6.5 Variations des erreurs syst´ ematiques de la parallaxe
6.5.1 Variation avec la parallaxe
Nous abordons donc ici une partie qui concerne la variation des erreurs syst´ematiques sur la parallaxe en fonction de la parallaxe. Pour ´etudier cette variation, nous devons utiliser une estimation externe de la parallaxe, et les seules estimations externes pour lesquelles on ait suffisamment d’´etoiles aussi bien proches que lointaines sont les paral- laxes spectroscopiques et photom´etriques.
Dans la mesure o`u nous utilisons l’estimation hπH− πSi ou hπH− πPi pour ´etudier
l’´eventuelle erreur syst´ematique sur la parallaxe Hipparcos, nous parlerons de diff´erence syst´ematique.
Mise en ´evidence du biais sur la parallaxe
L’id´ee consiste donc `a tracer la diff´erence πN− πS en fonction de πS o`u on note πS
la parallaxe spectroscopique. De mˆeme, notant πP la parallaxe photom´etrique, on veut
donc ´etudier les diff´erences syst´ematiques de la parallaxe NDAC, πN− πP, en fonction de
πP. On trace donc `a l’aide d’un lissage ces variations (figures 6.25 et 6.24), et on observe
alors un biais positif pour les petites parallaxes, puis de plus en plus n´egatif au fur et `a mesure qu’augmente la parallaxe. Comme ce biais atteint plusieurs mas, surtout pour les parallaxes spectroscopiques, il y a lieu de s’inqui´eter.
On peut alors penser que ce biais est dˆu au fait que πP a une erreur qui est corr´el´ee
avec πN− πP. Si l’on suppose que l’erreur sur la parallaxe spectroscopique et l’erreur sur
la parallaxe photom´etrique sont ind´ependantes, ce qui est le cas si la premi`ere d´epend d’une classification spectrale inad´equate et la deuxi`eme des erreurs observationnelles sur les indices photom´etriques, alors on pourrait penser que (πN− πS) en fonction de πP ne
devrait pas exhiber de biais. La mˆeme observation devrait ˆetre valable pour (πN− πP) en
fonction de πS. Malheureusement les figures 6.26 et 6.27 montrent qu’il n’en est rien.
Pour expliquer ce biais, on a alors pens´e ´ecarter l’id´ee d’un d´ecalage global des ma- gnitudes absolues et revenir sur l’hypoth`ese initiale d’ind´ependance entre l’erreur sur la parallaxe spectroscopique et celle sur la parallaxe photom´etrique.
En prenant les ´etoiles ayant `a la fois une parallaxe NDAC, spectroscopique et pho- tom´etrique, et plus proches que 50 pc (c’est-`a-dire une parallaxe Hipparcos plus pr´ecise que 10%), on peut calculer une magnitude absolue – corrig´ee du biais de ((Lutz-Kelker)) par la formule analytique donn´ee par Smith Jr (1987d) – avec une incertitude inf´erieure `
a 0.22 mag. Pour cet ´echantillon de 294 ´etoiles, nous pouvons calculer des modules de distance NDAC, spectroscopiques et photom´etriques, puis les magnitudes absolues cor- respondantes, si l’on suppose que l’on n’a que peu d’erreur sur la magnitude apparente et sur l’absorption interstellaire. Mspectro− MNDAC apparaˆıt alors nettement corr´el´ee avec
Muvby−β− MNDAC (fig. 6.28).
Le coefficient de corr´elation lin´eaire est 0.5, et le τ de Kendall est 0.3, de probabilit´e quasiment nulle, et on rejette donc l’hypoth`ese d’ind´ependance. Si ceci pourrait expli- quer le biais, il reste `a connaˆıtre la raison de cette d´ependance entre les erreurs sur les magnitudes absolues spectroscopiques et photom´etriques.
Fig. 6.24: Lissage (401 points) des diff´erences πNDAC− πP en fonction de πP
Fig. 6.28: Corr´elation entre Mspectro− MNDAC et Muvby−β − MNDAC pour les ´etoiles avec
πNDAC > 20 mas
Fig. 6.29: Biais th´eorique dˆu `a la dispersion (0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 mag) des magnitudes absolues spectroscopiques
provienne de la magnitude apparente (photo´electrique) ou de l’absorption (faible jusqu’`a 50 pc) que l’on utilise.
Sans rentrer dans le d´etail des calibrations des magnitudes absolues, nous pouvons nous demander s’il n’existe pas alors une erreur syst´ematique sur les magnitudes absolues, qui pourrait expliquer `a la fois les biais mis en ´evidence et la corr´elation mentionn´ee ci-dessus. A titre d’exemple, prenons la calibration obtenue par Crawford (1975) pour les ´etoiles F grˆace `a la photom´etrie de Str¨omgren. Crawford utilise les parallaxes trigonom´etriques les plus pr´ecises [Wooley et al., 1970] pour fixer le point-z´ero des magnitudes absolues. Sur les 43 ´etoiles utilis´ees, 18 ont une mesure pr´eliminaire de la parallaxe par NDAC. Pour ces ´etoiles, la diff´erence moyenne entre la magnitude absolue calcul´ee `a partir de la parallaxe NDAC et la magnitude absolue utilis´ee par Crawford n’est que de −0.03 ± 0.06 mag. Il n’y a donc pas d’´evidence d’un d´ecalage des magnitudes absolues.
Il n’est pas possible de pousser plus loin la recherche sans d´eborder du cadre g´en´eral qui nous concerne. Notons simplement que sur ce mˆeme ´echantillon d’´etoiles, on peut obtenir une estimation de l’erreur moyenne et de la dispersion des magnitudes absolues :
m´ediane dispersion
Muvby−β − MNDAC 0.02 ±0.03 0.38 ±0.03
Mspectro− MNDAC −0.13 ±0.03 0.55 ±0.04
On notera que le d´ecalage des magnitudes absolues spectroscopiques est dans le sens du biais de Malmquist et sans doute dˆu `a ce biais. Les dispersions sont, quant `a elles, `a peine plus grande que ce que l’on pourrait attendre.
Nous ne nous attarderons pas sur ce point, notamment parce qu’il touche `a la cali- bration des magnitudes absolues, mais ´egalement et surtout parce que le biais des figures 6.24 et 6.25 qui nous pr´eoccupe provient en r´ealit´e d’une cause purement statistique que l’on va maintenant expliciter.
Calcul du biais
Comment d´eterminer analytiquement la grandeur du biais observ´e ? L’approche ini- tiale est dˆue `a L. Lindegren (1992c) ; nous allons l’´ecrire de fa¸con bay´esienne.
Si πH est la parallaxe trigonom´etrique Hipparcos, ce que l’on doit calculer est l’esp´e-
rance de (πH − πP) sachant la parallaxe πP (d´esignant ici indiff´eremment la parallaxe
photom´etrique ou la parallaxe spectroscopique).
E[πH− πP|πP] = E[πH− Π|πP] + E[π|πP] − E[πP|πP]
= 0 + E[π|πP] − πP
(6.6)
o`u π est la vraie parallaxe de l’´etoile. Le premier terme du membre de droite est nul sous l’hypoth`ese que les erreurs sur la parallaxe Hipparcos sont ind´ependantes de la parallaxe et d’esp´erance nulle. Si elle n’est pas nulle (point-z´ero), alors on pourra la mettre en ´evidence par un d´ecalage de (πH− πP) − E[πH− πP|πP].
et par d´efinition de l’esp´erance math´ematique
E[π|πP] = R f (π|πP)πdπ
= R f (πP|π)f (π)πdπ
R f (πP|π)f (π)dπ
(6.7) On note que bπ = E[π|πP] est l’estimateur bay´esien ponctuel de la vraie parallaxe sachant
la parallaxe πP.
Si l’on fait maintenant l’hypoth`ese que la distribution de la magnitude absolue utilis´ee MP autour de la vraie magnitude absolue M = m − AV + 5 log π + 5 de l’´etoile est
gaussienne, on obtient : f (MP|M ) = σ 1 M √ 2Πe −1 2(MP −M) 2 σ2 M f (πP|π) = f (MP(πP)|π)|∂M∂πP P | = ke − 1 2 25(log πP−log π)2 σ2 M (6.8)
o`u k d´esigne un terme ind´ependant de π, que l’on ignore parce qu’il se simplifie dans l’´equation 6.7.
Pour calculer E[πH− πP|πP], il reste donc `a prendre une densit´e a priori f (π). En
utilisant une loi beta, L. Lindegren (1992c) obtenait une estimation du biais (fig. 6.29). Nous utiliserons pour notre part une loi a priori `a l’aide de donn´ees externes.
Distribution des vraies parallaxes
Mˆeme si la vraie parallaxe reste inconnue, on a une certaine id´ee a priori de la distri- bution des parallaxes. Dans le cas o`u l’on aurait une population infinie d’´etoiles r´eparties uniform´ement, f (π) serait proportionnel `a π14 ; la distribution serait ´egalement calculable
dans le cas d’un ´echantillon limit´e en magnitude apparente.
Mais dans la pratique, compte-tenu de la composition du Catalogue d’Entr´ee d’Hip- parcos, avec notamment la pr´esence du Catalogue de Gliese (1969), d’un survey avec une limite variable en magnitude, et d’´etoiles des nuages de Magellan, etc, une distribution th´eorique des parallaxes est tout `a fait compliqu´ee `a imaginer. Pour illustrer cette derni`ere remarque, on a trac´e, figures 6.30 et 6.31, la densit´e liss´ee des parallaxes spectroscopiques et photom´etriques, qu’on pense ˆetre assez proche des vraies densit´es pour les plus petites parallaxes. Naturellement, ces deux densit´es ne sont pas suppos´ees ˆetre les mˆemes puisque l’´echantillon d’´etoiles ayant un type spectral n’est pas le mˆeme que l’´echantillon des ´etoi- les ayant de la photom´etrie uvby−β. Il n’en reste pas moins que les irr´egularit´es de ces densit´es montrent bien qu’il est difficile de remplacer la vraie distribution des parallaxes par une distribution th´eorique.
Il semble donc plus r´ealiste de se servir de la distribution observ´ee des parallaxes dans l’´echantillon ´etudi´e. Pour cela, on va, non pas ´etudier la distribution en parallaxe, mais la distribution des modules de distance m − M − AV calcul´es avec les magnitudes
absolues dont on dispose. Comme on peut faire l’hypoth`ese que la magnitude absolue et la magnitude apparente, corrig´ee de l’absorption interstellaire, ont une distribution approximativement gaussienne autour de leur vraie valeur, on peut consid´erer ´egalement que les modules de distance ont une distribution gaussienne. On peut donc obtenir par la m´ethode d´ecrite au §4.3.4 une estimation continue de la densit´e des modules de distance observ´es.
Fig. 6.30: Densit´e liss´ee des parallaxes spectroscopiques pour les ´etoiles ayant une paral- laxe FAST-3P
On prend maintenant par essais successifs une densit´e a priori voisine de cette densit´e observ´ee et on la convolue avec les erreurs jusqu’`a ce qu’on obtienne une densit´e marginale proche de la densit´e observ´ee.
On peut maintenant refaire les graphiques initiaux (fig. 6.24 et 6.25), mais en cor- rigeant l’ordonn´ee de chaque ´etoile par le biais th´eorique calcul´e ci-dessus (fig. 6.32 et 6.33). On constate bien que les diff´erences moyennes (πH− πP) en fonction de πP ne sont
plus vraiment diff´erentes de 0, bien que l´eg`erement n´egatives. Par contre les diff´erences moyennes (πH− πS) continuent `a exhiber un biais tr`es n´egatif, preuve sans doute que l’on
n’a pas r´eussi soit `a prendre une densit´e a priori satisfaisante, soit, plus probablement, `
a estimer correctement les dispersions des magnitudes absolues spectroscopiques ; mais il faudrait multiplier par 2 ces dispersions pour r´eduire le biais, ce qui semble ´etonnant.
On peut noter ´egalement que si l’on n’avait pas corrig´e du biais de Malmquist les parallaxes spectroscopiques, le biais serait encore plus grand ; cette correction n’est peut- ˆ
etre pas non plus ad´equate. Encore une fois, si l’on voulait en savoir plus, il faudrait se pencher sur les calibrations des magnitudes absolues moyennes, ce que nous ne pouvons pas effectuer pour l’instant.
Il est n´eanmoins possible d’obtenir l’indication qu’il n’y a pas de variation des er- reurs moyennes sur les parallaxes pr´eliminaires avec la parallaxe en utilisant l’estimation conditionnelle de la parallaxe trigonom´etrique que l’on a d´ej`a montr´ee (eq. 4.6). Pour cela, notant que (πN− π) − E[πN− π|πN] = E[π|πN] − π = πN+ σ2πN
f0(π
N)
f (πN) − π, on trace
les variations de (E[π|πN] − πP) (fig. 6.34) et (E[π|πN] − πS) (fig. 6.35) en fonction de
πN. On constate que le biais est fortement r´eduit, mais qu’il reste des effets vers π ≈ 10
mas. Ceci indique ´egalement que la correction du biais statistique des parallaxes est beau- coup plus facile avec les parallaxes Hipparcos qu’avec les parallaxes spectroscopiques ou photom´etriques, et c’est sans doute dˆu `a leur qualit´e (erreurs gaussiennes, peu de points aberrants).
`
A la suite des ´etudes pr´ec´edentes, il apparaˆıt clair que si les parallaxes spectrosco- piques et photom´etriques doivent ˆetre utilis´ees pour d´eterminer le point-z´ero des paral- laxes Hipparcos, alors il faudra se plonger attentivement sur l’´etude des dispersions des magnitudes absolues pour chaque type d’´etoile, quitte `a utiliser les parallaxes Hipparcos pour les d´eterminer.
En r´esum´e, les principaux r´esultats de ce paragraphe sont :
– Il n’y a pas de variation sensible des diff´erences syst´ematiques sur la parallaxe pr´e- liminaire Hipparcos avec la parallaxe elle-mˆeme ;
– il n’y a pas d’´evidence statistique d’un d´ecalage global sensible des magnitudes absolues photom´etriques ou spectroscopiques, tout au moins sur les ´etoiles plus pr`es que 50 pc ;
– pour ces ´etoiles, provenant essentiellement du bas de la s´equence principale, la dis- persion des magnitudes absolues est d’environ 0.35 mag pour celles provenant de la photom´etrie de Str¨omgren et de 0.5 mag pour les magnitudes absolues spectrosco- piques ;
– une corr´elation peut ˆetre mise en ´evidence entre les erreurs sur les magnitudes absolues photom´etriques ou spectroscopiques dont l’origine reste `a d´eterminer.
Fig. 6.34: Lissage (801 points) des diff´erences E[π|πNDAC] − πP en fonction de πNDAC