La variation est un concept important qui se manifeste dans un grand nombre de situations. Certaines de ces situations peuvent être modélisées par des fonctions mathématiques simples (fonctions linéaires, exponentielles, périodiques, logistiques). D’autres, en revanche, relèvent de catégories différentes : dans ce cas, l’analyse des données s’avère essentielle pour mieux appréhender la relation envisagée.
La capacité à raisonner en termes de relations et à propos des relations est au cœur de cette idée majeure. Deux éléments clés sont particulièrement exploités ici :
♦ la variété des représentations envisagées : symbolique,
algébrique, graphique, géométrique ou sous forme de tableaux ;
♦ le passage d’un mode de représentation à un autre : cette
flexibilité dans les modes de représentation s’avère essentielle, puisque les diverses représentations peuvent avoir des propriétés spécifiques et servir des objectifs différents.
d) L’incertitude
La compréhension et la critique de données fournies sous différents supports constituent un aspect essentiel de ce domaine, qui implique deux sujets d’études issus des statistiques et des probabilités : les données et le hasard.
3.1.4. La culture mathématique évaluée dans PISA et
l’enseignement des mathématiques en Communauté
française : deux mondes à part ?
Développer, au travers du cours de mathématiques, des compétences citoyennes est un objectif bien présent dans les référentiels de compétences en Communauté française, comme l’illustrent les deux extraits suivants :
« La formation mathématique s’élabore au départ d’objets, de situations vécues et observées dans le réel, de questions à propos de faits mathématiques […].
C’est par la résolution de problèmes que l’élève développe des aptitudes mathématiques, acquiert des connaissances profondes, […] » (Ministère de la Communauté française, 1999a, p. 23).
« Une formation mathématique réaliste et équilibrée […] contribue à asseoir des compétences nécessaires au citoyen pour traiter, par exemple, les questions ordinaires de consommation, les systèmes électoraux, les sondages et enquêtes d’opinions, les jeux de hasard, la lecture de plans et de cartes, les représentations en perspectives, etc. » (Ministère de la Communauté française, 1999b, p. 8).
Des divergences apparaissent cependant entre les deux approches :
♦ dans l’enseignement de transition (général, technique et
artistique), il est clair que le cours de mathématiques ne s’attache pas uniquement à la résolution de problèmes proches de la vie réelle. Une partie essentielle du programme est également consacrée à des mathématiques plus « abstraites »
(algèbre, géométrie, trigonométrie, …) où des approches de résolution de problèmes assez différentes de celles évaluées ici peuvent être mises en œuvre (comme, par exemple, résoudre des problèmes de généralisation en algèbre) ;
♦ dans l’enseignement qualifiant (technique, artistique ou
professionnel), il est clair qu’une place plus grande est accordée aux mathématiques plus concrètes. Celles-ci peuvent alors prendre deux versants complémentaires : la résolution de problèmes relevant de la vie courante (démarche essentielle à tout citoyen – en accord avec la notion de culture mathématique définie dans PISA) et la résolution de problèmes présentant un lien plus direct avec les spécificités des professions auxquelles les élèves se préparent.
D’autres exemples de questions relatives au test de culture mathématiques peuvent être consultés à l’adresse suivante :
http://www.enseignement.be/
Une trentaine de questions restent actuellement non diffusables. Elles seront réutilisées lors des prochains cycles, en vue de constituer un ancrage pour permettre des comparaisons de résultats d’une campagne à l’autre.
3.2. La résolution de problèmes
« La résolution de problèmes renvoie à la capacité d’un individu de mettre en œuvre des processus cognitifs pour affronter et résoudre des problèmes posés dans des situations réelles, transdisciplinaires, dans des cas où le cheminement amenant à la solution n’est pas immédiatement évident et où les domaines de compétence ou les matières auxquels il peut être fait appel ne relèvent pas exclusivement d’un seul champ lié aux mathématiques aux sciences ou à la compréhension de l’écrit » (Ocdé, 2003, p. 175).
Avant de décrire les diverses composantes de l’évaluation de la capacité à résoudre des problèmes, analysons les divergences entre cette évaluation et celle proposée dans le domaine des mathématiques.
3.2.1. Culture mathématique et résolution de problèmes :
quelle complémentarité ?
La capacité à résoudre des problèmes est également au cœur de la culture mathématique. Quelles complémentarités et quelles différences observe-t-on entre les deux domaines ?
Une réelle proximité est inévitable : des compétences proches doivent être mobilisées dans des contextes qui varient. En particulier, le raisonnement analytique est clairement sollicité de part et d’autre. Des différences apparaissent néanmoins : en culture mathématique, les situations impliquent de façon plus directe des concepts mathématiques. La phase de représentation du problème amène à dégager la structure mathématique du problème ; de même, l’étape de résolution proprement dite implique la mobilisation de techniques et procédures relevant directement du champ des mathématiques. En résolution de problèmes, les compétences de représentation et de résolution proprement dite prennent des formes bien différentes, puisque les situations relevant de ce domaine n’amènent pas à mobiliser des concepts mathématiques.
3.2.2. Contextes, types de problèmes, processus de
résolution de problèmes et capacités de raisonnement :
quatre composantes majeures de l’évaluation
Afin de fournir des données pertinentes sur les niveaux de performances des élèves, leurs acquis et leurs difficultés, le programme PISA a élaboré des questions susceptibles d’évaluer différentes facettes du processus complexe de résolution de problèmes. La figure ci-dessous présente les quatre composantes majeures prises en compte dans l’élaboration des épreuves.
Figure 1.8. : Les quatre composantes de l’évaluation de la résolution de
problèmes