Quand il n’y a pas de champ magn´etique, on peut se faire une id´ee assez simple de la mani`ere dont la viscosit´e agit sans avoir besoin de faire la d´erivation compl`ete. Consid´erons pour cela un milieu de densit´e constante, de vitesse moyenne dirig´ee selon une direction y et de module variant le long de x. La viscosit´e va tendre `a amortir ce gradient. Si on consid`ere que chaque particule transporte, entre deux collisions, les quantit´es physiques du milieu au lieu de sa derni`ere collision (le moment selon y en particulier), alors, en un temps de collision τ , les particules qui traversent une surface de normale l’axe x viennent en moyenne d’une distance ´egale `a leur libre parcours moyen l. Dans la limite o`u la vitesse varie peu sur cette ´echelle de distance (approximation des faibles gradients), on peut d´eduire la vitesse en ce point par un d´eveloppement limit´e autour de sa valeur sur la surface :
Vy(x0± l) = Vy(x0) ± l∂xVy (A.4)
Or, la moiti´e des particules qui sont `a une distance inf´erieure `a l `a gauche de la surface la tra- versent vers la droite en ce temps τ , cr´eant un flux de moment vers la droite 2τρl Vy0− l∂xVy
. Les autres s’en ´eloignent vers la gauche. Et de la mˆeme mani`ere, la moiti´e des particules de droite traversent la surface vers la gauche emportant le moment moyen de droite. Au bilan, le flux de moment ρVy le long de x est simplement la diff´erence des deux. La composante du
tenseur des contraintes et la force associ´ee s’´ecrivent alors :
Πxy = −η ∂xVy (A.5)
Fy = η ∂x2Vy (A.6)
o`u
η ∼ ρl2/τ (A.7)
est appel´e coefficient de viscosit´e dynamique. On voit que, `a libre parcours moyen donn´e, plus le taux de collision est ´elev´e (τ petit), plus la dissipation est efficace. On constate ´egalement que, `a taux de collisions donn´e, la viscosit´e est plus importante lorsque le libre parcours moyen est grand. En effet, les particules propagent entre deux collisions l’information sur le lieu de leur derni`ere collision. Lorsqu’elles collisionnent `a nouveau pour transmettre leur information, plus ces collisions sont ´eloign´ees les unes des autres, plus les particules transportent une quantit´e de mouvement diff´erente de la locale, et plus le flux de moment est important.
Tant que les particules peuvent se d´eplacer librement entre deux collisions (tant qu’il n’y a pas de champ magn´etique donc), on peut relier libre parcours moyen et temps de collision par la temp´erature :
l/τ = vth =
r kBT
m (A.8)
si bien que l’on peu finalement ´ecrire la viscosit´e comme une fonction de la temp´erature :
η ∼ nkBT τ (A.9)
Si maintenant, on s’int´eresse au cas plus g´en´eral ou la densit´e n’est pas uniforme et la vitesse poss`ede une direction et un gradient quelconque, alors, l’expression de la viscosit´e est plus compliqu´ee : Πi,j = −η0 ∂jvi+ ∂ivj −2 3δi,j∇.~v~ (A.10) ~ Fη = η0 ∇2~v +1 3∇(~~ ∇.~v) (A.11)
A.2 Viscosit´e des gaz non magn´etis´es 167
o`u
η0 = .96nkBT τ (A.12)
Pour ´ecrire la force et faire apparaˆıtre la force visqueuse sous la forme qu’on lui connaˆıt habituellement dans l’´equation de Navier-Stockes, nous avons suppos´e que le coefficient η0
´etait constant. Le premier terme de cette force correspond aux termes hors-diagonal du tenseur, c’est-`a-dire `a une force r´esultant du cisaillement du flot et s’y opposant. C’est le terme le plus important dans la plupart des situations physiques. Le deuxi`eme terme correspond aux termes diagonaux du tenseur. C’est une force due `a une compression du fluide. Les ´ecoulements classiques sont tr`es fr´equemment incompressibles ou faiblement compressibles, si bien que cette viscosit´e de compression est le plus souvent n´eglig´ee devant la viscosit´e de cisaillement.
La relation A.11 d´etermine la mani`ere dont la viscosit´e peut agir. La relation A.12 pr´ecise son intensit´e. Celle-ci d´epend de la nature exacte des collisions par le temps de collision. Aux autres grandeurs thermodynamiques fix´ees et tant que le temps de collision ne d´epend pas de la temp´erature comme τ ∝ T−1, la viscosit´e augmente avec la temp´erature. Dans ce cas, c’est l’effet spatial qui l’emporte dans la relation A.7 : moins il y a de collisions, plus le milieu est visqueux. Ce r´esultat est surprenant car il est contraire aux propri´et´es des fluides usuels comme l’eau dont la viscosit´e diminue beaucoup avec la temp´erature.
Or, nous allons voir qu’effectivement, dans tous les cas qui peuvent nous int´eresser, τ croˆıt avec la temp´erature. De mani`ere g´en´erale, le temps de collision est d´efini comme le temps n´ecessaire `a modifier significativement l’impulsion d’une particule. Il est reli´e `a la section efficace d’interaction σv par la relation :
τ−1 = n Z
f (v)σvvdv (A.13)
o`u n est la densit´e des particules avec qui celle consid´er´ee peut interagir et f (v) la fonction de distribution en vitesse. Regardons maintenant deux situations int´eressantes : celui d’un gaz neutre et celui d’un plasma.
A.2.1 Gaz neutre
Dans le cas d’un gaz parfait : atomique et neutre, les interactions consistent en des col- lisions de type sph`eres dures. Chaque choc entre particule est alors une collision, quelle que soit la vitesse des particules. La section efficace est donc ind´ependante de la vitesse et le temps de collision est exactement le temps entre deux chocs, temps qui se d´eduit facilement de la densit´e num´erique du milieu et de la vitesse thermique des particules qui y circulent :
τparfait∝ (nvth)−1∝ n−1T−1/2 (A.14)
La viscosit´e d’un gaz parfait est donc simplement :
ηparfait∝ T1/2 (A.15)
le facteur de proportionnalit´e est uniquement fonction des constantes universelles et la vis- cosit´e ne d´epend que de la temp´erature. On voit que mˆeme pour un gaz parfait, la notion de viscosit´e surprend le sens commun. Contrairement au fluides mol´eculaires dont les inter- actions sont beaucoup plus complexes (Wan der Walls...), un gaz parfait est d’autant plus visqueux que sa temp´erature est ´elev´ee.
A.2.2 Plasma non magn´etis´e
Dans le cas d’un gaz ionis´e, les interactions sont les forces ´electrostatiques entre particules. Le temps de collision est le temps pour que des interactions avec plusieurs autres particules d´evient significativement la trajectoire de l’une d’entre elles. Contrairement aux collisions de type sph`eres dures, la section efficace de ces collisions coulombiennes d´epend de la vitesse relative des particules. Si deux particules charg´ees se croisent trop rapidement, elles n’ont pas le temps d’interagir. La section efficace des interactions de type Coulomb varie comme :
σv ∝ v−4 (A.16)
L’int´egration de la relation A.13 donne le temps de collisions pour les ions (Spitzer 1962) : τi =
3√mi
4√πλZi4e4
(kBT )3/2
n (A.17)
o`u miest la masse des ions constituant le plasma, Zie est la charge des ions, T la temp´erature
du plasma et λ le logarithme Coulombien. Finalement, la viscosit´e suit la relation que nous utilisons dans la suite de ce chapitre :
η = .96 3√mi 4√πλZ4
ie4
(kBT )5/2 (A.18)
On retrouve le mˆeme genre de comportement qu’avec les gaz neutres mais cette fois, la d´ependance en temp´erature est plus grande. Au vu de ce comportement, on peut d´ej`a an- ticiper que la phase chaude `a 8 keV peut ˆetre tr`es visqueuse. Cependant l’observation des nombreux filaments non thermiques semble indiquer la pr´esence d’un champ magn´etique `a grande ´echelle, ce qui complique notablement les choses.