3.6 Exercices sur le chapitre 3
EXERCICE 3.2 Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives num´erot´ees 1, . . . , n, . . .. On suppose que les sauts sont ind´ependants les uns des autres, et que P( le sauteur r´eussit sonn-i`eme saut) = n1.
SoitX le dernier saut r´eussi. Quelle est la loi deX? CalculerE(X), Var(X).
EXERCICE 3.3 SiX est `a valeurs dansN, montrer queE(X) =P∞
k=0P(X > k).
EXERCICE 3.4 Le nombre d’accidents N en une semaine dans une usine est al´eatoire d’esp´erance m et de variance σ2. Le nombre d’individus X bless´es dans un accident est al´eatoire, d’esp´eranceµ et de varianceτ2. Tous ces ´ev´enements sont suppos´es ind´ependants.
Donner la fonction g´en´eratrice du nombreY d’individus bless´es par semaine, en fonc-tion des foncfonc-tions g´en´eratrices de N et de X. En d´eduire la valeur des esp´erance et variance deY, en fonction dem,σ2,µet τ2.
EXERCICE 3.5 On ´etudie le flux de v´ehicules durant une tranche horaire donn´ee
`
a un raccordement de routes, d´ecrit dans le dessin ci-dessous.
On noteX (respectivementY), le nombre de v´ehicules empruntant la premi`ere (res-pectivement la deuxi`eme) branche, et doncS =X+Y v´ehicules empruntent l’auto-route apr`es le raccordement. X et Y sont mod´elis´ees par des variables al´eatoires de loi de Poisson de param`etres respectifsλ >0 et µ >0. Les variables al´eatoiresX et Y sont suppos´ees ind´ependantes.
D´eterminer la loi deS et l’esp´erance conditionnelle deX sachantS.
EXERCICE 3.6 Soit Z le nombre d’enfants d’une famille ; X le nombre de filles et Y le nombre de gar¸cons. Nous supposons que la probabilit´e qu’une famille ainsi choisie poss`edekenfants dontnfilles, est donn´ee par :
pk,n=P(Z =k;X =n) =e−22k(0,52)n(0,48)k−n
n!(k−n)! 1{0≤n≤k}.
1) Montrer queZ et X ne sont pas ind´ependantes mais queY etX le sont.
2) Donner la loi conditionnelle de X sachant Z =k. En d´eduire l’esp´erance condi-tionnelle deX sachantZ.
EXERCICE 3.7 Consid´erons un jeu de Pile ou Face, qui associe 1 `a Pile et 0 `a Face. On appelleXn le r´esultat dun-i`eme lancer et on suppose que
P(Xn = 1) =p, o`u p∈]0,1[.
1) Les ´ev´enementsAn={Xn−16=Xn}, pourn≥2, sont-ils ind´ependants ? Discuter selonp.
2) On introduit la variable al´eatoireT d´efinie par
T(ω) = inf{n, Xn−1(ω)6=Xn(ω)}
EXERCICE 3.8 On note P l’ensemble des nombres premiers diff´erents de 1. On sait que toutx∈N∗ s’´ecrit de mani`ere unique comme produit de puissances enti`eres de nombres premiers deP. Pour tout nombre entierp, il existe donc une fonction
Up:N∗→N telle que ∀x∈N∗, x= Πp∈P pUp(x). SoitQla probabilit´e surN∗ d´efinie parQ({x}) =xc2, (0< c <∞).
1) Trouver la loi deUp, pour chaquep∈ P.
2) Calculer Q(Up≥n), pourn∈N.
3) Montrer que pourQ, les variables (Up)psont ind´ependantes.
4) Calculer la fonction g´en´eratrice de la v.a.Up, ainsi que son esp´erance et sa variance.
EXERCICE 3.9 Probabilit´es de Gibbs sur un syst`eme fini.
Rappel: Consid´eronsψ une fonction strictement convexe, et pouri∈ {1, . . . , n}, des
3.6 – Exercices sur le chapitre3 65
1-a) V´erifier queφ: [0,1]→[0,+∞[, φ(t) =−tlogtest strictement concave.
1-b) Montrer queH(p) = 0 si et seulement sipest une mesure de Dirac sur Ω.
1-c) Montrer queH(p)≤ln|Ω|= lnn.
2) Consid´erons une variable al´eatoire r´eelleU, suppos´ee non constante, et pourpune probabilit´e sur Ω, nous noterons hUip son esp´erance et Varp(U) sa variance. Nous appellerons fonction de partition associ´ee `a l’´energieU la fonction
Z(β) =
n
X
i=1
e−βU(ωi), β∈R.
La probabilit´e de Gibbs associ´ee est d´efinie pour chaque ωi parµβ(ωi) :=e−βU(Z(β)ωi)· 2-a) Que vaut lnZ(0) ?
2-b) Montrer que quand β tend vers +∞, µβ devient une probabilit´e uniforme sur l’ensemble Ωmin :={ω; U(ω) = minΩU}, et que lorsqueβ → −∞, µβ devient une probabilit´e uniforme sur Ωmax:={ω; U(ω) = maxΩU}. En d´eduire que
β→+∞lim hUiµβ = min
Ω U ; lim
β→−∞hUiµβ = max
Ω U. (3.25)
2-c) Montrer que l’application d´efinie surRparβ7→lnZ(β) est de classeC∞ et que lnZ)0(β) =−hUiµβ ; lnZ)00(β) = Varµβ(U).
En d´eduire que la fonctionβ7→lnZ(β) est strictement convexe.
3) Notre but est de rechercher une probabilit´eµsur Ω qui maximise l’entropie p→ H(p) et telle quehUiµ=E, o`uE∈] minΩU,maxΩU[ est donn´e.
On admet que, par un th´eor`eme de Lagrange,µest un extremum de la fonction p= (pi;i∈ {1, . . . , n})7→F(p) :=H(p)−β(hUip−E)−λ
n
X
i=1
pi
o`u β est un param`etre `a d´eterminer par la contrainte hUiµ =E et λ un param`etre
`
a d´eterminer par la contrainte que µ est une probabilit´e. Ces param`etres sont les
“multiplicateurs” de Lagrange.
3-a) Montrer qu’il existe un uniqueβ=β(E)∈Rtel que hUiµβ =E.
3-b) Supposons queµβ maximise l’entropie. Montrer qu’alors son entropie vaut H(µβ) = lnZ(β) +β E.
3-c) Montrer que la fonction p7→ H(p)−βhUip−lnZ(β) est n´egative ou nulle, et qu’elle est nulle si et seulement sip=µβ.
En d´eduire queµβ est bien un maximum et que c’est en fait l’unique maximum.
Chapitre 4
Esp´ erance math´ ematique de variables al´ eatoires r´ eelles
Je crois au hasard avec une obstination constante ; c’est mˆeme cela qui fait que lorsque je vois, je vois comme personne d’autre...
Nicolas de Stael.
4.1 Probabilit´ e uniforme et mesure de Lebesgue
Dans ce paragraphe, nous d´ecouvrons les difficult´es importantes que l’on rencontre dans le cas de l’espace fondamental Ω = [0,1]d muni de sa tribu Bor´elienneB[0,1]d. Le cas unidimensionnel [0,1] est l’exemple le plus simple d’un ensemble infini non d´enombrable. Nous allons voir en particulier qu’il n’est pas possible de construire une probabilit´e uniforme qui s’´etend sur P([0,1]), justifiant ainsi le besoin crucial d’introduire des tribus plus petites queP([0,1]).
Pour d´efinir une probabilit´e uniforme λ : B[0,1] −→ [0,1], il est naturel de com-mencer par le sous-ensembleA0⊂ B[0,1] constitu´e des partiesA⊂]0,1] de la forme
A=∪1≤i≤n]ai, bi] pour n∈Net 0≤a1≤b1≤. . .≤an ≤bn≤1. (4.1) Le candidat naturel pour une probabilit´e uniforme se doit d’ˆetre d´efini surA0 par :
λ0(A) :=
n
X
i=1
(bi−ai). pour tout A∈ A0 de la forme (4.1). (4.2)
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L’objectif est maintenant d’obtenir une probabilit´eλsurB[0,1] qui soit une extension deλ0, c’est-`a-direλv´erifiant les propri´et´es de la d´efinition2.9et λ(A) =λ0(A) pour toutA∈ A0.
Th´eor`eme 4.1 (admis) Il existe une unique probabilit´eλsur ([0,1],B[0,1])qui soit une extension de l’applicationλ0 de (4.2).
Cette probabilit´e est appel´ee mesure de Lebesgue sur [0,1] et a la propri´et´e de ne pas charger les points, c’est-`a-dire λ({x}) = 0 pour tout x ∈ [0,1]. Le r´esultat pr´ec´edent repose sur l’application d’un r´esultat difficile de la th´eorie de la mesure dont nous rappelons l’´enonc´e dans le cadre d’une probabilit´e.
Th´eor`eme 4.2 (Caratheodory, admis) Soient
— A0une alg`ebre surΩ(c’est-`a-dire v´erifiant (A1)-(A2)et(A3)f des d´efinitions 2.2et2.3),
— et µ0 : A0 −→[0,1]une fonction v´erifiant les conditions de σ−additivit´e et de masse totale unitaire de la d´efinition 2.9.
Alors il existe une unique probabilit´e µsur A=σ(A0)telle que µ=µ0 sur A0. L’ensemble de cette construction s’´etend au cas multidimensionnel.
Th´eor`eme 4.3 (admis) Pour tout entierd≥1 fix´e, il existe une unique probabilit´e λd´efinie surB[0,1]d qui coincide avec le volume sur les pav´es :
λ Πdi=1]ai, bi]
= Πdi=1(bi−ai), pour tous 0≤ai< bi ≤1, i= 1, . . . , d.
Cette probabilit´eλs’appelle lamesure de Lebesgue sur [0,1]d.
La probabilit´e uniforme sur un ensemble bor´elien born´eV deRd d’int´erieur non vide se d´efinit comme suit. La bornitude deV assure l’existence d’une constanter >0 tell querV ⊂[0,1]d. On peut alors d´efinir la probabilit´e uniforme surV par :
PV(A) = λ(rA)
λ(rV) pour tout A∈ BV.
(On peut v´erifier que le r´esultat ne d´epend pas du choix der). La probabilit´e que le r´esultat tombe dans une partieAdeV est proportionnelle au volume de cette partie.
Sin= 1 etAest un intervalle, le volume est la longueur de l’intervalle. Le cas de la loi uniforme sur [a, b] est donc le cas particulier o`uV = [a, b].
Enfin, cette construction s’´etend surRdet permet de d´efinir une mesure (de masse infinie) sur l’espace (Rd,BRd) qui coincide avec le volume sur les pav´es.