Meilleur estimateur de la parallaxe Hipparcos

Il est possible de v´erifier l’estimation pr´ec´edente des erreurs externes. Pour cela, on peut se demander quel va ˆetre le meilleur estimateur de chaque parallaxe Hipparcos d´efinitive, sachant que l’on en aura deux...

Tab. 6.5: Erreur commune.

Recherche de la dispersion commune aux consortiums qui minimise la variance de la pa- rallaxe Var(π) calcul´ee avec les estimateurs conditionnels ; dispersion correspondante de la distribution des meilleures parallaxes Hipparcos (voir §6.2.5).

hσC sNi pVar(π) pV ar(πH) 0.00 6.805 6.9180 0.50 6.755 6.9156 0.60 6.739 6.9152 0.70 6.726 6.9150 0.80 6.716 6.9148 0.86 6.714 6.9149 0.88 6.713 6.9149 0.90 6.714 6.9149 1.00 6.722 6.9150 1.50 7.050 6.9161 2.00 8.191 6.9171

Tab. 6.6: Bilan des erreurs.

Erreurs standards moyennes (mas) sur les parallaxes estim´ees uniquement `a partir des distributions FAST-3P et NDAC-5P.

Solution interne commune r´eduction totale tot/int

FAST-3P 2.22 1.90 2.11 2.84 1.32

NDAC-5P 2.16 1.90 1.73 2.57 1.19

La r´eponse se trouve ˆetre dans l’´etude que l’on a faite au §4.2.1. Par maximum de vraisemblance, on a montr´e que l’estimateur non biais´e de variance minimum se trouve ˆetre : c πH= πF σ2 C+σF2 + πN σ2 C+σN2 1 σ2 C+σF2 + 1 σ2 C+σN2 ≈ πF (1.32sF)2 + πN (1.19sN)2 1 (1.32sF)2 + 1 (1.19sN)2

La variance de cet estimateur ´etant alors 1 1 (1.32sF)2+

1 (1.19sN)2

soit en moyenne environ 1.93 mas. Naturellement, cet estimateur n’a pas grand sens actuellement, puisque l’on utilise une solution 5 param`etres pour NDAC et une solution 3 param`etres pour FAST, mais c’est ainsi que l’on pourrait trouver la meilleure mani`ere de combiner les parallaxes des deux consortiums `a la fin de la mission.

donc de valider le rapport des erreurs externes sur les erreurs internes que l’on a trouv´e au paragraphe pr´ec´edent.

Il est int´eressant de noter que dans la solution 5 param`etres obtenue par le consor- tium Nord, les erreurs de mod´elisation sont semble-t-il assez faibles, peut-ˆetre grˆace au traitement particulier effectu´e pour mod´eliser l’attitude du satellite, notamment l’utili- sation des gyroscopes [Donati et al., 1989]. Les r´esultats pr´ec´edents indiquent ´egalement, contrairement `a ce que l’on pourrait croire, que les mouvements propres obtenus en seule- ment une ann´ee ne d´egradent pas de fa¸con importante les parallaxes obtenues, en tout cas un peu moins que l’utilisation des mouvements propres du Catalogue d’Entr´ee. Certes, l’erreur moyenne de 1.90 mas commune aux consortiums n’est que la pr´ecision apr`es un an de mission. Il serait prudent de penser que ce sera ´egalement la pr´ecision d´efinitive, mais il est clair que l’am´elioration des mouvements propres au fil du temps pourra permettre de diminuer cette erreur.

L. Lindegren (1992a) avait, le premier, fait une estimation des dispersions moyennes globales (commune et propre aux consortiums) avec ce mod`ele d’erreurs additives, en comparant les solutions 3 param`etres des deux consortiums, et en utilisant un mod`ele de la distribution des vraies parallaxes de densit´e f (π) = c(_4.9π )2.05_{(1 +} π

4.9)

−2.05−4.46 _{`a laquelle}

´

etait convolu´ee une double gaussienne, d’´ecarts-type 0.83σ et 1.66σ, σ ´etant d´etermin´e par ajustement. Il obtenait comme r´esultat hσCi = 2.07 mas et hσFi = 1.99 mas (et 1.44 mas

pour l’erreur hσNi sur la parallaxe NDAC-3P). R´esultats concordants, donc, avec ceux

trouv´es ci-dessus. Le fait que l’on trouve ici une dispersion commune plus petite (1.90 mas) est explicable, si l’on se souvient que l’erreur des mouvements propres au sol doit forc´ement contaminer l’erreur commune quand on compare deux solutions 3 param`etres. Nous avons tendance `a pr´ef´erer la m´ethode d´evelopp´ee plus haut pour plusieurs rai- sons. D’abord, cette m´ethode est non param´etrique, et n’utilise que les donn´ees observ´ees, et aucun autre mod`ele ; en effet, compte-tenu de la fa¸con dont a ´et´e fabriqu´e le Cata- logue d’Entr´ee, il sera sans doute difficile de trouver un mod`ele vraiment ad´equat pour repr´esenter la distribution des vraies parallaxes ; pour s’en convaincre, il suffit de regarder la densit´e des parallaxes spectroscopiques, fig. 6.30, ou photom´etriques, fig. 6.31, qu’il aurait ´et´e bien difficile d’imaginer ex nihilo. Ensuite, la seule hypoth`ese qui est faite est la nature gaussienne de la loi des erreurs, dont on a vu le caract`ere raisonnable. De plus, on peut trouver de fa¸con naturelle le meilleur estimateur de chaque parallaxe. Enfin, cette m´ethode permet d’obtenir une erreur((externe)) individuelle pour chaque parallaxe, et non pas simplement une erreur moyenne.

Les r´esultats pr´ec´edents montrent clairement que l’estimation conditionnelle ´etait un outil puissant pour l’analyse des donn´ees. Rappelons qu’elle seule nous a permis d’avoir une estimation ((externe)) des erreurs instrumentales, des erreurs de r´eduction, et du fait que celles-ci sont ind´ependantes de la parallaxe. On a ´egalement obtenu le facteur mul- tiplicatif (1.32/1.19) `a apporter aux erreurs internes qui s’av`erent donc assez pr`es de la v´eritable dispersion des erreurs de la parallaxe. Ceci nous permet alors de calculer le meilleur estimateur de chaque parallaxe Hipparcos et son erreur formelle associ´ee. Le tout, avec seulement deux distributions.

Il semble `a propos de faire les r´eserves d’usage : les r´esultats obtenus peuvent difficile- ment ˆetre qualifi´es d’erreurs externes dans la mesure o`u ils proviennent d’une comparaison de donn´ees provenant du mˆeme satellite et il faudra les v´erifier avec des donn´ees externes.

Ensuite, nous avons adopt´e un mod`ele d’erreurs additives qui suffit dans un premier temps, mais qu’il faudrait ´eprouver. Enfin, cette m´ethode n´ecessiterait des raffinements, en particulier des simulations pour obtenir des barres d’erreur sur les r´esultats et pour v´erifier le domaine de validit´e de la conjecture que nous avons fait lors de l’estimation de l’erreur commune.

Apr`es avoir vu ces comparaisons internes, nous allons donc dans toute la suite nous int´eresser `a comparer les parallaxes pr´eliminaires avec des donn´ees externes. Entre autres, les parallaxes spectroscopiques. C’est pourquoi il faut d’abord se demander comment on peut calculer ces parallaxes de mani`ere `a en avoir un estimateur non biais´e.