Visco´elasticit´e et visco-plasticit´e coupl´ees

Dans les ´etudes de Roguet et Al ([49],[50]), le comportement d’un polym`ere semi-cristallin, le polyamide 11, au dessus de Tα (dans le domaine de d´eformation pr´ec´edent la striction) a ´et´e ´etudi´e exp´erimentalement par des essais de traction unidimensionnels. Pendant l’´etude, un comportement atypique du mat´eriau est apparu : pour les temp´eratures sup´erieures `a la Tα, il existe une vitesse critique de sollicitation en-dessous de laquelle le comportement en charge ne d´epend plus de la vitesse de sollicitation (fig. 4.11). Celle-ci d´epend de la temp´erature, mais pas de la pression hydrostatique.

Figure 4.11 – Courbe de charge-d´echarge `a 100❽pour une vitesse de d´eformation de 10⁻³s⁻¹ [49]

Les auteurs expliquent la coh´erence de ces r´esultats avec un ´etat relax´e de la phase amorphe.

N´eanmoins, il existe un paradoxe : mˆeme lorsque en charge, les comportements atteignent un r´egime de non d´ependance en vitesse, des ph´enom`enes de type visqueux (fluage, relaxation) peuvent encore avoir lieu apr`es ce type de chargement. La courbe limite ne d´efinit alors pas un ´etat relax´e de l’amorphe, et le comportement hyper´elastique n’est pas suffisant pour d´ecrire cet ´etat. Une r´eorganisation cristalline entraˆıne une nature viscoplastique au niveau des contraintes hors-´equilibre, et les cons´equences sur la

phase amorphe entraˆıne une nature visco´elastique. Cela conduit les auteurs `a envisager trois types de mod´elisations [49] :

• une premi`ere mod´elisation visco´elastique, qui est celle implant´ee dans le code de calcul ´el´ements finis ABAQUS, utilisant la relation suivante :

σ =

O`uε<sup>d</sup>etε<sup>h</sup> sont respectivement les parties d´eviatorique et sph´erique du tenseur de d´eformation, G et K sont les modules de cisaillement et de compressibilit´e, repr´esent´es par deux s´eries de Prony. Ce mod`ele ne s’est pas av´er´e suffisant `a cause de sa trop grande sensibilit´e `a la vitesse de d´efor-mation. De plus, la d´echarge obtenue est trop rigide et ne pr´edit pas le comportement r´eel du mat´eriau.

Dans le cadre du projet damofip, une mod´elisation utilisant une description de la visco´elasticit´e et de la visco-plasticit´e par s´erie de Prony a ´et´e utilis´ee avec succ`es pour la mod´elisation du com-portement d’un polym`ere charg´e fibre de verre ([51]). Par contre, l’efficacit´e de telles d´emarches reste limit´ee aux faibles d´eformations.

Dans la suite de [49], il est ainsi apparu qu’une formulation, combinant des r´eponses hyper´elastique ou visco´elastique et viscoplastique serait plus `a mˆeme de mod´eliser les diff´erents trajets de chargement.

Citons deux types d’enrichissement que les auteurs ont puis´e dans la litt´erature :

• Une mod´elisation ´elasto-viscoplastique disposant d’un ´ecrouissage cin´ematique avec une sensibi-lit´e `a la vitesse de type Norton-Hoff tir´ee du mod`ele de Chambaudet [52]

• Une mod´elisation ´elasto-viscoplastique `a ´ecrouissage isotrope et viscosit´e non lin´eaire [53].

La combinaison de ces deux mod`eles est r´ealis´ee dans [50]. En introduisant la partition des d´efor-mations en une part ´elastique et une part viscoplastique, le tenseur de d´eformation viscoplastique est obtenu par l’int´egration de la loi d’´ecoulement donn´ee par :

˙ ǫvp = 3

2ǫ˙^vp σ^d−X^d

J2(σ^d−X^d) (4.87)

Avec J₂ le second d´eviateur des contraintes, X^d et σ^d les parts d´eviatoriques de l’´ecrouissage cin´ematique et du tenseur des contraintes. Pour sa part, la d´eformation plastique ´equivalente de Von-Mises ob´eit `a la loi d’´evolution de Norton-Hoff :

ǫ˙^vp=

J₂(σ−X)−R K

n

(4.88)

Avec R l’´ecrouissage isotrope, consid´er´e constant, ´egale `aR<sub>0</sub> etnla sensibilit´e `a la vitesse.

L’´ecrouissage cin´ematique non lin´eaireX =X₁+X₂ est r´epartie en un ´ecrouissage de la structure X₁ et un ´ecoulement plastiqueX₂, avec :

X˙₁ = 2

3C₁ǫ_vp˙ etX˙₂ = 2

3C₂ǫ_vp˙ −γǫ_vp˙ X₂ (4.89) La viscosit´e non lin´eaireK est donn´ee sous la forme suivante :

K=K0+k(1−exp(−wεvp))exp h(ǫvp)²

(4.90)

Au total, le mod`ele fait intervenir 11 param`etres. Ce mod`ele de comportement ne permet pourtant pas de d´ecrire simultan´ement la charge `a diff´erentes vitesses, la d´echarge et la relaxation. L’´evolution de cette mod´elisation viscoplastique est pr´esent´ee dans [50], o`u deux variables internes sont ajout´ees : l’une affectant la matrice de rigidit´e du mat´eriau par un processus isotrope, et l’autre, li´ee `a la cris-tallisation faisant ´evoluer cette matrice de rigidit´e de mani`ere directionnelle. Ces derniers ajustements permettent de pr´evoir des cas simples de chargement avec pr´ecision.

Dans une autre approche ph´enom´enologique, les mod`eles utilis´es pour la mod´elisation dans les applications m´etalliques `a hautes temp´eratures seraient une solution de repr´esentation viscoplastique.

Khan et al [54] sugg`erent ainsi un couplage avec les mod`eles viscoplastiques de Khan-Huang-Liang (KHL) et Johnson-Cook (JC). Les contraintes sont d´efinies respectivement par :

σ^KHL =

AvecT_m, T, T_ref respectivement les temp´eratures de fusion, instantan´ee et de r´ef´erence,D₀^P,ǫ˙^ref ´etant

deux vitesses de r´ef´erence et A, B, n₁, n₀, C, mles constantes mat´eriau.

La similitude des deux mod`eles entraˆıne une r´eponse proche. Les auteurs concluent `a une meilleure corr´elation pour le mod`ele KHL, dans les domaines des d´eformations rapides et de l’adoucissement thermique.

Le grand nombre de param`etres mat´eriaux d’ajustement nous montre que des consid´erations sur l’´evolution de la microstructure du mat´eriau sont n´ecessaires `a une bonne repr´esentation du compor-tement. En terme thermom´ecanique, des variables internes additionnelles sont indispensables pour d´efinir le comportement.