6.2 Les parallaxes FAST et NDAC Comparaisons internes
6.2.1 Aper¸cu des parallaxes pr´ eliminaires
Comme nous l’avons indiqu´e en introduction, page 21, nous disposons des parallaxes pr´eliminaires obtenues apr`es un an de mission, et r´eduites par chacun des consortiums, NDAC (consortium nord) et FAST (consortium sud). Comme le but fix´e n’est pas de comparer les qualit´es ou d´efauts respectifs des r´eductions de chaque DRC, mais plutˆot de commencer `a pr´evoir comment la parallaxe Hipparcos d´efinitive pourra ˆetre valid´ee, nous nous int´eresserons prioritairement `a l’aspect m´ethodologique de cette validation.
Rappelons que chaque consortium a calcul´e une solution 5 param`etres (position (α, δ), mouvement propre (µαcos δ, µδ) et parallaxe π) et une solution 3 param`etres (les mou-
vements propres utilis´es ´etant ceux du Catalogue d’Entr´ee). Nous avons choisi d’utiliser ici principalement la solution 3 param`etres (3P) du consortium FAST et la solution 5 param`etres (5P) du consortium NDAC. La place manquerait en effet pour traiter toutes les solutions acquises (quand on compte ´egalement celles qui avaient ´et´e obtenues avec six mois de donn´ees).
Les distributions de ces parallaxes sont indiqu´ees sur les figures 6.1 et 6.2 pour les solutions FAST-3P et NDAC-5P. L’´ecart-type de ces distributions autour de leur moyenne est respectivement de 10.511 mas et 9.808 mas ; le mode des distributions est voisin de 3.3 mas. Signalons pour qui s’en ´etonnerait qu’une partie des parallaxes obtenues sont n´egatives ; il peut paraˆıtre de prime abord ´etonnant d’obtenir une distance (inverse de la parallaxe) n´egative. Mais l’estimation de la parallaxe qui est obtenue est clairement le r´esultat d’une mesure affect´ee d’une erreur, et pour une ´etoile tr`es lointaine (π ≈ 0 mas), l’estimation (r´ealisation d’une variable al´eatoire) varie autour de 0, et peut donc naturellement ˆetre n´egative. C’est ainsi que nous avons 5 632 ´etoiles avec une parallaxe n´egative pour FAST-3P et 3 982 ´etoiles pour NDAC-5P.
Signalons au passage que la tentation d’´eliminer les ´etoiles avec une parallaxe n´egative serait une erreur (si l’on ose dire). Cette troncature biaiserait gravement la distribution des parallaxes des ´etoiles lointaines, en ne gardant que celles qui ont une erreur positive. Certes les parallaxes n´egatives peuvent sembler inutilisables. En r´ealit´e, elles fournissent tout de mˆeme l’indication que l’´etoile en question est lointaine, renseignement qui peut avoir son utilit´e, et elles indiquent ´egalement l’ordre de grandeur des erreurs sur les pa- rallaxes.
Pour chaque ´etoile, l’erreur sur la parallaxe Hipparcos peut ˆetre consid´er´ee comme d´ependant de la magnitude d’une part (tableau 6.2), et de la latitude ´ecliptique d’autre part (tableau 6.3), si bien que la pr´ecision nominale de 2 milli`emes de secondes d’arc qui est souvent annonc´ee pour Hipparcos peut varier selon ce mod`ele entre 0.6 et 5.6 mas. La magnitude et la latitude ´ecliptique permettent ainsi aux consortiums de calculer une erreur formelle1 s
H sur la parallaxe. Pour chaque ´etoile, on dispose donc, comme donn´ees,
de la parallaxe et de son erreur formelle associ´ee.
1. estimation, `a l’aide d’un mod`ele, de l’´ecart-type de l’erreur al´eatoire et que l’on appellera ´egalement par la suite((erreur interne)). Nous utiliserons l’indice F pour FAST, N pour NDAC, H pour l’une des deux parallaxes d’Hipparcos ; P pour photom´etrique, S pour spectroscopique ; sHd´esignera l’erreur interne et
Fig. 6.1: Distribution des parallaxes pr´eliminaires 3 param`etres obtenues apr`es un an de donn´ees par le consortium FAST (mas)
Tab. 6.2: Erreur formelle en fonction de la magnitude.
Variation de l’erreur formelle sur la parallaxe Hipparcos (pour une mission de 4 ans) en fonction de la magnitude Hp.
Hp ≤ 6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5 9.5-10.5 10.5-11.5 11.5-12.5 > 12.5
σπ 0.9 1.0 1.3 1.6 2.1 2.9 3.5 4.8
(d’apr`es Lindegren & Kovalevsky, 1992)
Tab. 6.3: Erreur formelle en fonction de la latitude.
Variation de l’erreur formelle sur la parallaxe Hipparcos en fonction de la valeur absolue de la latitude ´ecliptique β. Il s’agit d’un facteur multiplicatif `a apporter au tableau 6.2.
|β| 0◦− 24◦ 24◦− 37◦ 37◦− 44◦ 44◦− 53◦ 53◦ − 64◦ 64◦− 90◦
σπ
σπ(moyen) 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7
(d’apr`es Lindegren, 1989, p 321)
La variance des erreurs changeant suivant les ´etoiles, on se doute qu’en cons´equence, lorsqu’on verra la distribution des parallaxes Hipparcos pour des ´etoiles tr`es lointaines, cette distribution n’aura aucune raison d’ˆetre gaussienne (puisque provenant de variables al´eatoires de variances diff´erentes), sauf si les ´etoiles sont de mˆeme magnitude, `a la mˆeme latitude ´ecliptique, et ont le mˆeme nombre de mesures. Par contre, on esp`ere que la distri- bution normalis´ee (parallaxe divis´ee par l’erreur interne) soit gaussienne, et, id´ealement, qu’elle suive la loi normale r´eduite N (0, 12). Cela signifierait qu’il n’y a pas d’erreur sys-
t´ematique, et que, tous les effets ayant ´et´e pris en compte, l’erreur interne rejoint l’erreur externe.
Les distributions des erreurs formelles sF et sN calcul´ees par les consortiums sont
indiqu´ees fig. 6.3 et 6.4 pour les solutions FAST-3P et NDAC-5P respectivement. Les parallaxes dont nous disposons sont celles qui ont une erreur interne inf´erieure `a 4 mas. L’erreur interne est en moyenne hsFi = 2.217 mas pour FAST-3P et hsNi = 2.158 mas
pour NDAC-5P. Les deux distributions de parallaxes en pr´esence sont donc comparables. Ces erreurs internes sont importantes : calcul´ees avec soin, elles apportent une informa- tion compl´ementaire `a la parallaxe observ´ee. En effet, si l’erreur al´eatoire est gaussienne d’esp´erance nulle autour de la vraie parallaxe, il suffit d’avoir l’erreur interne pour connaˆı- tre la distribution compl`ete de l’erreur (les deux premiers moments suffisant `a d´eterminer une loi normale). Par cons´equent, nous ´etudierons dans ce qui suit `a la fois les parallaxes et leur erreur interne, et nous nous servirons des deux pour obtenir le meilleur estimateur de la parallaxe Hipparcos.
Pour l’instant, on peut d´ej`a comparer les parallaxes FAST-3P et NDAC-5P, pour les ´
etoiles communes aux deux solutions (22 820 ´etoiles), grˆace `a l’histogramme des diff´erences de parallaxes, fig. 6.5, et avec l’histogramme des diff´erences normalis´ees, fig. 6.6. Pour ce dernier, les diff´erences sont divis´ees par l’erreur formelle sur la diff´erence, que l’on choi-
Fig. 6.3: Distribution des erreurs internes (sF) sur les parallaxes pr´eliminaires obtenues
sit comme ´etant p(0.95sF)2+ (0.8sN)2. Les coefficients 0.95 et 0.8 qui peuvent sembler
surprenants ont ´et´e choisis pour une raison qui sera ult´erieurement explicit´ee. Indiquons seulement qu’ils sont dˆus au fait que les erreurs sur les parallaxes sont corr´el´ees (puisque les deux consortiums ont utilis´e les mˆemes donn´ees obtenues par le satellite).
Comme on peut le constater sur la premi`ere figure, la moyenne de la diff´erence des parallaxes (−0.04 ± 0.018) n’est pas significativement diff´erente de 0. Sur la deuxi`eme figure, on voit que les erreurs sur la diff´erence des parallaxes sont probablement distribu´ees suivant une loi gaussienne. Le nombre de points est trop important pour que tous les tests de normalit´e soit positifs2, mais des sous-´echantillons de taille plus r´eduite (5 000 ´etoi- les) voient ces tests accept´es. Cette premi`ere comparaison est donc tr`es encourageante, et notamment le fait que la distribution des diff´erences de parallaxes soit si ((propre)) est `a dire vrai inesp´er´e.