Recherche de densit´ e

f_X(u)du Z y

−∞

f_Y(v)dv, ce qui montre queP^Z est `a densit´efZ donn´ee par (5.13). R´eciproquement, le mˆeme calcul montre que (5.13) implique queP(X ≤x, Y ≤y) =P(X ≤x)P(Y ≤y) pour tous x, y ∈R. En utilisant le mˆeme argument que dans la preuve de la proposition 4.42, ceci entraine que P(X ∈A, Y ∈B) =P(X ∈A)P(Y ∈B) pour tous bor´eliens

AetB, d’o`u le l’ind´ependence deX etY.

5.4 Recherche de densit´ e

Dans ce paragraphe, nous abordons le probl`eme important suivant. SoitX un vecteur al´eatoire `a valeurs dansR^d, admettant la densit´efX. Soit g une fonction mesurable deR^d dansR^d

0, de sorte queY =g(X) soit aussi un vecteur al´eatoire.

1. Est-ce queY admet une densit´e ? 2. Si oui, comment la calculer ?

Concernant la premi`ere question, la r´eponse est : en g´en´eral non ! pensez par exemple au cas o`ud=d⁰ = 1, la fonctiong est constante,g(x) =apour toutx∈R, alors la loi de Y est la masse de Dirac en a, qui n’a pas de densit´e. On peut aussi revenir `a l’exemple5.9qui illustre un cas mixte d’une v.a. `a valeurs dansRo`ug(x) = max(x, a), x∈R, place une masse au pointa.

5.4 – Recherche de densit´e 107

Continuons alors en supposant que la v.a. a une densit´e. Afin de r´epondre `a la deuxi`eme question, nous allons utiliser la caract´erisation de la loi d’une v.a. obtenue dans la proposition4.37, qui dans le cas pr´esent de recherche de densit´e se r´e-´ecrit : Proposition 5.24 Soit x un vecteur al´eatoire `a valeurs dans R^d. S’il existe une fonctionf telle queE h(X)

=R

R^dh(x)f(x)dx, pour toute fonction continue born´ee h, alors la loi de X admet la densit´ef.

On recherche alors une telle fonction de densit´e en ´ecrivant pour toute fonctionh continue born´ee : qu’on voudrait mettre sous la forme

Z

R^d

h(y)f(y)dy, (5.15)

en faisant le changement de variable y = g(x) dans cette int´egrale. Dans le cas unidimensionneld= 1, ceci n´ecessite quegsoit d´erivable et bijective “par morceaux”, et il faut faire tr`es attention aux domaines o`ugest croissante ou d´ecroissante. Plutˆot qu’exposer une th´eorie g´en´erale, donnons des exemples.

Exemple 5.25 Soit Y = aX +b, o`u a 6= 0 et b sont des constantes. Le peut ainsi conclureY est une v.a. de densit´e

fY(y) =fX

et nous trouvons donc queY est `a densit´e fY(y) = (fX(−√

y) +fX(√ y)) 1

2√

y1_]0,+∞[(y). (5.16)

Exemple 5.27 Soit X une v.a. de loi N(0,1). La variable al´eatoire X² suit la loi Γ(1/2,1/2) (´egalement appel´ee loi du Chi² `a un degr´e de libert´e, et not´e X<sup>2</sup>(1)), car Y =X<sup>2</sup> est `a densit´e (5.16) :

f_Y(y) = exp −y 2

1

√y1_]0,+∞[(y).

Dans le cas des vecteurs al´eatoires, l’id´ee est la mˆeme : il convient d’appliquer la for-mule de changement de variable dans l’int´egrale que nous allons maintenant rappeler.

Th´eor`eme 5.28 SoitA un ouvert deR^d, etψ:A−→B une bijection de classeC¹. Alors,R

Bφ(y)dy=R

Aφ◦ψ(x)|det Jψ(x)

|dx, pourφpositive ou int´egrable.

Ici, nous rappelons que

— J_ψ(x) est la matrice Jacobienne deψ, c’est la matrice de tailled×dde com-posantesJψ(x)ij =^∂ψ_∂xⁱ

j(x), 1≤i, j≤d,

— det J_ψ(x)

est appel´e d´eterminant Jacobien, et intervient par sa valeur absolue (car, contrairement `a la dimension 1, “il n’y a plus d’orientation” dans le calcul de l’int´egrale).

Comme premi`ere cons´equence de la formule de changement de variable dans l’int´egrale, on voit qu’il faut se restreindre au cas o`u X et Y sont de mˆeme di-mension. En effet, si Y est de dimension plus grande que X, alors Y = g(X) n’a pas de densit´e, et si Y est de dimension inf´erieure `a celle de X, alors il convient de “compl´eter” Y artificiellement avec autant de composantes que n´ecessaires afin de se retrouver avec la mˆeme nombre de composantes queX (voir la remarque5.32 ci-dessous).

Proposition 5.29 SoitXun vecteur al´eatoire `a valeurs dansR^dde densit´efX nulle en dehors d’un ouvert A⊂R^d. Soit g :A −→B une bijection telle que g⁻¹ est de classe C¹. AlorsY est un vecteur al´eatoire de densit´e :

fY(y) = 1B(y)fX◦g⁻¹(y)|detJ_g⁻¹(y)|

= 1_B(y)f_X◦g⁻¹(y) 1

|detJg(g⁻¹(y))|, y∈R^d.

5.4 – Recherche de densit´e 109

Preuve. Sous ces hypoth`eses, nous pouvons continuer le calcul dans (5.14) en utilisant la formule de changement de variablex=ψ(y) =g<sup>−1</sup>(y) du th´eor`eme5.28:

E(h(Y)) = Z

A

h◦g(x)fX(x)dx= Z

B

h(y)fX◦g⁻¹(y)dy, et on conclut grˆace `a la proposition5.24et au fait que|detJ_g−1(y)|=_|detJ ¹

g(g⁻¹(y))|.

Exemple 5.30 (Coordonn´ees polaires.) Soit X = (U, V) un vecteur al´eatoire de R², et Y = (R,Θ) ses coordonn´ees polaires. La transformation g est un diff´eomorphisme de A =R²\{0} dans B =]0,∞[×]0,2π], et son inverse g⁻¹ s’´ecrit facilement : u=rcosθ,v =rsinθ. Alors le d´eterminant jacobien detJ_g⁻¹(r, θ) =r et on obtient par la proposition5.29 que :

f_Y(r, θ) = r f_X(rcosθ, rsinθ)1_B(r, θ), (r, θ)∈R².

Par exemple si U et V sont ind´ependantes et de loi N(0,1), (5.13) entraˆıne que fX(u, v) =_2π¹ exp

−^u2+v₂ ² , et f_Y(r, θ) = 1

2πr e^−r2/21_]0,∞[(r)1_]0,2π](θ), (r, θ)∈R².

En particulier les v.a.R et Θsont ind´ependantes, la premi`ere suit la loi de densit´e re^−r2/21_]0,∞[(r), et la seconde est uniforme sur[0,2π].

Remarque 5.31 Supposons qu’il existe une partition finie(Ai)_1≤i≤d deA={fX >

0}, telle queg:Ai −→Bi =g(Ai)est une bijection dont l’inverse est de classe C¹. Dans ce cas, on d´ecoupe l’int´egrale selon les Ai, on applique la proposition 5.29 `a chaque morceau, et on obtient en sommant :

f_Y(y) =

d

X

i=1

1_Bi(y)f_X◦g⁻¹(y) 1

|detJ_g(g⁻¹(y))|, y∈R^d,

o`ug<sup>−1</sup> est d´efinie sur chaqueBi comme image r´eciproque de la restriction deg`aAi. Remarque 5.32 Supposons que Y a moins de composantes que X, i.e. d⁰ < d.

Dans ce cas, on consid`ere un vecteur Y = (Y,Y<sup>0</sup>) compl´etant Y afin de construire une applicationg :R<sup>d</sup> −→R<sup>d</sup> dont les d<sup>0</sup> premi`eres composantes co¨ıncident avec les composantes deg, et pour laquelle la proposition5.29s’applique. Nous obtenons ainsi la densit´ef_Y deY =g(X)et nous appliquons l’extension ´evidente de (5.11):

f_Y(y) = Z

R^d−d0

f_Y(y,y⁰)dy⁰.

Exemple 5.33 (Loi bˆeta) Soit X = (U, V) un vecteur al´eatoire deR², avec U et V ind´ependantes de loisΓ(α, θ)etΓ(β, θ). Alors, en notantA=]0,∞[², la densit´e du vecteurX est

f_X(u, v) = θ^α+β

Γ(α)Γ(β)u^α−1v^β−1e^−θ(u+v)1_A(u, v), (u, v)∈R².

Pour d´eterminer la densit´e de Y = _U+V^U , nous introduisons Y = (Y, Y⁰), avec Y⁰ = U +V, ce qui correspond `a une transformation g(u, v) = _u+v^u , u +v

. Cette application est bijective de A =]0,∞[² dans B =]0,1[×]0,∞[, et nous avons g⁻¹(y, y⁰) = (yy⁰, y⁰(1−y)), qui a pour d´eterminant jacobien y⁰. La proposition 5.29 donne :

f_Y(y, y⁰) = θ^α+β

Γ(α)Γ(β)y^0α+β−1y^α−1(1−y)^β−1e^−θz1B(y, y⁰), (y, y⁰)∈R², et on d´eduit la densit´e de la premi`ere marginale par (5.11):

f_Y(y) = Z ∞

0

f_Y(y, y⁰)dy⁰

= θ^α+β

Γ(α)Γ(β)y^α−1(1−y)^β−11_]0,1[(y) Z ∞

0

y^0α+β−1e^−θy0dy⁰

= Γ(α+β)

Γ(α)Γ(β)y^α−1(1−y)^β−11_]0,1[(y), (5.17) en utilisant(5.8). On appelleloi bˆetade param`etresαetβla loi admettant cette den-sit´e. Nous obtenons aussi facilement la densit´e deY⁰. En effet, on voit quef_Y(y, y⁰) est le produit de fY(y)par la fonction

f_Y⁰(y⁰) = θ^α+β

Γ(α+β)y^0α+β−1e^−θy01_]0,∞[(y⁰),

qui d’apr`es (5.11) est la densit´e de la v.a. Y⁰. Ceci montre queY⁰suit la loiΓ(α+β, θ).

On retrouvera ce r´esultat de mani`ere plus simple (grˆace `a la fonction caract´eristique) dans l’Exemple7.9.

Nous avons en fait d´emontr´e le r´esultat suivant.

Proposition 5.34 Si U et V sont ind´ependantes et de lois respectives Γ(α, θ) et Γ(β, θ), alorsU +V suit la loi Γ(α+β, θ) et est ind´ependante de _U^U_+V qui suit une loi bˆeta de param`etresαet β.

En utilisant la mˆeme m´ethode on aussi le r´esultat suivant.