Fixons une variété hyperbolique M de dimension 3 (sans bord et peut-être non complète) avec holonomie et une application développante associée d, 2 (0; 0),
une composante connexe P de Mf ine( ) et une composante connexe eP de M1(P).
Par dé…nition (de la partie mince), pour tout pointq 2 ee P, on a les propriétés suivantes : i: rMinjf (q)e maxn3 ; rinjM ( (q))e o,
ii: il existe un lacet géodésique basé en (q) et homotopiquement non trivial tel quee LM( ) = 2:rinjM ( (q)) ,e
iii: 2:rMinj( (q)) = inf de Mf(g:eq;q) ; g 2e Pe .
Considérons sur H3 le feuilletageH dé…ni de la façon suivante : si e
P est de type I et si est la géodésique invariante par Pe, alors les feuilles de H
sont les surfaces (H")"2[0;1) dé…nies par
H" = z 2 H3 ; dH3(z; ) = " ,
si e
P est de type II, alors les feuilles deH sont les horosphères centrées sur le point
Remarque 3.2.1 Notons que, quelque soit le cas, les feuilles de H sont des surfaces plongées dans H3 dont la courbure est nulle.
Comme l’application d est une isométrie locale, on peut dé…nir sur eP un feuilletage eF (preservée par l’action de Pe) en tirant en arrière par d le feuilletage H. De plus, l’equivariance de d par l’holonomie permet de dé…nir une feuilletage F sur P en utilisant l’isométrie locale M. On démontre maintenant une propriété importante du
feuilletage F :
Lemme 3.2.2 Le rayon d’injectivité est localement constante (et donc constante) sur les feuilles deF.
Preuve. Etant donné un point p 2 P, soit ep un point de eP tel que (p) = p.e NotonsFp et eFep les feuilles deF et eF qui passent respectivement par les points p et ep.
Comme Pe agit de façon proprement discontinue sur eP et expq : BTqM[0; 3 ] !
BM[q; 3 ] est un di¤éomorphisme, il existe une famille maximale …nie 1; : : : ; k de
lacets géodésiques basés en p tel que :
i: [ i] 2 Pe f1 1Mg, pour tout i 2 f1; : : : ; kg,
ii: L := LM( i) = dMf([ i] :p;e p) = 2:re injM (p) < 2 , pour tout i 2 f1; : : : ; kg.
Comme conséquence de (ii) on obtient
L < dMf(g:p;e p) ,e (3.1)
pour tout g 2 Pe f[ 1] ; : : : ; [ k]g.
A¢ rmation 1 :Il existe un voisinage ouvert V P de ee p tel que L < dMf(g:eq;q) ,e
pour tout eq 2 V et pour tout g 2 Pe f[ 1] ; : : : ; [ k]g.
Preuve : Supposons que l’a¢ rmation soit fausse. Il existe alors, une suite de points e
qj 2 eP et une suite d’éléments gj 2 Pe f[ 1] ; : : : ; [ k]g tel que limj!1qej =p ete
dMf(qej;p) <e
3 et dMf(gj:qej;qej) L, (3.2)
pour tout j 2 N. Donc
dMf(gj:p;ep)e dMf(gj:p; ge j:qej) + dMf(gj:qej;qej) + dMf(qej;p)e
Comme BMf[p; 3 ] est un compact de fe M et 1M agit de façon propre et discontinue
sur fM , on peut supposer que la suite gj est constante égale à g 2 Pe f[ 1] ; : : : ; [ k]g.
Comme lim
j!1qej =p on a d’après (3.1) et (3.2) quee
dMf(g:p;ep) = Le et donc g 2 f[ 1] ; : : : ; [ k]g, ce qui est une contradiction.
Soit " 2 0; rinjM (p) tel que L + 2" < 3 et BMf(p; ")e V . Notons que M :
BMf(ep; ") ! BM(p; ") est une isométrie.
Prenons q 2 BM(p; ") \ Fp arbitraire et soiteq l’unique point de BMf(p; ") \ ee Fpetel
que M(q) = q. Par construction, pour tout i 2 f1; : : : ; kg ; on ae
dMf([ i] :q;eq) < L + 2" < 3e
et donc il existe un lacet géodésique i basé en q tel que sont relévé issu de q este
le segment géodésique minimisant réliant eq à [ i] :q. Commee q 2 Fe pe, d (p) et d (e q)e
appartiennent à la même feuille deH. On a donc dMf([ i] :q;eq) = Le M( i) = d
H3( ([ i]) : (d (q)) ; d (e q))e
= dH3( ([ i]) : (d (p)) ; d (e p)) = L.e
D’après l’a¢ rmation (1), on a
2:rMinj(q) = inf dMf(g:q;e eq) ; g 2 Pe = L et donc rinjM (q) = rMinj(p).
Preuve. (proposition 3.1.3) Pour véri…er l’assertion de la proposition, il su¢ t de démontrer que les feuilles deF sont homeomorphes à des tores S1 S1. Comme les
feuilles ont courbure nulle, il su¢ t par le théorème de Gauss-Bonnet de garantir que les feuilles de F sont complètes.
Soient F une feuille deF dans P et pi une suite de Cauchy dans F . Notons que pi
est aussi une suite de Cauchy dans M car, pour tout q,q02 F , dM q; q0 dF q; q0 .
Comme l’adhérence P de P dans M est complète par hypothèse, la suite pi converge
continue sur M et il est constant sur les feuilles d’après le lemme précédent (la condition sur l’application exponentielle est immédiate car tout le point de BM(p1; 3 ) sont dans
les boules BM(pi; 3 ) pour i su¢ samment grand). On peut donc supposer que la suite
pi appartient à un voisinage trivialisant du feuilletage autour de p1. Ceci implique
Théorème de Fibration
4.1
Introduction
Le théorème de …bration est un résultat important pour l’étude des suites de varié- tés riemannienes de même type topologique et qui convergent vers un espace d’Alexan- drov de dimension plus petite. Le premier théorème de …bration est du à Fukaya ([Fuk]) et concerne les suites de variétés riemaniennes à courbure pincée qui convergent vers une variété riemanniennes. Ce résultat a été étendu par Takao Yamaguchi au cas des suites de variétés riemanniennes avec courbure sectionnelle minorée et limite rieman- nienne ([Yam2]). Le résultat précis est :
Théorème 4.1.1 Soit (Mi; pi) une suite variétés riemaniennes complètes, de même
type topologique et courbure uniformement minorée, telle que (Mi; pi) converge au
sens Hausdor¤ -Gromov pointé vers une variété riemannienne pointée (Z; z0) complète
(peut-être non compacte). Si Y est un domain compact de Z, alors il existe, pour i su¢ samment grand, une suite de couples (Ni; i), où Ni sont des domains de Mi et i : Ni ! Y sont des applications di¤érentiables qui enduisent une structures de …bré
trivial sur Ni. De plus, pour tout y 2 Y , les …bres i 1(y) satisfont :
i. i 1(y) est une sous-variété fermée de Mi,
ii. b1 i 1(y) = dim H1 i 1(y) ; R dim 1
i (y) . De plus, l’égalité arrive si et
seulement si F Tdim(Mi) dim(Z). En particulier, si dim (M
i) = 3, dim (Z) = 1
et les …bres sont des surfaces fermées, alors les …bres ont genre g = b1
1 i (y)
2 1,
c’est-à-dire elles sont homéomorphes à des sphères ou des tores, iii. la suite i 1(y) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov vers y.
Plus tard, Yamaguchi a démontré aussi le théorème pour les espaces d’Alexandrov ([Yam]). La version ci-dessous est un cas particulier de son résultat et a été énoncé par Shioya et Yamaguchi dans [SY].
Théorème 4.1.2 (Limite compacte) Etant donnés n 2 N et > 0, il existe constantes = (n) > 0 et "0 = "0(n; ) > 0 et une application = ( ) : (0; "0) ! R+ qui
satisfont :
i. Soient Z un ( 1)-espace d’Alexandrov complet, compact et de dimension n et M une variété riemannienne complète, à courbure sectionelle plus grand ou égale à 1 et tel que " = dHG(M; Z) < "0. Si Y est un sous-ensemble de R (Z) tel que
rinjZ (Y ) > , alors il existe une sous-variété compacte et connexe N de M (peut- être avec bord) et une structure de …bré localement trivial sur N induite par une submersion, (")-approximation et application (")-quasi lipschitz f : N ! Y . De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii) et (iii),
ii. lim
"!0 (") = 0.
La démonstration de ce résultat se fait en quatre étapes (analogues à celles dans [Yam]). La première consiste à construir un plongement lipschitzien F de Y dans l’espace de hilbert L2(Z) de façon à avoir, pour chaque point y 2 Y , une sorte d’espace tangent TF (y)F (Y ) L2(Z) à F (Y ) en F (y), c’est-à-dire un espace a¢ ne de L2(Z)
qui approxime bien un voisinage de F (y) dans F (Y ).
L’objectif de la deuxième étape est de trouver un voisinage tubulaire V de F (Y ) dans L2(Z) avec une projection : V ! F (Y ) bien dé…nie. Pour cela on utilise le …bré normal à F (Y ), plus précisemment les sous-espaces a¢ nes TF (y)F (Y )?, où y 2 Y .
Dans la troisième étape, on trouve un plongement F de M dans L2(Z) de façon que, si "0 > 0 a été choisi su¢ samment petit, alors il existe une sous-variété compacte
et connexe N de M telle que F (N) V et (F (N)) = F (Y ). De plus, comme la
variété M est riemannienne, on peut choisir l’application F de classe C1.
La dernière étape consiste à véri…er que l’application f = F 1 F a les propriétés voulues. Le fait que cette application induise une structure de …bré localement trivial est une conséquence de la di¤érentiabilité de F ou on peut utiliser le théorème de submersion Siebennman ([Fuk] - théorème 18.8).
On a besoin d’une version du théorème ci-dessus dans le cas où la limite Z n’est pas compacte et Y est un sous-ensemble compact de R (Z). Pour adapter la démonstration à ce cas là, il su¢ t d’utiliser une boule compacte Z = BZ[z0; R] Y de Z (grande
par rapport à Y ) telle que tous les segments géodésique minimisantes reliant deux points de Y soient contenus dans son intérieur. Comme dans le paragraphe précédent,
il existe un plongement F de Y dans L2(Z) et un voisinage tubulaire V de F (Y ) dans L2(Z) avec une projection bien dé…nie. Si (M; p) est une variété riemannienne pointée, fermée telle que la distance (de Hausdor¤-Gromov) entre les boules BM[z0; R] et Z
soit su¢ samment petite, alors on peut plonger BM[z0; R] dans L2(Z) de façon que
la partie de BM[z0; R] "proche" de Y soit plongée dans V . A partir de là, on peut
reprendre la démonstration ci-dessus pour obtenir la sous-variété N de M (compacte et connexe) et l’application f : N ! Y qui induit la …bration localement trivial.
Cette adaptation des arguments de Yamaguchi permet de démontrer le théorème suivant.
Théorème 4.1.3 (Limite non compacte) Etant donnés n 2 N et > 0, il existe = (n) > 0, "0= "0(n; ) > 0 et = ( ) : (0; "0) ! R+ qui satisfont :
i. Soient (Z; z0) un ( 1)-espace d’Alexandrov pointé complet, non compact et de
dimension n, et (M; p) une variété riemannienne pointée compact,complète, à courbure sectionelle plus grand ou égale à 1, dimension m n et tel que
" = dHG((BM[p; 100R] ; p) ; (BZ[z0; 100R] ; z0)) < "0 .
Si Y est un sous-ensemble compact de R (Z) tel que rZinj(Y ) > et R > 0 est un scallaire tel que Y BZ[z0; R], alors il existe une sous-variété compacte
et connexe N de M (peut-être avec bord) et une structure de …bré localement trivial induite par une submersion, (")-approximation et application (")-quasi lipschitz f : N ! Y . De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii) et (iii),
ii. lim
"!0 (") = 0.
Ce théorème admet le corollaire suivante :
Corollaire 4.1.4 Soit (Mi; pi) une suite variétés riemaniennes de dimension 3, com-
plètes, de même type topologique et courbure uniformement minorée, telle que (Mi; pi)
converge au sens Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandorv pointée (Z; z0)
complète (peut-être non compacte). Si Y R (Z) est un domain compact de Z, alors il existe, pour i su¢ samment grand, une suite de couples (Ni; i), où Ni sont des sous-
variétés de Mi et i : Ni ! Y sont des submersions qui enduisent une structures de
…bré localement trivial sur Ni. De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii)
et (iii).
Pour être complet, nous squissons dans ce chapitre la construction des plongements de Y et BM[z0; R] dans L2(Z) et du voisinage V , c’est-à-dire, les detailles des trois