Commen¸cons par l’extension de la loi normale au cadre multidimensionnel. Une
´etude plus syst´ematique sera faite dans un chapitre ult´erieur.
Exemple 5.13 Vecteur gaussien n-dimensionnel non-d´eg´en´er´e. Soient m ∈ Rd et C une matrice r´eelle de taille d×d, sym´etrique d´efinie positive (c’est-`a-dire x·Cx>0 pour toutx∈Rd\ {0Rd}). Le vecteur al´eatoire X `a valeurs dansRd est gaussien de param`etresm etC si sa densit´e s’´ecrit
f(x) = 1
Figure 5.6 – Densit´e gaussienne en dimension d= 2.
Nous avons vu dans la proposition 5.4que la loi d’un vecteur al´eatoire `a densit´e fait intervenir des int´egrales par rapport `a la mesure de Lebesgue dans Rd, soit des int´egrales multiples. Nous commen¸cons donc par rappeler le th´eor`eme de Fubini, essentiel dans les calculs d’int´egrales multiples. Pour simplifier la pr´esentation, nous consid´erons le casd= 2, l’extension `a une dimension quelconque est imm´ediate.
Th´eor`eme 5.14 (Tonelli, Fubini) Soitf : (R2,BR2)−→ (R,BR) mesurable. Si f
5.3 – Vecteurs al´eatoires `a densit´e 103
sont mesurables (par rapport `a la mesure de Lebesgue surR), et Z
Remarquons l’analogie avec le th´eor`eme de Fubini (S9) pour les s´eries. En fait, la th´eorie de l’int´egration de Lebesgue permet de voir ces r´esultats comme issus du mˆeme th´eor`eme g´en´eral, dont d´ecoule aussi le r´esultat “mixte” suivant.
Th´eor`eme 5.15 Pour une suite de fonctions mesurables (fk)k de Rd dans R telle queP
Nous allons nous limiter dans la suite de ce paragraphe au cas o`ud= 2, pour simplifier les notations. Nous consid´erons un vecteur al´eatoire Z `a valeurs dans R2 de loi `a densit´e, et nous notonsX etY ses deux composantes :Z= (X, Y). Comme dans le cas discret, la loi des marginales X et Y peut s’obtenir `a partir de la loi deZ. Ce r´esultat se g´en´eralise sans peine `a une dimension sup´erieure.
Proposition 5.16 Soit Z = (X, Y) un vecteur al´eatoire `a valeurs dans R2 et `a Les fonctionsfX et fY s’appellent lesdensit´es marginalesdef.
Preuve. On utilise (5.2) avecφ(u, v) =1u≤x, pour x, u, v∈R:
L’exemple suivant illustre que la r´eciproque de cette proposition est fausse, en g´en´eral : le fait queX etY soient `a densit´e ne garantit pas que le vecteur al´eatoireZ= (X, Y) soit `a densit´e. En particulier, il faut faire attention au fait que dans le cas g´en´eral, la densit´e d’un couple de v.a. `a densit´e n’est pas le produit des densit´es.
Exemple 5.17 On consid`ere le cas X = Y et on note ∆ = {(x, x) : x ∈ R} la diagonale deR2. Alors PZ(∆) = 1, tandis que si Z ´etait `a densit´e f, nous aurions PZ(∆) =E(1∆(Z)) =R
R21∆(z)f(z)dz= 0car ∆ a un volume nul dansR2.
Exemple 5.18 On lance une fl´echette sur une cible circulaire de rayon unit´e et on d´ecide de n’observer que les lanc´es qui atteignent la cible. Le joueur est suffisamment loin de la cible pour que le point d’impactM de la fl´echette soit suppos´e uniform´ement distribu´e sur la cible. Les coordonn´ees cart´esiennes de M ∈ D ={(x, y)∈ R2, x2+ y2≤1} constituent un couple de v.a. de densit´e uniforme sur le disque :
f(X,Y)(x, y) = 1
π1{x2+y2≤1}, (x, y)∈R2. L’abscisseX est distribu´ee selon la densit´e marginale
fX(x) = Z
f(X,Y)(x, y)dy= 2
π(1−x2)121[−1,1](x), x∈R. La loi de Y a la mˆeme densit´e.
5.3.2 Densit´ es conditionnelles
Pour toutx∈Rtel que fX(x)>0, on introduit la fonction fY|X=x(y) = f(x, y)
fX(x), y∈R. (5.12)
Il est clair quefY|X=x≥0 etR
RfY|X=x(y)dy= 1. Il s’agit donc d’une densit´e.
D´efinition 5.19 La fonctionfY|X=xest appel´ee densit´e conditionnelle deY sachant X =x. Elle induit pour toute fonctionh:R2−→R, mesurable positive ou int´egrable (cf. remarque5.20 (ii) ci-dessous), l’esp´erance
E(h(X, Y)|X =x) = Z
R
h(x, y)fY|X=x(y)dy pour tout x∈Rtel quefX(x)>0.
L’esp´erance conditionnelle de h(X, Y)sachantX est la v.a. d´efinie par : E(h(X, Y)|X) =ψ(X), avec ψ(x) =E(h(X, Y)|X=x)1{fX(x)>0}.
L’interpr´etation de (5.12) est la suivante : la fonction fY|X=x est la densit´e de la
“loi conditionnelle de Y sachant queX =x”. Bien sˆur, nous avons P(X =x) = 0 puisque X admet une densit´e, donc la phrase ci-dessus n’a pas r´eellement de sens,
5.3 – Vecteurs al´eatoires `a densit´e 105
mais elle se justifie heuristiquement ainsi : ∆xet ∆y´etant de “petits” accroissements des variablesxet y, nous avons comme en (5.3), et lorsquef est continue :
fX(x)∆x ≈ P(x≤X≤x+ ∆x),
f(x, y)∆x∆y ≈ P(x≤X≤x+ ∆x, y ≤Y ≤y+ ∆y).
Par suite
fY|X=x(y)∆y ≈ P(x≤X ≤x+ ∆x, y≤Y ≤y+ ∆y) P(x≤X ≤x+ ∆x)
≈ P(y≤Y ≤y+ ∆y|x≤X≤x+ ∆x).
Remarque 5.20 (i) La fonction ψ(x) est d´efini de mani`ere arbitraire sur B = {u, fX(u) = 0}, ici nous avons choisi la valeur nulle. Remarquons que P(X ∈ B) = R
BfX(u)du = 0. Donc la d´efinition 5.19 d´efinit l’esp´erance conditionnelle ψ(X) =E(Y|X)PX−p.s. c’est-`a-dire avec probabilit´e pleine sous la loi deX. (ii) Comme E(E(|Y| |X)) = R
R
R
R|y|fX,Yf (x,y)
X(x) dy
fX(x)dx = E(|Y|) grˆace au th´eor`eme 5.14 de Fubini, l’esp´erance conditionnelle deY sachant X est bien d´efinie d`es que Y est int´egrable.
(iii)Les rˆoles deX et deY peuvent ˆetre invers´es dans tous les r´esultats.
En rempla¸cant les sommes par des int´egrales, nous pouvons adapter les preuves de la Section 3.5.3 et obtenir dans le cadre des lois `a densit´e les mˆemes propri´et´es de l’esp´erance conditionnelle r´esum´ees ci-dessous.
Proposition 5.21 SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles.
(i) Si Y est int´egrable, alors E(Y) = E E(Y|X)
= R
RE(Y|X = x)fX(x)dx, et pour toute fonction mesurable h positive ou int´egrable sur R2, on a E(h(X, Y)) = E E(h(X, Y)| X)
.
(ii) Si Y est un vecteur al´eatoire int´egrable `a valeurs dans R2, alors E(a·Y|X) = a·E(Y|X)pour touta∈R2(o`uE(Y|X)est le vecteur d’esp´erances conditionnelles).
(iii)E(1|X) = 1, et si Y ≥0, alors E(Y |X)≥0.
(iv) Si g est mesurable et g(X)Y positive ou int´egrable, alors E Y g(X)|X
= g(X)E(Y|X).
Exemple 5.22 Soient X et Y de densit´e jointe fX,Y(x, y) = x11T(x, y) o`u T est le triangle T = {0 < y < x < 1}. La densit´e de X est donn´ee par fX(x) = R fX,Y(x, y)dy=1]0,1[(x) et pour x∈]0,1[,
fY|X=x(y) = 1
x1]0,x[(y).
Ainsi, X est uniform´ement distribu´ee sur ]0,1[, et la loi de Y sachant X = x est uniforme sur]0, x[ (0< x <1). Pour un telx, l’esp´erance conditionnelleE(Y|X=x) est donn´ee par le milieux/2de l’intervalle portant cette loi uniforme, et nous obtenons E(Y|X) =X/2.
5.3.3 Ind´ ependance de variables al´ eatoires ` a densit´ e
Dans la suite de ce paragraphe, nous consid´erons un couple (X, Y) de variables al´eatoires r´eelles. Le r´esultat suivant est un analogue de l’´equivalence (i)⇐⇒(ii) dans la proposition3.36.
Proposition 5.23 Supposons que X etY soient `a densit´e fX et fY. Alors X et Y sont ind´ependantes si et seulement si le coupleZ= (X, Y)admet la densit´e suivante :
fZ(x, y) =fX(x)fY(y) pour tous (x, y)∈R2. (5.13) Preuve. Par d´efinition de l’ind´ependance, on a
P(X≤x, Y ≤y) =P(X ≤x)P(Y ≤y) = Z x
−∞
fX(u)du Z y
−∞
fY(v)dv, ce qui montre quePZ est `a densit´efZ donn´ee par (5.13). R´eciproquement, le mˆeme calcul montre que (5.13) implique queP(X ≤x, Y ≤y) =P(X ≤x)P(Y ≤y) pour tous x, y ∈R. En utilisant le mˆeme argument que dans la preuve de la proposition 4.42, ceci entraine que P(X ∈A, Y ∈B) =P(X ∈A)P(Y ∈B) pour tous bor´eliens
AetB, d’o`u le l’ind´ependence deX etY.