5.4 La suite M i s’e¤ondre
5.4.1 Cas où la limite a dimension 2
Théorème 5.4.3 (e¤ondrement - dimension 2) Supposons que sup fRi( 1) ; i 2 Ng <
1 et qu’il existe p 2 1 tel que la suite (Mi; p) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0) de dimension 2. Si
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
i. M est …brée de Seifert,
ii. si @Z 6= ;, alors @Z a seulement une composante connexe et M est un espace lenticulaire,
iii. si Z n’est pas compact, alors lim
i2NRi( j) = 1, pour toute composante j de 1.
Preuve. D’après la proposition (2.2.5), Z est une variété topologique de dimen- sion 2, peut-être avec bord. On peut décrire le bord de Z comme @Z = F
k2
@Zk, où
@Zk sont les composantes connexes de @Z. Notons que chaque composante @Zk est
homéomorphe à un cercle ou à une droite.
On peut (lemme ) déformer la métrique des variétés hyperboliques coniques Mi
sur des voisinages métriques de de plus en plus petits de façon à obtenir une suite de variétés riemanniennes complètes Ni (homéomorphes à M ), à courbure sectionnelle
plus grande ou égale à 1 (voir lemme 5.2.7). De plus, on peut supposer (lemme 5.2.3) que
dHG((Mi; p) ; (Ni; p))
1 i,
pour tout i 2 N. Cette dernière a¢ rmation revient à dire que (Ni; p) converge encore
(au sens de Hausdor¤-Gromov pointé) vers (Z; z0).
On sépare la démonstration en deux cas selon la compacité de Z : 1ere cas : Z est compact.
Les assertions découlent directement des résultats de Shioya et Yamaguchi dans [SY]. Si Z n’a pas de bord, le théorème 0.2 de [SY] s’applique à la suite Ni et M est
…brée de Seifert. Si Z a du bord, le corollaire 0.4 [SY] de s’applique a la suite Ni et
alors M admet une decomposition en somme connexe non triviale, lorsque Z véri…e une des conditions suivantes :
Z a genre non nul
Z a au moins 2 composantes de bord Z admet au moins deux points coniques
Comme M a eté supposée irréductible, ce type de décompostion en somme connexe (non triviale) ne peut pas arriver d’où Z est homéomorphe à un disque fermée avec au plus un point conique dans sont intérieur. D’après le théorème 0.3 de [SY], M est un espace lenticulaire , et donc …bré de Seifert.
Comme indiqué dans l’introduction (5.10),
sup fRi( j) ; i 2 N et j 2 J0g < 1
et donc il existe R > 0 tel que
BMi( j; Ri( j)) BMi p;
R 10 pour tout i 2 N et pour toute composante j 0.
Considérons K une 2-sous-variété compacte et connexe de Z qui contient la boule BZ(z0; R) (et donc Z) et telle que @K est une union disjointe de cercles et que Z K
est une union disjointe de composantes de diamètre in…ni.
Notons = fk 2 ; @Zk\ K 6= ;g. Si @Z 6= ;, on suppose de plus que :
6= ;, c’est-à-dire K \ @Z 6= ;,
@Zk\ K = @Zk, pour tout k 2 tel que la composante @Zk est compacte,
@Zk\ K est connexe, pour tout k 2 .
Notons, pour tout k 2 , @Kk la (seule par construction) composante connexe de
@K tel que @Zk\ @Kk6= ;. On peut décrire le bord de K comme
@K = F
k2
@Kkt F
m2
@Km ,
où @Km sont les composantes de @K qui ne touchent pas le bord de Z.
Comme Z K, on remarque que, pour tout k 2 tel que @Zk\ Z 6= ;, on a
par construction les propriétés : k 2 ,
@Zk\ Z int (@K \ @Zk).
Soit = (2) la constante donnée par le théorème de …bration (4.1.3). Comme K est compacte, la proposition (2.2.15) assure que les ensembles
C = fz 2 K @Z ; L (TzZ) 2 g
Ck= fz 2 @Zk\ K ; L (TzZ) g @Kk (k 2 )
des -points coniques de K et @Kk sont …nis. On peut toujours augmenter K si né-
cessaire de façon à ce que C soit contenu dans l’intérieur de K. Prenons s1 s2 > 0
tel que
BK[z; s1] est homéomorphe à D2, pour tout z 2 C,
BK[z; s1] \ BK[z0; s1] = ;, pour tout z; z0 2 C [ S k2 C k, Pour tout z 2 C [ S k2 C k et pour tout k 2 , on a Bk(@Kk; s2) \ BK(z; s1) 6= ; si et seulement si z 2 Ck.
Considérons le sous-ensemble compact Y de Z dé…ni par
Y = K S
z2C
BK(z; s1) F k2
Uk R (Z) \ K ,
où Z est l’ensemble des points -réguliers de Z et, pour tout k 2 , Uk = BK(@Zk; s2) [ S
z2Ck
BK(z; s1) .
Alors, on peut décrire le bord de Y comme
@Y = F k2 @Ykt F z2C @Yzt F m2 @Km
Fig. 5.3 –Compact K et points -coniques de C et Ck
Comme Y est compact, la proposition (2.2.15) implique qu’il existe > 0 tel que
str:rad (Y ) .
Etant donné R0 > 0 tel que K BZ[z0; R0], notons B = BZ[z0; 100R0]. Comme
(Ni; p) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers (Z; z0), on peut supposer
que
"i:= dHG BNi p; 100R0 ; B < "o ,
pour tout i 2 N. En fait, par dé…nition de la convergence de Hausdor¤-Gromov pointé, la suite "i converge aussi vers zéro.
Le théorème de …bration (4.1.3) appliqué au compact Y donne une suite Nide sous-
variétés de M compactes, connexes et de dimension 3, une suite i > 0 convergeant
vers zéro et une suite de i-approximations pi : Ni ! Y qui induisent sur Ni une
structure de …bré localement trivial dont les …bres sont des sous-variétés compactes de dimension 1 (image reciproque des points de Y ) de Ni.
A¢ rmation 1 :Les …bres des projections pi sont des cercles.
Preuve :L’unique possibilité à éliminer est celle d’une …bration par intervalles fermés. Mais dans ce cas-là, les …bres devraient relier des composantes du bord des Ni. Ceci
n’est pas possible, par exemple, pour les …bres au-dessus d’un point y à l’intérieur de Y , car leurs longueurs deviennent arbitrairement proches de zéro et leurs distances au bord de Ni ont une borne inférieure positive et uniforme.
Comme conséquence de l’a¢ rmation ci-dessus, @Ni =pi1(@Y ). De plus, comme
M est orientable, les composantes du bord de Ni sont des tores. On veut maintenant,
comprendre les composantes de Ni Ni.
A¢ rmation 2 :Soit C une composante de @Y et Ti les composantes de @Ni qui lui
sont associées (c’est-à-dire Ti =pi 1(C)). Alors les composantes Bi de Ni int (Ni)
tels que @Bi = Ti convergent au sens de Hausdor¤ -Gromov vers la composante B de
Z int (Y ) tel que @B = C.
Preuve :Cette a¢ rmation est une conséquence des dé…nitions de la convergence au sens de Hausdor¤-Gromov et des espaces de longueur.
Soit une suite de points bi 2 Bi qui converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers un
point z 2 Z. Supposons que z =2 B. 1ercas : z 2 Y C
En utilisant les …bres au dessus du point z, on peut trouver une suite de points ni2 int (Ni) convergeant (au sens de Hausdor¤-Gromov) vers z et telle que
Fig. 5.4 –Région Bi converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers la région B
La dé…nition de la convergence au sens de Hausdor¤-Gromov implique que lim
i!1dNi(ni; bi) = 0.
Cependant, ceci ne peut pas arriver car, pour tout i 2 N, on a dNi(ni; bi) dNi(ni; Ti) I.
2èmecas :z 2 B0, où B0 est une composante de Z int (Y ) di¤erente de B
Notons C0 = @B0 et I = inf fdNi(bi; Ti) ; i 2 Ng et . Comme dZ(z; C) > 0, on a
I > 0.
Supposons que I dZ(z; C0). Quite a extraire une sous-suite, il existe une suite
de points ti 2 Ti convergeant vers un point z0 2 C (car la suite Ti converge au sens de
Hausdor¤-Gromov vers C) et telle que, pour tout i 2 N, dNi(ti; bi) I +
1 i.
Il découle de l’inégalité ci-dessus que z0 2 BZ[z; I] B0. Ceci est une contradiction
car dZ(B0; C) > 0. Alors I > dZ(z; C0).
Notons d = dZ(z; C0) et soient un point z002 C0\ BZ(z; d) et une suite
si2 Ti0=pi 1(C)
convergeant vers le point z00. Comme BNi(bi; d) converge (au sens de Hausdor¤-
Gromov) vers BZ(z; d) et, pour tout i 2 N, BNi(bi; d) Bi, il existe une suite de
points b0i 2 Bi convergeant au sens de Hausdor¤-Gromov vers z00. Alors
lim
i!1dNi b 0
Ceci est une contradiction car, pour tout i 2 N, dNi b0i; si dNi Ti0; Ti
et il existe i0 2 N tel que inf fdNi(Ti0; Ti) ; i i0g > 0.
L’a¢ rmation ci-dessus montre que la bijection existant entre les composantes de bord de Z Y et celles de Ni Ni s’etend à une bijection sur les composantes de
Z Y et de Ni Ni. De plus, le diamètre des régions de Ni Ni associées à une région
B de Z Y est uniformement majoré si et seulement B est compact.
Par construction, les régions Ni contiennent le point p et ont un diamètre uni-
formement majoré. Comme lim
i2NdMi(p; j) = 1, pour toute composante j de 1,
quitte à extraire des sous-suites, on peut supposer que 1 Ni Ni, pour tout i 2 N.
En fait, 1 sera contenu dans l’union des composante de Ni Ni dont le diamètre
devient in…ni.
A¢ rmation 3 :Pour i su¢ samment grand, Ni Ni est une union disjointe de tores
solides.
Preuve :Les tores du bord de Ni Ni peuvent être séparés en 3 types distincts selon
les propriétes de la région de Z Y associées. Pour la démonstration, on distingue ces 3 types :
1er type : Les tores Tiz pi 1(@Yz) @Ni, z 2 C.
Pour ce cas-là, on utilise le raisonnement que Shioya et Yamaguchi ont donné dans la preuve du théorème 0.2 de [SY]. En utilisant un rééchelonnement de la métrique par raport à la longueur de la …bre et le théorème de stabilité de Perelman, ils véri…ent que les régions Biz de Ni Ni bordés par les tores Tiz sont des tores solides qui se
recollent sur les bords de Ni sans tuer la …bre.
2eme type : Les tores Tik pi1(@Yk) @Ni, k 2 .
Fixons k 2 et notons @Yk la (seule) composante de @Y qui touche Uk. On peut
decomposer @Yk en deux arcs simples et de mêmes extrémités, disons P et Q, et
tels que est contenu dans Uk et l’interieur de est contenu dans Z Uk. Notons
que, si @Zk= @Kk, alors = @Yk et = P = Q est dégéneré. Notons Bik les régions
de Ni Ni bordés par les tores Tik.
On utilise de nouveau les constructions de Shioya et Yamaguchi. Cette fois les arguments proviennent de la démonstration du théorème 0.3 de [SY]. Ils véri…ent
Fig. 5.5 –@Y touche le voisinage Uk de @Zk
avec les mêmes techniques qu’on peut choisir dans les régions Bk
i des sous-régions
Bik qui convergent au sens de Hausdor¤-Gromov vers les voisinages Uk de et sont
homéomorphes à D2. De plus, il véri…ent aussi que le bord des régions Bik se recollent sur le bord de Ni de façon à tuer la …bre. Plus précisément, pour tout z 2 ,
le sous ensemble fzg @D2 est une …bre de la …bration de Seifert sur le bord de Ni.
Notons que, si @Zk = @Kk, cette construction implique que les régions Bik et Bik
coïncident et sont automatiquement homéomorphes à un tore solide.
Supposons maintenant que @Zk 6= @Kk (et donc que n’est pas dégénéré). Les
…brations induites par les projectionspi donnent des anneaux plongés dans Ni au
dessus de . Ces anneaux, avec les disques DPi et DiQ qui, d’après [SY], se recollent respectivement sur les …bres pi 1(P ) et pi 1(Q), deviennent des sphère Si plongées
dans Ni . Ces sphères Si séparent Ni et 0 est, par construction, contenu d’un
côté. De l’autre côté on a des régions Bik contenues dans les régions Bik et tels que Bik= Bik t int DPi t int DQi t Bik .
Comme, pour tout i 2 N, Ni est irréductible, ces sphères Si doivent border des
boules dans Ni . De plus, comme 0 6= ; par hypothèse, on a forcément que les
régions Bik sont homéomorphes à des boules et que Bik \ = ;. Alors les régions Bik sont homéomorphes à des tores solides contenus dans M .
On remarque que la démonstration ci-dessus véri…e aussi que l’existence d’une
composante non compacte dans le bord de Z implique que 1 = ;. Ceci car Z Y
a une seule composante non borné qui est limite (au sens de Hausdor¤-Gromov) des boules Bik M . Pour distinguer ce résultat on énonce :
Fig. 5.6 –région Bik qu’aproche la région Uk
Corollaire 5.4.4 Supposons que 06= ; et qu’il existe p 2 0 tel que la suite (Mi; p)
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0) de dimension 2. Si
sup fLMi( j) ; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
et @Z a une composante non compacte, alors 1= ;. 3eme type : Les tores Tim pi 1(@Km) @Ni, m 2 .
Fixons m et notons Bim les régions de Ni Ni bordés par les tores Tim. Comme
on a vu dans le paragraphe avant cette a¢ rmation, ces régions peuvent contenir des composantes de 1. Comme BZ(z0; 10R) K et, pour toute composantes connexe
j 0, BMi( j; Ri( j)) BMi(pi; R), les tores T
m
i ne peuvent pas être paralleles
a une composante de 0 ( 0 6= ; par hypothèse). Si Bmi \ 1 6= ;, alors le lemme
(5.2.1) permet d’a…rmer que les régions Bim sont des tores solides qui ne contiennent qu’une seule composante j de 1. De plus, les tores Tim sont paralleles à j. On
remarque que, comme les tores Tim restent à distance …ni de p et lim
i2NdMi(p; j) = 1,
on a forcément que lim
i2NRi( j) = 1, ce qui véri…e l’assertion (iii) du théorème.
Il reste à comprendre les régions Bm
i qui ne contiennent pas une composante de 1dans sont intérieur. D’après la lemme (5.2.1), les régions Bim sont homéomorphes
à un tore solide (type I) ou à un exterieur d’un noeud dans S3 (type II). De plus, si les régions Bim sont de type II, les tores Tim doivent être contenus dans une boule de Ni. En utilisant le lemme (5.2.2), on peut toujours remplacer les composantes de type
II par des tores solides sans changer le type topologique de Ni. On peut donc, sans
perte de généralité, supposer que toutes les composantes Bm
i des tores solides.
Les tores solides de Ni Ni peuvent se recoller sur le bord de Ni de deux façons
distinctes. Soit en tuant les …bres (de la …bration de Seifert) sur la composante du bord, c’est-à-dire, le bord des disques méridiens se recollent sur les …bres de @Ni, soit
en ne tuant pas les …bres. Notons Wi, la variéte obtenue par l’union de Ni avec toutes
les composantes de Ni Ni qui ne tuent pas les …bres. La …bration de Seifert sur Ni
(de base Y ) s’étend de façon naturelle en une …bration de Seifert sur Wi dont l’espace
sous-jacent de la base est la surface topologique Y obtenue en recollant des disques sur les composantes du bord de Y associées aux composantes ajoutées à Ni.
Notons que, d’après la démonstration de l’a¢ rmation 3 (et avec les mêmes nota- tions), les tores Biz, z 2 C, sont contenus dans Wi et les tores Bik, k 2 , sont contenus
dans Ni Wi. Notons aussi que, si Wi = Ni (donc @Y = ; et @Z = ;), la variété Ni
(et donc M ) est …brée de Seifert, ce qui véri…e l’assertion (i).
On suppose à partir de maintenant que Wi 6= Ni (donc @Y 6= ; et @Wi 6= ;). S’il
existe un arc essentiel proprement plongé dans Y, alors les …brations induites audes- sus de donnent des anneaux essentiels proprement plongés dans Wi. Par construction,
toutes les composantes de Ni Wi sont des tores solides qui se recollent sur le bord
de Wi de façon à tuert la …bre (de la …bration de Seifert sur Wi). Alors, ces anneaux
deviennent des sphère essentielles dans Ni, ce qui est impossible à cause de l’iréducti-
bilité des variétés Ni. Donc Y a exactement une composante de bord, au plus un point
conique dans son intérieur et une caracteristique d’Euler non négative. Comme Y est compact, cela signi…e que Y est homéomorphe à un disque D2. En particulier, cela
implique que Z a au plus une composante de bord et au plus un point conique dans son intérieur. Sinon on peut augmenter K de façon à contenir plus d’un point conique dans son intérieur ou toucher plus d’une composante du bord de Z. Si l’on fait ça, Y aurait plus d’un point conique dans son intérieur ou plus d’une composante de bord. Pour …nir notons que Y homéomorphe à D2 implique que W
i est homéomorphe à un