a) 1 2 3 4 5 6
0 0.05 0.1 0.15
probabilite
x b) 02 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.05 0.1 0.15
probabilite
s
Figure3.1 – Diagramme en bˆatons de la loi d’un lancer de d´e (a) et de la loi de la somme de deux lancers de d´es (b).
3.2 Esp´ erance des v.a. discr` etes
Nous supposons ici queX est un sous-ensemble fini ou d´enombrable deR.
3.2.1 D´ efinition
Motivation : R´ep´etons n fois une exp´erience al´eatoire, et notons X1, . . . , Xn les valeurs successives prises parX. Pour avoir une id´ee du comportement de la variable X, il est naturel de consid´erer leur moyenne arithm´etique Mn= n1(X1+· · ·+Xn) . (Pensez `a vos propres calculs de moyennes en tant qu’´el`eves.) En regroupant suivant les diff´erents r´esultats possiblesω d’une exp´erience, nous obtenons
Mn = X
ω∈Ω
fn({ω})X(ω),
o`ufn({ω}) est la fr´equence de r´ealisation du singleton{ω}au cours desnexp´eriences.
Remarquons que la derni`ere somme est finie puisqu’il ne peut exister qu’un nombre fini defn(ω) non nuls. Nous voulons faire tendre nvers l’infini. Si la propri´et´e (2.1) intuit´ee au Chapitre2est vraie, c’est-`a-dire si fn({ω})→pω, et si dans l’expression ci-dessus on peut intervertir la somme et la limite (ce qui est en particulier vrai si Ω est fini), alors la suite (Mn)n tend vers P
ω∈ΩpωX(ω). Nous justifierons cette assertion plus loin, dans l’un des th´eor`emes les plus importants de la th´eorie des probabilit´es, appel´e la loi des grands nombres.
D´efinition 3.5 Soit X une variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur l’espace fini ou d´enombrableΩ`a valeurs dansX (i.e. une application deΩdansX ⊂R). Son esp´erance
(appel´ee aussi parfois moyenne) est
(Rappelons que, en vertu de (S6) (section 2.4.4), comme la s´erie de terme g´en´eral pωX(ω) est absolument convergente, la sommeE(X) de la s´erie ne d´epend pas de la mani`ere dont lesω sont ordonn´es.)
L’esp´erance math´ematique E(X) est un r´eel qui donne une valeur moyenne r´esumant la v.a.X. C’est l’un des concepts les plus importants de la th´eorie des probabilit´es. La d´enomination d’esp´erance pour cette quantit´e fait r´ef´erence aux probl`emes de jeux et d’esp´erance de gain. Cette terminologie imag´ee a ´et´e introduite par Pascal.
Th´eor`eme 3.6 Pour une variable al´eatoireX satisfaisant E(|X|)<+∞, on a : E(X) =X En particulier, nous remarquons que l’esp´erance de X ne d´epend que de la loi deX. Preuve. Puisque P
ω∈Ωpω|X(ω)| = E(|X|) < +∞, la sommation par paquets est justifi´ee par (S8) (section2.4.4), et on obtient
E(X) =X Analogie avec une notion de m´ecanique :Le concept d’esp´erance est `a rappro-cher de la notion decentre de gravit´ed’un groupe de masses au sens de la m´ecanique.
Consid´erons en effet une variableXde loi de probabilit´e{(xi, pXi ), i≥1}. On montre que si les masses pXi , i ≥ 1 sont r´eparties sur une barre sans poids aux abscisses xi, i≥1, le centre de gravit´e, c’est-`a-dire le point sur lequel la barre pourra ˆetre pos´ee et rester en ´equilibre, est d’abscisseE(X). En effet, il suffit d’´etablir que la somme des moments des forces gravitationnelles par rapport au point d’abscisseE(X) est nulle :
0 = X
xi∈X
(xi−E(X))pXi ,
ce qui est imm´ediat `a v´erifier `a partir de la d´efinition de l’esp´erance math´ematique.
3.2 – Esp´erance des v.a. discr`etes 47
Exemple 3.7 Un nombre est choisi au hasard entre1et10, et nous devons deviner ce nombre en posant des questions auxquelles il ne sera r´epondu que par oui ou par non.
Calculons l’esp´erance du nombre N de questions n´ecessaires dans les cas suivants :
• Lai`eme question est du type “Est-ce i?”, i´etant ´egal `a1,2, . . . ,10.
SoitAkl’´ev´enement : “le nombrek∈ {1, . . . ,10}a ´et´e choisi”. Comme lesAk forment une partition de l’espace fondamental, on a
P(N =k) =
10
X
k0=1
P(N =k|Ak0)P(Ak0) =P(N =k|Ak)P(Ak) = 1 10 et
E(N) =
10
X
k=1
kP(N=k) = 11 2 .
• Avec chaque question, nous ´eliminer `a peu pr`es la moiti´e des r´eponses possibles, avec le protocole suivant : est-ce ≤5,≤2(resp. ≤7),≤4 (resp.≤9). Alors
E(N) = 3× 6
10+ 4× 4 10 = 17
5 .
3.2.2 Propri´ et´ es de l’esp´ erance des v.a. discr` etes
D´efinition 3.8 Une v.a.X est dite int´egrable si P
ω∈Ωpω|X(ω)| = E(|X|) < +∞.
L’ensemble des v.a. int´egrables est not´eL1, il d´epend deΩet deP. Les propri´et´es suivantes sont imm´ediates :
Proposition 3.9
(i)L1 est un espace vectoriel, et l’esp´erance est lin´eaire sur L1 :
E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y) pour tous X, Y ∈L1, eta, b∈R. (ii)X ∈L1 ⇐⇒ |X| ∈L1, et dans ce cas, |E(X)| ≤E(|X|).
(iii)L’esp´erance est positive : siX≥0 alorsE(X)≥0.
(iv)PourX, Y ∈L1,X≤Y alorsE(X)≤E(Y).
(v)L1 contient toutes les v.a. born´ees. (X est born´ee sisupω∈Ω|X(ω)|<∞).
(vi) L’esp´erance d’une variable constante est ´egale `a cette constante : si X(ω) = a pour toutω∈Ω, alors E(X) =a.
(vii)SiΩest fini, L1 contient toutes les v.a. r´eelles.
Exemple 3.10 Pour tout ´ev´enementA, on d´efinit
1A(ω) = 1 si ω∈A et 1A(ω) = 0 si ω /∈A.
Cette v.a. est appel´ee fonction indicatrice deA, et nous avons : E(1A) =P(A).
3.2.3 Variance et ´ ecart-type
On note parL2l’ensemble des v.a. r´eellesX dont le carr´eX2 est int´egrable. Nous dirons dans ce cas queX est de carr´e int´egrable.
Proposition 3.11 L2 est un sous-espace vectoriel deL1, et siX ∈L2 on a
|E(X)| ≤ E(|X|) ≤ p
E(X2). (3.3)
Preuve. Soient X, Y ∈ L2 et a ∈ R. Comme (aX +Y)2 ≤ 2a2X2+ 2Y2, nous d´eduisons de la proposition3.9(i) queaX+Y ∈L2. Ainsi,L2est un espace vectoriel.
L’inclusionL2⊂L1d´ecoule de|X| ≤1 +X2et de la lin´earit´e de la proposition3.9(i).
La premi`ere in´egalit´e de (3.3) est celle de la proposition3.9(ii). Pour la seconde, nous pouvons nous limiter au cas o`u X est positive. Soit alorsa=E(X) etY =X−a.
D’apr`es la proposition3.9(i) il vient
E(Y2) = E(X2)−2aE(X) +a2 = E(X2)−a2,
etE(Y2)≥0 par la proposition 3.9(iii). Donca2≤E(X2).
D´efinition 3.12 SiX ∈L2, savarianceest d´efinie par Var(X) =E((X − E(X))2) = X
xi∈X
(xi−E(X))2 pXi .
Var(X)est positive, etσX =p
Var(X)s’appelle l’´ecart-typedeX.
L’´ecart-type est une grandeur qui mesure la moyenne (en un certain sens) de l’´ecart des valeurs deX `a sa moyenne, d’o`u son nom. En d´eveloppant le carr´e (X−E(X))2 comme dans la preuve ci-dessus, nous obtenons la formule de Huygens :
σ2X = E(X2)−E(X)2. (3.4)
Exemple 3.13 (Loto) On consid`ere tout d’abord la forme classique du loto, qui a ´et´e utilis´ee de 1976 `a 2008. Le joueur coche 6 num´eros sur une grille en comportant 49, dans le cas d’un bulletin simple. Les 6 num´eros gagnants sont d´etermin´es par tirage
3.2 – Esp´erance des v.a. discr`etes 49
au sort. L’espace fondamental est ici l’ensemble des parties `a 6 ´el´ements (tirage) de {1, . . . ,49} muni de la probabilit´e uniforme. Son cardinal est Card(Ω) = 496
= 13 983 816. Notant N le nombre de num´eros gagnants figurant parmi les num´eros coch´es par le joueur (on rappelle que la grille du joueur comporte6num´eros coch´es et 43non-coch´es), l’´ev´enement{N =n} (n∈ {0, . . . ,6}) est r´ealis´e si le tirage produit
et certaines valeurs num´eriques sont donn´ees dans le tableau ci-dessous. Au premier tirage du 10 mai 2006, on recevait pour une mise de0,3Euros (soit une grille) le gain G=g(N)suivant :
n num´eros gagnants gain g(n) probabilit´eP(N =n)
6 789 177,00 Euros 7,2 10−8 grande valeur deσvient de ce que parfois (mais tr`es rarement) ¸ca rapporte gros.
La forme moderne du loto, mise en place `a partir de 2008, est l´eg`erement diff´erente : le joueur coche5 num´eros sur une grille en comportant49et unnum´ero chance sur une autre grille en comportant10. Donc la probabilit´e qu’un joueur trouve la bonne combinaison est :
choix possibles des cinq premiers num´eros, et 10 choix possibles du
num´ero chance. Notez qu’on a moins de chance de gagner le gros lot avec la nouvelle version qu’avec la version classique.
3.2.4 Moments d’une variable al´ eatoire
Soit f une fonction de X dans R. La v.a. r´eelle f(X) prend un nombre fini ou d´enombrable de valeurs. Nous pouvons aussi consid´erer f comme une v.a. d´efinie sur l’espace de probabilit´e (X,P(X),PX). Le r´esultat suivant, appel´e propri´et´e de transfert, montre la coh´erence de la notion d’esp´erance.
Th´eor`eme 3.14 Pourf :X →R, la v.a.f(X)d´efinie sur(Ω,P(Ω),P)est int´egrable si et seulement si la v.a.f sur (X,PX) l’est ´egalement. Dans ce cas, les esp´erances de ces deux v.a. sont ´egales, et
E(f(X)) = X
ω∈Ω
f(X(ω))pω = X
xi∈X
f(xi)P(X =xi). (3.5)
Preuve. Comme nous pouvons sommer par paquets par (S7) (section 2.4.4) dans une s´erie `a termes positifs, nous voyons comme pour (3.2) que les deux expres-sions de droite de (3.5) sont ´egales si nous rempla¸cons f par |f|; elles sont donc finies simultan´ement. D’apr`es la d´efinition de l’espace L1, nous avons donc f(X)∈ L1(Ω,P) ⇔ f ∈L1(X,PX).
Si ces propri´et´es sont r´ealis´ees, en utilisant cette fois (S8) (section2.4.4), nous voyons de la mˆeme mani`ere que les deux expressions de droite de (3.5) sont aussi ´egales pour f, ce qui, compte-tenu de (3.1), ach`eve la d´emonstration.
D´efinition 3.15 Soitp∈N∗. On dit que la v.a. X admet un moment d’ordre p si Xp∈L1, et en utilisant le th´eor`eme pr´ec´edent :
E(Xp) = X
xi∈X
xpi P(X =xi).