disque D ne peut pas être contenu dans B, sinon U serait contenu dans B, ce qui n’est pas possible puisq’on supposé U 6= ;. Alors V B V , ce qui implique
que V = ; et V est un tore solide.
Prenons un disque de compression D U et soit S la sphère obtenue par la
compression de T le long de D. Comme M est irréductible, S borde une boule
B M .
Si D n’est pas contenu dans B, alors U B et, comme dans le cas précédent, ce n’est pas possible. Donc V V B, ce qui implique que V = ; et V est l’exterieur
d’un noeud dans S3.
Lemme 5.2.2 Soient M une variété di¤ érentiable fermée de dimension 3 et B une boule fermée contenue dans M . Soit encore un tore T de dimension plongé dans B et qui separe M . Notons M = U tT W , où W est la composante de M jT contenue dans
B. Si W est homeomorphe à un extérieur de noeud dans S3, alors on peut remplacer W par un tore solide V sans changer le type topologique de M .
Preuve.Notons M = M int (B). On rappelle le résultat élémentaire de topologie que toute variété obtenue en recollent une boule fermée de dimension 3 sur le bord de M est di¤éomorphe à M.
Soit B0 une boule fermée de dimension 3 et un di¤éomorphisme h : @B ! @B0 tel que la variété B [hB0 obtenue en utilisant h pour recoller B et B0 soit di¤éomorphe à
S3. Notons que la variété V0 = (U \ B) [hB0 (@B U \ B) est un tore solide fermé.
Fixons un méridien m de V0, c’est-à-dire m borde un disque dans V0.
Fig. 5.2 –Tore solide V0= (U \ B) [hB0.
Soient V un autre tore solide fermé, ( ; l) un couple méridien/longitude pour V et un di¤éomorphisme g : @V0 ! @V qui envoie m sur l. Alors la variété V0 [g V
obtenue en utilisant g pour recoller V0 et V est di¤éomorphe à S3 et donc la variété
B = (V0[gV ) int (B0) est di¤éomorphe à une boule fermée.
Par construction, B = (U \ B) [g V . Alors, la variété M [IdB = (M W ) [gV
obtenue en utilisant Id : @B ! @B pour recoller M et B est di¤éomorphe à M.
Lemme 5.2.3 Soient M une variété di¤ érentiable fermée de dimension 3, un en- trelacs (di¤ érentiable) plongé dans M , M une variété hyperbolique conique de type
topologique (M; ) et B un voisinage métrique de homeomorphe à un tore solide.
Notons par g la métrique hyperbolique existant sur M et soit h une métrique
riemannienne sur M tel que :
i. h coïncide avec g en dehors de B,
ii. h est une "-perturbation (" 2 (0; 1)) de g sur M , c’est-à-dire
kvkg kvkh < ", (5.1)
pour tout x 2 M et tout v 2 Kx=
n
u 2 Tx(M ) ; kukg 2
o .
Alors, la distance de Hausdor¤ -Gromov entre la variété riemannienne N = (M; h) et M est plus petite au égale à 4"D, où D = 1 + diamM(M ).
Preuve.Pour démontrer l’assertion du lemme, il su¢ t de véri…er que l’application identité Id : M ! N est une 2"D-isométrie, c’est-à-dire, pour tout x; y 2 M,
jdN (x; y) dM(x; y)j < 2"D.
Prenons x; y arbitraires dans M et soit : [0; dM(x; y)] ! M un segment géodé- sique minimisant (dans M) entre x et y. Comme a codimension 2, il existe une courbe
: [0; L] ! M (parametré par longuer d’arc dans M) telle que ((0; L)) M et
L < dM(x; y) + "2. Alors dN (x; y) dM(x; y) LN ( ) LM( ) +" 2 Z L 0 0(t) g 0(t) h dt + " 2 = "L + " 2 < ":dM(x; y) + "2 2 + " 2 ":diamM(M ) + " "D (5.2)
et, en particulier, diamN(M ) 2D.
Soit : [0; dN(x; y)] ! N un ségment géodésique minimisante (dans N ) entre x et y. Comme précédemment, il existe une courbe : [0; L0] ! N (parametrée par longueur d’arc dans N ) telle que ((0; L0)) N et L0 < dN(x; y) + "2.
D’après (5.1), pour tout z 2 N et pour tout v 2 Kz tel que gz(v; v) = 2, on a
kvkh> 1. Cette remarque implique que fu 2 Tz(M ) ; hz(u; u) = 1g Kz, pour
tout z 2 N , et donc 0 (t) g 0 (t) h < ",
pour tout t 2 [0; L0]. Alors, le calcul ci-dessus s’applique mutatis mutandis à la courbe et on obtient
dM(x; y) dN (x; y) 2"D.
Prenons une suite de points pi 2 M et supposons que la suite (Mi; pi) converge au
sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0). Notons Z Z l’ensemble de tous les points d’accumulation possibles des suites de points de
.
Proposition 5.2.4 Supposons que la suite (Mi; pi) converge au sens de Hausdor¤ -
Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0) et soit
J0 = j 2 f1; : : : ; lg ; lim
i2NdMi(pi; j) 6= 1 .
Si L = sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1, alors il existe une sous-suite
(Mik; pik) tel que, pour tout j 2 J0, la composante j de converge au sens de
Hausdor¤ -Gromov pointée vers une courbe fermée Zj Z (en général non simple).
En particulier, Z = S
j2J0
Z
j est compact. Si de plus Z a dimension 3, alors chaque
courbe Zj est une quasi-géodésique de Z dont la longuer est donnée par LZ Zj = lim
k21LMik( j) < 1 .
Dans ce cas-là, on a Z 6= Z.
Preuve. Comme L < 1, la dé…nition de limite permet de supposer que, quitte à extraire une sous-suite, il existe R > 0 tel que j BMi(pi; R), pour tout j 2 J0 <
1 et i 2 N. Fixons j 2 J0 et considérons une famille de paramétisations i : S1! Mi
de j par la longueur d’arc dans Mi. Comme L < 1, cette famille est équicontinue
et donc ([Pet] - chapitre 10) la suite converge au sens de Hausdor¤ Gromov pointé vers une courbe Zj : S1 ! Z. Par dé…nition de structure hyperbolique conique, les composantes j sont des géodésiques de Mi. Comme Z a dimension 3 et la classe des
quasi-géodésiques est fermée pour la convergence au sens de Hausdor¤-Gromov sans e¤ondrement ([BBI] page 403), Zj est une quasi-géodésique dont la longueur est la limite des longueurs (voir [PP]).
Si Z= Z, alors il existe j 2 J0 tel que Zj est une courbe de longueur in…ni. Cela
contredit le fait que les quasi-géodésiques sont des courbes de longueur …nie.
Nous isolons dans la proposition suivante un cas particulieur qui est une consé- quence immédiate de la proposition (2.3.15).
Proposition 5.2.5 Supposons que sup fRi( j) ; i 2 Ng = 1, pour tout j 2 f1; : : : ; lg.
Alors il existe une suite de points pik 2 M tel que la suite (Mik; pik) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers une 3-variété hyperbolique complète, de volume …ni et homéomorphe à M . De plus, les suites d’angles coniques ( ij)i2N convergent
vers 0, pour tout j 2 f1; : : : ; lg.
La proposition suivante distingue des propriétés importantes des composantes j
de dont le rayon d’injectivité normal devient in…ni.
Proposition 5.2.6 Supposons que, pour un certain indice j 2 f1; : : : ; lg, lim
i!1Ri( j) = 1.
Alors i. lim
i2NLMi( j) = 0, si infi2N ij > 0,
ii. lim
i2N ij = 0, si infi2NLMi( j) > 0.
Preuve.Si une des assertions ne se véri…e pas, on peut trouver une sous-suite Mik
telle que le volume du tube au tour de j tend vers l’in…ni. Ceci n’est pas possible car
la suite Mi a volume uniformement majoré.
Pour …nir la section, rappellons un résultat classique de la théorie des variétés coniques (voir [Sal], [BBBPM] - lemme 6.2, [HK] - lemme 3.8, [BP] - lemme 1.5 page 75) :
Lemme 5.2.7 Etant donné M une variété hyperbolique conique fermée et de type topologique (M; ), soit N ( ) un voisinage fermé de dont les composantes connexes sont des tores solides. Alors on peut déformer la métrique dans N ( ) (dans N ( )
) pour obtenir une métrique complète non singulière, de volume …ni et à courbure