6.3 Estimation des parallaxes spectroscopiques
6.3.2 Calcul des parallaxes spectroscopiques
On note au passage que la pente 0.6 qui est utilis´ee couramment est une pente th´eorique et qu’en toute rigueur il faudrait calculer d ln N (m)dm = ln 10d log N (m)dm pour chaque type d’´etoi- les consid´er´e, suivant sa distribution spatiale.
R´ecemment, Luri et al. (1992) ont fait le calcul du biais en utilisant une distribution spatiale r´ealiste des ´etoiles utilis´ees.
Si l’on continue sur le th`eme de la rigueur, notons ´egalement que l’on a fait l’hypoth`ese d’une distribution gaussienne de l’erreur sur la magnitude absolue. Cette hypoth`ese est vraiment du premier ordre et m´eriterait d’ˆetre compl`etement revue, dans la mesure o`u il n’y a aucune raison pour que la dispersion autour de la magnitude absolue moyenne d’un groupe soit gaussienne, pour une simple raison physique qui tient compte de l’´evolution des ´etoiles (par exemple, une ´etoile class´ee naine ne peut pas se trouver sous la ZAMS, et, selon la th´eorie de l’´evolution stellaire, le temps de vie n’est pas le mˆeme sur toute la largeur de la s´equence principale). Une distribution plus ad´equate devrait sans doute ˆetre dissym´etrique et tronqu´ee, et la correction de Malmquist est tr`es sensible `a la forme de la distribution choisie [Jaschek & G´omez, 1985].
On retiendra donc que l’expression du biais de Malmquist la plus fr´equemment utilis´ee (−1.38σ2
M) n’est justifi´ee qu’`a l’aide de trois hypoth`eses simplificatrices : une distribution
gaussienne autour de la magnitude absolue moyenne, une distribution spatiale uniforme, et un ´echantillon complet jusqu’`a une magnitude apparente donn´ee.
6.3.2
Calcul des parallaxes spectroscopiques
Maintenant, pla¸cons-nous dans le cas inverse : supposons que nous ayons un groupe d’´etoiles d’un certain type, de magnitude apparente m, de magnitude absolue M suppos´ee distribu´ee normalement autour de la (vraie) magnitude absolue moyenne M0. En tenant
compte du biais de Malmquist, la distribution des magnitudes absolues pour des ´etoiles de magnitude apparente m, suppos´ees de densit´e constante, devient :
Φ0m(M ) = Φ0 σM √ 2Πe −1 2 (M −Mm)2 σ2 M
Utilisant5 ensuite M = m + 5 log π + 5, Smith Jr trouve l’expression de la distribution des parallaxes spectroscopiques des ´etoiles de magnitude apparente m :
φm(π) = k(m, M0, σM)e −1 2 25(log π−log π∗)2 σ2 M o`u π∗ = π0· 10−0.368σ 2
M est donc l’estimateur le plus probable de la parallaxe spectrosco-
pique des ´etoiles de magnitude apparente m, et π0 = 10−
(m−M0+5)
5 l’estimateur que l’on a
l’habitude d’utiliser, en utilisant l’expression de la loi de Pogson.
Smith Jr utilise ensuite la formule de Bayes pour trouver l’estimateur le plus probable de la vraie parallaxe, connaissant la parallaxe spectroscopique la plus probable et la pa- rallaxe trigonom´etrique.
Comme le raisonnement apparaˆıt correct, et que le but fix´e est de comparer des pa- rallaxes spectroscopiques aux parallaxes d’Hipparcos, faut-il donc utiliser cet estimateur π∗ `a la place de π0?
Tout d’abord, on peut voir la diff´erence entre ces deux estimateurs comme la combi- naison de deux effets, par ordre d’importance :
– l’utilisation de la magnitude absolue moyenne biais´ee Mmau lieu de M0, c’est-`a-dire
la correction de Malmquist ((`a l’envers)),
– l’utilisation de la valeur la plus probable de la parallaxe.
En ce qui concerne le deuxi`eme point, on peut raisonner de la fa¸con suivante :
Notons hM i la moyenne des magnitudes absolues (suivant le cas, M0 ou Mm). Par
hypoth`ese, la magnitude absolue M de l’´etoile suit une loi gaussienne N (hM i, σM2), donc
ln 10 5 (M − m − 5); N ( ln 10 5 (hM i − m − 5), ( ln 10 5 σM) 2 )
Alors la vraie parallaxe de l’´etoile π = e[ln 105 (M −m−5)] suit une loi log-normale dont on
sait qu’en l’occurence :
– sa m´ediane (valeur equiprobable) est πmed = e
ln 10
5 (hM i−m−5)= 10−
(m−hM i+5) 5 ,
– sa moyenne (esp´erance) est πmed× 10
1 2 ln 10 25 σ 2 M,
– son mode (valeur la plus probable) πmed× 10−
ln 10 25 σ
2 M,
– et sa variance est πmed2× 10
ln 10 25 σ 2 M(10 ln 10 25 σ 2
M − 1) (on n’utilise en r`egle g´en´erale que
l’approximation du premier ordre (0.4605πmedσM)2)
Simulation
Comme nous voulons ult´erieurement utiliser la moyenne de parallaxes spectroscopi- ques pour l’´etude des parallaxes pr´eliminaires d’Hipparcos, nous devons essayer d’obtenir son estimateur le moins biais´e, et d’abord de savoir si ce biais est vraiment important.
Pour en avoir le cœur net, nous nous sommes donc livr´e `a une simulation d’un ´echan- tillon d’´etoiles pour lesquelles la parallaxe ´etait fix´ee `a l’avance. Cette simulation est conduite de la mani`ere suivante :
1. On tire suivant une loi uniforme des positions (X, Y, Z) d’´etoiles (entre 20pc et rlim = 500pc), et on calcule les distances r = 1π =
√
X2+ Y2+ Z2 en limitant r `a
la distance rlim
2. On fixe la vraie magnitude absolue M0 du groupe (ici M0 = 0), et on tire suivant
une loi gaussienne une magnitude absolue ((individuelle)) M de moyenne M0 et de
dispersion intrins`eque σM (ici σM = 0.5).
3. On d´eduit de la parallaxe π et de la magnitude absolue M la magnitude apparente m de chaque ´etoile.
On a alors un ´echantillon d’´etoiles d’un certain type, de magnitude apparente connue, de densit´e constante, complet en volume, et pour lequel la distribution de la magnitude absolue autour de la magnitude absolue moyenne est gaussienne. Dans le cas particulier indiqu´e entre parenth`eses (M0 = 0), cela correspond approximativement aux naines B
tardives du voisinage solaire.
On calcule ensuite les parallaxes spectroscopiques, 1. avec l’estimateur usuel : π0 = 10−
(m−M0+5)
5 qui correspond donc `a la m´ediane de la
distribution des parallaxes, connaissant m,
2. avec l’estimateur le plus probable, connaissant la magnitude apparente, tel qu’il est indiqu´e par Smith Jr : π∗ = π0· 10−0.368σ
2 M
3. avec l’estimateur de la moyenne d’une distribution log-normale : eπ = π0· 100.046σ
2 M
si l’´echantillon est limit´e en volume et eπ = π0· 10−0.230σ
2
M si l’´echantillon est limit´e
en magnitude.
On compare ces trois estimateurs π0, π∗ eteπ `a la ((vraie)) parallaxe π, – dans cet ´echantillon complet en volume jusqu’`a r = rlim,
– dans un sous-´echantillon limit´e `a la magnitude apparente mlim que l’on estime qua-
siment complet (`a 98%) en choisissant mlim= (M0− 2σM) + 5 log rlim− 5
Comme ces estimateurs varient de mani`ere importante avec la distance de l’´etoile (et pour cause), plutˆot que d’estimer la diff´erence absolue entre la parallaxe estim´ee et la vraie, on ´etudie la variation relative δ = πestimateur−πvraie
πvraie dont les distributions se trouvent
Fig. 6.11: Comparaison des diff´erents estimateurs de la parallaxe spectroscopique, pour l’´echantillon limit´e `a la distance rlim = 500pc (en haut), pour l’´echantillon limit´e `a la
De fa¸con qualitative, on note imm´ediatement que dans le cas d’un ´echantillon limit´e en volume, l’estimateur de Smith Jr sous-estime d’environ 20% la vraie parallaxe, et dans le cas d’un ´echantillon limit´e en magnitude apparente, l’estimateur usuel la sur- estime d’environ 20%. Ces chiffres correspondent au cas o`u la dispersion des magnitudes absolues est de 0.5 magnitudes, et peuvent augmenter consid´erablement si σM est voisin
de 1 magnitude.
Si l’on veut maintenant connaˆıtre plus quantitativement hδi, on remarque que les distributions de δ sont log-normales. Ceci pose donc le probl`eme de l’estimateur de centre `
a choisir... Les moyennes, m´edianes et modes des distributions de δ sont donc indiqu´ees dans le tableau 6.7 dans le cas d’un ´echantillon limit´e en volume, et dans le tableau 6.8 dans le cas d’un ´echantillon limit´e en magnitude apparente. Ces r´esultats ont ´et´e obtenus sur 2000 simulations et les barres d’erreurs r´esultent de ces simulations (ces erreurs sont gaussiennes).
Tab. 6.7: Estimateurs pour une limite en volume.
Diff´erence relative moyenne en % entre les diff´erents estimateurs de la parallaxe et la vraie parallaxe, dans le cas de l’´echantillon limit´e en volume. Cette diff´erence moyenne est estim´ee `a partir de la moyenne empirique, de la m´ediane et du mode de la distribution des diff´erences.
Estimateur usuel Smith Jr moyenne Moyenne 2.7 ±0.1 -16.9 ±0.2 5.4 ±0.1 M´ediane -0.1 ±0.2 -19.2 ±0.2 2.6 ±0.2 Mode -5.2 ±3.4 -23.7 ±3.2 -2.8 ±3.6
Tab. 6.8: Estimateurs pour une limite en magnitude.
Mˆeme l´egende que le tableau pr´ec´edent, dans le cas de l’´echantillon limit´e en magnitude apparente.
Estimateur usuel Smith Jr moyenne Moyenne 21.5 ±0.5 -2.7 ±0.2 5.4 ±0.3 M´ediane 18.6 ±0.6 -5.0 ±0.4 2.9 ±0.4 Mode 12.9 ±5.4 -9.8 ±4.4 -2.4 ±4.7
Ces tableaux confirment le r´esultat qualitatif et indiquent de plus que lorsqu’on com- parera les parallaxes spectroscopiques aux parallaxes Hipparcos, la mani`ere de calculer la diff´erence moyenne conditionnera le choix de l’estimateur de la parallaxe spectroscopique : mais si l’on veut utiliser la moyenne empirique, on constate qu’aucun des estimateurs de la parallaxe spectroscopique ne conduit `a δ ≈ 0.
la parallaxe spectroscopique, la moyenne empirique δ s’´ecrit : δ = 1n n P i=1 π0i−πi πi = 1 n n P i=1 10[−(mi−hMi+5)+(mi−Mi+5)]5 − 1 = n1 n P i=1 eln 105 (hM i−Mi)− 1 ≈ 1 n n P i=1 1 + ln 10 5 (hM i − Mi) + 1 2( ln 10 5 ) 2(hM i − M i)2+ ... − 1 ≈ 1 n ln 10 5 n P i=1 (hM i − Mi) + 12(ln 105 )2 1n n P i=1 (hM i − Mi)2 ≈ 1 2( ln 10 5 ) 2σ2 M (6.4)
en n´egligeant dans (6.4) les termes d’ordre ≥ 4 (le terme d’ordre 3 s’annulant si la distri- bution des magnitudes absolues est gaussienne), ce qui repr´esente une erreur relative de ≈ 3% pour σM = 0.5.
Dans ce cas, cela sugg`ere la correction 10 −12 ln 10
25 σ 2
M `a l’estimateur usuel, ce que l’on
v´erifie imm´ediatement en refaisant le calcul pr´ec´edent avec ce nouvel estimateur. En d´efinitive, on a donc trouv´e l’estimateur de πS qu’il faut prendre si l’on veut utiliser la
moyenne empirique de parallaxes spectroscopiques :
πS = ( π0.10 − 1 2 ln 10 25 σ 2 M ≈ π0.10−0.046σ2M (limite en volume) π0.10−( ln 10 5 d log N (m) dm + 1 2 ln 10 25 )σM2 ≈ π0.10−0.322σ2M (limite en magnitude) (6.5)
La justesse du choix de cet estimateur de la parallaxe, quand on utilise la moyenne em- pirique, est montr´ee sur le tableau 6.9 ; malgr´e l’approximation utilis´ee, l’estimateur est valable sur la plage de variation de la dispersion des magnitudes absolues, et nettement meilleur que les trois estimateurs (π0, π∗, eπ) ci-dessus.
Tab. 6.9: Variation de πS avec la magnitude absolue.
Diff´erence relative en % entre l’estimateur πS de la parallaxe spectroscopique et la vraie
parallaxe, dans le cas de l’´echantillon limit´e en volume, en fonction de la dispersion de la magnitude absolue.
σM 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
δ -.000±.005 -.001±.023 .002±.061 .000±.132 .008±.254 .017±.448 .019±.738
Conclusion
1. On ne peut pas calculer un estimateur de la moyenne des parallaxes spectrosco- piques d’un groupe d’´etoiles sans se poser la question de la forme de s´election de l’´echantillon,
3. Si cette parallaxe moyenne de l’´echantillon est estim´ee avec la moyenne empirique, il faudra appliquer le facteur correctif ×10−0.046σM2 .
Le dernier probl`eme `a r´egler concerne maintenant la notion de limitation en volume. Pour limiter un ´echantillon en volume, encore faut-il connaˆıtre la distance de chaque ´
etoile, et c’est justement ce que l’on cherche `a d´eterminer. On ne peut ´evidemment pas utiliser l’estimateur de la parallaxe spectroscopique ou photom´etrique, puisque limiter des ´
etoiles de magnitude absolue M0 `a la distance rlim = 10
(m−M0+5)
5 revient exactement au
mˆeme que conserver celles avec m < M0+ 5 log rlim− 5 ; autrement dit, en utilisant cet
estimateur pour limiter en volume, on limite en fait en magnitude. Si l’on ne dispose que de la magnitude apparente pour s´electionner les ´etoiles, il n’est donc pas possible d’obtenir un ´echantillon complet en volume.
En revanche, si l’on connaˆıt la parallaxe trigonom´etrique – mˆeme affect´ee d’une erreur de mesure – on pourrait penser s’en servir pour d´efinir son ´echantillon. Ceci ne veut pas dire que l’on s’est affranchi des biais de s´election : comme la parallaxe trigonom´etrique a une erreur de mesure et qu’il y a plus d’´etoiles en dehors du volume d´elimit´e qu’`a l’int´erieur, on va faire rentrer plus d’´etoiles lointaines que l’on va faire sortir d’´etoiles proches, biaisant de nouveau la parallaxe moyenne de l’´echantillon [Trumpler & Weaver, 1953]. Mais il existe d’autres cas o`u l’on a une limitation en volume, et c’est par exemple le cas quand on utilise des ´etoiles qui sont approximativement `a la mˆeme position spatiale (un amas).