L’objectif de cette section est d’étudier le cas où la suite Mi ne s’e¤ondre pas. Sans
perte de généralité, cette hypothèse implique l’existence d’une suite pi 2 M tel
que r0 = inf n rMi inj(pi) ; i 2 N o > 0 , où rMi
inj(pi) denote le rayon d’injectivité riemannien de pi dans la variété hyperbolique
non complète Mi . Quitte à extraire une sous-suite, la proposition (2.2.25) nous
permet d’a¢ rmer que la suite (Mi; pi) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé
vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0). D’après la dé…nition de la convergence
Hausdor¤-Gromov pointée, la boule BZ(z0; r0) est isométrique à une boule de rayon
r0 dans H3. Comme la dimension d’Hausdor¤ d’un espace d’Alexandrov est un entier
bien dé…ni, Z a dimension 3.
Nous sommes intéréssés par le cas où la longueur de la singularité reste uniforme- ment bornée. C’est-à-dire, que
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
D’après la proposition (5.2.4), quitte à extraire des sous-suites, chaque composante j
de satisfait une, et une seule, des deux a¢ rmations suivantes :
1. supfdMi(pi; j) ; i 2 Ng < 1 et j converge au sens de Hausdor¤-Gromov
pointé vers une quasi-géodésique Zj Z, 2. lim
i2NdMi(pi; j) = 1.
Cette dichotomie nous permet d’écrire = 0t 1 avec
0= F j2J0
j et 1= F j2J1
j ,
où l’ensemble J0 f1; : : : ; lg contiens les indices j qui satisfont l’a¢ rmation (1) et
l’ensemble J1 f1; : : : ; lg les indices j qui satisfont l’a¢ rmation (2). L’ensemble
Z = S j2J0
Z
j Z (5.3)
est compact et correspond à l’ensemble de tous les points d’accumulation possibles des suites de points de .
Le lemme suivant montre que l’hypothèse de non e¤ondrement impose des restic- tions sur la longueur et les angles coniques des composantes singulieres contenues dans
Lemme 5.3.1 Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et soit une suite de points
pi 2 M tel que r0= inf
n rMi inj(pi) ; i 2 N o > 0. Si L = sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 , alors 0 < l = inf fLMi( j) ; i 2 N et j 2 J0g , 0 < a = inf f ij ; i 2 N et j 2 J0g et sup fRi( j) ; i 2 N et j 2 J0g < 1 .
Preuve. Notons V0 le volume d’une boule de rayon r0 dans H3 et soit
R = sup fdMi(pi; j) ; i 2 N et j 2 J0g + r0 .
Notons que R < 1 car, par construction, les composantes j (j 2 J0) restent à dis-
tance uniformement majorée des points pi. On a donc que BMi(pi; r0) BMi( j; R),
pour tout i 2 N et j 2 J0.
Fixons i 2 N et j 2 J0. Tout point q de Mi a au moins une géodésique minimisante
qui le relie orthogonalement à j. En utilisant l’application développante et ces géodé-
siques minimisantes, on peut développer la variété Mi dans une région A de H3( ij)
delimitée par deux plans orthogonaux à la géogésique singulière de H3( ij) et distants
d’une longueur LMi( j) l’un de l’autre. On obtient alors, un compact K A dont
l’interieur se plonge dans Mi et tel que V olH3(K) = V ol (Mi).
Comme BMi(pi; r0) BMi( j; R), le developpé de BMi(pi; r0) dans A est contenu
dans BH3(
ij)(R) \ A, où BH3( ij)(R) est le voisinage tubulaire de rayon R de la
géodésique singulière de H3( ij). Alors
V0= V ol (BMi(pi; r0)) V olH3( ij) BH3( ij)(R) \ A = ij 2 :LMi( j) : sinh 2 (R) et donc LMi( j) V0 : sinh2(R) > 0 et ij 2V0 L: sinh2(R) > 0 .
Une fois que la longueur de j et les angles coniques ij restent uniformement
minorés (pour j 2 J0), si sup fRi( j) ; i 2 N et j 2 J0g = 1, il existe une sous-suite
Mik dont le volume devient in…ni. Cela n’est pas possible car le volume de Mi est
uniformement majoré par le volume de Mcomp (voir proposition 2.3.19).
Remarque 5.3.2 L’a¢ rmation sup fRi( j) ; i 2 N et j 2 J0g < 1 est immédiate
si 0 a au moins deux composantes connexes. En e¤ et les composantes de 0 restent
à distance …nie les unes des l’autres. Cependant, elle n’est pas immédiate quand 0
Rappelons un résultat dû à Hodgson et Kerckho¤ qui sera utilisé dans la démons- tration du théorème principal de cette section (voir [BP] - proposition 3.1 page 39 et [CHK] - théorème 6.20 et ses extensions page 117-118) :
Lemme 5.3.3 Soit (Mi; pi) une suite de variétés hyperboliques coniques pointées de
dimension 3 et de même type topologique (M; ) qui converge au sens de Hausdor¤ - Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0) de dimension 3. Pour tout
" > 0 et pour tout compact K Z qui ne contien pas des points d’accumulation de suites d’éléments de , il existe i0 = i0(K; ") 2 N et une suite fi : K ! Mi (i i0)
d’homéomorphismes (1 + ")- bilipschitz sur leurs images.
On présente maintenant, le résultat principal de cette section. On véri…e que, si la suite ne s’e¤ondre pas et la longueur de la singularité reste uniformement majorée, alors la limite est un espace d’Alexandrov de dimension 3 (peut-être non compact) dont la métrique est hyperbolique presque partout. En utilisant les notations établies dans l’introduction de cette section, l’énoncé précis est le suivant :
Théorème 5.3.4 (non e¤ondrement) Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas
et qu’elle véri…e
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Alors il existe une suite de points pik 2 M tel que la suite (Mik; pik) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov Z de dimension 3 et qui satisfait les propriétés suivantes :
i. Z Z (voir 5.3) est une variété hyperbolique de volume …ni (non complète si Z 6= ;) dont les bouts sont en nombre …ni et sont des cusps paraboliques de
rang 2,
ii. Z est compact (et par conséquent homéomorphe à M ) si et seulement si 1= ;, iii. si Z n’est pas compact, il existe une bijection entre les composante connexes j
de 1et les bouts Cj de Z Z. En fait, chaque bout Cj de Z Z est la limite
au sens de Hausdor¤ -Gromov pointée des voisinages métriques BMi( j; ri) de
j 1, où ri > 0 est une suite strictement croissante et non bornée. De plus,
les angles coniques ij de ces composantes convergent vers 0 ou 2 , et pour ce
dernier cas, on sait que la longueur de la composante j converge vers 0.
Preuve.Comme a été fait dans l’introduction de cette section, l’hypothèse que la suite Mi ne s’e¤ondre pas implique, sans perte de généralité, l’existence d’une suite
pi 2 M tel que r0 = inf n rMi inj(pi) ; i 2 N o > 0
et (Mi; pi) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov
pointé (Z; z0) de dimension de Hausdor¤ 3.
1ere étape : démonstration de l’assertion (i).
D’après la proposition de controle du rayon d’injectivité (2.3.14), tout point de Z Z est limite d’une suite de points de Mi dont le rayon d’injectivité reste
uniformement minoré. Cela implique que Z Z est une variété hyperbolique.
A¢ rmation 1 :V ol (Z Z) < 1.
Preuve : Supposons le contraire et soit K un compact de Z Z dont le volume
soit strictement plus grand que V ol (Mcomp). Fixons une suite "i > 0 convergeant
vers zéro. D’après la proposition (5.3.3), il existe une sous-suite Mik et une suite
d’homéomorphismes fi : K ! Mi (1 + "i)- bilipschitziens sur leurs images. Comme les
applications fk deviennent de plus en plus proches d’une isométrie, il existe k0 2 N tel
que
V ol (Mcomp) < V olMi(fi(K)) V ol (Mi) .
Cela donne une contradiction car (proposition 2.3.19)
sup fV ol (Mi) ; i 2 Ng V ol (Mcomp) .
Comme la limite de est le compact Z, les bouts complets de Z sont ceux
de Z Z. D’après proposition (3.1.3) (voir aussi [BLP] - théorème 5.3), les bouts
complets de Z Z, s’il y en a, sont des cusps paraboliques de 2. De plus, ils sont en
nombre …ni d’après l’a¢ rmation (1).
2eme étape : démonstration des assertions (ii) et (iii).
Si Z est compact, il est imédiat que 1 = ;. Supposons maintenant que Z n’est pas compact. Le lemme (5.3.1) nous permet de choisir R > 0 tel que
BMi( j; Ri( j)) BMi pi;
R 10
pour tout j 2 J0et tout i 2 N. Soit K un compact de Z qui contient la boule BZ(z0; R)
(et donc Z) dans son interieur et tel que
Z = Z int (K) = C1t : : : t Cm ,
Prenons une suite "i > 0 convergeant vers zéro et un bout C1 t T2 [0; 1) de
Z. Considerons une suite de compacts C1i = T2 [0; ti] C1 avec la suite ti > 0
strictement croissante et non bornée. Quitte à extraire des sous-suites, la proposition (5.3.3) nous donne une suite de plongements f1i : C1i ! Mi (1 + "i)-bilipschitz sur
leurs images. Pour tout i 2 N, notons
A1i= f1i(C1i) et B1i= f1i(C11) A1i.
Quitte à retirer un nombre …ni d’indices de la suite, on peut supposer que les
images A1i sont contenues dans M . On remarque que
lim
i!1diamMi(A1i) = 1. (5.4)
Pour véri…er ceci, …xons c1 2 C11 et notons q1i = f1i(c1) 2 A1i. Il su¢ t de noter
que, par construction, la suite (A1i; q1i) converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers
(C1; c1).
Considérons une suite de représentations d’holonomie 1i : Z Z ! P SL2(C)
pour les structures hyperboliques induites sur l’intérieur des ensembles B1i par celles
des Mi. Par dé…nition, la suite B1i converge au sens bilipschitz vers le compact C11,
alors on peut supposer (proposition 2.3.20) que
1i (f1i) ! '1 , (5.5)
où '1 : Z Z ! P SL2(C) est l’holonomie de la structure hyperbolique induite sur
l’interieur de C1 par celle de Z, et (f1i) : Z Z ! 1(M ) sont les applications
canoniques induites par les restictions des plongements f1i à C11.
Considérons les tores T1i= f1i T2 f0g plongés dans M . Comme K contient
la boule BZ(z0; R), les tores T1i ne peuvent pas être parallèles à une composante de 0. Soit 1 un lacet non trivial sur T2 f0g C11 C1. Comme C1 est une cusp
parabolique, '1( 1) est parabolique (non-trivial) et donc la convergence (5.5) nous dit
que 1i (f1i) ( 1), et par conséquence (f1i) ( 1), sont non triviaux pour i su¢ samment
grand. Quitte à éliminer un nombre …ni d’indices de la suite, on peut supposer que les courbes f1i sont non-triviales dans Mi. Ceci implique que les tores T1i ne peuvent
pas être contenus dans des boules de M .
Par le lemme (5.2.1), les tores T1i bordent des tores solides W1i dans M (avec,
peut-être une l’âme singulière). Par construction
A1i W1i M 0,
pour tout i 2 N. D’après (5.4), on a lim
On peut repéter la même construction pour chaque cusp Ckde Z de façon à obtenir
des suites de tores Tki t T2, k 2 f1; : : : ; mg et i 2 N, qui bordent des tores solides
Wki dans M 0 et dont le diamètre deviens in…ni.
On obtient ainsi une suite de variétés de dimension 3 Mi= Mi
m
S
k=1
Wki
à bord toroidal tel que M peut-être obtenue par remplissage de Dehn sur les com- posantes de bord. Par construction, les variétés Mi convergent au sens de Hausdor¤-
Gromov vers le compact K. Quitte à retirer un nombre …ni d’indices de la suite, on peut supposer par le théorème de stabilité de Perelman ([Kap]), que les variétés Mi
sont toutes homéomorphes à K (et en particulier homéomorphes entre elles).
Pour tout i 2 N et pour tout k 2 f1; : : : ; mg, choisisons un lacet non trivial kisur
T2 f0g Ck dont l’image par fki borde un disque dans Wki.
A¢ rmation 2 : 0 6= ;.
Preuve : Supposons par contradiction que 0 = ; (et donc Z= ;). Comme l’entre-
lacs a été supposé non vide, on a déjà que 1= 6= ;. Comme la distance entre pi et 1 devient in…nie, quitte à eliminer un nombre …ni d’indices, on peut supposer
que les composantes de 1sont contenues dans le complementaire de Mi. De plus, le
lemme (5.2.1) assure que les variétés Mi doivent être homeomorphes à un tore solide
ou être contenues dans une boule de M .
Comme Z = ;, l’interieur du compact K est une variété hyperbolique et les
variétés Miconvergent au sens bilipschitz vers K. En particulier, les variétés Mi sont
homeomorphes à K et donc elles ne peuvent pas être homeomorphes à un tore solide. Alors les variétés Mi sont contenues dans une boule de M .
Comme précédament, on peut choisir une suite de représentations d’holonomie
i : 1Mi ! P SL2(C) pour les structures hyperboliques induites sur l’intérieur des
variétés Miet une représentation d’holonomie ' pour la structure hyperbolique induite
sur l’intérieur de K de façon à ce que
i (fi) ! ' , (5.6)
où fi : K ! Mi sont des homeomorphismes provenantes de la convergence bilip-
schitz de la suite Mi vers K.
Par construction, il y a un lace dans K telle que ' ([ ]) est un élément non trivial de P SL2(C) (par exemple on a les éléments associés aux bouts cuspidaux dont l’image
par ' est un élément parabolique). Si les variétés Mi sont contenues dans des boules
de M , alors
pour tout i 2 N. Cela est une contradiction avec le choix de . Donc 0 ne peut pas
être vide.
Comme la distance entre pi et 1 devient in…nie, quitte à eliminer un nombre
…ni d’indices, on peut supposer que les composantes de 1 sont contenues dans le complementaire de Mi. De plus, l’a¢ rmation précédent uni au lemme (5.2.1) assure
que les composantes de Mi Mi qui contiennent une composante j de 1 sont des
tores solides de l’âme j et que deux composantes distinctes n’appartiennent pas à la
même composante de Mi Mi.
Comme 1 a un nombre …ni d’éléments et que les variétés Mi sont toutes ho-
méomorphes à K, quitte a extraire une sous-suite, on a une application injectif qui associe à chaque composante j de 1, une composante Ckj de Z, c’est-à-dire, j est
contenue dans la composante Wkji de Mi Mi, pour tout i 2 N.
Rappelons que toute composante connexe j de 1 satisfait (par dé…nition)
lim
i2NdMi(pi; j) = 1. Comme les tores Tkji= @Wkji restent à distance …nie des points
pi et sont parallèles à j , on a forcément que lim
i!1Ri( j) = 1.
A¢ rmation 3 : Les angles coniques des composantes de 1 convergent vers zéro ou 2 .
Preuve :En fait, la dé…nition des structures coniques hyperboliques implique que
kji fkji kji = kji fkji kji
est une rotation d’angle kji. Alors
tr2 kji fkji kji = e i: kj i 2 + e i: kj i 2 2 = ei: kj i+ e i: kj i+ 2 = 2: cosh i: kji + 2 = 2 cos kji + 2 .
Comme 'kj kji 2 P SL2(C) sont des éléments paraboliques non triviaux (et
donc tr2 'kj kji = 4), la convergence (5.5) implique que la limite de kj i doit être
0 ou 2 . De plus, si la limite est 2 , la longueur de jdevient zéro, car lim
i!1Ri( j) = 1
et le volume de la suite est uniformement majoré.
Le comportement des composantes de Mi Mi qui contiennent les composantes
de 1 (si elles existent) est donc bien compris. Supposons que Mi Mi a aussi des
Notons le sous-ensemble de f1; : : : ; mg qui contient les indices qui ne sont pas associés aux composantes de 1. Pour tout k 2 , les disques bordés par fki ki
sont contenus dans Wki M et donc
ki (fki) ( ki) = ki(fki ki) = 1P SL2(C), (5.7)
pour tout i 2 N.
Fixons k 2 abitraire. Comme, pour tout i 2 N, l’élément 'k( ki) 2 P SL2(C)
est parabolique (non trivial), on peut supposer que les classes d’homotopie des courbes
kidans 1Ckt Z Z sont toutes distinctes. Sinon il existai une sous-suite de courbes kis dans la même classe d’homotopie et la convergence (5.5) donnerait que
' ( 1is) = 1P SL2(C),
ce qui est impossible. Appliquons la même construction pour tous les indices k 2 . A¢ rmation 4 :Etant donné k 2 , il existe i02 N tel que, pour tout i > i0, le tore
solide Wki contient une géodésique simple fermée ki.
Preuve :Fixons k 2 et notons
=
infnrZ Z
inj (z) ; z 2 Ck1
o
2 > 0.
Comme les applications fkijC
k1
: Ck1 ! Bki deviennent de plus en plus proches d’une
isométrie, il existe i12 N tel que
rMi
inj(q) > ,
pour tout i > i1 et pour tout q 2 Bki (en particulier, pour tout q 2 Tki).
Assertion 1 : Il existe i0 > i1 tel que, pour tout i > i0, il existe un lacet ki dans
Wki tel que ki est homotopiquement non trivial dans l’intérieur de M et leur
longueur est plus petite que .
Preuve de l’assertion 1 : Considérons les lacets composés par deux segments géo- désiques de mêmes extrémités, de même longueurs plus petite que 2. On remarque que ces lacets sont toujours homotopiquement non triviaux car sinon on obtien, après développement, deux arcs géodésiques distincts avec les mêmes extrémités dans H3,
ce qui n’est pas possible.
Dire que Wki n’admet pas ce type de lacet dans sont intérieur signi…e que tous les
car le volume des variétés Mi est uniformement majoré et que, par hypothèse, le
diamètre des composantes Wki devient in…ni.
Fixons i > i0 et soit Wki un lacet avec les propriétés données par l’assertion
(1). D’après [Koj] (lemme 1.2.4), le lacet est librement homotope (dans M ) à une géodésique fermée ki M . De plus, la longueur de ki est plus petite que
car la longueur des lacets le long de cette homotopie est strictement décroissante. Une fois que les points du tore Tki ont rayon d’injecivité plus grand que , l’images de ces
homotopies doit être entièrement contenue dans les intérieus de Wki. En particulier, ki Wki.
Si ki n’est pas simple, alors elle donne origine à un lacet 0 composé par deux
segments géodésiques de mêmes extrémités et de même longueurs plus petite que 4. Notons que ceci implique que le rayon d’injectivité des extrémités de 0 est plus petite que 4. On peut appliquer la même contruction pour le lacet 0 de façon à obtenir une nouvelle géodésique fermée ki Wkidont la longueur est plus petite que 4. Comme le
rayon d’injéctivite des points de Wki ont une borné inférieure (compacité), ce procédé
doit …nir après un nombre …ni d’étapes et donc on peut supposer que ki est simple.
Quitte à retirer un nombre …ni d’éléments de la suite, l’a¢ rmation (3) permet de supposer que, pour tout i 2 N et pour tout k 2 , il existe une géodésique fermée ki
dans le tore solide Wki.
Pour tout i 2 N, on peut voir le type topologique des variétes hyperboliques co-
niques Mi comme M; [ S
k2
ki , où les angles coniques sur les géodésiques ki sont
égaux à 2 . D’après la proposition (5.2.1), les tores Tki sont parallèls aux géodésiques
ki. De plus, M [
m
S
k=1
ki admet une structure hyperbolique complete (voir
[Koj2]) qu’on va denoter par Mcomp.
Pour tout i 2 N et pour tout k 2 , notons (pki; qki) 2 Z Z t 1Ck, la classe
d’homotopie du lacet ik Ck. Quitte à éliminer un nombre …ni d’indices, le Théorème
de Chirurgie Hyperbolique de Thurston (théorème 2.3.17) donne une suite de variétés hyperboliques (complètes) M (pi1; qi1; : : : ; pim; qim) di¤éomorphes à M et telles
que
Vi:= V ol (M (p1i; q1i; : : : ; pmi; qmi)) < V ol (Mcomp) , (5.8)
où (pki; qki) = 1, pour tout i 2 N et pour tout k 2 f1; : : : ; mg .
Comme, pour chaque k 2 , les paires (pki; qki)i2N sont distinctes (parce que les
que lim s!1k(pkis; qkis)k = lims!1(pkis) 2 + (qkis) 2 = 1 ; pour tout k 2
existe toujours. D’après le Théorème de Chirurgie Hyperbolique on a lim
s!1Vis = V ol (Mcomp) . (5.9)
Rappelons que le volume riemannien d’une variété hyperbolique est un invariant topologique (théorème de Mostow 2.3.5). Comme les variétés M (pi1; qi1; : : : ; pim; qim)
sont di¤éomorphes entre elles, la suite des volumes Vi est constante. Ceci contredit les
assertions 5.8 et 5.9. D’où Mi Mi ne peut pas avoir de composantes non singulières,
ce qui implique que 16= ; et que la correspondence entre les composantes de 1 et de Z est une bijection.
Corollaire 5.3.5 Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et qu’elle véri…e
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
S’il existe " 2 (0; ) tel que les angles coniques ij appartiennent tous à ("; 2 "),
alors il existe une suite de points pik 2 M tel que la suite (Mik; pik) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0) compact
et de dimension 3 (donc homéomorphe à M ). De plus, il existe un compact Z Z qui
est une union …ni de quasigéodésiques de Z tel que Z Z est une variété hyperbolique
non complète de volume …ni.
Comme conséquequence de la démonstration du théorème (5.3.4), on a le critère de compacité suivant :
Corollaire 5.3.6 Supposons que
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1
et qu’il existe une suite de points pi 2 M telle que inf
n rMi
inj(pi) ; i 2 N
o
> 0 et la suite pointée (Mi; pi) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace
d’Alexandrov pointé (Z; z0) (de dimension 3). Alors :
i. Si l 2, Z est compact si et seulement si
sup fdiamMi( ) ; i 2 Ng < 1,
ii. Si l = 1, Z est compact si et seulement si
Le prochain résultat démontre qu’on peut obtenir une conclusion plus fort quand les angles coniques sont tous plus petits ou égaux à . On remarque que le résultat est vrai sans hypothèses aditionelles sur la suite Mi (voir [Koj] et [BoP]), mais la
démonstration utilise des outils beaucoup plus sophistiqués.
Proposition 5.3.7 Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et qu’elle véri…e
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Si les angles coniques ij sont tous plus petits au égaux à , alors il existe une suite de
points pik 2 M tel que la suite (Mik; pik) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers une variété hyperbolique coniques de dimension 3 dont les angles coniques sont les limites des angles coniques de Mi. De plus, toute composante j de dont
les angles coniques ij convergent vers zéro correspondent à un cusp parabolique à la
limite. En particulier, la limite est compact si et seulement si inf f ij ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg > 0 .
Preuve.On utilise les notation de la démonstration du théorème précedent. D’après la proposition (2.3.15), il su¢ t de controler le rayon d’injectivité singulier des com- posantes de 0. Fixons une composante j de 0. Pour tout i 2 N, prenons i un
segment géodésique de longueur minimimal parmi tous les segments géodésiques de Mi ayant une extrémité sur j, l’autre sur 0 et non contenus dans j. Alors i in-
tersecte 0 orthogonalement et sa longueur est égale à 2Ri( j). Notons qi le millieu
de i. Quitte a extraire une sous-suite (proposition (2.2.25)), on peut supposer que
la suite (Mi; qi) converge encore vers un espace d’Alexandrov de dimension 3 (en fait
c’est l’espace d’Alexandrov Z avec un nouveau point base).
Fixons i 2 N. Commes les angles coniques sont tous plus petits ou égaux à , on peut developper la variété Mi dans une région R entre deux plans avec une perpendi-
cullier commune et ayant distante LMi( i) un de l’autre. La même preuve donne dans
lemme (5.3.1) permet d’obtenir que inf i2N Ri= inf i2N LMi( i) 2 > 0 .
La dernier assertion est une conséquence du lemme (5.3.1) et du théorème précé- dent.
Corollaire 5.3.8 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orien- table, irréductible, et un noeud plongé dans M . On suppose qu’il existe une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ), d’angles coniques
i 2 (0; 2 ]. Alors la suite i converge vers zéro si et seulement si :
i: sup fLMi( ) ; i 2 N g < 1,
ii: sup fdiam (Mi) ; i 2 N g = 1,
iii: la suite Mi ne s’e¤ ondre pas.
Remarque 5.3.9 Sous les hypothèses du corollaire précédent et dans le cas où i
converge vers zéro, il existe une suite de points pik 2 M telle que la suite (Mik; pik)
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers M muni de la structure hyper- bolique complète.
Preuve. Supposons que la suite i converge vers zéro. Sans perte de généralité