Ind´ ependance

La notion d’ind´ependance est absolument fondamentale en probabilit´es et nous verrons par la suite toutes ses implications dans la mod´elisation de l’al´eatoire.

Ev´enements ind´ependants

Intuitivement, deux ´ev´enements AetB sont ind´ependants si le fait de savoir que A est r´ealis´e ne donne aucune information sur la r´ealisation deB et r´eciproquement.

Supposons que la r´ealisation de l’´ev´enementBn’ait aucune influence sur la r´ealisation de A. Alors, apr`es n exp´eriences, la fr´equence empirique de r´ealisation de A sera approximativement la mˆeme, que l’on sache ou non que B est r´ealis´e. Ainsi donc, fn(A|B) = ^fn_f^(A∩B)

n(B) doit ˆetre approximativement ´egal `a fn(A) (Le conditionnement ne change pas l’information que l’on a sur l’exp´erience). Par passage `a la limite sur le nombre d’exp´eriences, nous en d´eduisons les d´efinitions suivantes.

Si B est un ´ev´enement de probabilit´e strictement positive, Asera dit ind´ependant deB siP(A|B) =P(A) = ^P(A∩B)

P(B) . On remarque que cette formule se sym´etrise et la notion d’ind´ependance se d´efinit finalement comme suit.

D´efinition 2.29 Deux ´ev´enementsAetB sont ind´ependants si et seulement si P(A∩B) = P(A)P(B).

La probabilit´e de voirAr´ealis´e ne d´epend pas de la r´ealisation deB, et r´eciproquement.

Remarque 2.30 1) Cette notion est li´ee au choix de la probabilit´ePet n’est pas une notion ensembliste. Cela n’a en particulier rien `a voir avec le fait queA etB soient disjoints ou non. (Cf. Exemple2.31 ci-dessous).

2) SiP(A)>0 etP(B)>0, alors

P(A∩B) =P(A)P(B)⇐⇒P(A|B) =P(A)⇐⇒P(B|A) =P(B).

Exemple 2.31 1. On lance 3fois un d´e. SiAi est un ´ev´enement qui ne d´epend que dui`eme lancer, alorsA1, A2, A3 sont ind´ependants.

2.3 – Conditionnement et ind´ependance 33

2. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. On consid`ere les ´ev´enements A = {la carte est une dame}; B = {la carte est un cœur}.

Il est facile de voir que P(A) = ₅₂⁴, P(B) = ¹³₅₂, et P(A ∩ B) = P(la carte est la dame de cœur) = ₅₂¹ = P(A)P(B). Ainsi, les ´ev´enements AetB sont ind´ependants pour la probabilit´e uniforme P.

3. Supposons maintenant que le jeu de cartes soit trafiqu´e. Soit Q la nouvelle probabilit´e correspondant au tirage de cartes. Supposons que

Q(valet de pique) = 1

2 , Q(autre carte) = 1 2× 1

51 = 1 102. Alors

Q(A∩B) = 1

102 6=Q(A)Q(B) = 2 51× 13

102.

Les ´ev´enementsA etB ne sont pas ind´ependants sous la probabilit´eQ. Nous laissons en exercice (tr`es simple `a v´erifier) la d´emonstration de la proposition suivante, dont le r´esultat est tout-`a-fait intuitif.

Proposition 2.32 Si les ´ev´enements A et B sont ind´ependants, alors il en est de mˆeme deA etB^c,A^c etB,A^c etB^c.

La notion d’ind´ependance se g´en´eralise `a une suite finie ou infinie d’´ev´enements de la mani`ere suivante.

D´efinition 2.33 Une suite (An)n d’´ev´enements de (Ω,A, P)est dite ind´ependante si pour toute suite finie(i1, . . . , ik)d’entiers deux-`a-deux distincts :

P(Ai₁∩ · · · ∩Ai_k) =P(Ai₁)· · ·P(Ai_k).

Cette d´efinition est d´elicate. Par exemple, pour que la suite (A, B, C) soit ind´ependante, la propri´et´e doit ˆetre v´erifi´ee pour toutes les intersections de deux

´ev´enements et l’intersection des trois ´ev´enements. Il ne suffit pas d’avoirP(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C). Par exemple, prenons un lancer de d´e avecA={1,2,3},B={2,4,6}

et C = {1,2,4,5}. Nous avons P(A) = ¹₂, P(B) = ¹₂, P(C) = ²₃. Ainsi, nous avons bienP(A∩B∩C) =P(A)P(B)P(C) maisP(A∩B)6=P(A)P(B).

Il ne suffit pas non plus que les ´ev´enements soient ind´ependants deux-`a-deux. On joue 2 fois `a Pile ou Face et on consid`ere les ´ev´enementsA={Face au premier lancer}, B={Face au deuxi`eme lancer}etC={les deux tirages donnent le mˆeme r´esultat}.

On v´erifie que ces ´ev´enements sont deux-`a-deux ind´ependants mais que la probabilit´e de leur intersection n’est pas ´egale au produit des probabilit´es.

Exp´eriences al´eatoires ind´ependantes et espace de probabilit´e produit Soit (Ω_n,A_n,Pn) une suite d’espaces de probabilit´e mod´elisant des exp´eriences al´eatoires. Nous souhaiterions construire un espace de probabilit´e rendant compte de toutes ces exp´eriences ind´ependantes les unes des autres.

Si nous avons uniquement deux espaces (Ω1,A1,P1) et (Ω2,A2,P2), nous prendrons Ω = Ω1×Ω2, que nous munirons de la tribu produit A = A1⊗ A2. Cette tribu produit deA1etA2est d´efinie comme ´etant la tribu engendr´ee par les pav´esA1×A2, A1 ∈ A1, A2 ∈ A2, (voir d´efinition 2.5). Nous d´efinissonsP sur les pav´es de A par P(A1×A2) = P1(A1)P2(A2). On peut montrer que cela suffit pour caract´eriser une probabilit´e surA, que l’on appelle probabilit´e produit, not´ee P1⊗P2.

Nous pouvons g´en´eraliser cette notion d’espace de probabilit´e produit, et consid´erer le produit (d´enombrable) cart´esien Ω = Π_nΩ_n,A=⊗nAn o`u⊗nAn d´esigne la plus petite tribu de Ω engendr´ee par les produits cart´esiens finis d’´el´ements des tribus coordonn´ees, donc contenant tous les ensembles de la forme

A₁×A₂× · · · ×A_k×Ω_k+1×Ω_k+2× · · ·, A_i∈ A_i, k= 1,2,3, . . .

Il est possible de montrer par un th´eor`eme g´en´eral de th´eorie de la mesure qu’il existe une unique probabilit´ePsur (Ω,A) qui v´erifie

P(A1×A2× · · · ×Ak×Ωk+1×Ωk+2× · · ·) = Π^k_i=1Pⁱ(Ai)

pour tous k = 1,2, . . . et Ai ∈ Ai. Cette probabilit´e rend ainsi ind´ependantes les exp´eriences al´eatoires correspondant `a chaque espace (Ωn,An,Pn).

En particulier, en prenant tous les espaces coordonn´ees (Ωj,Aj) ´egaux, cela nous permettra de mod´eliser la mˆeme exp´erience r´ep´et´ee une infinit´e (d´enombrable) de fois, de mani`ere ind´ependante et dans les mˆemes conditions.

Exemple 2.34 Consid´erons les lancers successifs et ind´ependants d’une mˆeme pi`ece de monnaie, telle que la probabilit´e de tirer Pile soit ´egale `a p ∈]0,1[. Soient Fn

l’´ev´enement “Face au n-i`eme lancer” et P<sub>n</sub> l’´ev´enement “Pile au n-i`eme lancer”.

SoientT_k l’´ev´enement “le premier Pile est obtenu auk-i`eme lancer” etAl’´ev´enement

“on n’obtient jamais de Pile”. Alors, par ind´ependance des lancers, nous avons P(T_k) = P(F₁∩F₂∩ · · · ∩F_k−1∩P_k)

= P(Face)^k−1P(Pile) = (1−p)^k−1p pour tout k∈N^∗. Remarquons que{Tk, k≥1, A} est une partition (d´enombrable) deΩ, donc

P(A) = 1−X

k≥1

P(T =k) = 1−1 = 0.

2.3 – Conditionnement et ind´ependance 35