L’exp´erience a lieu dans une cuve `a eau. On utilise une barrette ´echographique disposant de N transducteurs ind´ependants (N = 64, dans notre cas), de fr´equence centrale 3 MHz et dont la bande de fr´equence est comprise entre 2,5 et 3,5 MHz. La taille d’un ´el´ement est de 0,39 mm et l’espace inter-´el´ements p est de 0,417 mm. La fr´equence d’´echantillonnage est de 20 MHz. La barrette est plac´ee face au milieu que l’on d´esire ´etudier (voir Fig.II.1).
lin´eaire de 100 µs est ´emis par l’´el´ement i dans le milieu diffusant. L’onde r´etrodiffus´ee est ensuite mesur´ee par les N transducteurs du mˆeme r´eseau. L’op´eration est r´ep´et´ee pour les N transducteurs ´emetteurs. La r´eponse entre les transducteurs i et j est corr´el´ee avec le chirp ´emis, ce qui donne acc`es `a la r´eponse impulsionnelle hij(t). Une matrice de r´eponse H(t) de
taille N × N contenant les N2 r´eponses impulsionnelles h
ij(t) est ainsi obtenue. Du fait de
la r´eciprocit´e spatiale, hij(t) = hji(t) et H(t) est sym´etrique. On prendra comme origine des
temps l’instant o`u la source ´emet l’onde incidente.
Un milieu diffusant est essentiellement caract´eris´e par son libre parcours moyen le et son
coefficient de diffusion D. Si la longueur du chemin de diffusion au sein du milieu diffusant est sensiblement sup´erieur `a le, la diffusion multiple pr´edomine. Celle-ci va donc se manifester dans
les signaux hij(t) aux temps t longs devant le/c.
Fig. II.1: Dispositif exp´erimental : un r´eseau lin´eaire de 64 ´el´ements est plac´e `a une distance a d’un milieu al´eatoire. Le dispositif entier est immerg´e dans l’eau. La r´eponse inter-´el´ements kij(T, f ), mesur´ee autour du temps de vol T et `a la fr´equence f , correspond `a la somme
d’ondes partielles simplement et multiplement diffus´ees qui empruntent des chemins de longueur comprises dans l’intervalle [R− ∆r/2; R + ∆r/2], o`u R = cT/2 et ∆r = c∆t/2. Un exemple de chemin simplement diffus´e (chemin s) qui contribue `a kij(T, f ), est repr´esent´e avec des
fl`eches rouges ; les coordonn´ees (Xs, Zs) correspondent `a la position du diffuseur impliqu´e dans
le chemin de diffusion s. Un chemin de diffusion multiple (chemin m), qui contribue ´egalement `a kij(T, f ), est repr´esent´e avec des fl`eches bleues ; (Xm(1), Zm(1)) et (Xm(2), Zm(2)) correspondent aux
positions des premiers et derniers diffuseurs le long du chemin m. Un autre chemin de diffusion multiple (chemin m′) est d´ecrit avec des fl`eches vertes : il suit la mˆeme trajectoire que m dans
le milieu mais est associ´e `a un couple source/r´ecepteur diff´erent.
La matrice des r´eponses impulsionnelles H(t) est tronqu´ee en fenˆetres de temps successives, assez courtes pour conserver la r´esolution temporelle des exp´eriences ultrasonores et ´etudier la transition du r´egime de diffusion simple (temps courts) au r´egime de diffusion multiple (temps
longs). Les signaux temporels hij(t) sont d´ecoup´es en fenˆetres temporelles de dur´ee ∆t (voir
Fig.II.2) : kij(T, t) = hij(T − t)WR(t) avec WR(t) = 1 pour t ∈ [−∆t/2 , ∆t/2], WR(t) = 0
partout ailleurs.
Fig. II.2: Principe du d´ecoupage en fenˆetres de temps succesives de hij(t)
La valeur de ∆t est choisie telle que les signaux associ´es `a un mˆeme chemin diffusant au sein du milieu (par exemple les chemins m et m′ de la figure II.1) apparaissent dans la mˆeme fenˆetre
temporelle. Le calcul d´etaill´e de ∆t est donn´e en Annexe II.A.1. Dans nos exp´eriences, nous avons typiquement ∆t ∼ 30 p´eriodes du signal ´emis. A chaque temps T , les kij forment une
matrice K. Le passage dans le domaine de Fourier est assur´e par une transform´ee de Fourier discr`ete (DFT). On obtient alors une s´erie de matrices K(T, f ), chacune associ´ee `a un temps de vol T et une fr´equence f . La d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD) des matrices K(T, f ) est ensuite r´ealis´ee num´eriquement :
K(T, f ) = U(T, f )Λ(T, f )V(T, f )† (II.1) o`u Λ est une matrice diagonale contenant les valeurs singuli`eres positives et r´eelles λi rang´ees en
ordre d´ecroissant (λ1 > λ2 > ... > λN). U et V sont des matrices unitaires dont les colonnes Ui
et Vi correspondent aux vecteurs singuliers norm´es. N valeurs singuli`eres λi sont ainsi obtenues
`a chaque temps T et fr´equence f .
L’´etape suivante consiste `a ´etudier la distribution des valeurs singuli`eres. On peut d’ores et d´ej`a noter que nous n’avons acc`es qu’`a une seule r´ealisation du d´esordre : le milieu diffusant est fix´e, il ne peut donc pas y avoir a priori de moyenne d’ensemble. En pratique, cette derni`ere sera approch´ee en moyennant sur la fr´equence et le temps. Les diff´erents th´eor`emes ´etablis dans le cadre de la RMT sont fond´es sur l’hypoth`ese suivante : les coefficients de la matrice al´eatoire doivent ˆetre `a moyenne nulle et de variance 1/N [76]. La premi`ere condition est facilement r´ealis´ee, si on suppose que les kij(T, f ) sont la somme d’ondes partielles `a phase
al´eatoire uniform´ement distribu´ee entre−π et +π. Afin de r´ealiser la seconde condition et ainsi pouvoir comparer les r´esultats exp´erimentaux aux pr´edictions th´eoriques, nous sommes amen´es `a renormaliser la matrice K en une matrice ˜K. Cette matrice ˜K pr´esentent les mˆemes espaces
propres que la matrice K, mais ses valeurs singuli`eres ˜λi sont normalis´ees, de telle sorte que : ˜ λi = λi q 1 N PN p=1λ2p (II.2) Une fois cette renormalisation effectu´ee, on peut enfin ´etudier la distribution exp´erimentale des valeurs singuli`eres. On construit pour cela l’histogramme H(λ) de l’ensemble des valeurs singuli`eres ˜λi(T, f ), prises `a chaque rang i, temps T et fr´equence f . Les classes de l’histogramme
sont les intervalles [mw; (m + 1)w], o`u w correspond `a la largeur de chaque classe et m est un entier naturel.H(λ) repr´esente le nombre de valeurs singuli`eres ˜λi(T, f ) contenues dans la mˆeme
classe que λ. Un estimateur ˆρ(λ) de la densit´e de probabilit´e des valeurs singuli`eres ρ(λ) est ensuite obtenu en normalisant H(λ) :
ˆ
ρ(λ) = H(λ)
nw (II.3)
o`u n est le nombre total de valeurs singuli`eres (n = N × nT × nf, o`u nT est le nombre de
fenˆetres de temps consid´er´ees et nf le nombre de fr´equences sur laquelle la transform´ee de
Fourier discr`ete des kij a ´et´e effectu´ee). Aux temps courts (cT ∼ le) la diffusion multiple peut
ˆetre n´eglig´ee, tandis qu’aux temps longs, elle domine. Dans la suite de ce chapitre, la distribution th´eorique des valeurs singuli`eres va ˆetre compar´ee `a l’estimateur exp´erimental ˆρ(λ), dans les r´egimes de diffusion simple et de diffusion multiple.