De mani`ere plus g´en´erale, si on veut aussi garder le potentiel ´electrostatique Φ = Φ0+ φ1
qui peut apparaˆıtre dans certains m´ecanismes cin´etiques comme l’effet Landau par exemple, il faut r´e´ecrire les ´equations de la MHD avec le champ ´electrique et la densit´e de charge ρq = ρq,0 + ρq,1. Finalement, apr`es exactement le mˆeme travail, la densit´e de Lagrangien
suivante est obtenue :
L = φ∗1h∇.~~ ∇φ1+ ρq,1(φ1, ~a1)
i
+ ~a∗1.h−~∇ × ~∇ × ~a1+ ~j1(φ1, ~a1)
i
(9.57) A partir de maintenant, nous omettrons les indices 1 pour les perturbations.
9.4.3 Forme cin´etique
En fluide, les quantit´es ~j(~a) et ρq(φ) sont exprim´ees `a l’aide de l’´equation d’Euler. La
transposition ´evidente est de prendre le mˆeme Lagrangien, mais d’exprimer ces deux quantit´es `
a l’aide de l’´equation de Vlasov. Plus pr´ecis´ement, l’information n´ecessaire est contenue dans la fonction de distribution perturb´ee f des ions et des ´electrons :
ρq(φ, ~a) = X i,e Z f (φ, ~a)d3v (9.58) ~j(φ,~a) = X i,e Z vf (φ, ~a)d3v (9.59)
Comme il a ´et´e vu dans la section 8.3.2 du chapitre pr´ec´edent, pour des champs ´electriques et magn´etiques donn´es, la fonction de distribution perturb´ee de chaque population est la solution de l’´equation de Vlasov lin´earis´ee :
∂t+ ~v.~∇ + ~Γ0.∂~v
f = −~γ.∂~vF0 (9.60)
o`u ~Γ0 regroupe l’ensemble des forces responsables de l’´etat d’´equilibre et ~γ = q/m(~e + ~v ×~b) regroupe l’ensemble des forces perturb´ees, ici uniquement les forces ´electromagn´etiques puis- qu’on n´eglige l’auto-gravit´e. La force perturb´ee ´etant proportionnelle aux potentiels per- turb´es, f l’est aussi et le Lagrangien peut bien donner une forme quadratique.
Finalement, en supposant qu’on a explicit´e la fonction de distribution perturb´ee en int´egrant l’´equation de Vlasov, on trouve la forme variationnelle suivante :
A = Z dt Z dx Z
dv h(φ + ~v.~a)∗f (φ, ~a) −|~∇φ|2+ |~∇ × ~a|2i (9.61) o`u l’int´egration porte sur les vitesses, en plus de porter sur le temps et les dimensions spatiales. Cette forme est bien une des formes pr´esent´ee dans Brizard (1994) et repr´esente bien une version plus g´en´erale de celle utilis´ee par Antonsen & Lane (1980). Tout le travail consiste maintenant `a trouver l’expression de la fonction de distribution perturb´ee et `a expliciter le terme :
9.5 Approche d´erive-cin´etique 153
9.5 Approche d´erive-cin´etique
On pourrait bien sˆur chercher `a r´esoudre exactement l’´equation de Vlasov pour des champs φ et ~a donn´es. Cette m´ethode introduit cependant une complexit´e inutile que repr´esente la description du mouvement cyclotron. Il est donc beaucoup plus simple de travailler sur la distribution des centres guides, d´ej`a introduite dans le chapitre pr´ec´edent (sec. 8.2.2).
Les ´equations correspondantes, dites gyrocin´etiques ou drift-cin´etiques ne sont pas nouvelles en physique des plasmas. Cependant, elles ont essentiellement ´et´e d´evelopp´ees pour des plasmas de laboratoire, principalement les tokamaks. Elles sont donc toujours ´ecrites pour des g´eom´etries tr`es sp´ecifiques. Quelques articles traitent certes des ´equations drift-cin´etiques dans des g´eom´etries plus g´en´erales, mais en se restreignant toujours `a des cas ´electrostatiques, c’est-`a-dire o`u le rˆole du champ magn´etique, autre que d’ˆetre responsable du mouvement cyclotron des particules, est n´egligeable devant le rˆole du champ ´electrique. Enfin, et surtout, les disques d’accr´etion auxquels on voudrait appliquer cette m´ethode poss`edent une vitesse d’´equilibre importante et qui d´epend de la position. Comme nous allons le voir, cette diff´erence entre les cas qui nous int´eressent et les cas ´etudi´es demande de toutes fa¸cons une d´erivation sp´ecifique des m´ethodes centre-guide adapt´ee aux disques d’accr´etion.
9.5.1 D´eveloppement drift-cin´etique Principe
L’id´ee de base de l’approche drift-cin´etique est tr`es li´ee `a l’approche centre guide pour les particules individuelles. Elle consiste `a consid´erer que le mouvement cyclotron se fait sur des ´echelles de temps tr`es courtes devant les ´echelles caract´eristiques du probl`eme et sur des ´echelles spatiales tr`es petites devant les longueurs typiques de variations des diff´erentes grandeurs4 :
∂t∼ ~v.~∇ << Ωc rL<< R (9.63)
Dans cette limite, le mouvement cyclotron peut ˆetre d´ecoupl´e des autres mouvements et on peut rep´erer les particules par leur centre guide. La fonction de distribution de l’approche drift-cin´etique ne repr´esente donc plus la distribution des particules individuelles, mais celle de leurs centres guides.
Dans le cadre des disques d’accr´etion, l’´echelle de temps caract´eristique est le temps dynamique de rotation du syst`eme autour de l’objet central. Il est des ordres de grandeur plus grand que le temps cyclotron. De mˆeme, les ´echelles caract´eristiques de longueur cor- respondent au rayon du disque et sont donc ´egalement des ordres de grandeur plus grandes que le rayon de Larmor des particules. L’approximation centre guide est donc parfaitement justifi´ee dans les disques d’accr´etion.
Bien que leur but n’ait pas ´et´e d’´etablir des ´equations drift-cin´etiques, mais de d´eriver une version plus compl`ete de la MHD, avec notamment un tenseur de pression anisotrope, l’id´ee de base d’un tel d´eveloppement provient de l’article certainement le plus cit´e en plasma, celui de Chew et al. (1956, CGL dans la suite). Le principe de cette m´ethode consiste `a d´evelopper la fonction de distribution par rapport aux petits param`etres d´eduits des variations spatiales et temporelles ∂t/Ωc ∼ rL/R << 1 :
F = F0+ F1+ F2+ ... (9.64)
4Deux types de d´eveloppement sont habituellement distingu´es : le d´eveloppement drift-cin´etique qui suppose
comme nous l’avons dit que les variations spatiales et temporelles sont lentes aux ´echelles cyclotron et le d´eveloppement gyrocin´etique qui autorise des variations spatiales importantes dans le direction transverse au champ magn´etique. Dans la suite, nous ne consid´ererons que l’approche drift-cin´etque.
Ces diff´erentes fonctions de distribution sont coupl´ees par les diff´erents ordres du d´evelop- pement de l’´equation de Vlasov. Supposons pour faire simple la population de particules dans un champ ´electromagn´etique donn´e. Supposons ´egalement que les autres forces regroup´ees sous le terme ~Γ1 sont d’ordre sup´erieur (nous verrons plus loin que c’est bien la cas). Alors,
ce d´eveloppement s’´ecrit formellement :
~ E + ~v × ~B.∂F0 ∂~v = 0 (9.65) ∂ ∂t + ~v.~∇ + ~Γ1. ∂ ∂~v F0+ q m ~ E + ~v × ~B.∂F1 ∂~v = 0 (9.66) ∂ ∂t + ~v.~∇ + ~Γ1 ∂ ∂~v F1+ q m ~ E + ~v × ~B.∂F2 ∂~v = 0 (9.67) ... = 0 (9.68)
Si de plus la distribution de particules peut influencer la valeur des champs ´electrique et magn´etique et qu’on ferme le syst`eme par les ´equations de Maxwell, alors, il faut ´egalement d´evelopper le champ ´electrique ~E = ~E0+ ~E1 et le champ magn´etique ~B = ~B0+ ~B1.
Ce syst`eme d’´equations permet de d´eterminer de mani`ere r´ecursive l’ensemble des per- turbations de la fonction de distribution et donc de reconstruire une fonction totale avec une pr´ecision en principe d’autant plus grande que l’ordre est ´elev´e5.
• L’ordre 0 de ce d´eveloppement traduit un milieu parfaitement constant dans le temps et uniforme dans l’espace. Ainsi, les champs ´electrique et magn´etique ´etant uniformes, le mouvement de chaque particule est la composition du mouvement cyclotron et d’un mouve- ment de d´erive li´e `a la force ´electrique (par hypoth`ese, les d´erives li´ees `a d’autres forces sont n´egligeables). Toutes les particules se d´eplacent avec la mˆeme vitesse de d´erive constante :
~vd=
~ E × ~B
B2 (9.69)
On peut r´e´ecrire la condition d’ordre 0 sur F0 de mani`ere `a faire apparaˆıtre la vitesse de
d´erive :
(~v − ~vd) × ~B.
∂F0
∂~v = 0 (9.70)
On voit que cette condition porte sur le mouvement cyclotron repr´esent´e ici par ~v⊥−~vd. Nous
en donnerons une interpr´etation dans quelques lignes.
Qu’en est il de l’application aux disques d’accr´etion ? Dans le cas des disques d’accr´etion, cette vitesse de d´erive est la vitesse de rotation autour de l’objet central. La pr´esence de la gravit´e est en effet associ´ee `a un champ ´electrique. Les deux sont indissociables, si bien qu’il est difficile de donner une interpr´etation en terme de cause/cons´equences. En raison de la quasi-neutralit´e, ce champ ´electrique ne joue aucun rˆole en MHD. En revanche, en cin´etique, il est formellement responsable du mouvement de d´erive des particules. De mani`ere globale, ce champ ´electrique n’est pas uniforme. Cependant, `a l’ordre 0 de ce d´eveloppement, ses variations spatiales sont n´eglig´ees, et toutes les particules se d´eplacent uniform´ement `a la vitesse locale de rotation :
~vd≈ rΩK~eθ (9.71)
• L’ordre 1 commence `a prendre en compte les variations temporelles et spatiales `a l’´echelle du mouvement cyclotron. A cet ordre, les gradients des diverses quantit´es peuvent commencer `
a jouer un rˆole. Afin de cr´eer une forme variationnelle qui puisse, outre apporter des propri´et´es
5En fait, il n’existe aucune garantie math´ematique que cette s´erie doive converger. Il s’agit d’un
d´eveloppement asymptotique, en g´en´eral divergeant, mais qui donne une tr`es bonne approximation tant que le param`etre suppos´e petit le reste effectivement.
9.5 Approche d´erive-cin´etique 155
cin´etiques, ˆetre capable de contenir les r´esultats d´ej`a obtenus en fluide pour les disques d’accr´etion, notamment la r´esonance de corotation, il est donc n´ecessaire d’aller jusqu’`a cet ordre du d´eveloppement. L’´equation correspondante est un peu plus compliqu´ee ; et il est beaucoup plus facile de l’appr´ehender dans un jeu de variables plus adapt´ees.
Les variables gyrocin´etiques
Les variables gyrocin´etiques forment un jeu de variables tr`es pratiques pour les approches de type centre guide. Elles ont principalement ´et´e d´evelopp´ees dans l’approche gyrocin´etique Rutherford & Frieman (1968), Catto (1978), Catto et al. (1981), mais la m´ethode drift- cin´etique ´etant tr`es similaire, elle adopte les mˆeme variables.
Dans le rep`ere se d´epla¸cant avec le centre guide, le mouvement des particules est une simple rotation autour des lignes de champ. Il peut donc ˆetre int´eressant de ne plus d´ecrire la vitesse perpendiculaire aux lignes de champ par ses deux composantes orthogonales, mais par son module et sa phase autour de la ligne de champ. Ce changement de variables correspond `
a une sorte de passage local de coordonn´ees cart´esiennes `a coordonn´ees polaires dans l’espace des vitesses perpendiculaires. C’est le principe de base du formalisme gyrocin´etique.
De mani`ere g´en´erale, plutˆot que d’utiliser directement comme variable le module de la vitesse perpendiculaire |v⊥|, on utilise souvent le moment magn´etique sp´ecifique6 : µ = v
2 ⊥
2B
de mani`ere `a faire apparaˆıtre cet invariant adiabatique. De mˆeme, la variable d’´energie : ǫ = 1 2v 2 k + q mΦE (9.72)
somme de l’´energie cin´etique parall`ele et de l’´energie potentielle ´electrostatique, remplace souvent la variable de vitesse parall`ele.
Le changement de variables utilis´e est finalement le suivant :
t → τ ; ~x → ~x′ ; ~v → (ǫ, µ, φ) (9.73) d´efini par t = τ ~x = ~x′ ~v⊥ = √2µB ~eφ vk = pǫ − q/mΦE (9.74)
o`u ~n est la direction du champ magn´etique, φ est la phase du mouvement cyclotron et ~eφ= cos φ~ex+ sin φ~ey est le vecteur tournant de l’espace des vitesse, associ´e `a ce mouvement.
9.5.2 Application aux disques
Pour m´emoire, le but de cette approche drift-cin´etique est de simplifier l’int´egration de l’´equation de Vlasov afin d’obtenir la fonction de distribution perturb´ee en fonction de champs magn´etiques et ´electriques donn´es, et de la r´e-injecter dans la forme variationnelle obtenue dans la partie pr´ec´edente. Il faut donc lin´eariser les ´equations drift-cin´etiques par rapport `a une petite perturbation. Deux d´eveloppements sont donc faits en parall`ele : un d´eveloppement perturbatif par rapport `a l’amplitude des champ perturb´es et un d´eveloppement drift-cin´etique par rapport aux variations temporelles et spatiales.
6Par rapport au moment magn´etique d´efini dans le chapitre 8.2.2, cette d´efinition ne fait plus apparaˆıtre
G´eom´etrie et nature des forces en pr´esence
Dans l’approche gyrocin´etique standard, la vitesse de d´erive est n´eglig´ee dans ce chan- gement de variables. La vitesse qui apparaˆıt dans l’expression du moment magn´etique est donc la vitesse perpendiculaire globale. Ce choix est habituellement justifi´e car les probl`emes consid´er´es sont souvent locaux si bien qu’on peut toujours se placer dans le rep`ere o`u le champ ´electrique est nul, c’est-`a-dire dans le rep`ere se d´epla¸cant avec la mˆeme vitesse de d´erive que les particules. Cependant, dans le cadre des disques d’accr´etion, la vitesse de d´erive correspond au mouvement de rotation autour du trou noir ou de l’´etoile `a neutrons, si bien qu’on ne peut pas trouver de rep`ere qui annule le champ ´electrique (et donc la vi- tesse de d´erive associ´ee) partout simultan´ement. En outre, si on suppose que la fr´equence de rotation k´epl´erienne est bien plus faible que la fr´equence cyclotron, le rayon de Larmor, lui, est bien plus petit que le rayon du disque, si bien qu’on ne peut pas assurer que la vitesse de d´erive soit n´egligeable devant la vitesse du mouvement cyclotron. Il faut donc effectuer une variante cruciale par rapport au d´eveloppement gyrocin´etique classique et introduire la vitesse de d´erive dans la d´efinition du moment magn´etique :
µ = (~v⊥− ~vd)
2
2B (9.75)
L’´etude avec une g´eom´etrie g´en´erale du champ magn´etique est en cours d’´elaboration. Un pas important peut d´ej`a ˆetre fait dans une g´eom´etrie simplifi´ee o`u le champ magn´etique d’´equilibre traversant le disque est purement vertical et uniforme. Ce dernier ne jouant donc aucun rˆole dans les variations du moment magn´etique, il est pour nous plus simple, du point de vue de l’´ecriture des ´equations, de travailler avec un moment r´eduit qui n’est plus finalement que l’´energie cin´etique perpendiculaire des particules :
µ = 1
2(~v⊥− ~vd)
2 (9.76)
De mˆeme, un des buts ´etant, in fine, de mettre en ´evidence la r´esonance du pompage magn´etique qui porte sur le mouvement des particules le long des lignes de champ, il est pr´ef´erable de garder la vitesse parall`ele comme variable.
Les particules du disque et de la couronne sont soumises `a deux types de forces de nature diff´erente. Elle sont d’une part soumises aux forces ´electromagn´etiques. Par hypoth`ese, ces forces sont dominantes dans le syst`eme `a l’ordre 0 du d´eveloppement drift-cin´etique. Elles sont responsables du mouvement de d´erive d’ordre 0 `a la vitesse ~v0d. C’est la vitesse de d´erive de l’´equilibre qui va d´eterminer le changement de variables. Lorsqu’on perturbe le syst`eme, les forces ´electromagn´etiques peuvent ´egalement poss´eder des contributions `a des ordres plus ´elev´es. Elles sont d’autre part soumises `a la force de gravit´e. Par hypoth`ese toujours, cette force est faible devant les forces ´electromagn´etique et n’apparaˆıt qu’`a l’ordre 1 du d´eveloppement drift-cin´etique. Du point de vue des notations, on regroupe la force de gravit´e et la force ´electrique d’ordre 1 dans le d´eveloppement drift-cin´etique dans le terme de force d’ordre 1 : ~Γ1. Afin de simplifier l’´ecriture des ´equations `a venir, on pose de plus :
~
V = ~vd+ vk~n (9.77)
~
G = ~Γ + ~V × ~Ω (9.78)
o`u ~G est regroupe les forces d´ecrites pr´ec´edemment et la force de Laplace pour le mouvement de d´erive.
On d´efinit donc finalement le changement de variable le plus adapt´e `a la situation par rapport `a la direction du champ magn´etique d’´equilibre, c’est-`a-dire la direction verticale,
9.5 Approche d´erive-cin´etique 157
selon l’axe du disque d’accr´etion : t = τ ~x = ~x′ ~v⊥ = ~vd+√2µ ~eφ vk = vk′ (9.79)
Ce changement de variables fait apparaˆıtre les d´eriv´ees suivantes : ∂t = ∂τ ~ ∇ = ~∇′− ~∇′(~vd) . ~w⊥ h ∂µ−×~n2µ∂φ i ∂vk = ∂v′k ∂~v⊥ = w~⊥h∂µ− ×~n2µ∂φ i (9.80)
o`u ~w⊥ = ~v⊥ − ~vd = √2µ~eφ est la vitesse du mouvement cyclotron et ~n est la direction
verticale. On remarque dans l’expression du gradient l’apparition d’un terme en ~∇~vd qui est
habituellement n´eglig´e, mais qui ici joue un rˆole important. Sauf mention contraire, dans la suite, nous travaillerons avec ce jeu de variables. Les ’ seront donc omis, et la variable de temps sera not´e t, sans risque de confusion avec les variables de d´epart.
Apr`es changement de variables, l’´equation de Vlasov se r´e´ecrit sous la forme suivante7 :
Ωk∂φF = h ∂t+ ~V .~∇ + Gk∂vk i F + ~w⊥. ~ ∇ +G − (~v~ d.~∇)~vd ∂µ+×~n 2µ∂φ + ~Ω × ~n∂vk F − ~w⊥. ~ ∇(~vd) ∂µ+×~n 2µ∂φ F . ~w⊥ (9.81)
Les termes ont ici ´et´e regroup´es de mani`ere `a faire explicitement apparaˆıtre les d´ependance en φ des op´erateurs appliqu´es `a F . L’op´erateur de premi`ere ligne est ind´ependant de φ. Il s’agit de la d´eriv´ee totale, le long des trajectoires des centres guides dans l’espace des phases :
DtF =
h
∂τ+ ~V .~∇′+ Gk∂vk
i
F (9.82)
Les termes des deuxi`eme et troisi`eme lignes d´ependent de la phase du mouvement cyclotron par ~w⊥, respectivement comme sin φ et sin 2φ.
Il faut maintenant d´evelopper cette ´equation dans les deux limites : les variations lentes et les faibles perturbations. Afin d’´eviter les ambigu¨ıt´es entre ces deux d´eveloppements, nous utiliserons la diff´erence majuscules/minuscules pour rep´erer l’´etat d’´equilibre et les pertur- bations ; et les indices 0 et 1 pour repr´esenter les deux premiers ordres du d´eveloppement drift-cin´etique.
L’´equilibre • Ordre 0 :
A l’ordre 0 du d´eveloppement, la force ~Γ0 se r´esume `a la force ´electrostatique, responsable de la d´erive, si bien que par construction :
~
G0⊥= ~Γ0⊥+ ~vd× Ω = 0 (9.83)
7On peut remarquer deux termes ´etranges au premier abord : un o`u apparaˆıt Ω
ket un autre en ~Ω ×~n. Tous
deux d´ependent directement du champ magn´etique. A priori, le premier donne Ω et le second s’annule. Ces r´esultats en sont vrai que lorsque le champ magn´etique est purement vertical. C’est bien sˆur le cas de l’´equilibre du disque. Cependant, lorsqu’on le perturbe, la direction du champ change et n’est plus parfaitement verticale. Cette formulation est en fait une anticipation pour simplifier l’appr´ehension de la perturbation.
Toutes les d´eriv´ees sont de plus n´eglig´ees et l’´equation de Vlasov se r´eduit tr`es simplement ` a : ∂ ∂φF 0 = 0 (9.84)
Ainsi F0 ne d´epend pas de la phase du mouvement cyclotron. On dit que F0 est gyrotrope. C’est l’interpr´etation de l’´equation 9.70 obtenue en variables (x,v). Finalement la fonction F0 est donc uniquement fonction de la vitesse parall`ele vk et du moment magn´etique µ.
• Ordre 1 :
C’est `a l’ordre 1 que commence `a apparaˆıtre la physique int´eressante. Le choix d’un ´equilibre laisse une certaine libert´e de manoeuvre. En correspondance avec les mod`eles fluides, on impose un ´equilibre stationnaire de sym´etrie cylindrique :
0 = ∂tF0 = ∂θF0 = ∂φF0 (9.85)
On impose ´egalement une vitesse purement k´epl´erienne. On peut donc consid´erer que la force ~Γ1 qui regroupe les forces non ´electromagn´etiques ne repr´esente ici que la gravit´e et qu’elle
v´erifie en particulier :
~Γ1⊥ = (~vd.~∇)~vd (9.86)
A l’ordre 1, on trouve donc l’´equation de Vlasov suivante :
Ω0∂φF1 = DtF0+ ~w⊥.~∇F0− ~w⊥.~∇(~vd). ~w⊥∂µF0 (9.87)
F0 ne d´ependant pas de la phase φ, cette ´equation contient des termes gyrotropes (regroup´es dans DtF0) et des termes non gyrotropes qui peuvent ˆetre ´etudi´es s´epar´ement. D’un cˆot´e,
l’´equation sur la partie gyrotrope donne une condition sur la distribution d’ordre 0 : DtF0=
∂τ + (~vD+ vk~n).~∇ + Γ1k∂vk
F0 = 0 (9.88)
A cet ordre, les gradients commencent `a ˆetre pris en compte : F0 peut varier dans le temps et
dans l’espace. Cette condition lui impose cependant d’ˆetre constante le long des trajectoires des centres guides. Avec les conditions impos´ees pour l’´equilibre, cette relation se r´eduit en fait simplement `a une ´equation gouvernant la structure verticale :
vk∂k+ Γ1k∂vk
F0 = 0 (9.89)
De l’autre cˆot´e, la partie non gyroptrope de l’´equation peut ˆetre int´egr´ee sur le mouvement cyclotron. On trouve alors la fonction d’ordre 1 dans le d´eveloppement gyrocin´etique :
ΩcF1= Ωc[F1] + ~w⊥.~n × ~∇F0−
Z
dφ ~w⊥.~∇′(~vD). ~w⊥∂µF0 (9.90)
Contrairement `a F0, F1 n’est pas gyrotrope et poss`ede des termes en sin φ et des termes
en sin 2φ (respectivement les deuxi`eme et troisi`eme termes). F1 poss`ede a priori aussi une
composante constante [F1], mais celle-ci correspond `a une constante de l’int´egration qui vient
d’ˆetre effectu´ee sur la phase du mouvement cyclotron. Elle ne peut donc pas ˆetre d´etermin´ee avec cette ´equation. De mˆeme que le comportement de F0 vient d’ˆetre d´etermin´e `a l’ordre 1
du d´eveloppement, le comportement de la partie constante de F1 sera d´etermin´e `a l’ordre 2.
Mais, dans la pratique, ce terme ne nous int´eresse pas et seule la partie d´ependant de φ nous