II.4 R´egime de diffusion multiple
II.4.3 Variance des coefficients de la matrice K
Dans ce paragraphe, nous exposons les diff´erentes origines physiques responsables de l’h´et´ero- g´en´eit´e de la variance des ˜kij. Pour cela, nous exprimons th´eoriquement ces coefficients en
r´egime de diffusion multiple. Nous montrons ensuite que l’effet de r´etrodiffusion coh´erente et la croissance progressive du halo diffusif sont responsables de la distribution h´et´erog`ene des ˜kij.
Enfin, nous verrons comment ces effets peuvent ˆetre compens´es afin d’obtenir des coefficients identiquement distribu´es, comme le requiert la RMT.
Expression des coefficients ˜kij en r´egime de diffusion multiple
Les signaux kij(T, f ) au temps T et `a la fr´equence f correspondent `a la somme d’ondes
partielles qui atteignent la barrette dans la fenˆetre temporelle [T− ∆t/2; T + ∆t/2]. Elles sont associ´ees `a des chemins de diffusion multiple dont les longueurs appartiennent `a l’intervalle [R − ∆r/2; R + ∆r/2], o`u R = cT/2 et ∆r = c∆t/2 (c est la vitesse du son dans l’eau). Des exemples de chemins de diffusion multiple sont donn´es sur la figure Fig.II.1. La r´eponse
kij(T, f ) peut ˆetre d´ecompos´ee sous la forme d’une somme d’ondes partielles associ´ees aux Np
chemins possibles. Dans une configuration 2D, sous l’approximation paraxiale et en supposant les transducteurs ponctuels, kij(T, f ) peut s’´ecrire :
kij(T, f )∝ Np X p=1 Bp exphjkZp(1)+ Zp(2) i q Zp(1)Zp(2) exp jk xi− Xp(1) 2 2Zp(1) exp jk xj − Xp(2) 2 2Zp(2) (II.6) o`u k = 2πf /c est le nombre d’onde. L’indice p repr´esente le p`emechemin qui contribue au signal re¸cu au temps T . Xp(1), Zp(1)
etXp(2), Zp(2)
sont respectivement les coordonn´ees des premier et dernier diffuseurs le long d’un chemin p. Bp est l’amplitude complexe associ´ee au chemin p,
du premier ´ev`enement de diffusion en Xp(1), Zp(1)
jusqu’au dernier ´ev`enement de diffusion en
Xp(2), Zp(2)
. Compte tenu du grand nombre de chemins, on s’attend, d’apr`es le th´eor`eme de la limite centrale, `a ce que les coefficients kij soient des variables al´eatoires complexes gaussiennes.
La renormalisation selon Eq.II.2 conduit `a une s´erie de matrices ˜K. Si les kij ´etaient identi-
quement distribu´es, les coefficients renormalis´es ˜kij seraient des variables al´eatoires complexes
distribu´ees selon une loi normaleN 0, σ2 ij
avec une variance σ2
ij = 1/N . La figure II.7 pr´esente
l’histogramme des ´el´ements ˜kij(T, f ) construit en consid´erant tous les couples (i, j), temps T
et fr´equences f : un excellent accord est obtenu avec la loi normale N 0, 1 N
.
Fig. II.7: Histogramme de la partie r´eelle des ´el´ements ˜kij(T, f ) compar´e `a la loi gaussienne N 0, 1
2N
. L’histogramme des ˜kij a ´et´e obtenu en consid´erant tous les couples (i, j), temps T
et fr´equences f .
Cependant, cet accord n’est que de fa¸cade car nous avons construit l’histogramme sur l’en- semble des couples (i, j). En fait, si on l’avait construit pour un couple source/r´ecepteur (i, j) particulier, la distribution exp´erimentale de ˜kij tendrait toujours vers une loi normale, mais
avec une variance σ2
ij diff´erente de N1. Cette derni`ere affirmation est illustr´ee sur la figure II.8.
L’intensit´e ˜kij 2 T,f
(a) (b)
Fig. II.8: (a) Intensit´e moyenne des coefficients ˜kij, normalis´es par 1
N. La moyenne est r´ealis´ee
sur le temps T et la fr´equence f . (b) N ˜kij
2 T,f repr´esent´ee en fonction de i− j couple source/r´ecepteur (i, j) (Fig.II.8(a)). ˜kij
2 T,f
constitue un estimateur de la variance σ2
ij. D’une part, les ´el´ements diagonaux ˜kiipr´esentent une variance double compar´e aux ´el´ements
non-diagonaux. D’autre part, la variance des ´el´ements hors-diagonale d´ecroˆıt avec la distance |i − j| entre source et r´ecepteur. A partir de ces r´esultats, on peut mod´eliser empiriquement la variance des coefficients de la matrice ˜K de la mani`ere suivante :
N σij2 = N ˜kij 2 ≃ δij + g(|i − j|) (II.7)
o`u δ est le symbole de Kronecker et g une fonction d´ecroissante tel que g(0) = 1. Influence de l’effet de r´etrodiffusion coh´erente
La variance double des ´el´ements diagonaux compar´e aux ´el´ements hors-diagonale r´esulte de l’effet de r´etrodiffusion coh´erente [2, 3, 4, 5, 6]. Ce ph´enom`ene a ´et´e expliqu´e en d´etail au chapitre I. Rappelons juste qu’il n’apparaˆıt qu’en r´egime de diffusion multiple et seulement si la r´eciprocit´e spatiale est bien respect´ee. Si source et r´ecepteur sont identiques (i = j), chaque chemin p dont les premier et dernier diffuseurs rencontr´es sont de coordonn´ees Xp(1), Zp(1)
et Xp(2), Zp(2)
, interf`erent constructivement avec le chemin r´eciproque de p dont les premier et dernier diffuseurs sont situ´es en Xp(2), Zp(2)
et Xp(1), Zp(1)
(voir Eq.II.6). Les ´el´ements diagonaux ˜kiiont ainsi une variance deux fois plus grande que celle des ´el´ements hors-diagonale.
Cet effet pourrait ´egalement affecter les coefficients proches de la diagonale. La largeur typique du cˆone de r´etrodiffusion coh´erente est de l’ordre de a
k√D(T −2a/c)(Eq.I.58), qui doit ˆetre compar´ee
`a l’espace inter-´elements p de la barrette. Dans notre configuration exp´erimentale, on a T > 70 µs, D ≃ 4mm2/µs [51], a = 25 mm d’o`u a
k√D(T −2a/c) < 0, 16 mm, alors que l’espace
coh´erente est strictement limit´ee aux ´el´ements diagonaux. Finalement, apr`es renormalisation (Eq.II.2), la prise en compte du ph´enom`ene de r´etrodiffusion coh´erente revient `a ´ecrire la variance de ˜kij comme σ2ij =
1+δij
N +1 (voir Annexe II.A.2, Eq.II.32).
On peut se demander si cette variance double des ´el´ements diagonaux peut avoir une quelconque influence sur la distribution des valeurs singuli`eres. En fait, nous montrons en An- nexe II.A.2 que, si la dimension N de la matrice K est suffisament grande, l’influence du pic de r´etrodiffusion coh´erente peut ˆetre n´eglig´ee, `a condition bien sˆur que la matrice ait ´et´e au pr´ealable renormalis´ee (Eq.II.2). On le prouvera par ailleurs lorsque l’on compensera artificiel- lement l’h´et´erog´en´eit´e de la variance des ˜kij(voir Chap.II.4.3) : aucun changement significatif
au niveau de la distribution des valeurs singuli`eres ne sera observ´e. Croissance non-instantan´ee du halo diffusif
La variance double le long de la diagonale de ˜K n’est pas la seule d´eviation par rapport `a l’hypoth`ese de distribution identique des ˜kij. En effet, si on s’int´eresse `a l’´evolution de σij2
en fonction de (i − j) (voir Fig.II.8(b)), on observe que σ2
ij n’est pas uniforme : il d´ecroˆıt
avec la distance x = |i − j|p entre la source i et le r´ecepteur j. Cela est dˆu `a la croissance du halo diffusif (i.e intensit´e incoh´erente) dans le milieu diffusant, croissance qui n’est pas instantan´ee mais d´epend de la constante de diffusion (voir Chap.I). Dans une configuration champ proche (a << N p, N p ´etant la taille de la barrette), σ2
ij d´ecroˆıt en exp − x2 4DT . Et d`es que √DT devient grand devant la taille de la barrette (N p), σ2
ij peut ˆetre consid´er´e comme
constant. En champ lointain (a >> N p), σ2
ij est toujours constant, tant que i 6= j. Comme on
l’a vu au paragraphe Chap.I.2.6, les exp´eriences ultrasonores correspondent `a une configuration interm´ediaire entre champ proche et champ lointain. La d´ecroissance de σ2
ij avec|i−j| est visible
(en particulier aux temps courts), et cela pourrait ˆetre `a l’origine du l´eger d´esaccord observ´e entre la distribution exp´erimentale des valeurs singuli`eres et la loi du quart de cercle pr´edite par la RMT(Fig.II.6). Dans le paragraphe suivant, nous montrons comment les fluctuations de σ2
ij peuvent ˆetre compens´ees afin de mieux respecter l’hypoth`ese de distribution identique des
˜ k2
ij.
Imposer une distribution identique des coefficients de la matrice K Une solution pour s’affranchir des variations de σ2
ij est tout simplement de les estimer, puis
de les compenser. σ2
ij ne d´epend que du temps T et de la distance|i − j| entre la source i et le
r´ecepteur j (Eq.II.7). Par cons´equent, nous pouvons estimer σ2
ij en moyennant ˜kij(T, f ) 2 sur la fr´equence f et sur les ´el´ements (i, j) s´epar´es de la mˆeme distance m = |i − j| :
b σ2(T, i− j) = ˜k ij(T, f ) 2 f,{(i,j) | m=|i−j|} (II.8)
o`u bσ2(T, m) est l’estimateur de σ2
ij. L’´etape suivante consiste `a normaliser une nouvelle fois les
˜ kij `a chaque temps T : ˜ kijC(T, f ) = q k˜ij(T, f ) b σ2(T,|i − j|) (II.9) Un ensemble de matrices ˜KC
(T, f ) est ainsi construit `a partir des matrices ˜K(T, f ). On peut montrer que les coefficients ˜kC
ij(T, f ) v´erifient bien l’hypoth`ese de distribution identique : la
variance des ˜kC
ij est ´egale `a 1/N quel que soit le couple (i, j) consid´er´e. Une fois cette op´eration
effectu´ee, une nouvelle distribution de valeurs singuli`eres est obtenue et trac´ee sur la figure Fig.II.9(b).
Fig.II.9: Distributions de valeurs singuli`eres obtenues `a partir des matrices ˜Ktet ˜KC
t compar´ees
`a la loi du quart de cercle (Eq.II.4)
Les deux s´eries de matrices ˜Ktet ˜KCt conduisent `a des spectres de valeurs singuli`eres similaires.
Cela signifie que les variations de σ2
ij ne sont pas assez importantes pour pouvoir influencer
significativement la distribution des valeurs singuli`eres. N´eanmoins, dans d’autres configurations exp´erimentales, ces variations de σ2
ij pourraient avoir une influence plus importante. Ce serait le
cas par exemple dans une configuration champ proche pour laquelle la croissance du halo diffusif en fonction du temps est plus marqu´ee. La distribution des valeurs singuli`eres s’en ressentirait, en particulier aux temps courts.